콤팩트 리 군

1. 개요

콤팩트 리 군은 리 군의 한 종류로, 위상 공간으로서 콤팩트 공간인 리 군을 의미한다. 콤팩트 리 군은 유한 개의 연결 성분을 가지며, 실수 리 대수는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합으로 표현된다. 콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도가 존재하며, 드람 코호몰로지, 호모토피 군, 위상 K이론 등 다양한 위상수학적 성질을 갖는다. 모든 콤팩트 리 군은 원환면, 단일 연결 리 군, 유한군의 곱으로 표현되며, 반단순 리 대수의 분류를 통해 콤팩트 리 군을 분류할 수 있다. 초구 중 리 군 구조를 갖는 것은 0차, 1차, 3차 초구 뿐이다. 하인츠 호프는 1941년에 콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리를 증명했다.

2. 정의

리 군 $G$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
* 실수 리 대수 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)$가 특정 조건을 만족시킨다. (자세한 내용은 하위 섹션 '동치 조건' 참고)

2.1. 동치 조건

리 군 $G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이다.
* 다음 조건들이 모두 성립한다.
유한 개의 연결 성분을 가진다.
그 실수 리 대수 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)$는 아벨 리 대수와 반단순 리 대수의 직합이다.
이러한 분해 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)=\backslash mathfrak\; a\backslash oplus\backslash mathfrak\; s$에서, 반단순 리 대수 $\backslash mathfrak\; s$의 킬링 형식은 음의 정부호이다.
이러한 분해 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)=\backslash mathfrak\; a\backslash oplus\backslash mathfrak\; s$에서, 아벨 리 대수 $\backslash mathfrak\; a$의 임의의 원소 $x\backslash in\backslash mathfrak\; a$에 대한 리 지수 사상 $\backslash exp(\backslash mathbb\; Rx)\backslash subseteq\; G$은 닫힌집합이 아니거나 또는 원군과 미분 동형이다.

3. 성질

콤팩트 리 군은 대수적, 해석학적, 위상수학적으로 여러 중요한 성질들을 갖는다.

* 대수적 성질: 복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다. 단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현 수는 그 계수와 같으며, 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다.
* 해석학적 성질: 콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. 이를 통해 리 대수 코호몰로지를 정의할 수 있다.
* 위상수학적 성질: 연결 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지는 유한 개의 홀수 차수 생성원들로 생성되는 외대수이다. 콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산할 수 있다. 또한, 보트 주기성으로 정수 계수 호모토피 군을 계산할 수 있다. 단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 위상 K군들로 구성된 환은 기본 표현들로 생성되는 외대수이다.

3.1. 대수적 성질

복소다양체를 이루는 콤팩트 리 군은 항상 아벨 군이며, 이들은 복소수체 위의 아벨 대수다양체를 이룬다.

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군의 기본 표현의 수는 그 계수(극대 아벨 부분 리 군의 차원, 또는 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)와 같으며, 그 유한 차원 표현들은 이로부터 분류된다. 단일 연결 조건이 생략되면, 그 범피복군의 표현 가운데 일부는 원래 군의 표현을 이루지 못할 수 있다. (예를 들어, 스피너는 스핀 군의 표현을 이루지만, 직교군의 표현을 이루지 못한다.) 물론, 아벨 성분의 표현론은 자명하다.

3.2. 해석학적 성질

콤팩트 리 군 위에는 양쪽 하르 측도(즉, 오른쪽 및 왼쪽 군의 작용에 대하여 불변인 확률 측도)가 존재한다. (반면, 일반적인 리 군 위에는 왼쪽 또는 오른쪽 하르 측도가 항상 존재하지만 양쪽 하르 측도가 존재하지 못할 수 있다.)

$G$는 왼쪽 곱셈

:$\backslash mathsf\; L\_g\; \backslash colon\; G\; \backslash to\; G\backslash qquad(g\backslash in\; G)$

:$\backslash mathsf\; L\_g\backslash colon\; h\backslash mapsto\; gh$

을 통하여 $G$ 위의 미분 형식들의 공간 $\backslash Omega(G)$ 위에 당김으로서 작용하며, 특히 $G$의 작용에 불변인 부분 공간 $\backslash Omega(G)^G$을 정의할 수 있다. 이 경우, $G$-불변 미분 형식들은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있으며, 그 코호몰로지는 $G$의 드람 코호몰로지와 같다. 또한, $G$-불변 미분 형식들의 공사슬 복합체는 사실 $G$의 리 대수 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)$만으로 재구성될 수 있는데, 이를 리 대수 코호몰로지라고 한다. (실수체 계수의 코호몰로지이므로, $G$의 꼬임 기본군을 무시할 수 있으며, 따라서 이는 $G$의 리 대수만으로 완전히 결정된다.)

사실, 포함 사상 $\backslash Omega(G)^G\backslash hookrightarrow\backslash Omega(G)$의 왼쪽 역사상인 다음과 같은 공사슬 사상이 존재한다.

:$\backslash operatorname\{avg\}\_G\; \backslash colon\; \backslash Omega(G)\; \backslash to\; \backslash Omega(G)^G$

:$\backslash operatorname\{avg\}\_G\; \backslash colon\; \backslash alpha\; \backslash mapsto\; \backslash int\_G\backslash mathsf\; L^*\_g\backslash alpha\backslash ,\; \backslash mathrm\; d\backslash mu\_G(g)$

(여기서 $\backslash mu\_G$는 물론 $G$의 하르 측도이며, $\backslash textstyle\backslash int\_G\backslash mathrm\; d\backslash mu\_G=1$이다.) 즉,

:$\backslash operatorname\{avg\}\_G\; \backslash restriction\; \backslash Omega(G)^G\; =\; \backslash operatorname\{id\}\_\{\backslash Omega(G)^G\}$

이며, 이는 또한 외미분을 보존하며, 또한 이는 코호몰로지의 동형을 유도한다.

3.3. 위상수학적 성질

연결 콤팩트 리 군 $G$의 드람 코호몰로지 $\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(G;\backslash mathbb\; R)$는 유한 개의 홀수 차수 생성원들로 생성되는 외대수이다. 생성원의 차수는 $G$의 계수, 즉 $\backslash operatorname\{Lie\}(G)$의 극대 아벨 부분 리 대수의 차원과 같다.

$G$의 리 대수 $\backslash mathfrak\; g=\backslash operatorname\{Lie\}(G)$의 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\; t\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$를 고르고, 그 리 지수 사상에 대한 닫힌 아벨 부분군을 $T\backslash le\; G$라고 하자. $\backslash mathfrak\; g$의 바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(G)$은 $\backslash mathfrak\; t$ 변수 실수체 계수 다항식환 위에 작용하며, 불변 다항식의 대수 $\backslash mathbb\; R[\backslash mathfrak\; t]^\{\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\}$를 정의할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 결합 대수이며, 생성원 수는 $G$의 계수와 같다. $\backslash mathbb\; R[\backslash mathfrak\; t]^\{\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\}$의 생성원의 다항식 차수를 $d\_1,d\_2,\backslash dotsc,d\_\{\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathfrak\; t\}$라고 하면, 다음과 같은 등급 대수의 동형이 존재한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbb\; R[\backslash mathfrak\; t]\}\{\backslash mathbb\; R[\backslash mathfrak\; t]^\{\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash mathfrak\; g)\}\}\; \backslash right)\_\{(2)\}\backslash cong\; \backslash operatorname\; H(G/T;\backslash mathbb\; R)$

여기서
* $(-)\_\{(2)\}$는 원래 등급 대수에서 각 성분의 등급을 2배로 곱하여 얻는 등급 대수이다. (홀수 등급의 성분은 모두 0)
* $G/T$는 (아벨 군이므로 정규 부분군인) $T$에 대한 몫군이다.

즉, $G/T$의 실수 계수 코호몰로지는 등급 $2d\_i$들의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다. $G$의 실수 계수 코호몰로지는 등급 $2d\_i-1$의 원소들로 생성되는 자유 가환 결합 대수이다.

3.3.1. 호모토피

콤팩트 리 군의 실수 계수 호모토피 군은 그 드람 코호몰로지로부터 유리수 호모토피 이론을 통해 계산할 수 있다. 특히, 모든 단순 리 대수는 킬링 형식을 통해 2차 불변 다항식을 가지므로, 각 단순 리 대수 성분에 대하여 3차 호모토피 군의 생성원이 존재한다.

콤팩트 리 군의 정수 계수 호모토피 군은 보트 주기성으로 계산될 수 있다.

3.3.2. 위상 K이론

단일 연결 반단순 콤팩트 리 군 $G$의 각 기본 표현 $\backslash rho\_i\; \backslash colon\; G\; \backslash hookrightarrow\; \backslash operatorname\; U(n\_i)\backslash subseteq\backslash operatorname\; U(\backslash infty)$은 −1차 위상 K군 $\backslash operatorname\; K^\{-1\}(G)$의 원소를 정의하며, 이를 $\backslash beta\_i$로 표기한다. $G$의 위상 K군들로 구성된 환 $\backslash operatorname\; K^\backslash bullet(G)$은 $\backslash beta\_i$들로 생성되는 외대수이다.

4. 분류

모든 콤팩트 리 군 $G$는 표준적으로 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 갖는다.

:$1\backslash to\; G\_0\; \backslash to\; G\; \backslash to\; \backslash pi\_0(G)\; \backslash to\; 1$

여기서 $G\_0$은 $G$의, $1\_G\backslash in\; G$를 포함하는 연결 성분인 리 군이며, $\backslash pi\_0(G)$는 $G$의 연결 성분들로 구성된 이산군이다.

연결 콤팩트 리 군 $G\_0$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현된다.

:$G\_0\; =\; \backslash frac\{T\; \backslash times\; S\}\backslash Gamma$

여기서
* $T\backslash cong\; \backslash operatorname\; U(1)^n$은 원환면이다.
* $S$는 음의 정부호 킬링 형식을 갖는 반단순 리 대수에 대응되는 단일 연결 리 군이다.
* $\backslash Gamma\; \backslash le\; T\backslash times\; \backslash operatorname\; Z(S)$는 $T\backslash times\; S$의 중심에 속하는 유한군이다. 또한, 이 경우 $T\backslash cap\; \backslash Gamma\; =\; \backslash \{1\backslash \}$이 되게 잡을 수 있다.

따라서, 콤팩트 리 군의 분류는 반단순 리 대수의 분류로 귀결되며, 이들은 딘킨 도표로 완전히 분류된다.

4.1. 초구를 이루는 리 군

초구 가운데 리 군의 구조를 갖출 수 있는 것은 다음 3개뿐이다.

* $\backslash mathbb\; S^0\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$ (2차 순환군)
* $\backslash mathbb\; S^1\; \backslash cong\; \backslash operatorname\; U(1)$ (원군)
* $\backslash mathbb\; S^3\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{SU\}(2)$ (2차 특수 유니터리 군)

이들은 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수의 절댓값 1의 원소들의 리 군이다.

5. 역사

하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 실수 계수 코호몰로지에 대한 정리를 증명하였다. 호프는 이 정리를 증명하기 위하여 호프 대수의 개념을 도입하였다.