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콤팩트 리 군

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목차

1. 개요

콤팩트 리 군은 리 군의 한 종류로, 위상 공간으로서 콤팩트 공간인 리 군을 의미한다. 콤팩트 리 군은 유한 개의 연결 성분을 가지며, 실수 리 대수는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합으로 표현된다. 콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도가 존재하며, 드람 코호몰로지, 호모토피 군, 위상 K이론 등 다양한 위상수학적 성질을 갖는다. 모든 콤팩트 리 군은 원환면, 단일 연결 리 군, 유한군의 곱으로 표현되며, 반단순 리 대수의 분류를 통해 콤팩트 리 군을 분류할 수 있다. 초구 중 리 군 구조를 갖는 것은 0차, 1차, 3차 초구 뿐이다. 하인츠 호프는 1941년에 콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리를 증명했다.

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콤팩트 리 군

2. 정의

리 군 G에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.


  • 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
  • 실수 리 대수 \operatorname{Lie}(G)가 특정 조건을 만족시킨다. (자세한 내용은 하위 섹션 '동치 조건' 참고)

2. 1. 동치 조건

리 군 G에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
  • 다음 조건들이 모두 성립한다.
  • * 유한 개의 연결 성분을 가진다.
  • * 그 실수 리 대수 \operatorname{Lie}(G)는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이다.
  • * 이러한 분해 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s에서, 반단순 리 대수 \mathfrak s의 킬링 형식은 음의 정부호이다.
  • * 이러한 분해 \operatorname{Lie}(G)=\mathfrak a\oplus\mathfrak s에서, 아벨 리 대수 \mathfrak a의 임의의 원소 x\in\mathfrak a에 대한 리 지수 사상 \exp(\mathbb Rx)\subseteq G은 닫힌집합이 아니거나 또는 원군과 미분 동형이다.

3. 성질

콤팩트 리 군은 대수적, 해석학적, 위상수학적으로 여러 중요한 성질들을 갖는다.


  • 대수적 성질: 복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.[1] 단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현 수는 그 계수와 같으며, 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다.[1]
  • 해석학적 성질: 콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. 이를 통해 리 대수 코호몰로지를 정의할 수 있다.
  • 위상수학적 성질: 연결 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지는 유한 개의 홀수 차수 생성원들로 생성되는 외대수이다. 콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산할 수 있다. 또한, 보트 주기성으로 정수 계수 호모토피 군을 계산할 수 있다. 단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 위상 K군들로 구성된 환은 기본 표현들로 생성되는 외대수이다.

3. 1. 대수적 성질

복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 이들은 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.[1]

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다.[1] 단일 연결 조건이 생략되면, 그 범피복군의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다.[1] (예를 들어, 스피너는 스핀 군의 표현을 이루지만, 직교군의 표현을 이루지 못한다.)[1] 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.[1]

3. 2. 해석학적 성질

콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. (반면, 일반적인 리 군 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

G는 왼쪽 곱셈

:\mathsf L_g \colon G \to G\qquad(g\in G)

:\mathsf L_g\colon h\mapsto gh

을 통하여 G 위의 미분 형식들의 공간 \Omega(G) 위에 당김으로서 작용하며, 특히 G의 작용에 불변인 부분 공간 \Omega(G)^G을 정의할 수 있다. 이 경우, G-불변 미분 형식들은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있으며, 그 코호몰로지는 G의 드람 코호몰로지와 같다. 또한, G-불변 미분 형식들의 공사슬 복합체는 사실 G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G)만으로 재구성될 수 있는데, 이를 '''리 대수 코호몰로지'''라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로, G의 꼬임 기본군을 무시할 수 있으며, 따라서 이는 G의 리 대수만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상 \Omega(G)^G\hookrightarrow\Omega(G)의 왼쪽 역사상인 다음과 같은 공사슬 사상이 존재한다.

:\operatorname{avg}_G \colon \Omega(G) \to \Omega(G)^G

:\operatorname{avg}_G \colon \alpha \mapsto \int_G\mathsf L^*_g\alpha\, \mathrm d\mu_G(g)

(여기서 \mu_G는 물론 G의 하르 측도이며, \textstyle\int_G\mathrm d\mu_G=1이다.) 즉,

:\operatorname{avg}_G \restriction \Omega(G)^G = \operatorname{id}_{\Omega(G)^G}

이며, 이는 또한 외미분을 보존하며, 또한 이는 코호몰로지의 동형을 유도한다.

3. 3. 위상수학적 성질

연결 콤팩트 리 군 G의 드람 코호몰로지 \operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)는 유한 개의 홀수 차수 생성원들로 생성되는 외대수이다. 생성원의 차수는 G의 계수, 즉 \operatorname{Lie}(G)의 극대 아벨 부분 리 대수의 차원과 같다.

G의 리 대수 \mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)의 카르탕 부분 대수 \mathfrak t\subseteq\mathfrak g를 고르고, 그 리 지수 사상에 대한 닫힌 아벨 부분군을 T\le G라고 하자. \mathfrak g의 바일 군 \operatorname{Weyl}(G)은 \mathfrak t 변수 실수체 계수 다항식환 위에 작용하며, 불변 다항식의 대수 \mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 결합 대수이며, 생성원 수는 G의 계수와 같다. \mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname W(\mathfrak g)}의 생성원의 다항식 차수를 d_1,d_2,\dotsc,d_{\dim_{\mathbb R}\mathfrak t}라고 하면, 다음과 같은 등급 대수의 동형이 존재한다.

:\left(\frac{\mathbb R[\mathfrak t]}{\mathbb R[\mathfrak t]^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}} \right)_{(2)}\cong \operatorname H(G/T;\mathbb R)

여기서

즉, G/T의 실수 계수 코호몰로지는 등급 2d_i들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다. G의 실수 계수 코호몰로지는 등급 2d_i-1의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

3. 3. 1. 호모토피

콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 그 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산할 수 있다. 특히, 모든 단순 리 대수는 킬링 형식을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 단순 리 대수 성분에 대하여 3차 호모토피 군의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 호모토피 군은 보트 주기성으로 계산될 수 있다.

3. 3. 2. 위상 K이론

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군 G의 각 기본 표현 \rho_i \colon G \hookrightarrow \operatorname U(n_i)\subseteq\operatorname U(\infty)은 −1차 위상 K군 \operatorname K^{-1}(G)의 원소를 정의하며, 이를 \beta_i로 표기한다. G의 위상 K군들로 구성된 환 \operatorname K^\bullet(G)은 \beta_i들로 생성되는 외대수이다.

4. 분류

모든 콤팩트 리 군 G는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 갖는다.

:1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1

여기서 G_0은 G의, 1_G\in G를 포함하는 연결 성분인 리 군이며, \pi_0(G)는 G의 연결 성분들로 구성된 이산군이다.

연결 콤팩트 리 군 G_0는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.

:G_0 = \frac{T \times S}\Gamma

여기서


  • T\cong \operatorname U(1)^n은 원환면이다.
  • S는 음의 정부호 킬링 형식을 갖는 반단순 리 대수에 대응되는 단일 연결 리 군이다.
  • \Gamma \le T\times \operatorname Z(S)는 T\times S의 중심에 속하는 유한군이다. 또한, 이 경우 T\cap \Gamma = \{1\}이 되게 잡을 수 있다.


따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 반단순 리 대수의 분류로 귀결되며, 이들은 딘킨 도표로 완전히 분류된다.

4. 1. 초구를 이루는 리 군

초구 가운데 리 군의 구조를 갖출 수 있는 것은 다음 3개뿐이다.

  • \mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2) (2차 순환군)
  • \mathbb S^1 \cong \operatorname U(1) (원군)
  • \mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2) (2차 특수 유니터리 군)


이들은 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수의 절댓값 1의 원소들의 리 군이다.

5. 역사

하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리를 증명하였다.[1] 호프는 이 정리를 증명하기 위하여 호프 대수의 개념을 도입하였다.


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