베유 추측

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1. 개요

베유 추측은 유한체 위의 매끄러운 사영 대수다양체의 국소 제타 함수에 대한 일련의 추측이다. 이 추측은 유리성, 함수 방정식, 리만 가설, 베티 수와의 관계 등 네 가지 주요 명제로 구성된다. 앙드레 베유가 1949년에 처음 제기했으며, 버나드 드워크, 알렉상드르 그로텐디크, 피에르 들리뉴 등에 의해 증명되었다. 특히 들리뉴는 리만 가설에 해당하는 부분을 증명하여 필즈상을 수상했다. 베유 추측은 대수 기하학, 정수론 등 다양한 분야에 응용되며, 유한체 위의 하드 레프셰츠 정리, 라마누잔-페터슨 추측, 지수 합에 대한 추정치 등을 증명하는 데 기여했다.

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베유 추측
일반 정보
분야	수론, 대수기하학
제안자	앙드레 베유
발표 시기	1949년
증명 완료 시기	1974년
내용
내용	대수적 다양체 V에 대하여, 국소 유한체에 대한 해의 개수를 세는 생성 함수는 합리적이다. 대수적 다양체 V가 매끄러우면, 생성 함수는 베티 수와 유사한 방식으로 계산될 수 있다. 대수적 다양체 V가 매끄러우면, 생성 함수의 영점은 켤레 복소수를 갖는다. (리만 가설의 유사체)

2. 정의

유한체 $\mathbb F_q$ 위의 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb F_q$ 가 매끄러운 사영 대수다양체일 때, $X$ 의 '''국소 제타 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

: $\zeta(X,s)=\exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac1m\#(X/\mathbb F_{q^m})q^{-sm}\right)$

여기서 $\#(X/\mathbb F_{q^m})$ 은 $X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathbb F_q}\operatorname{Spec}\mathbb F_{q^2}$ 의 닫힌 점의 수이다.

3. 베유 추측의 내용

베유 추측은 유한체 위에서 정의된 대수다양체의 국소 제타 함수에 대한 네 가지 명제이다.^[12] 이 추측은 그로텐디크와 들리뉴 등에 의해 증명되었다.

(유리성) 국소 제타 함수는 유리 함수이다.
(함수 방정식) 제타 함수는 특정 함수 방정식을 만족시킨다.
(리만 가설) 제타 함수의 영점들은 특정 조건을 만족한다.
(베티 수와의 관계) 제타 함수에 나타나는 다항식의 차수는 베티 수와 관련이 있다.

3. 1. 유리성

유한체

\mathbb F_q

위의 스킴

X\to\operatorname{Spec}\mathbb F_q

가 매끄러운 사영 대수다양체이고,

X

의 '''국소 제타 함수'''가 다음과 같다고 하자.

:

\zeta(X,s)=\exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac1m\#(X/\mathbb F_{q^m})q^{-sm}\right)

여기서

\#(X/\mathbb F_{q^m})

은

X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathbb F_q}\operatorname{Spec}\mathbb F_{q^2}

의 닫힌 점의 수이다.

베유 추측에 따르면,

\zeta(X,s)

는

q^{-s}

에 대한 유리 함수이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.^[12]

$\prod_{i=0}^{2n} P_i(q^{-s})^{(-1)^{i+1}} = \frac{P_1(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\dotsb P_{2n}(T)}$
$P_i(T)\in\mathbb Z[T]\qquad\forall i\in\{0,1,\dots,2n\}$
$P_0(T)=1-T$
$P_{2n}(T)=1-q^nT$
$P_i(T)=\prod_{j=1}^{\deg P_i}(1-\alpha_{ij}T),\quad(\alpha_{ij}\in\mathbb C)$

q

개의 원소를 가진 체

\mathbb F_q

위에서 정의된, 비특이

n

차원 사영 대수다양체

X

의 '''제타 함수'''

\zeta(X, s)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\zeta(X, s) = \exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac{N_m}{m} q^{-ms}\right)

여기서

N_m

은

X

의 차수

m

의 확대체

\mathbb F_{q^m}

위에서 정의된 점의 개수이다.

베유 추측의 유리성은

\zeta(X, s)

는

T=q^{-s}

의 ''유리 함수''라는 것이다. 더 정확하게는,

\zeta(X, s)

는 다음과 같은 유한한 교대 곱으로 쓸 수 있다.

::

\prod_{i=0}^{2n} P_i(q^{-s})^{(-1)^{i+1}} = \frac{P_1(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\dotsb P_{2n}(T)},

::여기서 각

P_i(T)

는 정수 계수 다항식이다. 또한,

P_0(T)=1-T

,

P_{2n}(T)=1-q^nT

, 그리고

1\le i\le 2n-1

에 대해,

P_i(T)

는

\mathbb C

위에서

\textstyle\prod_j (1 - \alpha_{ij}T)

로 인수분해되며, 여기서

\alpha_{ij}

는 어떤 수이다.

가장 간단한 예시는

X

를 사영 직선으로 잡는 것이다. 이때, 제타 함수는 다음과 같다.

:

\frac{1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}.

유리수 다항식

P_0(t), P_1(t), ..., P_{2n}(t)

가 존재하여

:

\zeta(X, t)= {P_1(t)P_3(t)...P_{2n-1}(t)\over P_0(t)P_2(t)...P_{2n}(t)}

그리고

P_i(t)

의 차수는 i차원 베치 수

b_i

와 같다.

유리성은 드워크가 증명하였다.^[9]

3. 2. 함수 방정식

제타 함수는 다음 함수 방정식을 만족한다.^[12]

:

\zeta(X,n-s)=\pm q^{{nE \over 2}-Es}\zeta(X,s)

여기서

E

는

X

의 오일러 지표이다.

이는 다음과 동등하게 표현할 수 있다.

:

\zeta(X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^T^E\zeta(X,T)

3. 3. 리만 가설

모든

1\le i\le 2n-1

및 모든

1\le j\le\deg P_i

에 대하여,

|\alpha_{i,j}|=q^{i/2}

이다.^[12] 이는

P_k(T)

의 모든 영점이 실수부가

k/2

인 복소수

s

의 "임계선" 위에 있음을 의미한다.

3. 4. 베티 수와의 관계

어떤 대수적 수체

K\subset\mathbb C

의 대수적 정수환

\mathcal O_K

의 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K

가

\mathcal O_K/\mathfrak p\cong\mathbb F_q

를 만족시키며, 어떤 스킴 사상

\tilde X\to\operatorname{Spec}\mathcal O_K

에 대하여,

\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb F_q

가

X

와

\mathbb F_q

-스킴으로서 동형이라고 하자. 이 경우,

\deg_iP_i=b_i(\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb C)

이다.^[12] 여기서

b_i

는 복소수체 위의 대수다양체

\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb C

의 특이 코호몰로지에 대한 베티 수이다. 또한,

E

는 복소수체 위의 대수다양체의 특이 코호몰로지에 대한 오일러 지표이다.

예를 들어, 종수

g=2

이고 차원

n=1

인 다음의 초타원 곡선을 고려해 보자.^[1]

:

C: y^2 + y = x^5

처음에는 유리수

\mathbb{Q}

위에 정의된 곡선

C/\mathbb{Q}

로 보았을 때, 이 곡선은 모든 소수

5\ne q\in\mathbb{P}

에서 '좋은 축소'를 갖는다. 따라서,

q\ne  5

모듈로 축소 후, 종수 2의 초타원 곡선

C/{\bf F}_q: y^2 + h(x)y=f(x)

를 얻으며,

h(x)=1, f(x)=x^5\in {\bf F}_q[x]

이다.

C/\mathbb{Q}

에 속하는 비특이, 사영, 복소다양체는 베티 수

B_0=1, B_1=2g=4, B_2=1

을 갖는다.^[3] 베유 추측의 네 번째 부분에서 설명한 바와 같이, (위상적으로 정의된!) 베티 수는 모든 소수

q\ne 5

에 대해 베유 다항식

P_i(T)

의 차수와 일치한다:

{\rm deg}(P_i)=B_i,\,i=0,1,2

.

4. 역사

앙드레 베유는 1949년에 유한체 위의 대수다양체에 대한 제타 함수와 관련된 추측을 제시하였으며,^[4] 이는 '베유 추측'으로 불리게 되었다.

버나드 모리스 드워크는 1960년에 베유 추측의 첫 번째 부분인 제타 함수의 유리성을 증명하였다.^[9] 이는 제타 함수가 두 다항식의 비율로 표현되는 유리 함수임을 의미한다.

알렉산더 그로텐디크는 1965년에 에탈 코호몰로지 이론을 개발하여 베유 추측의 두 번째 부분인 함수 방정식을 증명하고, 베티 수와의 관계를 밝혔다.^[10] 제타 함수에 대한 함수 방정식은 ''ℓ''-아디 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성에서 유도되었다.

피에르 들리뉴는 1974년에 베유 추측의 가장 어려운 부분이자 마지막 부분인 리만 가설 부분을 증명하였다.^[11] 이는 대수기하학에서 중요한 업적 중 하나로 평가되며, 들리뉴는 이 공로로 필즈상을 수상하였다.

4. 1. 베유 이전의 연구

카를 프리드리히 가우스는 그의 저서 ''산술 탐구''^[1]에서 단위근과 가우스 주기에 관한 내용을 다루며 베유 추측의 초기 선례를 제시하였다. 358절에서 그는 정다각형 작도를 위해 2차 확장의 탑을 구성하는 주기로부터 나아가, p가 1을 3으로 나눈 나머지가 1인 소수라고 가정하고, p차 단위근의 원분체 내에 사이클릭 3차체가 존재하며, 이 체의 정수에 대한 주기의 정규 정수 기저가 존재한다고 설명했다(이는 힐베르트-슈파이저 정리의 한 예시이다). 가우스는 곱셈에 대한 Z/pZ의 순환군과 그 지수 3인 유일한 부분군에 해당하는 3차 주기를 구성하고,

\mathfrak{R}

,

\mathfrak{R}'

,

\mathfrak{R}''

를 이들의 잉여류로 설정하였다. 이 잉여류에 해당하는 주기(단위근의 합)를 exp(2πi/p)에 적용하여, 이 주기들이 계산 가능한 곱셈표를 갖는다는 것을 언급하였다. 곱은 주기들의 선형 결합이며, 그는 계수를 결정한다.

예를 들어

(\mathfrak{R}\mathfrak{R})

를 Z/pZ의 원소 중

\mathfrak{R}

에 속하고, 1만큼 증가시킨 후에도

\mathfrak{R}

에 속하는 원소의 수와 같다고 설정했다. 그는 이 수와 관련된 수들이 주기들의 곱의 계수임을 증명한다. 이러한 집합과 베유 추측의 관계를 알기 위해, α와 α + 1이 모두

\mathfrak{R}

에 속한다면, Z/pZ에 x와 y가 존재하여 x³ = α와 y³ = α + 1이 성립하므로, x³ + 1 = y³가 성립한다. 따라서

(\mathfrak{R}\mathfrak{R})

는 유한체 Z/pZ에서 x³ + 1 = y³의 해의 수와 관련이 있다. 다른 계수들도 유사한 해석을 갖는다. 따라서 가우스가 주기들의 곱의 계수를 결정하는 것은 이러한 타원 곡선 상의 점의 수를 세는 것이며, 그 부수적인 결과로 리만 가설의 유사를 증명한다.

대수 곡선의 특별한 경우에 대한 베유 추측은 에밀 아르틴에 의해 추측되었다.^[2] 유한체 위의 곡선에 대한 경우는 유한체 위의 타원 곡선에 대한 하세 정리에서 시작된 프로젝트를 완료하면서, 베유에 의해 증명되었다.

4. 2. 베유의 공헌

앙드레 베유는 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설을 증명하고, 이를 고차원으로 일반화하는 추측을 제시하였다.^[4]^[5] 이는 정수론에서 지수 합에 대한 상한을 의미하며, 해석적 정수론의 기본적인 관심사였다.^[9]^[10]^[11]

베유는 유한체 위의 기하학이 베티 수, 레프셰츠 고정점 정리 등과 관련된 잘 알려진 패턴에 부합해야 함을 시사했다. 이는 대수적 위상수학과의 연결을 제안하는 것으로, 유한체의 '이산적' 성질과 위상수학의 '연속적' 성질 사이의 놀라운 관계를 보여준다.

이러한 위상수학과의 유추는 대수 기하학 내에서 새로운 호몰로지 이론을 설정하도록 이끌었으며, 이는 알렉산더 그로텐디크와 그의 학파의 중심 목표였다. 장-피에르 세르의 초기 제안을 바탕으로 수십 년에 걸쳐 연구가 진행되었다.

4. 3. 그로텐디크의 증명

알렉상드르 그로텐디크는 에탈 코호몰로지 이론을 개발하여 베유 추측의 유리성, 함수 방정식, 베티 수와의 관계를 증명하였다.^[10] 에탈 코호몰로지에 대한 일반적인 정리는 그로텐디크가 ''ℓ''-아디 코호몰로지 이론에 대한 레프셰츠 고정점 정리의 유추를 증명하도록 하였고, 프로베니우스 자기 동형사상 ''F''를 적용함으로써 제타 함수에 대한 추측된 공식을 증명할 수 있었다.

:

\zeta(s)=\frac{P_1(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_0(T)P_2(T)\cdots P_{2n}(T)}

각 다항식 ''P''_''i''는 ''ℓ''-아디 코호몰로지 군 ''H''^''i'' 상의 ''I'' − ''TF''의 행렬식이다.

제타 함수의 유리성은 즉시 따라 나온다. 제타 함수에 대한 함수 방정식은 ''ℓ''-아디 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성으로부터 따르며, 복소수 베티 수와의 관계는 복소 대수다양체에 대한 ''ℓ''-아디 코호몰로지와 일반 코호몰로지 간의 비교 정리로부터 따른다.

4. 4. 들리뉴의 증명

들리뉴는 에탈 코호몰로지 이론을 사용하여 베유 추측의 리만 가설 부분((3)에 해당)을 증명하였다.^[11]

(1)은 버나드 드워크에 의해^[9], (2)는 그로텐디크에 의해^[10] 증명되었다.

유리수 다항식: $P_0(t), P_1(t), ..., P_{2n}(t)$ 가 존재하여

:

\zeta(X, t)= {P_1(t)P_3(t)...P_{2n-1}(t)\over P_0(t)P_2(t)...P_{2n}(t)}

그리고

P_i(t)

의 차수는 i차원 베치 수

b_i

와 같다.

:

\zeta(X, {1\over q^nt}) = \pm (qt^2)^{{\chi \over 2}(X)} \zeta(X, t)

여기서

\chi =b_0-b_1+b_2-b_3+...+b_{2n}

: $P_i(t)= \prod^{b_i}_{j=1}(1- {\alpha}_{ij}t)$ 로 인수분해했을 때

:

|{\alpha}_{ij}| = q^{i \over 2}

이 성립한다.

1964년 말까지 그로텐디크는 아틴, 베르디에와 함께 (그리고 1960년 드워크의 초기 연구를 통해) 위에 언급된 가장 어려운 세 번째 추측("리만 가설" 추측)을 제외한 베유 추측을 증명했다. 에탈 코호몰로지에 대한 일반적인 정리는 그로텐디크가 ''ℓ''-아디 코호몰로지 이론에 대한 레프셰츠 고정점 공식의 유추를 증명하도록 해주었고, 프로베니우스 자기 동형사상 ''F''를 적용함으로써 제타 함수에 대한 추측된 공식을 증명할 수 있었다.

:

\zeta(s)=\frac{P_1(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_0(T)P_2(T)\cdots P_{2n}(T)}

각 다항식 ''P''_''i''는 ''ℓ''-아디 코호몰로지 군 ''H''^''i'' 상의 ''I'' − ''TF''의 행렬식이다.

제타 함수의 유리성은 즉시 따라 나온다. 제타 함수에 대한 함수 방정식은 ''ℓ''-아디 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성으로부터 따르며, 복소수 베티 수와의 관계는 복소 대수다양체에 대한 ''ℓ''-아디 코호몰로지와 일반 코호몰로지 간의 비교 정리로부터 따른다.

5. 예시

프로베니우스 자기사의 고유값을 추정하여 층 ''E''의 제타 함수의 영점을 구할 수 있다. 이 제타 함수는 ''E''의 줄기의 제타 함수의 오일러 곱으로 표현 가능하며, 이를 통해 제타 함수가 특정 영역에 영점을 갖지 않음을 보일 수 있다. 이는 프로베니우스 자기사의 ''E''에 대한 고유값의 절댓값이 최대 ''q''^''d''/2+1/2임을 의미한다.^[1]

n^영어차원 사영 공간의 제타 함수는 다음과 같다.

: $\frac{1}{(1-t)(1-qt)\cdots(1-q^nt)}.$

이를 통해 베유 추측의 모든 부분을 쉽게 확인할 수 있다.

유한체 위의 타원 곡선의 제타 함수는 특정 형태를 가지며, 여기서 사용되는 값들은 절댓값이 $\sqrt{q}$인 복소 켤레 수이다.

초타원 곡선의 경우, 종수와 차원을 고려하여 유리수 위에서 정의된 곡선으로 볼 수 있으며, 특정 조건에서 종수 2의 초타원 곡선을 얻을 수 있다. 예를 들어, 특정 값을 선택하면 베유 다항식과 제타 함수를 구체적으로 계산할 수 있다.^[1]^[2]

아벨 표면의 경우, 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 제타 함수와 베유 다항식을 구체적으로 계산할 수 있다. 유리수 다항식을 이용하여 제타 함수를 표현할 수 있으며, 여기서 각 항의 차수는 해당 차원의 베치 수와 같다.^[9]

5. 1. 사영 직선

프로베니우스 자기사의 고유값을 추정할 수 있는데, 이는 층 ''E''의 제타 함수의 영점이다. 이 제타 함수는 ''E''의 줄기의 제타 함수의 오일러 곱으로 쓸 수 있으며, 이러한 줄기에 대한 고유값의 추정을 사용하면 < ''q''^{−''d''/2−1/2}에 대해 수렴하므로 이 영역에 제타 함수의 영점이 없음을 알 수 있다. 이는 프로베니우스 자기사의 ''E''에 대한 고유값의 절댓값이 최대 ''q''^''d''/2+1/2임을 의미한다(사실 곧 그들의 절댓값이 정확히 ''q''^''d''/2임을 알게 될 것이다). 이 단계의 논증은 오일러 곱으로 써서 리만 제타 함수가 실수부가 1보다 큰 영점을 갖지 않는다는 일반적인 증명과 매우 유사하다.^[1]

5. 2. 사영 공간

n^영어차원 사영 공간의 제타 함수는 다음과 같다.

:

\frac{1}{(1-t)(1-qt)\cdots(1-q^nt)}.

베유 추측의 모든 부분을 쉽게 확인할 수 있다.

5. 3. 타원 곡선

유한체 위의 타원 곡선의 제타 함수는 다음과 같다. 여기서 $\alpha$와 $\beta$는 절댓값이 $\sqrt{q}$인 복소 켤레 수이다.

5. 4. 초타원 곡선

종수 이고 차원 인 초타원 곡선 를 생각해보자.^[1] 이 곡선은 유리수 위에서 정의된 곡선으로 볼 수 있으며, 모든 소수 에서 "좋은 축소"를 갖는다. 따라서 모듈로 축소하면, 종수 2의 초타원 곡선 를 얻는다. 여기서 이다.

예를 들어 을 선택하면, 베유 다항식 ()와 의 제타 함수는 다음과 같다.

:

및 값은 및 에서 의 해 의 개수를 세고, 무한대 점 를 고려하여 각 숫자에 1을 더해서 결정할 수 있다. 이 계산으로 및 을 얻는다. 따라서 다음이 성립한다.^[2]

: 및

:

의 영점은 및 (실수부 및 허수부의 소수점 다섯 자리까지)이고, 이들의 켤레 복소수 및 가 있다. 따라서 인수 분해에서 이다. 베유 추측의 세 번째 부분(리만 가설)에서 언급된 것처럼, 에 대해 이다.

에 해당하는 비특이 사영 복소다양체는 베티 수 을 갖는다.^[3] 베유 추측의 네 번째 부분에서 설명한 바와 같이, (위상적으로 정의된!) 베티 수는 모든 소수 에 대해 베유 다항식 의 차수와 일치한다: .

5. 5. 아벨 표면

종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같은 아벨 표면의 경우, 제타 함수와 베유 다항식을 구체적으로 계산할 수 있다. 유리수 다항식

P_0(t), P_1(t), ..., P_{2n}(t)

가 존재하여 다음과 같이 표현된다.^[9]

:

\zeta(X, t)= {P_1(t)P_3(t)...P_{2n-1}(t)\over P_0(t)P_2(t)...P_{2n}(t)}

여기서

P_i(t)

의 차수는 i차원 베치 수

b_i

와 같다.

6. 베유 코호몰로지

베유는 유한체 위의 다양체에 대한 "베유 코호몰로지 이론"이 존재한다면, 복소 다양체에 대한 유리수 계수를 갖는 일반적인 코호몰로지와 유사하게 추측을 도출할 수 있다고 제안했다. 프로베니우스 자기 동형 사상이 유한체 위의 다양체 점의 수를 결정하고, 레프셰츠 고정점 정리를 사용하여 자기 동형 사상의 고정점의 수를 계산할 수 있다는 아이디어였다. 이는 코호몰로지 군의 대칭 합으로 주어지며, 유한체 위의 다양체에 대한 유사한 코호몰로지 군이 존재한다면, 제타 함수를 사용하여 표현할 수 있다.

하지만 베유 코호몰로지 이론의 계수 체는 유리수가 될 수 없었다. 표수가 p인 유한체 위의 초특이 타원 곡선의 경우, 자기 사상 환은 유리수 위의 사원수 대수 내의 순서이며, 이는 계수 체 위의 2차원 벡터 공간에 작용해야 하지만, 유리수 위의 사원수 대수는 그럴 수 없기 때문이다. 같은 논리로 실수나 p-진수가 계수 체가 될 가능성도 배제되었다. 그러나 ℓ ≠ p인 소수 ℓ에 대한 ℓ-진수 체는 계수 체가 될 수 있는데, 이 체 위에서 나눗셈 대수는 분할되어 행렬 대수가 되고, 이는 2차원 벡터 공간에 작용할 수 있기 때문이다.^[9]

6. 1. 베유 코호몰로지 이론의 필요성

유한체는 본질적으로 '이산적'이며, 위상수학은 오직 '연속적'인 것에 대해서만 다루기 때문에, 유한체 위의 기하학이 베티 수, 레프셰츠 고정점 정리 등과 관련된 잘 알려진 패턴에 부합해야 한다는 베유의 제안은 놀랍고 참신했다.^[9]

이는 대수 기하학 내에서 적용되는 새로운 코호몰로지 이론을 설정하도록 이끌었다. 베유는 유한체 위의 다양체에 대한 적절한 "베유 코호몰로지 이론"의 존재로부터 추측이 도출될 것이라고 제안했는데, 이는 복소 다양체에 대한 유리수 계수를 갖는 일반적인 코호몰로지와 유사하다. 그의 아이디어는 F^프랑스어가 유한체 위의 프로베니우스 자기 동형 사상일 때, q^프랑스어의 차수를 갖는 체 위의 다양체 X^프랑스어의 점의 수는 F^프랑스어의 고정점의 수와 같다는 것이다(대수적 폐포 위에서 정의된 다양체 X^프랑스어의 모든 점에 작용). 대수적 위상수학에서 자기 동형 사상의 고정점의 수는 레프셰츠 고정점 정리를 사용하여 계산할 수 있으며, 이는 코호몰로지 군의 대칭 합으로 주어진다. 따라서 유한체 위의 다양체에 대한 유사한 코호몰로지 군이 존재한다면, 제타 함수는 이를 사용하여 표현될 수 있다.

여기서 첫 번째 문제는 베유 코호몰로지 이론의 계수 체가 유리수가 될 수 없다는 것이다. 표수 p^프랑스어의 유한체 위의 초특이 타원 곡선의 경우, 자기 사상 환은 유리수 위의 사원수 대수 내의 순서이며, 복소 타원 곡선의 경우와 유사하게 첫 번째 코호몰로지 군에 작용해야 하며, 이는 계수 체 위의 2차원 벡터 공간이어야 한다. 그러나 유리수 위의 사원수 대수는 유리수 위의 2차원 벡터 공간에 작용할 수 없다. 동일한 논증은 계수 체가 실수 또는 p^프랑스어-진수가 될 가능성을 배제한다. 그러나 계수 체가 소수 ℓ^프랑스어 ≠ p^프랑스어에 대한 ℓ^프랑스어-진수 체일 가능성은 배제하지 않는데, 왜냐하면 이러한 체 위에서 나눗셈 대수는 분할되어 행렬 대수가 되며, 이는 2차원 벡터 공간에 작용할 수 있기 때문이다. 그로텐딕과 마이클 아르틴은 각 소수 ℓ^프랑스어 ≠ p^프랑스어에 대해 ℓ^프랑스어-진수 체 위의 적절한 코호몰로지 이론을 구성하는 데 성공했으며, 이를 ℓ^프랑스어-진 코호몰로지라고 한다.

6. 2. l-진 코호몰로지

그로텐디크와 마이클 아르틴은 각 소수 에 대해 -진수 체 위의 적절한 코호몰로지 이론을 구성하는 데 성공했으며, 이를 -진 코호몰로지라고 한다.^[9]^[10]^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Genus 2 curve 3125.a.3125.1 http://www.lmfdb.org[...] LMFDB
_[2] 서적 Algebraic Aspects of Cryptography Springer 2004-05-07
_[3] 서적 Algebraic Geometry I, Complex Projective Varieties Springer 1995-02-15
_[4] 웹사이트 Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41) http://www.lmfdb.org[...] LMFDB
_[5] 서적 Arithmetic Geometry Springer-Verlag
_[6] 서적 Algebraic Aspects of Cryptography Springer 1998
_[7] 웹사이트 Abelian variety isogeny class 2.41.aj_ct over F(41) http://www.lmfdb.org[...] LMFDB
_[8] 간행물 Numbers of solutions of equations in finite fields http://www.ams.org/b[...]
_[9] 간행물 On the rationality of the zeta function of an algebraic variety American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3
_[10] 간행물 Séminaire Bourbaki http://www.numdam.or[...] Société Mathématique de France
_[11] 간행물 La conjecture de Weil. I http://www.numdam.or[...]
_[12] 서적

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