사차 함수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 역사
3. 응용
4. 성질
- 4.1. 판별식
5. 해법
참조

1. 개요

사차 함수는 최고차항의 차수가 4인 다항식 함수를 의미하며, 사차 방정식의 해법은 16세기 로도비코 페라리에 의해 발견되었고, 이후 아벨-루피니 정리에 의해 4차 초과 방정식의 대수적 해법은 존재하지 않음이 증명되었다. 사차 함수는 두 원뿔 곡선의 교점 좌표, 광학에서의 알하젠의 문제, 4x4 행렬의 고유값, 4차 선형 미분 방정식 등 다양한 분야에서 응용된다. 사차 함수의 근은 대수적인 표현을 가지며, 판별식을 통해 근의 성질을 파악할 수 있다. 사차 방정식의 해법으로는 페라리의 해법, 데카르트의 해법, 오일러의 해법 등이 있으며, 특수한 경우 복이차 방정식, 준회문 방정식 등은 더 간단한 방법으로 해를 구할 수 있다.

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사차 함수
정의
함수 종류	다항 함수
차수	4
변수	x
일반적인 형태	f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, 여기서 a ≠ 0
특징
그래프 모양	W자형 또는 U자형 (a의 부호에 따라 다름)
극값	최대 3개의 극값을 가질 수 있음
대칭성	짝함수 (우함수) 또는 홀함수 (기함수)일 수 있음 (특수한 경우)
근	최대 4개의 실근 또는 복소근을 가짐
예시
대표적인 사차 함수	f(x) = x⁴
기타 예시	f(x) = 2x⁴ - 3x² + 1, f(x) = x⁴ + x³ - x² + x - 1
활용
방정식 해법	사차 방정식의 해를 구하는 데 사용
곡선 피팅	실험 데이터에 대한 곡선 피팅에 활용
최적화 문제	최적화 문제에서 목적 함수로 사용
추가 정보
관련 용어	이차 함수, 삼차 함수, 오차 함수
참고	사차 함수는 컴퓨터 그래픽스, 물리학 등 다양한 분야에서 응용됨

2. 역사

로도비코 페라리는 1540년에 사차 방정식의 해법을 발견했지만, 이 해법은 삼차 방정식의 해를 필요로 했기 때문에 바로 발표되지 못했다.^[2] 이후 지롤라모 카르다노의 저서 ''아르스 마그나''에 삼차 방정식의 해법과 함께 발표되었다.^[3]

1824년 아벨-루피니 정리를 통해 4차 이상의 방정식에는 일반적인 해법이 없다는 것이 증명되었다. 이후 에바리스트 갈루아의 연구는 갈루아 이론으로 이어졌다.^[4]

2. 1. 초기 역사

로도비코 페라리는 1540년에 사차 방정식의 해법을 발견한 것으로 알려져 있지만, 이 해법은 모든 사차 방정식의 대수적 해법과 마찬가지로 삼차 방정식의 해를 구해야 하므로 즉시 발표될 수 없었다.^[2] 사차 방정식의 해법은 지롤라모 카르다노에 의해 그의 저서 ''아르스 마그나''에 삼차 방정식의 해법과 함께 발표되었다.^[3]

1824년 아벨-루피니 정리에 의해, 일반적인 다항식의 경우 차수가 4차 이상인 방정식에 대해 이러한 해법을 찾을 수 없다는 것이 증명되었으며, 이는 고차 다항식을 풀려는 모든 시도가 헛될 것임을 보여주었다. 1832년 에바리스트 갈루아가 결투에서 사망하기 전에 남긴 노트는 훗날 다항식 근에 대한 완전한 이론인 갈루아 이론으로 이어졌으며, 이 정리도 포함되었다.^[4]

3. 응용

사차 방정식은 여러 분야에서 활용된다. 특히 기하학적 문제 해결에 중요한 역할을 한다.

기하학적 문제:
두 원뿔 곡선의 교점, 직선과 토러스의 교차점 등을 찾는 데 사차 방정식이 사용된다.
사다리 교차 문제^[6]: 두 사다리의 길이, 각 사다리가 기대는 벽, 사다리가 교차하는 높이가 주어졌을 때 벽 사이의 거리를 구하는 문제에도 사차 방정식이 사용된다.
두 타원의 가장 가까운 접근 거리를 찾는 문제도 사차 방정식으로 해결할 수 있다.
구, 원통, 이차 곡면 간의 교차를 찾는 문제 역시 사차 방정식을 통해 해결 가능하다.
두 타원의 교점을 계산하는 과정에도 사차 방정식이 등장한다.

기타:
4×4 행렬의 고유값은 사차 다항식의 근으로, 사차 방정식을 통해 구할 수 있다.
4차 선형 차분 방정식 또는 미분 방정식의 특성 방정식은 사차 방정식의 형태를 띤다. (예: 티모셴코-레일리 이론의 빔 굽힘)^[10]
최적화 문제에서 고차 다항식 함수가 사차 방정식의 형태로 나타나는 경우도 있다.

3. 1. 전산 기하학 및 컴퓨터 그래픽스

두 개의 원뿔 곡선의 교점의 각 좌표는 사차 방정식의 해이다. 이는 직선과 토러스의 교차점에도 해당된다. 따라서 사차 방정식은 전산 기하학, 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 지원 설계(CAD), 컴퓨터 지원 제조(CAM), 광학과 같은 관련 분야에서 자주 발생한다.^[5]

컴퓨터 그래픽스에서는 이차 곡면이나 토러스면에 대한 레이 트레이싱 등에 사차 함수가 나타난다.

컴퓨터 지원 제조(CAM)에서 토러스는 엔드밀 커터의 형상으로 자주 사용된다. 삼각 분할된 곡면에 대한 위치 관계를 계산하려면, ''z'' 축 위에 놓인 수평 토러스의 위치를, 접면을 고정시킨 상태에서 구해야 하며, 이를 위해서는 사차 방정식을 풀어야 한다.^[5] CAM에서의 계산 시간의 10% 이상은 수백만 개의 사차 방정식의 해를 계산하는 데 소비된다.

3. 2. 컴퓨터 지원 제조 (CAM)

컴퓨터 지원 제조(CAM)에서 엔드밀 커터와 관련된 토러스 형상의 위치 계산에는 사차 방정식이 사용된다. 삼각 분할된 곡면에 대한 토러스의 위치 관계를 계산하려면, ''z'' 축 위에 놓인 수평 토러스의 위치를, 접면을 고정시킨 상태에서 구해야 하며, 이를 위해서는 사차 방정식의 해를 구해야 한다.^[5] 컴퓨터 지원 제조(CAM)에서 계산 시간의 10% 이상은 수백만 개의 사차 방정식 해를 계산하는 데 사용된다.

3. 3. 광학

광학에서 알하젠의 문제는 "광원과 구면 거울이 주어졌을 때, 빛이 관찰자의 눈에 반사되는 거울 위의 점을 찾으시오."라는 문제이다. 이 문제는 사차 방정식을 유도한다.^[7]^[8]^[9]

3. 4. 기타 응용

두 개의 원뿔 곡선의 교점의 각 좌표는 사차 방정식의 해이다. 이는 직선과 토러스의 교차점에도 해당된다. 따라서 사차 방정식은 전산 기하학과 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 지원 설계, 컴퓨터 지원 제조, 광학과 같은 관련 분야에서 자주 발생한다.^[5]

컴퓨터 지원 제조에서 토러스는 일반적으로 엔드밀 커터와 관련된 모양이다. 삼각 표면에 대한 위치를 계산하려면 z축에서 고정된 선에 접하는 수평 토러스의 위치를 찾아야 하며, 이를 위해서는 일반적인 사차 방정식의 해를 계산해야 한다.^[5] Graphics Gems Book V에는 사차 방정식에 대한 다양한 해석적 해법을 보여주는 프로그램이 제공되었다.^[20] 컴퓨터 지원 제조(CAM)에서의 계산 시간의 10% 이상은 수백만 개의 사차 방정식의 해를 계산하는 데 소비된다.

타원과 타원체의 가장 가까운 접근 거리#두 타원의 가장 가까운 접근 거리를 찾는 것은 사차 방정식의 해를 구하는 것과 관련이 있다.

4×4 행렬의 고유값은 행렬의 특성 다항식인 사차 다항식의 근이다.

4차 선형 차분 방정식 또는 미분 방정식의 특성 방정식은 사차 방정식이다. 예시로 티모셴코-레일리 이론의 빔 굽힘에서 발생한다.^[10]

구, 원통 또는 기타 이차 곡면 간의 교차는 사차 방정식을 사용하여 찾을 수 있다.

최적화 문제에서 고차 다항식 함수가 나타날 때 사차 방정식이 될 수 있다.

두 개의 타원의 교점을 계산하는 데 사차 방정식이 사용된다.

4. 성질

사차 함수 그래프의 개형은 최고차항 계수의 부호, 중근·삼중근·사중근의 유무, 도함수의 영점 유무, 도함수의 중근·삼중근 유무 등에 따라 분류할 수 있다. 사차 함수의 근은 대수적인 표현을 가지며, 자세한 해법은 사차 방정식 항목에서 확인할 수 있다.

사차 함수는 더 낮은 차수의 다항식으로 인수분해 될 수 있는 경우가 있다. 인수 정리를 통해 영점을 알면 인수분해가 가능하다. 일반적인 사차 함수는 다음과 같이 인수분해 될 수 있다.

: $Q(x) = (x-x_1)(b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0)$

또는

: $Q(x) = (c_2x^2+c_1x+c_0)(d_2x^2+d_1x+d_0).$

이때, Q(x)의 근은 인수들의 근이며, 이는 이차 함수 또는 삼차 함수의 근을 구하는 공식을 사용하여 계산할 수 있다. 사차 방정식의 해법(페라리의 방법, 데카르트의 방법, 오일러의 방법)은 이러한 인수 분해를 찾는 것을 기반으로 한다.

사차 함수 그래프에서 서로 다른 두 변곡점을 각각 F, G라 하고, 변곡 할선 FG와 사차 함수의 교점 중 F보다 G에 더 가까운 점을 H라고 하면, G는 FH를 황금비로 나눈다.^[11]

: $\frac{FG}{GH}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= \varphi \; (\text{황금비}).$

또한, 할선 아래의 할선과 사차 함수 사이 영역의 면적은 할선 위의 할선과 사차 함수 사이 영역의 면적과 같다.

4. 1. 판별식

사차 방정식의 판별식은 근의 중복 여부를 판별하는 데 사용된다. 판별식 ''D''는 결합식을 이용하여 간결하게 표현할 수 있다. 판별식의 부호에 따라 근의 성질이 결정된다.^[12]

일반적인 사차 방정식

:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

에서, 실수 계수를 가지며,

a \ne 0

일 때, 근의 성격은 주로 판별식의 부호에 의해 결정된다.

:

\begin{align}\Delta = {} &256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\&+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e \\&- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2\end{align}

이는 네 개의 다른 다항식의 부호를 고려하여 세분화할 수 있다.

:

P = 8ac - 3b^2

:

\frac{P}{8a^2}

는 관련 축소 사차 방정식의 2차 계수이다.

:

R= b^3+8da^2-4abc,

:

\frac{R}{8a^3}

는 관련 축소 사차 방정식의 1차 계수이다.

:

\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae,

: 사차 방정식이 삼중근을 가질 경우 0이 된다.

:

D = 64 a^3 e - 16 a^2 c^2 + 16 a b^2 c - 16 a^2 bd - 3 b^4

: 사차 방정식이 두 개의 중근을 가질 경우 0이 된다.

근의 성격에 대한 가능한 경우는 다음과 같다.

$\Delta < 0$ 이면 방정식은 두 개의 서로 다른 실근과 두 개의 켤레 복소수 비실근을 갖는다.
$\Delta > 0$ 이면 방정식의 네 근이 모두 실수이거나, 모두 실수가 아니다.
* $P < 0$ 이고 $D < 0$ 이면 네 근 모두 실근이고 서로 다르다.
* $P > 0$ 또는 $D > 0$ 이면 두 쌍의 비실 켤레 복소수 근이 있다.^[13]
$\Delta = 0$ 이면 (그리고 이 경우에만) 다항식은 중복 근을 갖는다. 여기서 발생할 수 있는 다른 경우는 다음과 같다.
* $P < 0$ 이고 $D < 0$ 이고 $\Delta_0 \ne 0$ 이면, 실중근 하나와 두 개의 실 단순근이 있다.
* $D > 0$ 또는 ( $P > 0$ 이고 ( $D \ne 0$ 또는 $R \ne 0$ ))이면, 실중근 하나와 두 개의 켤레 복소수 근이 있다.
* $\Delta_0 = 0$ 이고 $D \ne 0$ 이면, 삼중근 하나와 단순근 하나가 모두 실수이다.
* $D = 0$ 이면, 다음이 성립한다.
** $P < 0$ 이면, 두 개의 실중근이 있다.
** $P > 0$ 이고 $R = 0$ 이면, 두 개의 켤레 복소수 중근이 있다.
** $\Delta_0 = 0$ 이면, 네 근이 모두 $-\frac{b}{4a}$ 와 같다.

중근의 존재를 조사하는 사차식의 판별식은 정의대로 근의 차의 곱의 제곱(에 비에트의 공식을 대입한 것)으로 계산하면 16개의 항을 갖는 꽤 복잡한 식이 된다. 따라서 수치 계산을 할 때에는 간결한 행렬식으로 정리되는 판별식의 결합식에 의한 표현이 유용하다. 즉,

:

Q(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

의 판별식 ''D''는

:

D_Q=-\mathrm{Res}(Q,Q')=-\begin{vmatrix}a  &b  &c  &d  &e  &0  &0 \\0  &a  &b  &c  &d  &e  &0 \\0  &0  &a  &b  &c  &d  &e \\4a &3b &2c &d  &0  &0  &0 \\0  &4a &3b &2c &d  &0  &0 \\0  &0 &4a  &3b &2c &d  &0 \\0  &0 &0   &4a &3b &2c &d\end{vmatrix}

가 된다.

5. 해법

사차 함수의 근은 대수적인 표현을 갖는다. 사차 함수의 근을 구하는 방법은 사차 방정식 항목을 참조하면 된다.

사차 함수가 더 낮은 차수의 다항식으로 인수분해되거나, 변수 변환을 통해 저차 방정식으로 바뀔 수 있다면 이해하기 쉬워진다. 인수 정리에 따르면, 사차 방정식 ''Q''(''x'') = 0의 해를 구하면 인수분해를 할 수 있다. 사차 방정식의 페라리의 해법 등은 분해 방정식이라는 저차 방정식으로 변환하는 방법을 사용한다.^[1]

예를 들어, 사차 준상반 방정식은 다음과 같다.

: $a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0$

이 방정식은 ''x''²으로 양변을 나누고 ''z'' = ''x'' + ''m''/''x''로 변수 변환하면 ''z''에 대한 이차 방정식이 되므로, 이를 풀고 원래대로 되돌리면 인수분해를 할 수 있다.

5. 1. 근의 성질

일반적인 사차 방정식

:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

에서 실수 계수를 가지며,

a \ne 0

일 때, 근의 성격은 주로 판별식의 부호에 의해 결정된다.^[12]

:

\begin{align}\Delta = {} &256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\&+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e \\&- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2\end{align}

이는 다음 네 개의 다항식의 부호를 고려하여 세분화할 수 있다.

$P = 8ac - 3b^2$ : 관련 축소 사차 방정식의 2차 계수이다.
$R= b^3+8da^2-4abc,$ : 관련 축소 사차 방정식의 1차 계수이다.
$\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae,$ : 사차 방정식이 삼중근을 가질 경우 0이 된다.
$D = 64 a^3 e - 16 a^2 c^2 + 16 a b^2 c - 16 a^2 bd - 3 b^4$ : 사차 방정식이 두 개의 중근을 가질 경우 0이 된다.

근의 성격에 대한 가능한 경우는 다음과 같다.^[12]

$\Delta < 0$ 이면 방정식은 두 개의 서로 다른 실근과 두 개의 켤레 복소수 비실근을 갖는다.
$\Delta > 0$ 이면 방정식의 네 근이 모두 실수이거나, 모두 실수가 아니다.
* $P < 0$ 이고 $D < 0$ 이면 네 근 모두 실근이고 서로 다르다.
* $P > 0$ 또는 $D > 0$ 이면 두 쌍의 비실 켤레 복소수 근이 있다.^[13]
$\Delta = 0$ 이면 (그리고 이 경우에만) 다항식은 중복 근을 갖는다. 여기서 발생할 수 있는 다른 경우는 다음과 같다.
* $P < 0$ 이고 $D < 0$ 이고 $\Delta_0 \ne 0$ 이면, 실중근 하나와 두 개의 실 단순근이 있다.
* $D > 0$ 또는 ( $P > 0$ 이고 ( $D \ne 0$ 또는 $R \ne 0$ ))이면, 실중근 하나와 두 개의 켤레 복소수 근이 있다.
* $\Delta_0 = 0$ 이고 $D \ne 0$ 이면, 삼중근 하나와 단순근 하나가 모두 실수이다.
* $D = 0$ 이면, 다음이 성립한다.
** $P < 0$ 이면, 두 개의 실중근이 있다.
** $P > 0$ 이고 $R = 0$ 이면, 두 개의 켤레 복소수 중근이 있다.
** $\Delta_0 = 0$ 이면, 네 근이 모두 $-{b \over 4a}$ 와 같다.

커버되지 않은 것처럼 보이는 몇 가지 경우가 있지만, 실제로 발생할 수 없다. 예를 들어,

\Delta_0 > 0

,

P = 0

,

D \le 0

은 이러한 경우 중 하나가 아니다. 사실, 만약

\Delta_0 > 0

이고

P = 0

이면

D > 0

이며,

16 a^2\Delta_0 = 3D + P^2

이므로 이 조합은 불가능하다.

5. 2. 일반적인 해법

페라리의 해법을 변형하고 이차 방정식 및 삼차 방정식의 해법을 이용하여 일반적인 사차 방정식의 네 근을 구할 수 있다.^[2] 근의 공식은 복잡하지만, 특수한 경우나 다른 방법을 통해 더 간단하게 표현할 수 있다.

일반적인 사차 방정식

:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,

(a ≠ 0)의 네 근 x₁, x₂, x₃, x₄는 다음 공식으로 주어진다.

:

\begin{align}x_{1,2}\ &= -\frac{b}{4a} - S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p + \frac{q}{S}}\\x_{3,4}\ &= -\frac{b}{4a} + S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p - \frac{q}{S}}\end{align}

여기서 p와 q는 연관된 우울한 사차 방정식에서 각각 2차 및 1차의 계수이다.

:

\begin{align}p &= \frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\q &= \frac{b^3 - 4abc + 8a^2d}{8a^3}\end{align}

그리고

:

\begin{align}S &= \frac{1}{2}\sqrt{-\frac23\ p+\frac{1}{3a}\left(Q + \frac{\Delta_0}{Q}\right)}\\Q &= \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}}\end{align}

여기서

:

\begin{align}\Delta_0 &= c^2 - 3bd + 12ae\\\Delta_1 &= 2c^3 - 9bcd + 27b^2 e + 27ad^2 - 72ace\end{align}

:

\Delta_1^2-4\Delta_0^3 = - 27 \Delta\ ,

(

\Delta

는 판별식)

''Q''에 대한 세제곱근 표현식의 경우 복소 평면에서 세 개의 세제곱근 중 임의의 값을 사용할 수 있지만, 그중 하나가 실수이면 자연스럽고 가장 간단한 것을 선택하는 것이 좋다.

5. 3. 특수한 경우

사차 함수가 더 낮은 차수의 다항식으로 인수분해되거나, 적절한 변수 변환을 통해 더 낮은 차수의 방정식으로 변환될 수 있는 경우, 그 성질을 이해하기가 더 쉬워진다.^[1] 인수 정리에 따르면, 방정식 ''Q''(''x'') = 0의 해를 구하면 인수분해를 할 수 있다.^[1] 사차 방정식에서 페라리의 해법 등은 분해 방정식이라고 불리는 더 낮은 차수의 방정식으로 변환하는 방법을 사용한다.^[1]

예를 들어, 다음과 같은 사차 준상반 방정식이 있다고 하자.^[1]

:

a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0

이 방정식은 양변을 ''x''²으로 나누고 변수 변환 ''z'' = ''x'' + ''m''/''x''를 하면, ''z''에 대한 이차 방정식이 된다.^[1] 이 이차 방정식을 풀고 원래 변수로 되돌리면 인수분해를 할 수 있다.^[1]

구체적으로, ''a''₃ = ''a''₁ = 0 이면, 함수

:

Q(x) = a_4x^4+a_2x^2+a_0

는 '''이차 이중 함수'''라고 불리며, 이 함수를 0으로 설정하면 '''이차 이중 방정식'''이 된다.^[1] 이 방정식은 다음과 같이 쉽게 풀 수 있다.^[1]

보조 변수 z^영어 = ''x''²를 도입하면, Q(x)^영어는 z^영어에 대한 이차 함수 q^영어가 된다.^[1]

: q(z)^영어 = ''a''₄''z''² + ''a''₂''z'' + ''a''₀

z₊^영어와 z₋^영어를 q(z)^영어의 근이라고 하면, 사차 함수 Q(x)^영어의 근은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}x_1&=+\sqrt{z_+},\\x_2&=-\sqrt{z_+},\\x_3&=+\sqrt{z_-},\\x_4&=-\sqrt{z_-}.\end{align}

또한, 다음과 같은 형태의 다항식도 있다.^[1]

:

P(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2

이는 거의 회문 다항식이다.^[1] 즉, P(mx)^영어 = x⁴/m²P(m/x)^영어이다. (만약 m^영어 = 1 이라면 회문 다항식이다.)^[1] 변수 z^영어 = ''x'' + ''m''/''x''를 P(x)/x²^영어 = 0 에 대입하면 이차 방정식 a₀z² + a₁z + a₂ − 2ma₀^영어 = 0 이 생성된다.^[1] x² − xz + m^영어 = 0 이므로, 사차 방정식 P(x)^영어 = 0 은 이차 공식을 두 번 적용하여 풀 수 있다.^[1]

일반적으로 사차 방정식을 풀기 위해서는, 다음과 같은 간단한 변수 변환을 통해 사차 방정식을 '''내림차 사차 방정식'''으로 변환하는 것이 더 편리하다.^[1] 이렇게 하면 모든 공식이 더 간단해지고, 일부 방법은 이 경우에만 적용할 수 있다.^[1] 원래 사차 방정식의 근은 변수 변환을 반대로 적용하여 내림차 사차 방정식의 근으로부터 쉽게 구할 수 있다.^[1]

일반적인 사차 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

이 방정식을 a₄^영어로 나누면 다음과 같은 형태의 동치 방정식을 얻는다.^[1]

: x⁴ + bx³ + cx² + dx + e^영어 = 0

여기서 b^영어 = a₃/a₄^영어, c^영어 = a₂/a₄^영어, d^영어 = a₁/a₄^영어, e^영어 = a₀/a₄^영어이다.^[1]

x^영어 대신 y − b/4^영어를 대입하고 항을 재정렬하면, 다음과 같은 방정식을 얻는다.^[1]

: y⁴ + py² + qy + r^영어 = 0

여기서

:

\begin{align}p&={8c-3b^2 \over 8} ={8a_2a_4-3{a_3}^2 \over 8{a_4}^2}\\q&={b^3-4bc+8d \over 8} ={{a_3}^3-4a_2a_3a_4+8a_1{a_4}^2 \over 8{a_4}^3}\\r&={-3b^4+256e-64bd+16b^2c \over 256}={-3{a_3}^4+256a_0{a_4}^3-64a_1a_3{a_4}^2+16a_2{a_3}^2a_4 \over 256{a_4}^4}.\end{align}

만약 y₀^영어이 이 내림차 사차 방정식의 근이라면, y₀ − b/4^영어 (즉, y₀ − a₃/4a₄^영어)는 원래 사차 방정식의 근이며, 원래 사차 방정식의 모든 근은 이 과정을 통해 얻을 수 있다.^[1]

5. 4. 다양한 해법

로도비코 페라리는 1540년에 사차 방정식의 해법을 발견했지만, 이 해법은 삼차 방정식의 해를 구해야 했기 때문에 바로 발표되지 못했다.^[2] 이 해법은 페라리의 스승인 지롤라모 카르다노에 의해 ''아르스 마그나''에 삼차 방정식의 해법과 함께 발표되었다.^[3]

사차 방정식의 해법에는 다음과 같은 다양한 방법들이 있다.

'''페라리의 해법''': 로도비코 페라리가 발견한 방법으로, 분해 삼차 방정식을 이용한다.
'''데카르트의 해법''': 르네 데카르트가 제시한 방법으로, 사차 다항식을 두 이차식의 곱으로 인수분해한다.^[14]
'''오일러의 해법''': 레온하르트 오일러가 제시한 방법으로, 분해 삼차 방정식의 모든 근을 사용한다.^[16]^[17]
'''라그랑주 분해식'''을 이용한 해법: 4개의 원소에 대한 대칭군이 클라인 네 그룹을 정규 부분군으로 갖는다는 점을 이용한다.
'''대수기하학'''을 이용한 해법: 두 이차 곡선의 교점으로 해석하여 해를 구한다.^[18]

일반적으로 4차 이상의 방정식에 대해서는 이러한 해법을 찾을 수 없다는 것이 아벨-루피니 정리에 의해 1824년에 처음 증명되었다.^[4] 1832년 에바리스트 갈루아가 남긴 노트는 다항식 근에 대한 갈루아 이론으로 이어졌다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 Quartic Equation https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[2] MacTutor Lodovico Ferrari
_[3] 서적 Ars magna or The Rules of Algebra https://archive.org/[...] Dover
_[4] 서적 Galois Theory, Third Edition Chapman & Hall/CRC Mathematics
_[5] 웹사이트 DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces, p. 36 http://people.math.g[...]
_[6] 웹사이트 Crossed Ladders Problem https://mathworld.wo[...] 2020-07-27
_[7] MacTutor Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham
_[8] 간행물 Scientific Method, Statistical Method and the Speed of Light 2000-08
_[9] 간행물 Reflections on Reflection in a Spherical Mirror
_[10] 서적 Theory of Vibration: An Introduction https://books.google[...] Springer Science & Business Media 1995-12-08
_[11] 간행물 Notes on Quartic Curves
_[12] 간행물 Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation
_[13] 간행물 Quantifier elimination: Optimal solution for two classical examples
_[14] 서적 The Geometry of Rene Descartes with a facsimile of the first edition Dover Publications
_[15] 간행물 Factoring quartic polynomials: A lost art https://www.maa.org/[...]
_[16] 서적 Algebra Springer-Verlag
_[17] 서적 Elements of Algebra Springer-Verlag
_[18] 간행물 A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial
_[19] 문서 biquadratic function という語は、四次関数の意味でも複二次式の意味でも使われるため紛らわしい。
_[20] URL http://www.acm.org/p[...]
_[21] URL http://www-staff.it.[...]

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