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부분 아핀 공간

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목차

1. 개요

부분 아핀 공간은 체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합으로, 특정 조건을 만족하는 경우를 말한다. 부분 아핀 공간 B는 B-a가 V(A)의 부분 벡터 공간이 되는 a∈B가 존재하거나, 임의의 a∈B에 대해 B-a가 V(A)의 부분 벡터 공간이 되는 경우로 정의된다. 부분 아핀 공간은 생성된 부분 공간, 평행, 약한 평행 등의 개념을 가지며, 평행과 약한 평행 사이에는 동치 관계와 부분 순서 관계가 성립한다. 또한, 교차하는 부분 아핀 공간 또는 공집합인 경우 차원 공식이 적용되며, 해석 기하학적으로는 연립 일차 방정식의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 부분 아핀 공간의 예시로는 한원소 집합, 아핀 직선 등이 있으며, 3차원 아핀 공간에서 다양한 형태로 표현될 수 있다.

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부분 아핀 공간

2. 정의

체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합 B\subseteq A에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B를 A의 '''부분 아핀 공간'''이라고 한다.


  • a\in B에 대하여, B-a가 V(A)의 부분 벡터 공간이 되는 a가 존재한다. (여기서 B-a=\{b-a\colon b\in B\}이며, V(-)는 평행 이동의 벡터 공간이다.)
  • 임의의 a\in B에 대하여, B-a는 V(A)의 부분 벡터 공간이다.


부분 아핀 공간 B\subseteq A에 대하여, V(B)=B-a는 a\in B의 선택과 무관하며, 이는 B의 평행 이동들로 구성된다. 또한, 임의의 a\in B에 대하여, B=a+V(B)이다.

벡터 공간의 부분 집합이 '''아핀 부분 공간'''이라는 것은, 주어진 벡터 공간의 벡터와 선형 부분 공간이 존재하여, 주어진 벡터를 선형 부분 공간의 모든 벡터에 더한 형태가 될 때를 말한다. 이때 사용된 벡터를 위치 벡터, 선형 부분 공간을 부수하는 선형 부분 공간이라고 부른다.

1차원 아핀 부분 공간은 직선, 2차원 아핀 부분 공간은 평면이라고 불린다. 또한, 벡터 공간이 n-차원일 때, 차원이 n-1인 아핀 부분 공간은 '''아핀 초평면'''이라고 부른다.

2. 1. 생성된 부분 공간

공집합이 아닌 체 K 위의 아핀 공간 A의 부분 집합 S에 대해, '''S로 생성된 부분 아핀 공간'''(affine subspace spanned by S영어) \operatorname{Aff\,Span}_K(S)는 S를 포함하는 A의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 S를 포함하는 A의 모든 부분 아핀 공간의 교집합과 같다. 또한, 임의의 s\in S에 대하여,

:\operatorname{Aff\,Span}_K(S)=s+\operatorname{Span}_K(S-s)

이다. 여기서 \operatorname{Span}_K(-)는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.

2. 2. 평행

체 K 위의 아핀 공간 A의 두 부분 아핀 공간 B, C에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 B, C를 '''평행'''하다고 하고, B ∥ C로 표기한다.

  • V(B) = V(C)
  • C = B + u인 u ∈ V(A)가 존재한다.

3. 성질

체 ''K'' 위의 아핀 공간 ''A''의 부분 아핀 공간의 평행은 동치 관계를 이루며, 약한 평행은 부분 순서를 이룬다. 평행은 약한 평행을 함의한다.

체 ''K'' 위의 아핀 공간 ''A''의 두 부분 아핀 공간 ''B'', ''C'' ⊆ ''A''가 약하게 평행하면, ''B'' = ''C''이거나 ''B'' ∩ ''C'' = ∅이다. 또한, 임의의 부분 아핀 공간 ''B'' ⊆ ''A'' 및 이에 포함되지 않는 점 ''a'' ∈ ''A'' ∖ ''B''에 대하여, ''a'' ∈ ''B''′이며 ''B'' ∥ ''B''′인 유일한 부분 아핀 공간 ''B''′ ⊆ ''A''가 존재한다. 이는 에우클레이데스의 평행선 공준과 일치한다.

체 ''K'' 위의 아핀 공간 ''A''의 부분 아핀 공간 ''B'', ''C'' ⊆ ''A''에 대하여 다음 공식이 성립한다.

교차 여부공식
B ∩ C = ∅\(\dim\operatorname{Aff\,Span}_K(B\cup C)=\dim(V(B)+V(C))+1\)
B ∩ C ≠ ∅\(\dim\operatorname{Aff\,Span}_K(B\cup C)=\dim(V(B)+V(C))\)



여기서 \(\operatorname{Aff\,Span}_K\)는 아핀 생성(Affine Span)을 의미하며, \(V(B)\)와 \(V(C)\)는 각각 부분 아핀 공간 ''B''와 ''C''에 대응하는 벡터 공간이다.

또한, ''A''와 ''B''가 교차하거나 어느 한쪽이 공집합일 때, 차원 공식은 \(\dim(A \vee B) + \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B)\)이다. ''A''와 ''B''가 모두 비어 있지 않고 교차하지 않을 때, 차원 공식은 \(\dim(A) + \dim(B) = \dim(A \lor B) + \dim(U_A \cap U_B) - 1\)이다. 여기서 \(U_A\), \(U_B\)는 각각 ''A'', ''B''에 부수되는 선형 부분 공간이다. \(''A'' \vee ''B''\)는 ''A''와 ''B''의 아핀 합 공간이다.

임의의 선형 부분 공간은 영벡터를 포함하므로, 아핀 부분 공간이 된다. 아핀 부분 공간이 선형 부분 공간이 되기 위한 필요충분조건은 영벡터를 포함하는 것이다.

3. 1. 해석기하학적 성질

유한 차원 아핀 공간에서, 부분 아핀 공간은 연립 일차 방정식의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 체 \(''K''\) 위의 유한 \(''d''\)차원 아핀 공간 \(''A''\)와 음이 아닌 정수 \(0\le d'\le d\)가 주어졌을 때, 부분 집합 \(''B\subseteq A''\)에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • \(''B''\)는 \(''A''\)의 \(''d'\)차원 부분 아핀 공간이다.
  • 다음을 만족시키는 \(''d-d'\)차원 부분 벡터 공간 \(''V\subseteq\operatorname{Hom}_K(A,K)\)가 존재한다. (여기서 \(\operatorname{Hom}_K(-,K)\)는 아핀 형식들로 구성된 벡터 공간이다.)
  • * \(1\not\in V\)
  • * \(''B=V^\perp\) (여기서 \((-)^{\perp}\)는 직교 여공간이다.)


이에 따라, 직교 여공간은 \(''A''\)의 \(''d'\)차원 부분 아핀 공간들과 상수 함수를 포함하지 않는 \(\operatorname{Hom}_K(A,K)\)의 \(''d-d'\)차원 부분 벡터 공간들 사이의 일대일 대응이며, 후자의 기저를 통해 전자를 연립 일차 방정식의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 즉, \(''V''\)의 기저

:\((f_1,\dots,f_{d-d'})\subseteq V\)

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:\(B=\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_{d-d'}\)

이 경우, 주어진 \(''B''\)의 직교 여공간 \(''V''\)는 유일하나, 이를 해의 공간으로 하는 연립 일차 방정식은 \(''V''\)의 기저의 선택에 의존하므로 유일하지 않다.

4. 예시

주어진 아핀 공간의 0차원 부분 아핀 공간은 한원소 집합들이며, 유한 d차원 아핀 공간의 d차원 부분 아핀 공간은 자기 자신으로 유일하다. 체 K 위의 아핀 공간 A의 두 점 a,b\in A로 생성된 부분 아핀 공간은 a\ne b일 경우 a, b를 지나는 아핀 직선이다.

체 K 위의 3차원 아핀 공간 A의 아핀 기저 (o;e_1,e_2,e_3)이 주어졌다고 하자. A의 2차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.

:\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=0\}

여기서 (a,b,c)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.

:a+Ku+Kv=\{a+\lambda u+\mu v\colon\lambda,\mu\in K\}

여기서 a\in A이며 \{u,v\}\subseteq V(A)는 선형 독립 집합이다. 이 경우 (a;u,v)는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. 1차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.

:\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=a'x+b'y+c'z+d'=0\}

여기서 \{(a,b,c),(a',b',c')\}\subseteq K^3\setminus\{(0,0,0)\}은 선형 독립 집합이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.

:a+Ku=\{a+\lambda u\colon\lambda\in K\}

여기서 a\in A이며 u\in V(A)\setminus\{0\}이다. 이 경우 (a;u)는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다.

3차원 벡터 공간 '''R'''3의 부분 공간 U를 g\colon \vec x= \lambda(0,\,0,\,1)\quad (\lambda \in \mathbb{R})로 주어지는 원점을 지나는 직선이라고 하자. 벡터 \vec{v}를 구체적으로 \vec{v} = (1,\,0,\,0)이라고 하면, 아핀 부분 공간 A = \vec{v} + U는 원점에서 x-축 방향으로 단위 길이만큼 이동한, 방정식 h\colon \vec x= (1,\,0,\,0) + \mu(0,\,0,\,1)\quad (\mu \in \mathbb{R})로 주어지는 직선이다.

이 원점을 지나지 않는 직선은 아핀 부분 공간이지만 (영벡터를 포함하지 않으므로) 선형 부분 공간은 아니다.


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