삼중곱

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1. 개요
2. 스칼라 삼중곱
3. 벡터 삼중곱
4. 정의 불가능한 삼중곱
참조

1. 개요

삼중곱은 세 개의 벡터를 연산하는 방식으로, 스칼라 삼중곱과 벡터 삼중곱으로 구분된다. 스칼라 삼중곱은 두 벡터의 외적과 다른 벡터의 내적으로 정의되며, 기하학적으로 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피의 부호를 나타낸다. 벡터 삼중곱은 두 벡터의 외적에 다른 벡터를 외적한 것으로, 라그랑주 공식을 통해 내적과 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 내적의 결과는 스칼라이므로, 스칼라와 벡터 간의 외적 또는 내적은 정의되지 않는다.

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삼중곱
개요
정의	삼중곱은 유클리드 3차원 공간의 벡터에 대한 세 가지 연산을 가리킨다.
종류	스칼라 삼중곱 (a ⋅ (b × c) ) 벡터 삼중곱 (a × (b × c) )
스칼라 삼중곱
다른 이름	혼합곱, 상자곱
정의	스칼라 삼중곱은 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱의 조합으로 정의된다. a ⋅ (b × c)
계산	스칼라 삼중곱은 행렬식으로 계산할 수 있다.
성질	순환적인 치환에 대해 불변 (a ⋅ (b × c) = b ⋅ (c × a) = c ⋅ (a × b) ) 벡터곱의 순서 변경은 부호 반전 (a ⋅ (b × c) = - a ⋅ (c × b) )
기하학적 의미	스칼라 삼중곱의 절댓값은 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피와 같다. (Signed volume)
벡터 삼중곱
정의	벡터 삼중곱은 세 벡터의 벡터곱의 조합으로 정의된다. a × (b × c)
계산	벡터 삼중곱은 다음과 같이 계산할 수 있다. a × (b × c) = (a ⋅ c)b − (a ⋅ b)c
성질	벡터 삼중곱은 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는다. 벡터 삼중곱은 스칼라 삼중곱과 달리 순환적인 치환에 대해 불변하지 않다.

2. 스칼라 삼중곱

'''스칼라 삼중곱'''(scalar triple product^영어)은 세 벡터를 입력받아 의사 스칼라 값을 반환하는 삼항 연산이다. 벡터곱을 먼저 계산하면 스칼라곱이 불가능하기 때문에 보통 다음과 같이 괄호 없이 표기하여도 중의적이지 않다.

: $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$

이는 두 벡터의 외적으로 만들어진 의사 벡터와 나머지 벡터의 내적과 같다.

2. 1. 기하학적 의미

스칼라 삼중곱의 절댓값은 기하학적으로 스칼라 삼중곱의 세 벡터로 정의되는 평행육면체의 부피와 같다.

기하학적으로 스칼라 삼중곱

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})

은 주어진 세 벡터에 의해 정의되는 평행육면체의 (부호가 있는) 부피이다.

스칼라 삼중곱이 0이면 세 벡터는 선형 종속이며, 공면(하나의 평면에 포함됨)이 된다. 스칼라 삼중곱이 0이 아니라면 세 벡터는 선형 독립이다. 부피가 0이라는 것은 평행육면체가 찌그러져 있다는 것을 의미하기 때문이다.

기하학적으로 3-벡터

:

\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}

는 '''''a''''', '''''b''''', '''''c'''''로 만들어진 평행 육면체에 해당하며, 2-벡터 , , 는 평행 육면체의 각 면을 이루는 평행 사변형에 해당한다.

2. 2. 대수적 성질

스칼라 삼중곱은 순환 순열에 대해 불변하며, 두 벡터의 교환에 대해 부호가 반전된다. 즉, 다음이 성립한다.^[1]

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})

:

\begin{align}\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})&= -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b}) \\&= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{c}) \\&= -\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})\end{align}

스칼라 삼중곱은 세 벡터를 행 또는 열로 하는 3x3 행렬의 행렬식으로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \det \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \\\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{bmatrix} .

이는 데카르트 좌표계의 성분으로 쓰면 다음과 같다. (\아인슈타인 표기법 사용)

:

\begin{align}\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) & =a^i ( \mathbf{b}\times \mathbf{c})_i\\ & = a^i (\epsilon_{ijk} b^j c^k)\\ & = \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & b^1 & c^1\\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}\\ & = \begin{vmatrix} a^1 & a^2 & a^3\\ b^1 & b^2 & b^3 \\ c^1 & c^2 & c^3 \end{vmatrix}\end{align}

여기서 ε_ijk는 레비치비타 기호이다.

또한, 스칼라 삼중곱은 외대수에서의 쐐기곱(wedge product)을 사용하여 표현할 수 있다.

:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = *(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge \mathbf{c})

3차원 공간에서의 삼중벡터는 방향이 있는 부피요소이며, 이것의 호지 쌍대로 얻어지는 스칼라의 크기는 삼중벡터의 부피와 같다.

만약 스칼라 삼중곱의 값이 0이면 세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''는 모두 동일 평면 상의 벡터이다.

2. 3. 유사 스칼라

스칼라 삼중곱의 결과는 보통 유사스칼라이다. 만약 좌표계의 방향이 미리 주어지고 고정되면 유사스칼라는 (진짜) 스칼라와 같아진다.

좀 더 정확히 말하면, '''a''' · ('''b''' × '''c''')는

'''a''', '''b''' × '''c'''가 모두 (진짜) 벡터이거나,
둘 모두 유사벡터

일 때만 (진짜) 스칼라이다. 다른 경우, 스칼라 삼중곱의 결과는 유사스칼라이다.

스칼라 삼중곱은 평행육면체의 부피를 나타내지만, 이는 부호가 있는 부피이며, 부호는 프레임의 방향 또는 벡터의 순열의 패리티에 따라 달라진다. 즉, 방향이 반전되면, 예를 들어 패리티 변환에 의해, 곱이 음수가 되므로, 방향이 바뀔 수 있다면 더 정확하게는 유사 스칼라로 묘사된다.

이는 또한 외적의 오른손 법칙과 관련이 있다. 외적은 패리티 변환 하에서 유사 벡터로 변환되므로, 유사 벡터로 정확하게 묘사된다. 두 벡터의 내적은 스칼라이지만, 유사 벡터와 벡터의 내적은 유사 스칼라이므로, (벡터의) 스칼라 삼중곱은 유사 스칼라 값을 가져야 한다.

만약 '''T'''가 회전 행렬이라면,

:

\mathbf{Ta} \cdot (\mathbf{Tb} \times \mathbf{Tc}) =\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}),

하지만 만약 '''T'''가 부정 회전이라면,

:

\mathbf{Ta} \cdot (\mathbf{Tb} \times \mathbf{Tc}) = -\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}).

스칼라 삼중곱은 평행육면체의 유향 부피를 제공하지만, 유향 부피는 거울 변환에 대해 부호를 바꾼다. 따라서 스칼라 삼중곱의 값은 스칼라가 아닌 유사 스칼라이다.

스칼라 삼중곱이 양수가 되는 표준 틀 (순서가 지정된 기저) 또는 이로부터 생성되는 좌표계를 오른손 좌표계라고 부르며, 음수가 되는 표준 틀을 왼손 좌표계라고 부른다. 각 계는 거울 변환을 포함하지 않는 직교 변환으로는 서로 이동할 수 없다.

2. 4. 그라스만 기호

스칼라 삼중곱은

\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\equiv[\mathbf a\mathbf b\mathbf c]

와 같이 쓰기도 한다. 이를 '''그라스만 기호'''라 한다.^[10] 이는 독일의 수학자 헤르만 그라스만(Hermann Graßmann^de)의 이름을 딴 것이다.

3. 벡터 삼중곱

'''벡터 삼중곱'''(vector triple product^영어)은 두 벡터의 벡터곱에 다시 다른 벡터와 벡터곱을 한 것이다.

: $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$

벡터 삼중곱은 한 벡터와 다른 두 벡터의 외적의 외적으로 정의되며, 다음과 같은 관계가 성립한다.^[2]^[3]

: $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}$

이는 '''삼중곱 전개''' 또는 '''라그랑주 공식'''이라고 알려져 있다. 우변은 "ACB − ABC"라는 니모닉을 사용하여 기억할 수 있다. 외적은 반가환적이므로 다음과 같이 쓸 수도 있다.

: $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}$

벡터 삼중곱은 다음의 야코비 항등식을 만족한다.

: $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{0}$

이러한 공식들은 물리학에서 벡터 계산을 단순화하는 데 매우 유용하다.^[4]

3. 1. 벡터 삼중곱의 전개 (라그랑주 공식)

벡터 삼중곱은 라그랑주 공식(또는 BAC-CAB 법칙)을 사용하여 내적과 벡터의 선형 결합으로 전개할 수 있다.^[11]^[12]

:

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})

:

(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = - \mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} +(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) \mathbf{b}

위의 첫 번째 공식은 흔히 '''삼중곱 전개''', '''라그랑주 공식''',^[1] '''BAC-CAB 규칙'''(BAC-CAB rule^영어)^[2]이라고 불린다. 우변은 어떤 벡터가 점곱되는지 염두에 두면 니모닉 "ACB − ABC"를 사용하여 기억할 수 있다. 일부 교과서는 항등식을

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})

로 써서, "back of the cab"와 같이 더 친숙한 니모닉 "BAC − CAB"를 얻는다.

외적은 반가환적이므로 이 공식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}

그래디언트가 들어간 삼중곱과 관계된 항등식은 벡터 미적분학과 여러 물리학 분야에서 유용하게 쓰인다.^[4]

:

\begin{align}\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})& {}= \nabla      (\nabla \cdot  \mathbf{f} )

(\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\

& {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} )

\mbox{laplacian } \mathbf{f}.

\end{align}

이 식은 라플라스-드 람 연산자

\Delta = d \delta + \delta d

의 특별한 경우로 볼 수도 있다.

3. 2. 야코비 항등식

벡터 삼중곱은 다음의 야코비 항등식을 만족한다.^[9]

:

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) =  \mathbf{0}

이는 외적에 대한 야코비 항등식이다.

3. 3. 벡터 미적분학에서의 응용

벡터 삼중곱을 통해 유도되는 항등식은 벡터 미적분학에서 유용하게 사용된다.^[4]

:

\begin{align}\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})& {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f}) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\& {}= \mbox{grad } (\mbox{div } \mathbf{f}) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}.\end{align}

이 공식은 라플라스-드 람 연산자

\Delta = d \delta + \delta d

의 특수한 경우로 볼 수 있다.

4. 정의 불가능한 삼중곱

내적의 결과는 스칼라이므로, 스칼라와 벡터 간의 외적 또는 내적은 정의되지 않는다. 따라서 a × (b ⋅ c) 및 a ⋅ (b ⋅ c)는 정의되지 않는다.^[1]

참조

_[1] 서적 Introduction to Mathematical Physics: Methods & Concepts https://books.google[...] Oxford University Press
_[2] 서적 Oeuvres
_[3] 서적 Encyclopedic dictionary of mathematics MIT Press
_[4] 서적 Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists https://books.google[...] Routledge
_[5] 서적 Mathematical Methods in Science and Engineering American Elsevier Publishing Company, Inc
_[6] 서적 Clifford algebras and spinors Cambridge University Press
_[7] 웹사이트 Geometric Algebra of One and Many Multivector Variables http://www.helsinki.[...]
_[8] 웹사이트 Permutation Tensor http://mathworld.wol[...] Wolfram 2014-05-21
_[9] 서적 Encyclopedic dictionary of mathematics https://books.google[...] MIT Press
_[10] 서적 미분기하학개론 경문사
_[11] 서적 Encyclopedic Dictionary of Mathematics MIT Press
_[12] 서적 Foundations of Electromagnetic Theory Pearson Education, Inc, Benjamin Cummings

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