비틀림 텐서

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 성분 표현
- 2.2. 비틀림 형식
3. 성질
- 3.1. 비안키 항등식
- 3.2. 기약 분해
4. 예
5. 다른 개념과의 관계
6. 응용
참조

1. 개요

비틀림 텐서는 매끄러운 다양체와 그 위의 코쥘 접속에 대해 정의되는 텐서로, 벡터장의 공변 미분을 통해 정의된다. 비틀림 텐서는 접속의 비대칭성을 나타내며, 성분 표현, 비틀림 형식, 그리고 다양한 성질을 갖는다. 특히, 비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 비틀림이 없는 접속은 대칭 접속이라고도 불린다. 비틀림 텐서는 유체역학, 재료 과학, 카르탕 기하학 등 다양한 분야에서 응용된다.

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비틀림 텐서
정의
설명	곡선 주위로 움직이는 프레임의 꼬임 또는 비틀림을 나타내는 방식
수학적 정의
기호	∇
영어 명칭	Torsion tensor

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위에 코쥘 접속 $\nabla$ 가 주어졌을 때, 비틀림 텐서 $T$ 는 다음과 같이 정의되는 (1,2)-텐서장( $\mathrm TM$ 값 이차 형식)이다.^[1]

: $T(X,Y) = \nabla_XY -\nabla_YX - [X,Y]\qquad(X,Y\in\Gamma(\mathrm TM))$

여기서

$X$ , $Y$ 는 $M$ 위의 벡터장이다.
$[X,Y]$ 는 리 미분이다.
$\nabla_XY$ 는 코쥘 접속 $\nabla$ 가 정하는 $Y$ 의 $X$ 방향의 '''공변 미분'''이다.^[15]

라이프니츠 규칙에 의해, 임의의 미분 가능한 함수 ''f''에 대해 ''T''(''fX'', ''Y'') = ''T''(''X'', ''fY'') = ''fT''(''X'', ''Y'')가 성립한다. 따라서 ''T''는 일계 미분 연산자인 접속의 관점에서 정의되었음에도 불구하고 텐서적이며, 공변 미분은 벡터장에 대해서만 정의되지만 접선 벡터에 대한 2-형식을 제공한다.

비틀림 텐서는 2개의 미분의 비가환 정도를 나타내는 양으로 해석할 수 있다.^[19] 매끄러운 임의의 사상

\alpha~:~U \subset \mathbb{R}^2 \to M

에 대해, 리 괄호의 성질에 의해

[\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha]=0

이므로,

\tfrac{\nabla}{\partial x}:=\nabla_{\tfrac{\partial}{\partial x}}

로 두면 다음이 성립한다.

:

T_{\nabla}(\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha,\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha)= \tfrac{\nabla}{\partial x}\tfrac{\partial}{\partial y}\alpha

\tfrac{\nabla}{\partial y}\tfrac{\partial}{\partial x}\alpha

2. 1. 성분 표현

국소 좌표계에서 비틀림 텐서

T^\nu{}_{\mu\rho}

는 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

T^\nu{}_{\mu\rho} = \Gamma^\nu_{\mu\rho} - \Gamma^\nu_{\rho\mu} = 2\Gamma^\nu_{[\mu\rho]}

여기서

\Gamma^\nu_{\mu\rho}

는 코쥘 접속의 성분(크리스토펠 기호)이다.

보다 일반적으로, 임의의 필바인

:

e^\mu_1\,\dotsc,e^\mu_n \in\Gamma(\mathrm TM)

을 잡으면, 비틀림 텐서는 다음과 같이 표현된다.

:

T^c{}_{ab} = \omega^c_{ab} - \omega^c_{ba} - \gamma^c_{ab}

여기서

\omega

는 스핀 접속이며,

\gamma^c_{ab}

는 다음과 같이 정의된다.

:

[e_a,e_b]^\mu = \gamma^c_{ab} e_c^\mu

접선 다발의 단면의 국소 기저를 사용하여 비틀림 텐서

T^c{}_{ab}

의 성분을 유도할 수 있다. , 로 설정하고 교환자 계수 를 도입하면, 비틀림의 성분은 다음과 같다.^[2]

:

T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.

여기서

{\Gamma^k}_{ij}

는 연결을 정의하는 연결 계수이다. 기저가 홀로노믹이면 리 괄호가 사라지고

\gamma^k{}_{ij}=0

이 된다. 따라서

T^k{}_{ij}=2\Gamma^k{}_{[ij]}

이다.

국소 좌표

(x^1,\ldots,x^n)

에서,

:

T_{\nabla}(X,Y)= X^jY^k(\nabla_{\partial_j}\partial_k - \nabla_{\partial_k}\partial_j)= X^jY^k(\Gamma^i{}_{jk} - \Gamma^i{}_{kj})\partial_i

이다 (아인슈타인 표기법으로 표기). 여기서

\partial_i := \tfrac{\partial}{\partial x^i}

이며,

\Gamma^i{}_{jk}

는 크리스토펠 기호이다.

:

\nabla_{\partial_j}\partial_k = \Gamma^i{}_{jk}\partial_i

라고 쓸 때, 다음이 성립한다^[17]^[18]:

:

T^i_{jk}=\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}

2. 2. 비틀림 형식

torsion form^영어은 다양체 ''M''의 틀 다발 F''M''에 적용되는 비틀림의 또 다른 표현이다. 이 주다발은 '''gl'''(''n'') 값을 갖는 1-형식인 접속 형식 ''ω''를 갖추고 있다. 틀 다발은 또한

u

∈ F_x''M''의 틀(선형 함수

u

: '''R'''^''n'' → T_x''M''로 간주)에서 정의된 '''R'''^''n'' 값을 갖는 표준 1-형식 θ를 갖는다.^[3]

:

\theta(X) = u^{-1}(\pi_{*}(X))

여기서

\pi

: F''M'' → ''M''는 주 다발에 대한 투영 사상이고

\pi_{*}

는 그 푸시 포워드이다. 비틀림 형식은 다음과 같다.^[4]

:

\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta.

동등하게, Θ = ''Dθ''이며, 여기서 ''D''는 접속에 의해 결정되는 외미분 공변 미분이다.

비틀림 형식은 '''R'''^''n'' 값을 갖는 (수평) 텐서 형식이며,

g

∈ GL(''n'')의 오른쪽 작용 아래에서 등변적으로 변환된다.

:

R_g^*\Theta = g^{-1}\cdot\Theta

여기서

g^{-1}

는 '''R'''^''n''에 대한 표준 작용에 의해 오른쪽 변에서 작용한다.

비틀림 형식은 접선 다발

(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)

의 특정 프레임으로 작성된 기본 다양체 ''M''의 접속 형식으로 표현될 수 있다. 접속 형식은 이러한 기본 단면의 외 미분 공변 도함수를 표현한다.^[5]

:

D\mathbf{e}_i = \mathbf{e}_j {\omega^j}_i .

(이 프레임과 관련된) 접선 다발에 대한 솔더 형식은 '''e'''_''i''의 쌍대 기저

\theta^i

∈ T^∗''M''이며, 따라서

1 = \theta^i(\mathbf{e}_j) = \delta^i_j

(크로네커 델타)이다. 그러면 비틀림 2-형식은 다음과 같은 성분을 갖는다.

:

\Theta^k = d\theta^k + {\omega^k}_j \wedge \theta^j = {T^k}_{ij} \theta^i \wedge \theta^j.

가장 오른쪽 표현식에서

:

{T^k}_{ij} = \theta^k\left(\nabla_{\mathbf{e}_i}\mathbf{e}_j - \nabla_{\mathbf{e}_j}\mathbf{e}_i - \left[\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j\right]\right)

는 이전 정의에서 주어진 것처럼 비틀림 텐서의 프레임 성분이다.

다른 프레임인

\tilde{\mathbf{e}}_i = \mathbf{e}_j {g^j}_i

의 경우 Θ^''i''가 텐서적으로 변환됨을 쉽게 보일 수 있다.

가역 행렬 값 함수 (

g^j_i

)에 대해

:

\tilde{\Theta}^i = {\left(g^{-1}\right)^i}_j\Theta^j.

다시 말해서, Θ는 유형 (1, 2)의 텐서이다(1개의 반변 지수와 2개의 공변 지수 포함).

또는, 솔더 형식은 쌍대성 동형사상

End(TM) \approx TM \otimes T^*M

하에서 접선 다발의 항등 엔도르피즘에 해당하는 ''M'' 위의 T''M''-값 1-형식 ''θ''로 프레임 독립적인 방식으로 특징지을 수 있다. 그러면 비틀림 2-형식은 다음의 단면이다.

:

\Theta\in\text{Hom}\left({\textstyle\bigwedge}^2 {\rm T}M, {\rm T}M\right)

다음과 같이 주어집니다.

:

\Theta = D\theta ,

여기서 ''D''는 외 미분 공변 도함수이다. (자세한 내용은 접속 형식을 참조.)

외미분 ''d''에 대해,

:

\nabla

를 다양체 ''M''의 접번들 ''TM'' 위의 접속이라고 할 때,

:

\nabla

가 비틀림 없음

\iff

''M'' 위의 임의의 1-형식 ''η''과 ''M'' 위의 임의의 벡터장 ''X'', ''Y''에 대해,

d\eta(X,Y)=\langle \eta,\nabla_XY\rangle - \langle \eta,\nabla_YX\rangle

이다. 즉

\nabla

가 비틀림 없음이라는 것은

\nabla

가 외미분과 "양립"하는 것과 동치이다.

국소 기저

e_1,\ldots,e_n \in TM

에 대해, 꼬임 텐서를

:

T(X,Y)=\tau^i(X,Y)e_i

로 성분 표시하여 얻을 수 있는 2-형식

\tau^i

를 늘어놓아 만들 수 있는 세로 벡터

\tau={}^t(\tau^1,\ldots,\tau^m)

를 기저

(e_1,\ldots,e_m)

에 관한

\nabla

의 '''꼬임 형식''' ()이라고 한다^[24]。

더 나아가 행렬값 1-형식

\omega=(\omega^i{}_j)_{ij}

를

:

\nabla_Xe_j = \omega^i{}_j(X)e_i

로 정의하고,

\omega

를 기저

(e_1,\ldots,e_m)

에 관한

\nabla

의 '''접속 형식'''이라고 하며,

국소적인 기저

e_1,\ldots,e_n \in TM

의 쌍대 기저를

\theta^1,\ldots,\theta^n\in T^*M

이라고 하면 이들은 1형식이다. 이들을 나열한 세로 벡터를

\theta={}^t(\theta^1,\ldots,\theta^n)

이라고 한다. 이때, 아핀 접속은 '''(카르탕의) 제1 구조 방정식'''^[26]()^[27]：

\tau=d\theta + \omega\wedge\theta

을 만족한다.

여기서 쐐기곱

\omega\wedge \theta

는 행렬

\omega(X)

와 벡터

\theta(Y)

의 곱

\omega(X)\theta(Y)

를 사용하여

\omega \wedge \theta(X,Y):=\omega(X)\theta(Y) - \omega(Y)\theta(X)

= (\omega^i{}_j \wedge \theta^j(X,Y))_{i}

로 정의된다.

프레임 번들 위에 비틀림 형식을 정의하기 위해 몇 가지 정의를 도입한다.

F(M)

에는 주접속으로 그 접속 형식

\tilde{\omega}

가

:

\omega_e = e^*(\tilde{\omega})

를 만족하는 것이 유일하게 존재한다.^[32] 여기서

\omega

는 열린 집합

U \subset M

위에 정의된 ''TM''의 기저

e=(e_1,\ldots,e_n)

에 관한

\nabla

의 접속 형식이며,

e^*(\tilde{\omega})

는

e

를

U

에서

F(M)

으로의 사상으로 간주했을 때의

\tilde{\omega}

의 당김이다.

더욱이

F(M)

위에 정의된 벡터값 1-형식

\tilde{\theta}

를

e=(e_1,\ldots,e_n) \in F_P(M)

과

\xi\in T_e F(M)

에 대해,

:

\tilde{\theta}_e(\xi)={}^t(v^1,\ldots,v^n)

where

\pi_*(\xi) = v^ie_i

가 되도록 정의한다.

\tilde{\theta}

를

F(M)

의 '''표준 형식''' ()이라고 한다.^[33]

e=(e_1,\ldots,e_n)

의 쌍대 기저를

\theta = (\theta^1, \ldots,\theta^n)

라고 하면, 정의에 의해 분명히

:

\theta_e = e^*(\tilde{\theta})

이다.

프레임 번들 위의 꼬임 형식

\tilde{\tau}

는 다음과 같이 정의한다^[34]：

:

\tilde{\tau} =d\tilde{\theta} + \tilde{\omega}\wedge\tilde{\theta}

3. 성질

비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 아래 두 지표에 대해 반대칭이다. 즉, $\ TM$ 값의 2차 미분 형식을 이룬다.

: $T^i{}_{jk} = -T^i{}_{kj}$

$n$ 차원 다양체에서 그 성분은 총 $n\times n\times (n-1)/2$ 개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)

비틀림 텐서는 다음을 만족한다.^[16]

$T_{\nabla}(X,Y)=-T_{\nabla}(Y,X)$

국소 좌표

(x^1,\ldots,x^n)

에서 아인슈타인 표기법으로 표기하면 다음과 같다.

:

T_{\nabla}(X,Y)= X^jY^k(\nabla_{\partial_j}\partial_k - \nabla_{\partial_k}\partial_j)= X^jY^k(\Gamma^i{}_{jk} - \Gamma^i{}_{kj})\partial_i

여기서

\partial_i := \tfrac{\partial}{\partial x^i}

이며,

\Gamma^i{}_{jk}

는 크리스토펠 기호이다.

:

\nabla_{\partial_j}\partial_k = \Gamma^i{}_{jk}\partial_i

이로부터 점

P \in M

에서의 비틀림 텐서 값

T_{\nabla}(X,Y)|_P

는 점

P

에서의

X

,

Y

의 값

X_P

,

Y_P

에만 의존하며,

P

이외의 점

Q

에서의 값

X_Q

,

Y_Q

에는 의존하지 않음을 알 수 있다.

따라서,

:

T_{\nabla} \in T^*M \times T^*M \times TM

로 간주할 수 있다.

또한,

:

T_{\nabla}(X,Y)=T^i_{jk}X^jY^k{\partial \over \partial x^i}

라고 쓸 때, 임의의

i

,

j

,

k

에 대해 다음이 성립한다.^[17]^[18]

:

T^i_{jk}=\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}

비틀림 텐서가 항등적으로 0이 되는 접속은 비틀림 없음(torsion-free)이라고 하며, 이 경우

\Gamma^i{}_{jk}

는

j

,

k

에 대해 대칭 텐서가 된다. 이러한 이유로 비틀림 없는 접속을 대칭(symmetric) 접속이라고도 한다.^[17]

외미분

d

에 대해,

\nabla

를 다양체

M

의 접다발

TM

위의 접속이라고 할 때,

\nabla

가 비틀림 없음은

M

위의 임의의 1-형식

\eta

과

M

위의 임의의 벡터장

X

,

Y

에 대해,

d\eta(X,Y)=\langle \eta,\nabla_XY\rangle - \langle \eta,\nabla_YX\rangle

가 성립하는 것과 동치이다. 즉,

\nabla

가 외미분과 "양립"하는 것과 같다.

:

\langle \eta, T_{\nabla}(X,Y)\rangle=\langle \eta, \nabla_XY\rangle

\langle \eta, \nabla_YX\rangle
d\eta(X,Y)

정의에 따라 다음이 성립한다.

$\tau_e=e^*(\tilde{\tau})$
$\Omega_e=e^*(\tilde{\Omega})$

아핀 접속

\nabla

의 꼬임 형식

\tau

와 곡률 형식

\Omega

이 구조 방정식과 비앙키 항등식을 만족하면, 주 접속의 꼬임 형식

\tilde{\tau}

및 곡률 형식

\tilde{\Omega}

도 구조 방정식과 비앙키 항등식을 만족한다.

제1 구조 방정식: $\tilde{\tau}=d\tilde{\theta} + \tilde{\omega}\wedge\tilde{\theta}$
제2 구조 방정식: $\tilde{\Omega} = d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}$

주 다발 위의 공변 외미분

d_{\tilde{\omega}}

를 사용하면, 꼬임 형식과 곡률 형식은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[34]

$\tilde{\tau} =d_{\tilde{\omega}}\tilde{\theta}$
$\tilde{\Omega} =d_{\tilde{\omega}}\tilde{\omega}$

3. 1. 비안키 항등식

아핀 다양체

(M,\nabla)

의 리만 곡률

R

에 대해, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, Bianchi identity^영어)이 성립한다.

:

\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}\left[R(X,Y)Z - T(T(X,Y),Z) - (\nabla_XT)(Y,Z)\right] = 0

:

\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}\left[(\nabla_XR)(Y,Z) + R(T(X,Y),Z)\right] = 0

여기서

\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}[ X \dotso Y \dotso Z] = X \dotso Y \dotso Z + Y \dotso Z \dotso X + Z\dotso X\dotso Y

는

(X,Y,Z)

를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.

\mathfrak{S}

는 ''X'', ''Y'', ''Z''에 대한 순환 순열을 나타낸다. 예를 들어,

:

\mathfrak{S}\left(R\left(X, Y\right)Z\right) := R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y.

다음 항등식이 성립한다.

# '''비앙키의 첫 번째 항등식:'''

#:

\mathfrak{S}\left(R\left(X, Y\right)Z\right) = \mathfrak{S}\left(T\left(T(X, Y), Z\right) + \left(\nabla_XT\right)\left(Y, Z\right)\right)

# '''비앙키의 두 번째 항등식:'''

#:

\mathfrak{S}\left(\left(\nabla_XR\right)\left(Y, Z\right) + R\left(T\left(X, Y\right), Z\right)\right) = 0

곡률 형식은 '''gl'''(''n'') 값의 2-형식이다.

:

\Omega = D\omega = d\omega + \omega \wedge \omega

여기서 ''D''는 외부 공변 미분을 나타낸다. 곡률 형식과 비틀림 형식의 관점에서, 비앙키 항등식은 다음과 같다.^[16]

#

D\Theta = \Omega \wedge \theta

#

D\Omega = 0.

M

위의 벡터장

X_1

,

X_2

,

X_3

에 대해, 다음이 성립한다.

'''비앙키의 제1 항등식'''^[31]： $\sum_{i \in \mathbb{Z}_3} R(X_i,X_{i+1})X_{i+2}=\sum_{i \in \mathbb{Z}_3}T(T(X_i,X_{i+1}),X_{i+2}) + (\nabla_{X_i} T)(X_{i+1},X_{i+2})$
'''비앙키의 제2 항등식'''^[31]： $\sum_{i \in \mathbb{Z}_3} (\nabla_{X_i}R)(X_{i+1},X_{i+2})$

+ R(T(X_i,X_{i+1}),X_{i+2}) = 0

여기서 첨자는 "mod 3"으로 생각한다. 즉, "

\sum_{i \in \mathbb{Z}_3}

"는 순환 합이다.

국소적인 기저

e_1,\ldots,e_n \in TM

의 쌍대 기저를

\theta^1,\ldots,\theta^n\in T^*M

이라 하면, 이들은 1-형식이다. 이들을 나열한 세로 벡터를

\theta={}^t(\theta^1,\ldots,\theta^n)

이라고 한다. 이때, 다음이 성립한다.^[25]

'''(카르탕의) 제1 구조 방정식'''^[26]()^[27]： $\tau=d\theta + \omega\wedge\theta$
'''비앙키의 제1 항등식'''()^[27]： $d\tau = \Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau$

여기서 쐐기곱

\omega\wedge \theta

는 행렬

\omega(X)

와 벡터

\theta(Y)

의 곱

\omega(X)\theta(Y)

를 사용하여

\omega \wedge \theta(X,Y):=\omega(X)\theta(Y) - \omega(Y)\theta(X)

= (\omega^i{}_j \wedge \theta^j(X,Y))_{i}

로 정의된다.

\Omega\wedge \theta

,

\omega \wedge \tau

도 마찬가지로 정의된다.

또한 곡률 형식은 다음을 만족한다.

'''(카르탕의) 제2 구조 방정식'''^[28]()^[29]： $\Omega =d\omega + \omega \wedge \omega$
'''비앙키의 제2 항등식'''()^[30]： $d\Omega =\Omega \wedge \omega - \omega \wedge \Omega$

접속 행렬의 쐐기곱

\omega\wedge \omega

는 행렬곱

\omega\wedge \omega(X,Y)=\omega(X)\omega(Y) - \omega(Y)\omega(X)

=(\omega^i{}_k \wedge \omega^k{}_j(X,Y))_{ij}

이다.

\Omega \wedge \omega

나

\Omega \wedge \Omega

도 마찬가지로 정의한다.

아핀 접속의 꼬임 형식과 곡률 형식이 구조 방정식과 비앙키 항등식을 만족하므로, 주 접속의 꼬임 형식

\tilde{\tau}

및 곡률 형식

\tilde{\Omega}

도 구조 방정식과 비앙키 항등식을 만족한다.

제1 구조 방정식: $\tilde{\tau}=d\tilde{\theta} + \tilde{\omega}\wedge\tilde{\theta}$
비앙키 제1 항등식: $d\tilde{\tau} = \tilde{\Omega} \wedge \tilde{\theta} -\tilde{\omega} \wedge \tilde{\tau}$
제2 구조 방정식: $\tilde{\Omega} = d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}$
비앙키 제2 항등식: $d\tilde{\Omega} =\tilde{\Omega} \wedge \tilde{\omega} - \tilde{\omega} \wedge \tilde{\Omega}$

3. 2. 기약 분해

4. 예

준 리만 다양체 $(M,g)$ 의 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다.

유클리드 공간 $M=\mathbb R^3$ 을 (평평하게) 생각해보자. 이 공간에 평탄하지만 비틀림이 0이 아닌 연결을 두고, 표준 유클리드 프레임 $e_1,e_2,e_3$ 에서 (유클리드) 외적으로 정의한다.

$\nabla_{e_i}e_j = e_i\times e_j.$

이제 원점에서 시작하여 $e_1$ 축을 따라 벡터 $e_2$ 의 평행 이동을 생각해보자. 따라서 평행 벡터장 $X(x)=a(x)e_2+b(x)e_3$ 는 $X(0)=e_2$ 를 만족하고, 미분 방정식

$\begin{array}{rl}0=\dot X &= \nabla_{e_1}X = \dot a e_2 + \dot b e_3 + a e_1\times e_2 + b e_1\times e_3 \\&= (\dot a - b)e_2 + (\dot b + a)e_3.\end{array}$

따라서 $\dot a = b, \dot b = -a$ 이며, 해는 $X = \cos x\,e_2 - \sin x\, e_3$ 이다.

이제 $X$ 벡터의 끝점은 $e_1$ 축을 따라 이동하면서 나선형

$x\,e_1 + \cos x\,e_2 - \sin x\, e_3.$

을 그린다. 따라서 비틀림이 있는 경우 평행 이동은 고전적인 곡선의 미분 기하학에서 비틀림이 하는 역할과 유사하게, 프레임을 움직이는 방향으로 비트는 경향이 있음을 알 수 있다.

5. 다른 개념과의 관계

레비치비타 접속은 비틀림이 없고, 계량과 양립하는 유일한 아핀 접속이다.^[20] 두 아핀 접속이 같은 측지선을 공유하면, 두 접속의 차이는 비틀림 텐서의 차이와 관련된다.^[12]

동일한 아핀 매개변수화된 측지선(즉, 동일한 측지선 분사)을 갖는 두 개의 접속 ∇와 ∇′는 비틀림에 의해서만 다르다.

''X''와 ''Y''가

p \in M

에서의 한 쌍의 접선 벡터라고 할 때,

:

\Delta(X,Y)=\nabla_X\tilde{Y}-\nabla'_X\tilde{Y}

가 ''p''로부터 멀리 떨어진 ''X''와 ''Y''의 임의의 확장을 사용하여 계산된 두 접속의 차이로 정의된다. 라이프니츠 곱 규칙에 의해 Δ가 실제로 ''X''와 ''Y''가 어떻게 확장되는지에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다(따라서 ''M'' 위의 텐서를 정의한다). ''S''와 ''A''를 Δ의 대칭 부분과 교대 부분이라고 하자.

:

S(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)+\Delta(Y,X)\right)

:

A(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)-\Delta(Y,X)\right)

그렇다면

$A(X,Y) = \tfrac12\left(T(X,Y) - T'(X,Y)\right)$ 는 비틀림 텐서의 차이이다.
∇와 ∇′는 $S(X,Y)=0$ 일 때 동일한 아핀 매개변수화된 측지선의 집합을 정의한다.

다시 말해, 두 접속의 차이의 대칭 부분은 동일한 매개변수화된 측지선을 갖는지 여부를 결정하는 반면, 차이의 왜곡 부분은 두 접속의 상대적인 비틀림에 의해 결정된다. 또 다른 결과는 다음과 같다.

임의의 아핀 접속 ∇가 주어지면, 동일한 아핀 매개변수화된 측지선의 집합을 갖는 유일한 비틀림 없는 접속 ∇′가 존재한다. 이 두 접속의 차이는 실제로 꼬임 텐서이다.

이는 일반적인 아핀(아마도 비계량적) 접속에 대한 리만 기하학의 기본 정리의 일반화이다. 매개변수화된 측지선의 집합에 종속된 유일한 비틀림 없는 접속을 선택하는 것은 '''비틀림 흡수'''로 알려져 있으며, 이는 카르탕의 등가 원리의 단계 중 하나이다.

또한 ∇을 아핀 접속이라고 할 때, ∇과 (매개변수를 포함하여) 동일한 측지선^[21]을 정하고, 게다가 비틀림이 없는 아핀 접속이 존재한다.

2개의 접속

\nabla

,

\nabla'

이 동일할 필요충분 조건은,

\nabla

와

\nabla'

은 동일한 측지선을 정하고, 게다가

\nabla

와

\nabla'

의 비틀림 텐서가 동일한 것이다.^[23]

6. 응용

비틀림은 평면이 표면이나 고차원 아핀 다양체를 따라 구를 때 미끄러지거나 비틀리는 정도를 나타낸다.^[6]

예를 들어, 구에 그려진 작은 원을 따라 평면을 구르는 상황을 생각해 보자. 평면이 미끄러지거나 비틀리지 않으면, 평면이 원을 따라 완전히 굴러갈 때 평면에서도 원을 그리게 된다. 이때 평면은 회전하지만(비틀림은 없음), 이는 구의 곡률 때문이다. 그려지는 곡선은 여전히 원이며, 같은 점에서 시작하고 끝나는 닫힌 곡선이다. 반면, 평면이 구를 따라 굴러가면서 미끄러지거나 비틀리면, 평면에서 원이 그리는 경로는 닫히지 않을 수 있는 더 일반적인 곡선이 된다. 비틀림은 평면을 곡선을 따라 굴릴 때 발생하는 추가적인 미끄러짐과 비틀림을 정량화한다.

비틀림 텐서는 공간에서 벡터 ''v''와 ''w''로 주어진 변을 가진 작은 평행사변형 회로를 이용하여 직관적으로 이해할 수 있다. 접선 공간을 평행사변형의 네 변을 따라 굴려 접점을 표시한다. 회로가 완성되면 표시된 곡선은 $T(v,w)$ 벡터만큼 평행사변형의 평면 밖으로 변위된다. 즉, 비틀림 텐서는 두 입력 벡터 ''v''와 ''w''의 (쌍선형) 함수로, 출력 벡터 $T(v,w)$ 를 생성한다. 이는 ''v''와 ''w''에 대해 반대칭인데, 회로를 반대 방향으로 통과하면 원래 변위가 되돌려지기 때문이다. 이는 나사를 반대 방향으로 비틀면 나사가 반대 방향으로 변위되는 것과 유사하다. 비틀림 텐서는 프레네-세레 공식에 나타나는 곡선의 비틀림과 관련이 있지만, 구별된다. 연결의 비틀림은 전개된 곡선의 평면 밖으로의 변위를 측정하는 반면, 곡선의 비틀림은 접촉 평면 밖으로의 변위이다. 표면 기하학에서 ''측지선 비틀림''은 표면이 표면의 곡선을 중심으로 어떻게 비틀리는지를 설명한다. 곡률의 동반 개념은 이동 프레임이 미끄러지거나 비틀리지 않고 곡선을 따라 어떻게 구르는지를 측정한다.

비틀림은 곡선의 전개와 관련하여 해석할 수 있다.^[7] 점 $p\in M$ 을 기점으로 하고 $\gamma(0)=\gamma(1)=p$ 를 만족하는 조각별로 매끄러운 닫힌 루프 $\gamma:[0,1] \to M$ 이 주어졌다고 가정하고, $\gamma$ 가 영(zero)에 호모토픽하다고 가정하면, 이 곡선은 $p$ 에서의 접선 공간으로 전개될 수 있다. $\theta^i$ 를 $\gamma$ 를 따라 평행한 코프레임, $x^i$ 를 $\theta^i(p)$ 에 의해 유도된 $T_pM$ 의 좌표라고 하면, $\gamma$ 의 전개는 미분 방정식 $dx^i = \gamma^*\theta^i.$ 를 만족하는 $T_pM$ 의 곡선 $\tilde\gamma$ 이다. 비틀림이 0이면 전개된 곡선 $\tilde\gamma$ 또한 닫힌 루프가 되지만( $\tilde\gamma(0)=\tilde\gamma(1)$ ), 비틀림이 0이 아니면 전개된 곡선은 닫히지 않을 수 있다( $\tilde\gamma(0)\not=\tilde\gamma(1)$ ). 따라서 비틀림이 있는 루프의 전개는 나사 전위와 유사하게 변위될 수 있다.^[8]

점 $p\in M$ 에서 시작하여 변 $v,w\in T_pM$ 을 갖는 작은 평행사변형을 고려하면, 평행사변형에 대한 접선 이중벡터는 $v\wedge w\in\Lambda^2 T_pM$ 이다. 이 평행사변형의 연결을 사용한 전개는 일반적으로 더 이상 닫히지 않으며, 루프를 돌 때의 변위는 벡터 $\Theta(v,w)$ 만큼의 평행 이동이다. 여기서 $\Theta$ 는 비틀림 텐서이고, $v,w$ 에서 고차 항까지이다. 이 변위는 결정학의 버거스 벡터와 직접적으로 유사하다.^[9]^[10]

일반적으로 곡선 $\tilde\gamma$ 를 따라 이동 틀을 수송할 수 있다. 그러면 틀이 $t=0,t=1$ 사이에서 겪는 "선형" 변환은 연결의 곡률에 의해 결정된다. 틀의 선형 변환과 시작점의 $\tilde\gamma(0)$ 에서 $\tilde\gamma(1)$ 로의 평행 이동을 함께 연결의 홀로노미라고 한다.

6. 1. 유체역학

유체역학에서 비틀림은 자연스럽게 와류선과 연관된다.

3차원에서 접속

D

가 주어지고 곡률 2-형식

\Omega_a^b

과 비틀림 2-형식

\Theta^a = D\theta^a

가 있다고 가정하자.

\eta_{abc}

를 반대칭 레비-치비타 텐서라고 하고, 다음이 성립한다.

t_a = \tfrac12\eta_{abc}\wedge\Omega^{bc},

s_{ab} = -\eta_{abc}\wedge\Theta^c.

그러면 비앙키 항등식은 다음과 같다.

D\Omega^a_b = 0,\quad D\Theta^a = \Omega^a_b\wedge\theta^b.

이는

Dt_a=0

와

Ds_{ab} = \theta_a\wedge t_b - \theta_b\wedge t_a.

를 함축한다.

이들은 모멘트 밀도

s_{ab}

를 갖는 평형 연속 매질이 만족하는 방정식이다.^[11]

6. 2. 재료 과학

탄성 이론에서 비틀림은 덩굴 식물의 성장 모델링 등에 중요한 역할을 한다.^[6] 덩굴 식물은 서로 꼬인 한 쌍의 탄성 필라멘트로 모델링되는데, 에너지 최소화 상태에서는 자연스럽게 나선 형태로 자란다. 그러나 덩굴 식물은 그 범위를 최대화하기 위해 펴질 수도 있다. 이 경우, 덩굴 식물의 비틀림은 필라멘트 쌍의 비틀림(또는 필라멘트를 연결하는 리본의 표면 비틀림)과 관련되며, 덩굴 식물의 길이 최대화(측지선) 구성과 에너지 최소화 구성 간의 차이를 반영한다.

6. 3. 카르탕 기하학

아핀 공간을 모델로 하는 카르탕 기하학에서 비틀림 형식은 곡률의 병진 부분을 나타낸다.^[37]

카르탕 기하학에서, 다양체 M의 각 점에서의 "1차 근사"는 균질 공간 S로 간주될 수 있다. 이때 균질 공간 S를 M의 '''모델 기하학'''이라고 부르며, 어떤 모델 기하학을 선택하느냐에 따라 다양한 카르탕 기하학이 정의될 수 있다.

아핀 공간을 모델로 하는 경우, 비틀림 형식은 다음과 같이 해석된다. 우선 아핀 공간

\mathbb{A}^n

은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbb{A}^n=\mathbb{R}^n \times \{1\} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}

\mathbb{A}^n

에는 '''아핀 동형군'''

:

\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)=\left\{\begin{pmatrix}A & b\\0 & 1\end{pmatrix}\Bigg|A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n\right\}

이 작용하며, 이는 반직접곱

:

\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n) = \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \ltimes \mathbb{R}^n

으로 표기할 수 있다. 여기서

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \subset\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)

는

\mathbb{A}^n

상의 한 점

{}^t(0,1)

을 고정하는 변환이고,

\mathbb{R}^n \subset\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)

의 원소

b \in \mathbb{R}^n

은

\mathbb{A}^n

의 원소를 b만큼 이동시키는 '''병진'''으로 간주할 수 있다.

M의 접번들의 프레임 번들을

F(M)

이라 할 때, 아핀 공간을 모델로 하는 카르탕 기하학에서는 일반적인 주접속의 접속 형식

\tilde{\omega}

대신,

\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)

의 리 대수

:

\mathfrak{iso}(\mathbb{A}^n)=\left\{\begin{pmatrix}A & b\\0 & 0\end{pmatrix}\Bigg|A \in \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n\right\}

에 값을 갖는 접속 형식 ('''카르탕 접속''')

\tilde{\eta}

를 사용한다^[35]. 카르탕 접속은 다음과 같이 성분 표시할 수 있다.

:

\tilde{\eta}=\begin{pmatrix}\tilde{\omega} & \tilde{\theta}\\0 & 0\end{pmatrix}

여기서

\tilde{\omega}

는

\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})

에 값을 가지며, 일반적인 주접속으로 간주할 수 있다. 또한, 카르탕 기하학에서는 각

e \in F(M)

에 대해,

:

v\in T_eF(M) \mapsto \tilde{\eta}(v) \in \mathfrak{iso}(\mathbb{A}^n)

가 전단사가 되도록 요구하는데^[35], 이 조건 하에서

\tilde{\theta}

는 표준 형식과 일치한다^[36].

카르탕 기하학에서 카르탕 접속

\tilde{\eta}

에 "제2 구조 방정식"을 적용하면,

:

\tilde{\Omega}^{\mathrm{Cartan}}:= d\tilde{\eta} + \tilde{\eta} \wedge \tilde{\eta}

를 얻는다. 이를 (카르탕 기하학에서의) '''곡률'''이라 한다^[37]. 성분으로 쓰면,

:

\tilde{\Omega}^{\mathrm{Cartan}}=\begin{pmatrix}d\tilde{\omega} + \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega}& d\tilde{\theta}+\tilde{\omega}\wedge \tilde{\theta}\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde{\Omega} & \tilde{\tau}\\0 & 0\end{pmatrix}

와 같이 (통상적인 접속의 의미에서의) 곡률 형식

\tilde{\Omega}

과 비틀림 형식

\tilde{\tau}

로 쓸 수 있다.

\mathrm{Iso}(\mathbb{A}^n)

의 정의에서 행렬의 오른쪽 위 성분은 병진에 대응하므로, 비틀림 형식

\tilde{\tau}

는 카르탕 기하학 의미에서의 곡률의 병진 부분임을 알 수 있다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 논문 Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay https://arxiv.org/ab[...]
_[7] 서적
_[8] 간행물 Continuous distributions of dislocations: A new application of the methods of non-Riemannian geometry https://royalsociety[...] 1955
_[9] 문서 Torsion
_[10] 논문 Affine development of closed curves in Weitzenböck manifolds and the Burgers vector of dislocation mechanics
_[11] 서적 Comments on the paper by Elie Cartan: Sur une generalisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces a torsion Springer Science & Business Media
_[12] 서적
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서
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_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 문서
_[23] 문서
_[24] 문서
_[25] 문서
_[26] 문서
_[27] 문서
_[28] 문서
_[29] 문서
_[30] 문서
_[31] 문서
_[32] 문서
_[33] 문서
_[34] 문서
_[35] 문서
_[36] 문서 Sharpe 191쪽
_[37] 문서 Sharpe 184쪽

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