쌍대 가군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 체의 경우
- 2.2. 가군층의 경우
3. 성질
- 3.1. 유한 차원 벡터 공간
- 3.2. 무한 차원 벡터 공간
4. 이중 쌍대 가군
참조

1. 개요

쌍대 가군은 환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대해 정의되는 R-오른쪽 가군 M∨R이며, M에서 R로의 왼쪽 선형 변환들로 구성된다. 체의 경우, 쌍대 가군은 벡터 공간의 쌍대 공간으로, 유한 차원 벡터 공간에서는 원래 공간과 차원이 같고 동형이지만, 무한 차원 벡터 공간에서는 차원이 더 작다. 쌍대 가군의 개념은 가군층으로 일반화될 수 있으며, 이중 쌍대 가군은 M의 쌍대 가군의 쌍대 가군 M^{**}를 의미하며, 자연 사상을 통해 원래 가군 M과 연관된다.

더 읽어볼만한 페이지

쌍대성이론 - 파동-입자 이중성
파동-입자 이중성은 모든 물질이 파동과 입자의 성질을 동시에 갖는 양자역학적 현상으로, 빛의 본성에 대한 오랜 논쟁 끝에 아인슈타인의 광전효과와 드 브로이의 물질파 이론, 이중 슬릿 실험 등을 통해 실험적으로 확인되었으며, 양자역학 해석의 핵심 주제이다.
쌍대성이론 - 드 모르간의 법칙
드 모르간의 법칙은 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 부울 대수 등에서 결합 또는 분리의 부정을 각 요소의 부정의 분리 또는 결합으로 표현하는 논리적 원리이다.
가군론 - 자유 가군
자유 가군은 곱셈 항등원을 갖는 환 위의 가군으로, 기저를 가지며 기저 원소의 선형 결합으로 가군의 모든 원소를 유일하게 나타낼 수 있다.
가군론 - 쌍가군
쌍가군은 두 환 R과 S에 대해 정의되는 대수적 구조로, 아벨 군 M에 R의 왼쪽 가군 구조와 S의 오른쪽 가군 구조가 호환되도록 결합되며, 텐서곱, 준동형 사상 등 다양한 성질을 갖는다.
선형대수학 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
선형대수학 - 선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.

쌍대 가군

2. 정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 '''쌍대 가군'''(雙對加群, dual module^영어) $M^\vee_R$ 은 $_RM$ 에서 $_RR$ 로 가는 모든 $R$ -왼쪽 선형 변환들의 집합으로 정의되며, 다음과 같은 자연스러운 $R$ -오른쪽 가군 구조를 가진다.

: $M^\vee_R = \hom(_RM, _RR)$

여기서 $\hom(_RM, _RR)$ 은 $_RM$ 에서 $_RR$ 로 가는 모든 $R$ -왼쪽 선형 변환(즉, $f(rm) = rf(m)$ 을 만족하는 함수 $f: M \to R$ )의 집합을 나타낸다.

쌍대 가군 $M^\vee_R$ 의 원소는 왼쪽 $R$ -선형 변환 $f: M \to R$ 들이며, 이 집합 위에는 다음과 같이 덧셈과 오른쪽 스칼라 곱 연산이 정의되어 $R$ -오른쪽 가군을 이룬다.

덧셈: 두 선형 변환 $f, g \in M^\vee_R$ 와 임의의 $m \in M$ 에 대하여, 합 $f+g$ 는 다음과 같이 정의된다.

::

(f+g)(m) = f(m) + g(m)

스칼라 곱: 선형 변환 $f \in M^\vee_R$ 와 스칼라 $r \in R$ , 그리고 임의의 $m \in M$ 에 대하여, 스칼라 곱 $fr$ 은 다음과 같이 정의된다.

::

(fr)(m) = f(m)r

마찬가지 방식으로,

R

-오른쪽 가군의 쌍대 가군은

R

-왼쪽 가군이다.

만약

R

가 가환환이면 왼쪽 가군과 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

2. 1. 체의 경우

''R'' = ''K''가 체라고 하자. 그렇다면, 그 위의 가군 ''V''는 벡터 공간이 된다. 벡터 공간의 쌍대 가군은 '''(대수적) 쌍대 공간'''((algebraic) dual space^영어)이라고 불리며, 보통 ''V''*로 표기한다.

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''의 부분 벡터 공간 ''W'' ⊂ ''V''의 '''소멸자'''(annihilator^영어) ''W''⁰는 다음과 같은, 쌍대 공간 ''V''*의 부분 공간이다.

:

W^0 = \{f \in V^* \colon f(w) = 0 \, \forall w \in W\} \subset V^*

2. 2. 가군층의 경우

쌍대 가군의 개념은 가군층에 대하여 일반화될 수 있다.

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal M

에 대하여, 쌍대 가군층

\mathcal M^\vee

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal M^\vee=\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)

여기서

\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)

는

\mathcal M

에서

\mathcal O_X

로 가는

\mathcal O_X

-가군층 사상들의 층을 나타낸다.

또한, 다음과 같은 표준적인

\mathcal O_X

-가군층 사상이 존재한다.

:

\mathcal M\to\mathcal M^{\vee\vee}

이 사상은 열린 집합

U \subseteq X

의 단면

s\in\Gamma(U;\mathcal M)

를 다음과 같은 사상으로 보낸다.

:

\left(f\in\Gamma\left(U;\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M, \mathcal O_X)\right)\right)\mapsto f(s)

이때

\mathcal M^\vee

를

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal M

의 '''쌍대 가군층'''(雙對加群層, sheaf of dual modules^영어)이라고 한다.

3. 성질

임의의 환 $R$ 에 대하여, 쌍대 가군을 취하는 연산은 $R$ 에 대한 왼쪽 가군들의 범주 $_R\text{Mod}$ 에서, 오른쪽 가군들의 범주 $\text{Mod}_R$ 의 반대 범주로 가는 함자

: $(-)^\vee\colon {}_R\text{Mod}\to\text{Mod}_R^{\operatorname{op}}$

를 정의한다.

특히, 쌍대 가군을 두 번 취하는 연산은 자기 함자

: $(-)^{\vee\vee}\colon {}_R\text{Mod}\to{}_R\text{Mod}$

를 정의한다. ''R''-가군 ''M''의 쌍대 가군 ''M^*''의 다시 쌍대 가군인

: $M^{**} = {\mathrm{Hom}}_R (M^* , R)$

을 ''M''의 '''이중 쌍대 가군'''(double dual module^영어)이라고 한다. 여기서 ${\mathrm{Hom}}_R (M^* , R)$ 은 $M^*$ 에서 $R$ 로 가는 모든 ''R''-가군 준동형들의 집합을 나타낸다.

''M^**''의 원소는 ''M^*''에서 ''R''로 가는 가군 준동형이다. 각 $m \in M$ 에 대하여, 사상 $\phi_m : M^* \to R$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\phi_m(f) = f(m) \quad (\forall f \in M^*)$

이 $\phi_m$ 은 가군 준동형이므로 $M^{$ }의 원소가 된다 ( $\phi_m \in M^{$ }).

이를 이용하여 ''M''에서 ''M''로 가는 사상 $\chi : M \to M^{$ }를 다음과 같이 정의한다.

: $\chi(m) = \phi_m$

이 사상 $\chi$ 는 가군 준동형이며, '''정규 사상'''(canonical map^영어) 또는 '''자연 사상'''(natural map^영어)이라고 불린다. 이 사상이 동형 사상인지 여부 등 구체적인 성질은 가군 ''M''의 종류에 따라 달라진다.

3. 1. 유한 차원 벡터 공간

체

K

위의 유한 차원 벡터 공간

V

가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간

V^*

역시 유한 차원 벡터 공간이다. 중요한 점은

V

와 그 쌍대 공간

V^*

의 차원이 같다는 것이다.

:

\dim V=\dim V^*

차원이 같으므로 두 공간은 서로 동형이다.

:

V\cong V^*

이 동형 관계를 구체적으로 보기 위해,

V

의 기저

B = \{b_1, b_2, \dots, b_n\}

를 생각해보자. 이 기저에 대응하는

V^*

의 기저

B^* = \{b^1, b^2, \dots, b^n\}

를 정의할 수 있는데, 이를 '''쌍대 기저'''(dual basis|쌍대 기저^영어)라고 부른다. 쌍대 기저의 각 원소

b^i \in B^*

는

V

의 기저 벡터

b_j \in B

에 다음과 같이 작용하는 선형 범함수이다.

:

b^i(b_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}

즉,

b^i

는 자신과 같은 첨자를 가진 기저 벡터

b_i

에 대해서는 1을, 다른 기저 벡터

b_j

(

i \ne j

)에 대해서는 0을 값으로 가진다.

벡터

v \in V

와 선형 범함수

f \in V^*

는 각각의 기저와 쌍대 기저를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

v=\sum_{i=1}^n b^i(v)b_i

:

f=\sum_{i=1}^n f(b_i)b^i

여기서

b^i(v)

는 벡터

v

의

b_i

에 대한 좌표이고,

f(b_i)

는 선형 범함수

f

의

b^i

에 대한 좌표가 된다.

그러나

V

와

V^*

사이의 동형은

V

의 기저를 선택하는 방식에 따라 달라지므로, 표준적(canonical|표준적^영어)이지 않다. 즉, 특별히 선호되는 자연스러운 동형 관계가 존재하지 않는다.

반면,

V

의 이중 쌍대 공간

V^{

} = (V^*)^*는 $V$ 와 표준적으로 동형**이다. 이 표준 동형은 기저의 선택과 무관하게 다음과 같이 정의된다.

:

\Psi: V \to V^{**}

:

v \mapsto \Psi_v

여기서

\Psi_v

는

V^*

의 원소

f

를

f(v)

로 보내는

V^{**}

의 원소이다. 즉,

\Psi_v(f) = f(v)

이다. 유한 차원 벡터 공간의 경우 이 사상

\Psi

는 동형 사상이 된다.

:

V\cong V^{**}

범주론의 언어를 사용하면, 유한 차원 벡터 공간의 범주

K\text{-FinVect}

에서 자기 자신으로 가는 함자

^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}

는 항등 함자

\operatorname{id}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}

와 자연 동형이다.

또한,

V

의 부분 벡터 공간

W \subseteq V

가 주어졌을 때,

W

의 소멸자(annihilator|소멸자^영어)

W^0

는

W

의 모든 벡터를 0으로 보내는

V^*

의 원소들로 이루어진 부분 공간이다 (

W^0 = \{f \in V^* \mid f(w)=0 \text{ for all } w \in W\}

). 이 소멸자의 차원은 다음과 같다.

:

\dim W^0 = \dim V - \dim W

3. 2. 무한 차원 벡터 공간

무한 차원의 벡터 공간

V

의 경우, 만약

V

의 차원이 가산 무한 (

\aleph_0

) 이상이라면,

V

의 차원은 (기수로서) 항상 그 쌍대 공간

V^*

의 차원보다 엄격하게 작다. 즉,

\dim V < \dim V^*

이다.

모든 벡터 공간

V

에 대해,

V

에서 그 이중 쌍대 공간

V^{**}

로 가는 표준적인 선형 사상

\phi_V

가 존재한다.

:

\phi_V\colon V\to V^{**}

이 사상은 각 벡터

v \in V

를

V^*

상의 계산 사상(evaluation map)으로 보내며, 이는

f \in V^*

에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

(\phi_V(v))(f) = f(v)

이 사상

\phi_V

는 항상 단사 함수이다. 만약

V

가 유한 차원이라면

\phi_V

는 전사 함수이기도 하여 동형 사상이 되지만,

V

가 무한 차원일 경우에는 전사 함수가 아니다.

이러한 이유 때문에, 만약

V

가 위상 벡터 공간이라면 대수적 쌍대 공간(

V^*

) 대신 연속 쌍대 공간(위상적 쌍대 공간)을 사용하는 경우가 많다. 연속 쌍대 공간은

V

에서 기저 체로 가는 모든 연속 선형 함수들의 공간이다.

4. 이중 쌍대 가군

''R''-가군 ''M''의 쌍대 ''R''-가군 ''M^*''의 쌍대 가군인,

: $M^{**} = \mathrm{Hom}_R (M^*, R)$

을 ''M''의 이중 쌍대 가군(double dual module)이라고 한다.

이것은 ''M^*'' (즉, ''M''에서 ''R''로 가는 가군 준동형들의 모임)에서 ''R''로 가는 가군 준동형 전체가 이루는 ''R''-가군이다. 따라서 ''M^**''의 원소는 ''M^*''의 각 원소(가군 준동형 $f: M \to R$ )에 ''R''의 원소를 대응시키는 사상이다.

각 원소 $r \in M$ 에 대해, 사상 $\phi_r : M^* \to R$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\phi_r(f) = f(r) \quad (\forall f \in M^*)$

이 사상 $\phi_r$ 은 ''M^*''에서 ''R''로 가는 가군 준동형이므로, $\phi_r$ 은 ''M^**''의 원소이다.

이를 이용하여 사상 $\chi : M \to M^{**}$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\chi(r) = \phi_r$

이 사상 $\chi$ 는 가군 준동형이며, 그 직관적이고 범주론적으로 자연스러운 모습 때문에 ''R''-가군 ''M''에서 ''M''로의 정규 사상(canonical map) 또는 자연 사상**(natural map)이라고 불린다.

참조

_[1] 서적 Algebra I Springer 1974
_[2] 서적 Algebra Springer 2002

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com