시작 대상과 끝 대상

3. 성질

시작 대상과 끝 대상은 주어진 범주에 존재하지 않을 수도 있지만, 존재한다면 유일하다(동형 사상 아래에서). 완비 범주의 경우, 시작 대상에 대한 존재 정리가 있다. 구체적으로, 국소적으로 작은 완비 범주에서 시작 대상이 존재한다는 것은, 집합과 그 집합으로 인덱싱된 대상의 족이 존재하여, 범주의 임의의 대상에 대해 적어도 하나의 사상이 존재하는 것과 동치이다.

시작 대상과 끝 대상은 극한과 쌍대극한, 보편 사상, 수반 함자 등 다른 범주론적 구성과 관련이 있다. 예를 들어, 시작 대상은 빈 도형의 쌍대극한이며, 보편 사상과 관련하여서는 콤마 범주에서 시작 대상으로 정의될 수 있다.

영 대상을 갖는 범주에서, 모든 대상 쌍 사이에는 유일한 영 사상이 존재한다. 모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

3. 1. 동치인 정의

3. 2. 다른 범주론적 구성과의 관계

• 대상 ''X''에서 함자 ''U''로의 보편 사상은 콤마 범주 (''X'' ↓ ''U'')에서 시작 대상으로 정의될 수 있다. 이중적으로, ''U''에서 ''X''로의 보편 사상은 (''U'' ↓ ''X'')에서 끝 대상이다.
• 도형 ''F''의 극한은 ''F''로의 원뿔 범주 Cone(''F'')에서 끝 대상이다. 이중적으로, ''F''의 여극한은 ''F''에서 나오는 원뿔의 범주에서 시작 대상이다.
• '''Set'''으로의 함자의 표현 ''F''는 ''F''의 원소 범주에서 시작 대상이다.
• 끝 함자 (각각, 시작 함자)의 개념은 끝 대상 (각각, 시작 대상)의 개념의 일반화이다.

3. 3. 기타 성질

4. 예

집합의 범주 $\backslash operatorname\{Set\}$에서 시작 대상은 공집합 $\backslash varnothing$이고, 끝 대상은 한원소 집합 $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$이다. 위상 공간의 범주 $\backslash operatorname\{Top\}$에서 시작 대상은 공공간 $\backslash varnothing$이고, 끝 대상은 한원소 공간 $\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$이다. 뾰족한 집합의 범주에서 모든 단일 집합은 영 대상이다.

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군의 범주 $\backslash operatorname\{Grp\}$와 아벨 군의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$에서 자명군은 영 대상이다. (단위원을 갖는) 환의 범주에서 시작 대상은 정수환 $\backslash mathbb\; Z$이고, 끝 대상은 자명환 0이다. 체의 범주 $\backslash operatorname\{Field\}$에서는 시작 대상과 끝 대상이 모두 존재하지 않는다. 범주로 간주한 부분 순서 집합에서 시작 대상은 최소 원소, 끝 대상은 최대 원소이다. 작은 범주의 범주 $\backslash operatorname\{Cat\}$에서 시작 대상은 공범주 $0$이고, 끝 대상은 하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 $\backslash mathbf1$이다. 스키마 범주에서, 정수 링의 소 스펙트럼 Spec('''Z''')은 터미널 대상이고, 영 링의 소 스펙트럼과 동일한 빈 스키마는 초기 대상이다. 그래프의 범주에서, 정점도 변도 포함하지 않는 공 그래프는 시작 대상이다.