하이젠베르크 군

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1. 개요

하이젠베르크 군은 수학 및 양자역학에서 중요한 개념으로, 주로 리 대수, 군 표현론, 푸리에 해석 등 다양한 분야에서 활용된다. 표수가 2가 아닌 체 위의 심플렉틱 벡터 공간을 이용하여 정의되며, 특히 3차원 하이젠베르크 군은 행렬을 통해 표현된다. 이 군은 비가환군이며, 양자역학의 정준 교환 관계와 유사한 형태를 갖는다는 특징이 있다. 하이젠베르크 군은 연속 및 이산 형태를 가지며, 스톤-폰 노이만 정리에 따라 군 표현론이 전개된다. 또한, 하이젠베르크 군은 푸리에 해석, 세타 표현 등 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 한다.

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하이젠베르크 군
정의
유형	군
분야	수학, 물리학
예시
실수 하이젠베르크 군	H(R)
정수 하이젠베르크 군	H(Z)
유한 하이젠베르크 군	H(Z/pZ)
성질
비가환군 여부	비가환군
멱영군 여부	멱영군
가해군 여부	가해군
관련 개념
표현론	스톤-폰 노이만 정리

2. 정의

표수가 2가 아닌 체 $K$ 와 $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega)$ 가 주어졌을 때, 하이젠베르크 군은 벡터 공간 $V \oplus K$ 위에 다음과 같은 군 연산을 부여하여 정의된다.

: $(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)$

이는 군의 공리들을 만족시키며, 항등원은 $(\mathbf0,0)$ 이고, 역원은 $-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)$ 이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' $\operatorname{Heis}(V,\omega;K)$ 라고 한다.

보통 $V$ 가 명시되어 있지 않은 경우, $n=1$ 인 경우를 뜻한다.

2. 1. 리 대수

표수가 2가 아닌 체

K

위의 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

가 주어졌을 때, 벡터 공간

V\oplus K

위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의할 수 있다.

:

[(\mathbf u,s),(\mathbf v,t)] = (\mathbf 0,\omega(\mathbf u,\mathbf v))\qquad\forall \mathbf u,\mathbf v\in V,\;s,t\in K

이를 '''하이젠베르크 리 대수'''(Heisenberg Lie algebra^영어)

\mathfrak{heis}(V,\omega;K)

라고 한다.

V

가 유한

2n

차원일 때, 심플렉틱 기저

(\mathsf p_i,\mathsf q^i)_{i\in\{1,\dotsc,n\}} \subseteq V

를 잡을 수 있다.

V\oplus K\mathsf c

위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같다.

:

[\mathsf p_i,\mathsf q^j]=\delta_i^j\mathsf c

:

[\mathsf p_i,\mathsf c]=[\mathsf q_i,\mathsf c]=0

여기서

\delta_i^j

는 크로네커 델타이다.

하이젠베르크 군

H

의 리 대수

\mathfrak h

(실수체 위에서)는 하이젠베르크 대수라고 알려져 있다.^[1] 이는 다음과 같은 형태의 3×3 행렬 공간을 사용하여 나타낼 수 있다.^[2]

:

\begin{pmatrix}0 & a & c \\0 & 0 & b \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

여기서

a, b, c \in \mathbb R

이다.

다음 세 개의 원소가

\mathfrak h

의 기저를 형성한다.

:

X = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quadY = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quadZ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

이 기저 원소들은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:

[X, Y] = Z,\quad [X, Z] = 0,\quad [Y, Z] = 0.

"하이젠베르크 군"이라는 이름은 양자역학의 정준 교환 관계와 동일한 형태를 갖는 다음 관계에서 유래되었다.

:

[\hat x, \hat p] = i\hbar I,\quad [\hat x, i\hbar I] = 0,\quad [\hat p, i\hbar I] = 0,

여기서

\hat x

는 위치 연산자,

\hat p

는 운동량 연산자,

\hbar

는 플랑크 상수이다.

하이젠베르크 군은 지수 사상이 리 대수

\mathfrak h

에서 군으로 일대일이며 전사라는 특별한 성질을 갖는다.^[3]

:

\exp \begin{pmatrix}0 & a & c \\0 & 0 & b \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & a & c + \frac{ab}2 \\0 & 1 & b \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

하이젠베르크 군은 단순 연결된 리 군으로, 그 리 대수는 다음과 같은 행렬로 구성된다.

:

\begin{bmatrix}0 & \mathbf a & c \\0 & 0_n & \mathbf b \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},

여기서,

'''a'''는 길이가 ''n''인 행 벡터이고,
'''b'''는 길이가 ''n''인 열 벡터이며,
0_''n''는 크기가 ''n''인 영행렬이다.

'''R'''^''n''의 표준 기저를 e₁, ..., e_''n''으로 놓고,

:

p_i = \begin{bmatrix}0 & \operatorname{e}_i^\mathrm{T} & 0 \\0 & 0_n & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},\quadq_j = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0_n & \operatorname{e}_j \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},\quadz = \begin{bmatrix}0 & 0  & 1 \\0 & 0_n & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},

로 설정하면, 관련된 리 대수는 다음과 같은 표준 교환 관계로 특징지을 수 있다.

:

\begin{bmatrix} p_i, q_j \end{bmatrix} = \delta_{ij}z,\quad\begin{bmatrix} p_i, z \end{bmatrix} = 0,\quad\begin{bmatrix}  q_j, z \end{bmatrix} = 0,

여기서, ''p''₁, ..., ''p''_''n'', ''q''₁, ..., ''q''_''n'', ''z''는 대수 생성자이다.

특히, ''z''는 하이젠베르크 리 대수의 ''중심'' 원소이다. 하이젠베르크 군의 리 대수는 멱영이다.

3. 성질

하이젠베르크 군 $\operatorname{Heis}(V,\omega;K)$은 아벨 군 $(V,+)$의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

:$1\to K\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1$

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.

:$0 \to K \to \mathfrak{heis}(V,\omega;K) \to V \to 0$

여기서 $K$와 $V$는 아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

3. 1. 위상수학적 성질

만약

K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}

일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.

3. 2. 행렬 표현

표수 0의 체

K

위의 내적 공간

V

가 주어졌을 때, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

:

\operatorname{Heis}(V^*\oplus V) \to \operatorname{GL}(K\oplus V\oplus K)

:

(\phi,u,t) \mapsto \begin{pmatrix}1&\phi &t+\langle\phi|u\rangle/2\\0&1_V&u\\0&0&1\end{pmatrix}

3차원 하이젠베르크 군의 경우, 두 하이젠베르크 행렬의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & a' & c'\\0 & 1 & b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+a' & c+ab'+c'\\0 & 1 & b+b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.

''ab''′^영어 항에서 볼 수 있듯이, 이 군은 비가환군이다.^[1]

하이젠베르크 군의 항등원은 항등 행렬이며, 역원은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -a & ab-c\\0 & 1 & -b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.

3. 3. 지수 사상

하이젠베르크 군

\operatorname{Heis}(2n+1;K)

의 리 대수

\mathfrak{heis}(2n+1;K)

에서 군으로 가는 리 지수 사상은 다음과 같다.^[3]

:

\exp\begin{pmatrix}0&\mathbf a&c\\0&0_{n\times n}&\mathbf b\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\mathbf a&c+(\mathbf a\cdot\mathbf b)/2\\0&I_{n\times n}&\mathbf b\\0&0&1\end{pmatrix}

특히, 실수체 위에서 하이젠베르크 군

H

의 지수 사상은 다음과 같이 일대일 대응이며 전사 함수이다.

:

\exp \begin{pmatrix}0 & a & c \\0 & 0 & b \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & a & c + \frac{ab}2 \\0 & 1 & b \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

3. 4. 표현론

스톤-폰 노이만 정리에 따라, 하이젠베르크 군

\operatorname{Heis}(2n+1;\mathbb R)

의 비자명 유니터리 기약 표현은 르베그 공간

\operatorname L^2(\mathbb R^n)

위의 표현

\rho_{\hbar}

와 동형이다. (몇 가지 기술적인 조건은 생략)

:

\rho_\hbar\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}\colon\psi(x)\mapsto\exp(i(qx+\hbar(t+pq)/2))\psi(x+\hbar p)

이를 리 대수

\mathfrak h_{2n+1}

에 대하여 표기하면 다음과 같다.

:

P^i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)

:

Q_i\psi(x)=\mathrm ix_i\psi(x)

:

C\psi(x)=\mathrm i\hbar\psi(x)

각각의 0이 아닌 실수

\hbar

에 대해, 힐베르트 공간

L^2(\mathbb R^n)

에서 작용하는

H_{2n+1}

의 기약 유니터리 표현

\Pi_\hbar

는 다음과 같다.^[4]

:

\left[\Pi_\hbar \begin{pmatrix}1 & \mathbf a & c \\0 & I_n & \mathbf b \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \psi\right](x) = e^{i\hbar c} e^{ib\cdot x} \psi(x + \hbar a).

이 표현은 슈뢰딩거 표현으로 알려져 있으며, 양자 역학에서 지수화된 위치 연산자와 운동량 연산자의 작용에서 비롯되었다. 매개변수

a

는 위치 공간에서의 변환,

b

는 운동량 공간에서의 변환,

c

는 위상 인수를 나타낸다.

슈타인- 폰 노이만 정리에 따르면, 중심이 자명하지 않게 작용하는 하이젠베르크 군의 모든 (강하게 연속적인) 기약 유니터리 표현은 어떤

\hbar

에 대한

\Pi_\hbar

과 동치이다.^[5]

4. 3차원 하이젠베르크 군

3차원 하이젠베르크 군은 하이젠베르크 행렬의 곱셈 연산을 통해 정의되는 비가환군이다. 두 행렬의 곱은 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & a' & c'\\0 & 1 & b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+a' & c+ab'+c'\\0 & 1 & b+b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.$

여기서 ''ab''′ 항은 이 군이 비가환군임을 보여준다.^[1]

하이젠베르크 군의 항등원은 항등 행렬이며, 역원은 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -a & ab-c\\0 & 1 & -b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.$

이 군은 2차원 아핀 군 Aff(2)의 부분군이다. $\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ on $(\vec{x}, 1)$ 은 아핀 변환 $\begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}{\vec x} + \begin{pmatrix} c\\ b \end{pmatrix}$ 에 대응된다.

3차원 하이젠베르크 군은 실수, 정수, 또는 소수 p에 대한 모듈로 연산을 통해 다양한 형태로 나타낼 수 있다.^[1]

4. 1. 연속 하이젠베르크 군

a^영어, b^영어, c^영어가 실수인 경우, 연속 하이젠베르크 군 H₃('''R''')을 얻는다.

이는 3차원 멱영 실수 리 군이다.

연속 하이젠베르크 군은 실수 3×3 행렬 표현 외에도 함수 공간과 관련된 여러 다른 군 표현을 갖는다. 스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 동형사상을 제외하고 H의 유일한 기약 유니타리 표현은 그 군 중심이 주어진 비자명한 문자에 의해 작용한다. 이 표현은 슈뢰딩거 모델, 세타 표현 등 여러 중요한 모델을 갖는다. 슈뢰딩거 모델에서 하이젠베르크 군은 제곱 적분 가능 함수 공간에 작용하며, 세타 표현에서는 상반평면상의 정칙 함수 공간에 작용하는데, 이는 세타 함수와의 관련성 때문이다.

4. 2. 이산 하이젠베르크 군

생성자 ''x'', ''y'', ''z''를 가진 이산 하이젠베르크 군의 케일리 그래프 일부 (색상은 시각적 보조용)

''a'', ''b'', ''c''가 정수이면, 이산 하이젠베르크 군 H₃('''Z''')을 갖는다. 이는 비가환 멱영군이며, 두 개의 생성자를 가진다.

:

x = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quady = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

관계식은 다음과 같다.

:

z = xyx^{-1}y^{-1},\quad xz = zx,\quad  yz = zy,

여기서 z는 다음과 같다.

:

z = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

z는 H₃의 중심의 생성자이다. (''x'', ''y'', ''z''의 역원은 대각선 위의 1을 -1로 대체한다.)

바스의 정리에 따르면, 이산 하이젠베르크 군은 차수 4의 다항식 성장률을 가진다.

임의의 원소는 다음을 통해 생성할 수 있다.

:

\begin{pmatrix}1 & a & c \\0 & 1 & b \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} = y^b z^c x^a.

4. 3. 소수 p 모듈로 하이젠베르크 군

소수 ''p''에 대한 모듈로 연산을 통해 얻어지는 '''소수 ''p'' 모듈로 하이젠베르크 군'''은 차수가 ''p''³인 유한군이다. 이 군은 생성원 ''x'', ''y''를 가지며, 다음 관계를 만족한다.

:

z = xyx^{-1}y^{-1},\quad x^p = y^p = z^p = 1,\quad xz = zx,\quad yz = zy.

4. 4. 하이젠베르크 군 modulo 2

'''Z'''/2'''Z'''에서 ''a'', ''b'', ''c''를 취해 만들어지는 하이젠베르크 군은 8차 이면체군 D₄ (정사각형의 대칭)와 동형이다.

만약

:

x = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quady = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix},

라고 하면,

:

xy = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix},

이고

:

yx = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

이다.

원소 ''x''와 ''y''는 반사(45° 각도)에 해당하며, ''xy''와 ''yx''는 90° 회전에 해당한다. 다른 반사는 ''xyx''와 ''yxy''이며, 180° 회전은 ''xyxy''(= ''yxyx'')이다.

5. 고차원 하이젠베르크 군

표수가 2가 아닌 체 ''K'' 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega \colon V \times V \to K)$ 가 주어졌을 때, 하이젠베르크 군은 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다.

$K$ -벡터 공간 $V \oplus K$ 위에 다음과 같은 군 연산을 정의한다.

: $(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)$

이는 군의 공리를 만족시키며, 그 항등원은 $(\mathbf0,0)$ 이고, 역원은 $-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)$ 이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' $\operatorname{Heis}(V,\omega;K)$ 라고 한다.

일반적으로 $V$ 가 명시되지 않은 경우, $n=1$ 인 경우, 즉 $\operatorname{Heis}(1;\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)$ 를 의미한다.

더 일반적인 하이젠베르크 군 $H_{2n+1}$ 은 유클리드 공간의 더 높은 차원에서 정의될 수 있으며, 더 일반적으로는 심플렉틱 벡터 공간에서 정의될 수 있다. 가장 간단한 일반적인 경우는 임의의 정수 $n \geq 1$ 에 대해 차원이 $2n + 1$ 인 실수 하이젠베르크 군이다. 행렬의 군으로서, $H_{2n+1}$ (또는 이것이 실수 $\mathbb R$ 의 체에 대한 하이젠베르크 군임을 나타내기 위해 $H_{2n+1}(\mathbb R)$ 라고 표기)은 $\mathbb R$ 의 항목을 가지며 다음 형태를 가진 $(n + 2) \times (n + 2)$ 행렬의 군으로 정의된다.

: $\begin{bmatrix}1 & \mathbf a & c \\\mathbf 0 & I_n & \mathbf b \\0 & \mathbf 0 & 1\end{bmatrix},$

여기서

'''a'''는 길이가 ''n''인 행 벡터이다.
'''b'''는 길이가 ''n''인 열 벡터이다.
''I''_''n''는 크기가 ''n''인 단위 행렬이다.

5. 1. 군 구조

표수가 2가 아닌 체 ''K'' 위의 심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega \colon V \times V \to K)

가 주어졌을 때, ''K''-벡터 공간

V \oplus K

위에 다음과 같은 군 연산을 정의할 수 있다.

:

(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)

이는 군의 공리를 만족하며, 항등원은

(\mathbf0,0)

, 역원은

-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)

이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군'''

\operatorname{Heis}(V,\omega;K)

라고 한다.

일반적으로

V

가 명시되지 않은 경우,

n=1

인 경우, 즉

\operatorname{Heis}(1;\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)

를 의미한다.

표수 0의 체

K

위의 내적 공간

V

가 주어지면,

V^* \oplus V

위에 다음과 같은 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

:

\omega(\phi,u) = -\omega(u,\phi) = \langle \phi|u\rangle\qquad\forall u\in V,\;\phi\in V^*

:

\omega(u,v) = \omega(\phi,\chi) = 0 \qquad\forall u,v\in V,\;\phi,\chi\in V^*

그러면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

:

\operatorname{Heis}(V^*\oplus V) \to \operatorname{GL}(K\oplus V\oplus K)

:

(\phi,u,t) \mapsto \begin{pmatrix}1&\phi &t+\langle\phi|u\rangle/2\\0&1_V&u\\0&0&1\end{pmatrix}

3차원 하이젠베르크 군의 경우, 군 연산은 다음과 같은 행렬 곱으로 표현된다.

:

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & a' & c'\\0 & 1 & b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+a' & c+ab'+c'\\0 & 1 & b+b'\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.

''ab''′^영어 항에서 볼 수 있듯이, 이 군은 비가환군이다.

하이젠베르크 군의 항등원은 항등 행렬이며, 역원은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -a & ab-c\\0 & 1 & -b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}.

이 군은 2차원 아핀 군 Aff(2)의 부분군이다.

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}

on

(\vec{x}, 1)

은 아핀 변환

\begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}{\vec x} + \begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}.

에 해당한다.

더 일반적인 하이젠베르크 군

H_{2n+1}

은 유클리드 공간의 더 높은 차원에서 정의될 수 있으며, 더 일반적으로는 심플렉틱 벡터 공간에서 정의될 수 있다. 가장 간단한 일반적인 경우는 임의의 정수

n \geq 1

에 대해 차원이

2n + 1

인 실수 하이젠베르크 군이다. 행렬의 군으로서,

H_{2n+1}

(또는 이것이 실수

\mathbb R

의 체에 대한 하이젠베르크 군임을 나타내기 위해

H_{2n+1}(\mathbb R)

라고 표기)은

\mathbb R

의 항목을 가지며 다음 형태를 가진

(n + 2) \times (n + 2)

행렬의 군으로 정의된다.

:

\begin{bmatrix}1 & \mathbf a & c \\\mathbf 0 & I_n & \mathbf b \\0 & \mathbf 0 & 1\end{bmatrix},

여기서

'''a'''는 길이가 ''n''인 행 벡터
'''b'''는 길이가 ''n''인 열 벡터
''I''_''n''는 크기가 ''n''인 단위 행렬

이는 다음과 같은 곱셈으로 나타낼 수 있는 군(group)이다.

:

\begin{bmatrix}1 & \mathbf a & c \\0 & I_n & \mathbf b \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & \mathbf a' & c' \\0 & I_n & \mathbf b' \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & \mathbf a + \mathbf a' & c + c' + \mathbf a \cdot \mathbf b' \\0 & I_n & \mathbf b + \mathbf b' \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

그리고

:

\begin{bmatrix}1 & \mathbf a & c \\0 & I_n & \mathbf b \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & -\mathbf a & -c + \mathbf a \cdot \mathbf b \\0 & I_n & -\mathbf b \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & I_n & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

5. 2. 리 대수

심플렉틱 벡터 공간

(V,\omega)

(단, 표수가 2가 아닌 체

K

위)이 주어지면, 벡터 공간

V\oplus K

위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의할 수 있다.

:

[(\mathbf u,s),(\mathbf v,t)] = (\mathbf 0,\omega(\mathbf u,\mathbf v))\qquad\forall \mathbf u,\mathbf v\in V,\;s,t\in K

이를 '''하이젠베르크 리 대수'''(Heisenberg Lie algebra^영어)

\mathfrak{heis}(V,\omega;K)

라고 한다.

V

가 유한

2n

차원일 때, 심플렉틱 기저

(\mathsf p_i,\mathsf q^i)_{i\in\{1,\dotsc,n\}} \subseteq V

를 잡을 수 있다.

V\oplus K\mathsf c

위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같다.

:

[\mathsf p_i,\mathsf q^j]=\delta_i^j\mathsf c

:

[\mathsf p_i,\mathsf c]=[\mathsf q_i,\mathsf c]=0

여기서

\delta_i^j

는 크로네커 델타이다.

하이젠베르크 군

H

의 리 대수

\mathfrak h

(실수체 위에서)는 하이젠베르크 대수라고 알려져 있다.^[1] 이는 3×3 행렬 공간으로 나타낼 수 있다.^[2]

:

\begin{pmatrix}0 & a & c \\0 & 0 & b \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

(단,

a, b, c \in \mathbb R

)

다음 세 원소는

\mathfrak h

의 기저를 이룬다.

:

X = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quadY = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quadZ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

이 기저 원소들은 다음 교환 관계를 만족한다.

:

[X, Y] = Z,\quad [X, Z] = 0,\quad [Y, Z] = 0.

"하이젠베르크 군"이라는 이름은 정준 교환 관계와 동일한 형태인 다음 관계에서 유래했다.

:

[\hat x, \hat p] = i\hbar I,\quad [\hat x, i\hbar I] = 0,\quad [\hat p, i\hbar I] = 0,

여기서

\hat x

는 위치 연산자,

\hat p

는 운동량 연산자,

\hbar

는 플랑크 상수이다.

더 일반적인 하이젠베르크 군

H_{2n+1}

은 유클리드 공간의 더 높은 차원, 또는 심플렉틱 벡터 공간에서 정의할 수 있다. 가장 간단한 경우는 임의의 정수

n \geq 1

에 대해 차원이

2n + 1

인 실수 하이젠베르크 군이다.

H_{2n+1}

(또는

H_{2n+1}(\mathbb R)

)은 다음 형태의

(n + 2) \times (n + 2)

행렬의 군으로 정의된다.

:

\begin{bmatrix}1 & \mathbf a & c \\\mathbf 0 & I_n & \mathbf b \\0 & \mathbf 0 & 1\end{bmatrix},

여기서

'''a'''는 길이가 ''n''인 행 벡터
'''b'''는 길이가 ''n''인 열 벡터
''I''_''n''는 크기가 ''n''인 단위 행렬

하이젠베르크 군은 단순 연결된 리 군이며, 그 리 대수는 다음과 같은 행렬로 구성된다.

:

\begin{bmatrix}0 & \mathbf a & c \\0 & 0_n & \mathbf b \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},

여기서,

'''a'''는 길이가 ''n''인 행 벡터
'''b'''는 길이가 ''n''인 열 벡터
0_''n''는 크기가 ''n''인 영행렬

'''R'''^''n''의 표준 기저를 e₁, ..., e_''n''으로 놓고,

:

p_i = \begin{bmatrix}0 & \operatorname{e}_i^\mathrm{T} & 0 \\0 & 0_n & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},\quadq_j = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0_n & \operatorname{e}_j \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},\quadz = \begin{bmatrix}0 & 0  & 1 \\0 & 0_n & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix},

로 설정하면, 관련된 리 대수는 다음과 같은 표준 교환 관계로 특징지을 수 있다.

:

\begin{bmatrix} p_i, q_j \end{bmatrix} = \delta_{ij}z,\quad\begin{bmatrix} p_i, z \end{bmatrix} = 0,\quad\begin{bmatrix}  q_j, z \end{bmatrix} = 0,

여기서, ''p''₁, ..., ''p''_''n'', ''q''₁, ..., ''q''_''n'', ''z''는 대수 생성자이다.

특히, ''z''는 하이젠베르크 리 대수의 ''중심'' 원소이다. 하이젠베르크 군의 리 대수는 멱영이다.

5. 3. 지수 사상

리 대수 $\mathfrak{heis}(2n+1;K)$를 갖는 하이젠베르크 군 $\operatorname{Heis}(2n+1;K)$에서, 리 지수 사상은 다음과 같이 주어진다.

:$\exp\begin{pmatrix}

0&\mathbf a&c\\

0&0_{n\times n}&\mathbf b\\

0&0&0

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1&\mathbf a&c+(\mathbf a\cdot\mathbf b)/2\\

0&I_{n\times n}&\mathbf b\\

0&0&1

\end{pmatrix}$

여기서 $I_{n\times n}$은 $n \times n$ 단위 행렬이다.

더 일반적인 하이젠베르크 군 $H_{2n+1}$은 심플렉틱 벡터 공간에서 정의될 수 있다. $H_{2n+1}$ (또는 실수 $\mathbb R$에 대한 하이젠베르크 군임을 나타내기 위해 $H_{2n+1}(\mathbb R)$)은 다음 형태를 가진 $(n + 2) \times (n + 2)$ 행렬의 군으로 정의된다.

:$\begin{bmatrix}

1 & \mathbf a & c \\

\mathbf 0 & I_n & \mathbf b \\

0 & \mathbf 0 & 1

\end{bmatrix}$

여기서

'''a'''는 길이가 $n$인 행 벡터이다.
'''b'''는 길이가 $n$인 열 벡터이다.
$I_n$는 크기가 $n$인 단위 행렬이다.

다음과 같이 정의하면,

:$u = \begin{bmatrix}

0 & \mathbf a & c \\

0 & 0_n & \mathbf b \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

$u^3 = 0_{n+2}$을 만족한다. 지수 사상은 다음과 같이 계산된다.

:$\exp(u) = I_{n+2} + u + \tfrac{1}{2}u^2 =

\begin{bmatrix}

1 & \mathbf a & c + \frac{1}{2} \mathbf a \cdot \mathbf b \\

0 & I_n & \mathbf b \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

임의의 멱영 리 대수의 지수 사상은 리 대수와 연관된 유일한 연결 단일 연결 리 군 사이의 미분 동형 사상이다.

6. 표현 이론

스톤-폰 노이만 정리에 따라, 하이젠베르크 군 $\operatorname{Heis}(2n+1;\mathbb R)$ 의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간 $\operatorname L^2(\mathbb R^n)$ 위의 표현 $\rho_{\hbar}$ 와 동형이다.

: $\rho_\hbar\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}\colon\psi(x)\mapsto\exp(i(qx+\hbar(t+pq)/2))\psi(x+\hbar p)$

이를 리 대수 $\mathfrak h_{2n+1}$ 에 대하여 표기하면 다음과 같다.

: $P^i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)$

: $Q_i\psi(x)=\mathrm ix_i\psi(x)$

: $C\psi(x)=\mathrm i\hbar\psi(x)$

7. 심플렉틱 벡터 공간 위에서의 하이젠베르크 군

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega \colon V \times V \to K)$ 가 주어졌을 때, $K$ -벡터 공간 $V \oplus K$ 위에 다음과 같은 군 연산을 정의할 수 있다.

: $(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)$

이 연산은 군의 공리를 만족시키며, 항등원은 $(\mathbf0,0)$ , 역원은 $-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)$ 이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' $\operatorname{Heis}(V,\omega;K)$ 라고 한다.^[6]

일반적으로 $V$ 가 명시되지 않은 경우, $n=1$ 인 경우, 즉 $\operatorname{Heis}(1;\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)$ 를 의미한다.

하이젠베르크 군은 임의의 심플렉틱 벡터 공간에서 구성할 수 있다.^[6] 예를 들어, $(V, \omega)$ 를 유한 차원 실수 심플렉틱 벡터 공간(즉, $\omega$ 는 $V$ 위의 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식)이라고 하면, $(V, \omega)$ 위의 하이젠베르크 군 H(''V'')는 집합 $V \times \mathbf{R}$ 에 다음과 같은 연산을 부여한 것이다.

: $(v, t) \cdot \left(v', t'\right) = \left(v + v', t + t' + \frac{1}{2}\omega\left(v, v'\right)\right)$

하이젠베르크 군은 가산군 ''V''의 중심 확장이므로, 다음과 같은 완전 열이 존재한다.

: $0 \to \mathbf{R} \to H(V) \to V \to 0$

모든 심플렉틱 벡터 공간은 $\omega(\mathbf{e}_j, \mathbf{f}^k) = \delta_j^k$ 를 만족하는 다르부 정규 기저 $\{\mathbf{e}_j, \mathbf{f}^k\}_{1 \le j,k \le n}$ 를 갖는다. 여기서 $2n$ 은 $V$ 의 차원이다. 이 기저를 사용하면 모든 벡터는 다음과 같이 분해된다.

: $v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a$

$q^a$ 와 $p_a$ 는 정준 공액 좌표이다.

$\{\mathbf{e}_j, \mathbf{f}^k\}_{1 \le j,k \le n}$ 이 $V$ 의 다르부 기저이고, $\{E\}$ 를 $\mathbf{R}$ 의 기저라고 하면, $\{\mathbf{e}_j, \mathbf{f}^k, E\}_{1 \le j,k \le n}$ 는 $V \times \mathbf{R}$ 에 대한 해당 기저이다. H(''V'')의 벡터는 다음과 같이 주어지고,

: $v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + tE$

군 연산은 다음과 같다.

: $(p, q, t)\cdot\left(p', q', t'\right) = \left(p + p', q + q', t + t' + \frac{1}{2}(pq' - p'q)\right)$

하이젠베르크 군의 기저 다양체가 선형 공간이므로, 리 대수의 벡터는 군의 벡터와 정규적으로 식별될 수 있다. 하이젠베르크 군의 리 대수는 다음과 같은 교환 관계에 의해 주어진다.

: $\begin{bmatrix} (v_1, t_1), (v_2, t_2) \end{bmatrix} = \omega(v_1, v_2)$

다르부 기저를 사용하면 다음과 같이 표현된다.

: $\left[\mathbf{e}_a, \mathbf{f}^b\right] = \delta_a^b$ (다른 모든 교환자는 0)

혼동을 피하기 위해 $t$ 대신 $u$ 를 사용하여 군 연산을 다르게 정의할 수도 있다. 이 경우 벡터는 다음과 같이 주어지고,

: $v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + uE$

군 연산은 다음과 같다.

: $(p, q, u) \cdot \left(p', q', u'\right) = \left(p + p', q + q', u + u' + pq'\right)$

군의 원소 $v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + uE$ 는 다음과 같은 행렬로 표현될 수 있다.

: $\begin{bmatrix}1 & p & u \\0 & I_n & q \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

이는 H(''V'')의 충실한 행렬 표현을 제공한다. 여기서 $u = t + \tfrac{1}{2}pq$ 이다.

상삼각 행렬을 사용하는 군으로의 동형 사상은 ''V''를 다르부 기저로 분해하는 것에 의존하며, 이는 동형 사상 $V \cong U \oplus U^*$ 의 선택과 같다. 새로운 군 연산은 위에 주어진 군과 동형인 군을 생성하지만, 이 연산을 갖는 군은 때때로 '''편광된 하이젠베르크 군'''이라고 불린다. 이는 이 군 연산이 기저의 선택(''V''의 라그랑지 부분 공간의 선택은 편광)에 의존한다는 것을 상기시키기 위함이다.

모든 리 대수에는 유일한 연결된, 단일 연결된 리 군 ''G''가 있다. ''G''와 동일한 리 대수를 갖는 다른 모든 연결된 리 군은 ''G''/''N''의 형태이며, 여기서 ''N''은 ''G''의 중심 이산군이다. H(''V'')의 중심은 $\mathbf{R}$ 이고 유일한 이산 부분군은 $\mathbf{Z}$ 와 동형이다. 따라서 H(''V'')/ $\mathbf{Z}$ 는 이 리 대수를 공유하는 또 다른 리 군이다. 이 리 군은 충실한 유한 차원 표현을 허용하지 않는다. 즉, 어떤 행렬 군과도 동형이 아니다. 그러나 무한 차원 유니타리 표현의 패밀리를 가지고 있다.

8. 바일 대수와의 관계

푸앵카레-비르크호프-위트 정리를 통해 보편 포락 대수 $U(\mathfrak{h}_n)$ 를 결정할 수 있다. 보편 포락 대수는 $\mathfrak{h}_n$ 이 주입적으로 포함되는 결합 대수이다.

푸앵카레-비르크호프-위트 정리에 의해, 이는 단항식에 의해 생성된 자유 벡터 공간이다.

: $z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} ~,$

여기서 지수는 모두 음수가 아니다.

결과적으로, $U(\mathfrak{h}_n)$ 은 실수 다항식으로 구성된다.

: $\sum_{j, \vec{k}, \vec{\ell}} c_{j \vec{k} \vec{\ell}} \,\, z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} ~,$

교환 관계는 다음과 같다.

: $p_k p_\ell = p_\ell p_k, \quad q_k q_\ell = q_\ell q_k, \quad p_k q_\ell - q_\ell p_k = \delta_{k \ell} z, \quad z p_k - p_k z =0, \quad z q_k - q_k z =0~.$

$U(\mathfrak{h}_n)$ 은 $\mathbb{R}^{n}$ 위의 다항식 계수를 갖는 미분 연산자의 대수와 밀접한 관련이 있는데, 그러한 모든 연산자는 다음 형식으로 고유하게 표현되기 때문이다.

: $P=\sum_{\vec{k}, \vec{\ell}} c_{\vec{k} \vec{\ell}} \,\, \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n} ~.$

이 대수를 바일 대수라고 한다. 추상적인 넌센스에 의해 바일 대수 ''W_n''는 $U(\mathfrak{h}_n)$ 의 몫이다. 그러나 이는 위 표현에서 직접 확인하기도 쉬운데, 다음 사상을 통해 확인 가능하다.

: $z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} \, \mapsto \, \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n}~.$

9. 응용

하이젠베르크 군은 양자역학, 등각 장 이론, 푸리에 해석 등 다양한 분야에서 응용된다.

하이젠베르크 군의 유니타리 표현 이론은 꽤 단순하며, 양자 물리학에 도입된 동기가 되었다. 각 0이 아닌 실수 ħ에 대해, 힐베르트 공간 L²(Rⁿ)에서 작용하는 H_2n+1의 기약 유니타리 표현 Π_ħ을 다음과 같이 정의할 수 있다.^[4]

:

이 표현은 슈뢰딩거 표현으로 알려져 있으며, 양자 역학에서 지수화된 위치 연산자와 운동량 연산자의 작용에 대한 동기를 제공한다. 매개변수 a는 위치 공간에서의 변환, b는 운동량 공간에서의 변환, c는 전체 위상 인수를 나타낸다.

슈타인- 폰 노이만 정리에 따르면, 중심이 자명하지 않게 작용하는 하이젠베르크 군의 모든 (강하게 연속적인) 기약 유니타리 표현은 어떤 ħ에 대한 Π_ħ과 동치이다.^[5]

하이젠베르크 군은 R²ⁿ의 1차원 중심 확대이므로, 그 기약 유니타리 표현은 R²ⁿ의 기약 유니타리 사영 표현으로 볼 수 있다.

9. 1. 양자역학에서의 바일 매개변수화

헤르만 바일은 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사가 물리적으로 동등한 이유에 대한 질문을 통해 하이젠베르크 군을 명확하게 인식하게 되었다. 추상적으로 그 이유는 스톤-폰 노이만 정리에 있다.^[4] 이 정리에 따르면, 주어진 중심 리 대수 원소 ''z''의 작용에 대한 유일한 유니타리 표현은 유니타리 동치까지 존재한다. 즉, 대수의 비자명한 원소는 모두 통상적인 위치 및 운동량 연산자와 동치이다.

따라서 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사는 동등하다. 이는 단지 이 본질적으로 유일한 표현을 실현하는 서로 다른 방식일 뿐이다.^[5]

9. 2. 세타 표현

데이비드 검퍼드는 아벨 다양체를 정의하는 방정식 이론에서 이산 하이젠베르크 군에 대한 동일한 유일성 결과를 사용하였다.^[1] 이는 야코비 타원 함수에서 사용된 접근 방식의 대규모 일반화이며, 차수 8의 모듈로 2 하이젠베르크 군의 경우이다.^[1] 가장 간단한 경우는 하이젠베르크 군의 세타 표현이며, 이산적인 경우는 세타 함수를 제공한다.^[1]

9. 3. 푸리에 해석

하이젠베르크 군은 푸리에 해석에서 스톤-폰 노이만 정리의 공식화에 사용된다.^[5] 이 경우, 하이젠베르크 군은 제곱 적분 가능 함수 공간에 작용하는 것으로 이해될 수 있다. 그 결과는 때때로 바일 표현이라고 불리는 하이젠베르크 군의 표현이다.

10. 부분 리만 다양체로서의 하이젠베르크 군

실수에 대한 3차원 하이젠베르크 군 ''H''₃('''R''')은 다양체로 이해될 수 있으며, 특히 부분 리만 다양체의 간단한 예시이다.^[7] '''R'''³의 점 ''p'' = (''x'', ''y'', ''z'')가 주어지면, 이 점에서 다음과 같은 미분 1-형식 Θ를 정의한다.

: $\Theta_p = dz - \frac{1}{2}\left(xdy - ydx\right).$

이 1-형식은 '''R'''³의 코탄젠트 다발에 속한다. 즉,

: $\Theta_p: T_p\mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$

는 접다발에 대한 사상이다. 다음을 정의하자.

: $H_p = \left\{ v \in T_p\mathbf{R}^3 \mid \Theta_p(v) = 0 \right\}.$

''H''가 접다발 T'''R'''³의 부분 다발임을 알 수 있다. ''H''의 공계량은 벡터를 ''x'' 및 ''y'' 방향의 벡터에 의해 생성된 2차원 공간으로 투영하여 주어진다. 즉, T'''R'''³의 벡터 $v = (v_1, v_2, v_3)$ 및 $w = (w_1, w_2, w_3)$ 가 주어지면, 내적은 다음과 같이 주어진다.

: $\langle v, w \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2.$

결과적인 구조는 ''H''를 하이젠베르크 군의 다양체로 바꾼다. 다양체에 대한 정규 직교 프레임은 다음과 같은 리 벡터장으로 주어진다.

: $\begin{align}X &= \frac{\partial}{\partial x} - \frac{1}{2} y\frac{\partial}{\partial z}, \\Y &= \frac{\partial}{\partial y} + \frac{1}{2} x\frac{\partial}{\partial z}, \\Z &= \frac{\partial}{\partial z},\end{align}$

이들은 [''X'', ''Y''] = ''Z'' 및 [''X'', ''Z''] = [''Y'', ''Z''] = 0 관계를 따른다. 이들은 리 벡터장이므로, 군 작용에 대한 좌불변 기저를 형성한다. 다양체의 측지선은 나선형이며, 2차원에서 원으로 투영된다. 즉,

: $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$

가 측지선 곡선이면, 곡선 $c(t) = (x(t), y(t))$ 는 원의 호이며,

: $z(t) = \frac{1}{2}\int_c xdy - ydx$

여기서 적분은 2차원 평면으로 제한된다. 즉, 곡선의 높이는 원호에 의해 서브텐드된 원의 면적에 비례하며, 이는 그린 정리에 의해 따른다.

11. 국소 콤팩트 아벨 군의 하이젠베르크 군

국소 컴팩트 가환군 ''K''에 Haar 측도를 부여하여 하이젠베르크 군을 일반화할 수 있다.^[8] 이러한 군은 ''K''에서 모든 연속적인 $U(1)$ 값의 문자로 구성된 폰트랴긴 쌍대 $\hat{K}$ 를 가지며, 콤팩트-열린 위상을 부여하면 국소 컴팩트 가환군이 된다. 국소 컴팩트 가환군 ''K''와 관련된 하이젠베르크 군은 $L^2(K)$ 의 유니타리 군의 부분군으로, ''K''에서의 변환과 $\hat{K}$ 원소에 의한 곱셈으로 생성된다.

힐베르트 공간 $L^2(K)$ 는 ''K''에서 제곱 적분 가능한 복소수 값 함수 $f$ 로 구성된다. ''K''에서의 변환은 $L^2(K)$ 의 연산자로서 ''K''의 유니타리 표현을 형성한다.

: $(T_x f)(y) = f(x + y)$

여기서 $x, y \in K$ 이다. 문자 곱셈도 마찬가지이다.

: $(M_\chi f)(y) = \chi(y)f(y)$

여기서 $\chi\in\hat{K}$ 이다. 이러한 연산자는 교환되지 않으며, 대신 다음을 만족한다.

: $\left(T_x M_\chi T^{-1}_x M_\chi^{-1}f\right)(y) = \overline{\chi(x)}f(y)$

이는 고정된 단위 모듈러스 복소수의 곱셈이다.

따라서 ''K''와 관련된 하이젠베르크 군 $H(K)$ 는 다음과 같은 군의 완전 시퀀스를 통해 $K\times\hat{K}$ 의 일종의 중심 확대이다.

: $1 \to U(1) \to H(K) \to K\times\hat{K} \to 0.$

더 일반적인 하이젠베르크 군은 코호몰로지 군 $H^2(K, U(1))$ 의 2-코사이클로 설명된다. $K$ 와 $\hat{K}$ 사이의 쌍대성은 정규 코사이클을 발생시키지만, 일반적으로 다른 코사이클도 존재한다.

하이젠베르크 군은 $L^2(K)$ 에서 기약적으로 작용한다. 실제로, 연속적인 문자는 점을 분리하므로^[9] 이러한 문자와 교환하는 $L^2(K)$ 의 임의의 유니타리 연산자는 $L^\infty$ 승수이다. 그러나 변환과 교환하는 것은 승수가 상수임을 의미한다.^[10]

조지 매키가 증명한 스톤-폰 노이만 정리의 한 버전이 하이젠베르크 군 $H(K)$ 에 적용된다.^[11]^[12] 푸리에 변환은 $L^2(K)$ 와 $L^2\left(\hat{K}\right)$ 의 표현 사이의 유일한 상호 작용자이다. 자세한 내용은 스톤-폰 노이만 정리#푸리에 변환과의 관계에서 확인할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Topics in Representation Theory: The Heisenberg Algebra http://www.math.colu[...]
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 간행물 A class of solvable Lie groups and their relation to the canonical formalism http://www.numdam.or[...] 2011-06-05
_[7] 서적 A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91) American Mathematical Society
_[8] 간행물 Tata lectures on theta III Birkhauser
_[9] 간행물 The structure of compact groups: a primer for students, a handbook for the expert Walter de Gruyter
_[10] 간행물 On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis
_[11] 간행물 On a theorem of Stone and von Neumann
_[12] 간행물 An easy proof of the Stone–von Neumann–Mackey theorem

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