극대 원환면

1. 개요

극대 원환면은 연결 콤팩트 리 군 G 내에서 원환면과 미분 동형인 닫힌 부분군 T를 의미하며, 부분 집합 관계에 대해 극대 원소를 갖는다. 모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 가지며, 이들은 서로 켤레 동치이다. 극대 원환면의 차원은 G의 계수와 같으며, 바일 군은 극대 원환면 위에 작용한다. 극대 원환면은 근계를 정의하고 바일 군을 통해 켤레류의 공간과 관련되며, 바일 적분 공식을 통해 G에서의 적분을 T에서의 적분으로 표현할 수 있게 한다. 유니터리 군, 특수 유니터리 군, 특수 직교군, 심플렉틱 군 등 다양한 리 군에서 극대 원환면의 구체적인 형태를 예시로 제시한다.

2. 정의

연결 콤팩트 리 군 $G$가 주어졌을 때, $G$ 속의 원환면 $\backslash mathbb\; T^n$과 미분 동형인 닫힌 부분군
:$T\backslash subseteq\; G$
들의 집합을 생각할 수 있다. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 $G$의 극대 원환면이라고 한다.

3. 성질

연결 콤팩트 리 군 $G$와 그 극대 원환면 $T$에 대해 다음 성질들이 성립한다.

* $G$의 극대 원환면은 극대 가환 부분군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
* 극대 원환면은 리 대수의 극대 가환 부분 대수에 해당하는 리 부분군과 정확히 일치한다. (카르탕 부분대수 참고)
* $G$의 차원이 $n$이고 계수가 $r$이면, $n-r$는 짝수이다.

3.1. 존재와 유일성

모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 $G$의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.

원환면 정리: 만약 T가 G에서 하나의 고정된 극대 원환면이라면, G의 모든 원소는 T의 원소와 켤레이다.

이 정리는 다음과 같은 결과를 갖는다.
* G의 모든 극대 원환면은 켤레이다.
* 모든 극대 원환면은 동일한 차원을 가지며, 이를 G의 계수라고 한다.
* G의 극대 원환면은 극대 가환 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.
* G의 극대 원환면은 $\backslash mathfrak\; g$의 극대 가환 부분 대수에 해당하는 리 부분군과 정확히 일치한다. (cf. 카르탕 부분대수)
* G의 모든 원소는 어떤 극대 원환면에 속해 있다; 따라서, G에 대한 지수 사상은 전사이다.
* 만약 G가 차원 n과 계수 r을 갖는다면, n − r는 짝수이다.

즉, 연결 콤팩트 리 군 $G$의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다. 임의의 두 극대 원환면 $T$, $T\text{'}$이 주어졌으며, $t\backslash in\; T$ 및 $t\text{'}\backslash in\; T\text{'}$에 대하여, $t$로 생성되는 부분군이 $T$의 조밀 집합이며, $t\text{'}$도 $T\text{'}$에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 $gtg^\{-1\}\; =\; t\text{'}$인 $g\backslash in\; G$를 찾을 수 있으므로, $gTg^\{-1\}\; =\; T\text{'}$가 된다.

3.2. 켤레성

연결 콤팩트 리 군 $G$와 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 $g\; \backslash in\; G$는 (임의의) 극대 원환면 $T$의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 $x^\{-1\}gx\; \backslash in\; T$인 $x\backslash in\; G$를 찾을 수 있다.

이는 다음과 같은 결과를 갖는다.

* $G$의 모든 극대 원환면은 켤레이다.
* $G$의 모든 극대 원환면은 동일한 차원을 가지며, 이를 $G$의 계수라고 한다.
* $G$의 모든 원소는 어떤 극대 원환면에 속해 있다.
* 만약 $G$가 차원 $n$과 계수 $r$을 갖는다면, $n-r$는 짝수이다.

3.3. 차원

연결 콤팩트 리 군 $G$의 극대 원환면의 차원은 $G$의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 $\backslash mathfrak\{lie\}(G)$를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합
:$\backslash mathfrak\{lie\}(G)\; =\; \backslash mathfrak\; s\; \backslash oplus\; \backslash mathfrak\; a$
으로 분해하였을 때, $T$의 차원은 $\backslash mathfrak\; a$의 차원과 $\backslash mathfrak\; s$의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.
:$\backslash dim\; T\; =\; \backslash dim\backslash mathfrak\; a\; \backslash oplus\; |\backslash operatorname\; V(\backslash operatorname\{Dynkin\}(\backslash mathfrak\; s))|$

3.4. 바일 군의 작용

연결 콤팩트 리 군 $G$의 극대 원환면 $T$가 주어졌을 때, 그 바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(G,T)\; =\; \backslash operatorname\; N\_G(T)/\backslash operatorname\; C\_G(T)$은 $T$ 위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간 $T\; /\; \backslash operatorname\{Weyl\}(G/T)$은 $G$의 켤레류의 공간과 동형이다.

바일 군에 대한 두 가지 주요 결과는 다음과 같다.

* G에서 T의 중앙화 부분군은 T와 같으므로, 바일 군은 N(T)/T와 같다.
* 바일 군은 관련된 리 대수의 근에 대한 반사에 의해 생성된다. 따라서, T의 바일 군은 G의 리 대수의 근계의 바일 군과 동형이다.

이러한 결과로부터 다음을 얻을 수 있다.

* T의 두 원소는 바일 군의 원소에 의해 켤레일 필요충분조건은 W의 원소에 의해 켤레인 것이다. 즉, G의 각 켤레류는 정확히 하나의 바일 궤도에서 T와 교차한다.
* 바일 군은 T(및 리 대수)에 외부 자기 동형 사상으로 작용한다.
* T의 정규화 부분군의 단위 연결 성분 또한 T와 같다. 따라서 바일 군은 N(T)의 성분 군과 같다.
* 바일 군은 유한하다.

3.5. 기타 성질

극대 원환면은 극대 가환 부분군이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 극대 원환면은 리 대수의 극대 가환 부분 대수에 해당하는 리 부분군과 정확히 일치한다. (카르탕 부분대수 참고) G의 차원이 n이고 계수가 r이면, n - r는 짝수이다.

4. 근계

콤팩트 리 군 G의 극대 원환면 T가 주어지면, 근계를 정의할 수 있다. 근은 T가 G의 복소화된 리 대수에 대한 수반 작용에서의 가중치이다. 좀 더 명확히 말하면, $\backslash mathfrak\; t$를 T의 리 대수, $\backslash mathfrak\; g$를 G의 리 대수, 그리고 $\backslash mathfrak\; g\_\{\backslash mathbb\; C\}:=\backslash mathfrak\; g\backslash oplus\; i\backslash mathfrak\; g$를 $\backslash mathfrak\; g$의 복소화라고 하자. 그러면 $\backslash alpha\backslash neq\; 0$이고, 다음을 만족하는 영이 아닌 $X\backslash in\backslash mathfrak\; g\_\{\backslash mathbb\; C\}$가 존재한다면, $\backslash alpha\backslash in\backslash mathfrak\; t$가 T에 상대적인 G의 근이라고 한다.
:$\backslash mathrm\{Ad\}\_\{e^H\}(X)=e^\{i\backslash langle\backslash alpha,H\backslash rangle\}X$
여기서 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$는 연결된 콤팩트 리 군의 수반 작용에 불변하는 $\backslash mathfrak\; g$에 대한 고정된 내적이다.

근계는 T의 리 대수 $\backslash mathfrak\; t$의 부분 집합으로서, 근이 $\backslash mathfrak\; t$를 span하지 않을 수 있다는 점을 제외하면, 근계의 모든 일반적인 속성을 갖는다. 근계는 G의 분류와 표현론을 이해하는 데 핵심적인 도구이다.

5. 바일 군

Weyl group^영어은 주어진 원환면 T에 대해, T의 정규화 부분군을 T의 중심화 부분군으로 나눈 것이다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

:$W(T,G)\; :=\; N\_G(T)/C\_G(T).$

극대 원환면 $T\; =\; T\_0$를 고정하면, 해당 바일 군을 G의 바일 군이라고 부른다. 바일 군은 관련된 리 대수의 근에 대한 반사에 의해 생성된다.

T의 두 원소가 켤레일 필요충분조건은 바일 군의 원소에 의해 켤레인 것이다. 즉, G의 각 켤레류는 정확히 하나의 바일 궤도에서 T와 교차한다. 바일 군은 T에 외부 자기 동형 사상으로 작용한다.

예를 들어, $G=SU(n)$이고 $T$가 $G$의 대각 부분군인 경우, 바일 군은 $n$개 원소에 대한 순열군이다.

6. 바일 적분 공식

f가 G 상의 연속 함수일 때, 정규화된 하르 측도 dg에 대한 G에서의 f의 적분은 극대 원환면 $T$ 위에서의 적분으로 표현할 수 있다. f가 켤레 불변인 함수 클래스일 경우, 이 공식은 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash displaystyle\{\backslash int\_G\; f(g)\backslash ,\; dg\; =\; |W|^\{-1\}\; \backslash int\_T\; f(t)\; |\backslash Delta(t)|^2\backslash ,\; dt.\}$

여기서 Δ는 바일 분모 공식에 의해 주어지며, $|W|$는 바일 군의 차수이다.

예를 들어 $G=SU(2)$이고, $T$가 대각 부분군인 경우, 함수 클래스에 대한 바일 적분 공식은 다음과 같은 명시적인 형태를 취한다.

:$\backslash displaystyle\{\backslash int\_\{SU(2)\}\; f(g)\backslash ,\; dg\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; f\backslash left(\backslash mathrm\{diag\}\backslash left(e^\{i\backslash theta\},\; e^\{-i\backslash theta\}\backslash right)\backslash right)\backslash ,\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{sin\}^2(\backslash theta)\; \backslash ,\; \backslash frac\{d\backslash theta\}\{2\backslash pi\}.\}$

여기서 $|W|=2$이고, $T$ 상의 정규화된 하르 측도는 $\backslash frac\{d\backslash theta\}\{2\backslash pi\}$이며, $\backslash mathrm\{diag\}\backslash left(e^\{i\backslash theta\},\; e^\{-i\backslash theta\}\backslash right)$는 대각 요소가 $e^\{i\backslash theta\}$ 및 $e^\{-i\backslash theta\}$인 대각 행렬을 나타낸다.

f가 공액 작용 아래에서 불변인 G 위의 연속 함수라면, 바일 적분 공식이 성립한다.

::$\backslash displaystyle\{\backslash int\_G\; f(g)\backslash ,\; dg\; =\; |W|^\{-1\}\; \backslash int\_T\; f(t)\; |\backslash Delta(t)|^2\backslash ,\; dt,\}$

여기서 Δ는 바일 분모 공식에 의해 주어진다.

7. 예

다음은 다양한 콤팩트 리 군에 대한 극대 원환면의 예시이다.

7.1. 유니터리 군

유니터리 군 $\backslash operatorname\; U(n)$의 극대 원환면은 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.
:$T\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash operatorname\{diag\}(\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_1),\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_2),\backslash dotsc,\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_n))\; \backslash colon\; \backslash theta\_1,\backslash theta\_2,\backslash dotsc,\backslash theta\_n\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash right\backslash \}\; \backslash le\; \backslash operatorname\; U(n)$
이때, $T$는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:$T\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash operatorname\{diag\}\backslash left(e^\{i\backslash theta\_1\},e^\{i\backslash theta\_2\},\backslash dots,e^\{i\backslash theta\_n\}\backslash right)\; :\; \backslash forall\; j,\; \backslash theta\_j\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash right\backslash \}.$
T는 n개의 원의 곱과 동형이므로 유니터리 군 U(n)의 계수는 n이다. 특수 유니터리 군 SU(n) ⊂ U(n)의 극대 원환면은 T와 SU(n)의 교집합으로, 차원이 n − 1인 원환면이다.

7.2. 특수 유니터리 군

특수 유니터리 군 $\backslash operatorname\{SU\}(n)$의 극대 원환면은 유니터리 군의 극대 원환면과 $\backslash operatorname\{SU\}(n)$의 교집합이며, 차원이 $n-1$인 원환면이다. 구체적으로, $\backslash operatorname\{SU\}(n)$의 극대 원환면 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

:$T\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash operatorname\{diag\}(\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_1),\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_2),\backslash dotsc,\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta\_\{n-1\}),\backslash exp(-\backslash mathrm\; i(\backslash theta\_1+\backslash theta\_2+\backslash dotsb+\backslash theta\_\{n-1\}))\; \backslash colon\; \backslash theta\_1,\backslash theta\_2,\backslash dotsc,\backslash theta\_\{n-1\}\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash right\backslash \}\; \backslash le\; \backslash operatorname\{SU\}(n)$

7.3. 특수 직교군

특수 직교군 $\backslash operatorname\{SO\}(2n)$의 극대 원환면은 다음과 같이 $2\backslash times\; 2$ 회전 행렬들로 구성된 블록 대각 행렬의 형태로 주어진다.

:$T\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash operatorname\{diag\}(R(\backslash theta\_1),R(\backslash theta\_2),\backslash dotsc,R(\backslash theta\_n))\backslash colon\; \backslash theta\_1,\backslash dotsc,\backslash theta\_n\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash right\backslash \}\; \backslash le\; \backslash operatorname\{SO\}(2n)$

여기서

:$R(\backslash theta)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}

이다.

특수 직교군 $\backslash operatorname\{SO\}(2n+1)$의 극대 원환면은 $\backslash operatorname\{SO\}(2n)$의 극대 원환면에 $1\backslash times\; 1$ 영행렬을 추가한 형태로 주어진다.

:$T\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash operatorname\{diag\}(R(\backslash theta\_1),R(\backslash theta\_2),\backslash dotsc,R(\backslash theta\_n),0\_\{1\backslash times1\})\backslash colon\; \backslash theta\_1,\backslash dotsc,\backslash theta\_n\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash right\backslash \}\; \backslash le\; \backslash operatorname\{SO\}(2n+1)$

이는 작용이 남은 방향을 고정하는 것으로 간주하면 SO(2n+1) 그룹의 극대 원환면이기도 하다. 따라서 SO(2n)과 SO(2n+1)은 모두 계수 n을 갖는다. 예를 들어, 회전군 SO(3)에서 극대 원환면은 어떤 고정된 축을 중심으로 한 회전에 의해 주어진다.

7.4. 심플렉틱 군

심플렉틱 군 Sp(n)의 계수는 n이다. 극대 원환면은 모든 항목이 H의 고정된 복소 부분 대수에 있는 모든 대각 행렬의 집합으로 주어진다.