소박한 집합론

3. 부분집합

두 집합 ''A''와 ''B''가 있을 때, ''A''의 모든 원소가 ''B''의 원소이기도 하다면, ''A''는 ''B''의 '''부분집합'''이다. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. ''A''가 ''B''의 부분집합일 때, ''A''는 ''B''에 '''포함된다'''고 말하거나, ''B''는 ''A''를 '''포함한다'''고 말하기도 한다. 이때 ''B''를 ''A''의 '''상위집합'''이라고 부른다. ''B''의 부분집합 중에서 ''B'' 자신과 같지 않은 부분집합을 '''진부분집합'''이라고 한다.

부분집합 관계는 기호로 ''A'' ⊆ ''B'' 또는 ''B'' ⊇ ''A''와 같이 표기한다. 일부 저자는 '⊂'과 '⊃' 기호를 부분집합을 나타내는 데 사용하기도 하지만, 다른 저자는 이 기호들을 진부분집합을 나타낼 때만 사용하기도 한다. 혼동을 피하기 위해 진부분집합을 명확히 나타낼 때는 "$\backslash subsetneq$"와 "$\backslash supsetneq$" 기호를 사용하는 것이 좋다.

예를 들어, '''R'''을 실수의 집합, '''Z'''를 정수의 집합, ''O''를 홀수인 정수의 집합, ''P''를 대한민국의 역대 대통령의 집합이라고 하자. 그러면 ''O''는 '''Z'''의 부분집합이고(''O'' ⊆ '''Z'''), '''Z'''는 '''R'''의 부분집합이며('''Z''' ⊆ '''R'''), 따라서 ''O''는 '''R'''의 부분집합이 된다('''O'' ⊆ '''R'''). 이 경우들은 모두 진부분집합 관계('''O''' $\backslash subsetneq$ '''Z''', '''Z''' $\backslash subsetneq$ '''R''', ''O'' $\backslash subsetneq$ '''R''')이기도 하다. 하지만 모든 집합이 이렇게 비교 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 실수 집합 '''R'''은 대통령 집합 ''P''의 부분집합이 아니며, 반대로 ''P''도 '''R'''의 부분집합이 아니다.

두 집합 ''A''와 ''B''가 같다는 것(''A'' = ''B'')은 ''A''가 ''B''의 부분집합이고(''A'' ⊆ ''B'') 동시에 ''B''가 ''A''의 부분집합(''B'' ⊆ ''A'')일 때만 성립한다. 따라서 두 집합이 같음을 증명하려면, 서로가 서로의 부분집합임을 보이면 된다. 공집합 (∅)은 모든 집합의 부분집합이다. 이는 공집합의 모든 원소(실제로는 없음)가 어떤 집합의 원소라는 조건이 공허하게 참이기 때문이다.

어떤 집합 ''A''의 모든 부분집합들을 원소로 갖는 집합을 ''A''의 '''멱집합'''이라고 하며, $2^A$ 또는 $P(A)$ (때로는 $\backslash mathcal\{P\}(A)$)로 표기한다. 만약 집합 ''A''가 ''n''개의 원소를 가지고 있다면, 그 멱집합 $P(A)$는 $2^n$개의 원소를 가진다.

4. 집합의 연산

특정 상황에서는 고려되는 모든 집합을 주어진 전체집합 '''U'''의 부분집합으로 간주하는 경우가 많다. 예를 들어, 실수 '''R'''의 속성을 탐구할 때는 '''R'''을 전체집합으로 삼을 수 있다.

전체집합 '''U'''와 그 부분집합 ''A''가 주어졌을 때, ''A''의 '''여집합'''은 '''U'''의 원소 중에서 ''A''에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 의미하며, 기호로는 ''A''^C로 표기한다. 즉, ''A''^C는 {''x'' ∈ '''U''' : ''x'' ∉ ''A''}로 정의된다.

예를 들어, '''R'''을 실수의 집합, '''Z'''를 정수의 집합, ''O''를 홀수의 집합이라고 정의하자. 만약 전체집합을 '''Z'''로 간주하면, ''O''의 여집합 ''O^C''는 짝수인 정수의 집합이 된다. 반면, 전체집합을 '''R'''로 간주하면, ''O^C''는 짝수인 정수이거나 또는 정수가 아닌 모든 실수의 집합이 된다.

두 집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, 이들의 '''합집합'''은 ''A''에 속하거나 ''B''에 속하는 (또는 둘 다에 속하는) 모든 원소로 이루어진 집합이며, ''A'' ∪ ''B''로 표기한다(합집합 공리 참조). 즉, ''A'' ∪ ''B''는 {''x'' : (''x'' ∈ ''A'') 또는 (''x'' ∈ ''B'')}로 정의된다.

두 집합 ''A''와 ''B''의 '''교집합'''은 ''A''와 ''B'' 모두에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합이며, ''A'' ∩ ''B''로 표기한다. 즉, ''A'' ∩ ''B''는 {''x'' : (''x'' ∈ ''A'') 그리고 (''x'' ∈ ''B'')}로 정의된다.

집합 ''A''에 대한 집합 ''B''의 '''차집합'''(또는 '''상대 여집합''')은 ''A''에는 속하지만 ''B''에는 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합이다. 이는 ''A'' \ ''B'' 또는 ''A'' − ''B''로 표기한다. 즉, ''A'' \ ''B''는 {''x'' : (''x'' ∈ ''A'') 그리고 (''x'' ∉ ''B'')}로 정의된다.

차집합 ''A'' \ ''B''는 집합 ''B''가 ''A''의 부분집합이 아니어도 정의될 수 있다. 이는 전체집합 '''U''' 내에서의 여집합(''A''^C = '''U''' \ ''A'')과의 차이점이다.

이러한 연산들을 예시로 설명해 보자. 집합 ''A''를 왼손잡이인 사람들의 집합으로, 집합 ''B''를 금발 머리를 가진 사람들의 집합으로 정의하자.

• ''A'' ∩ ''B''는 왼손잡이이면서 금발인 모든 사람들의 집합이다.
• ''A'' ∪ ''B''는 왼손잡이이거나 금발이거나 둘 다인 모든 사람들의 집합이다.
• ''A'' \ ''B''는 왼손잡이지만 금발이 아닌 모든 사람들의 집합이다.
• ''B'' \ ''A''는 금발이지만 왼손잡이가 아닌 모든 사람들의 집합이다.

5. 순서쌍과 곱집합

'''순서쌍'''은 '첫 번째 원소'와 '두 번째 원소'가 구별되는 두 대상의 모음이다. 첫 번째 원소가 ''a''이고 두 번째 원소가 ''b''일 때 보통 (''a'', ''b'')와 같이 표기한다. 집합론에서는 { {''a''}, {''a'', ''b''} } 로 정의하기도 한다.

두 순서쌍 (''a'', ''b'')와 (''c'', ''d'')가 같을 조건은 첫 번째 원소끼리 같고 (''a'' = ''c''), 두 번째 원소끼리 같은 (''b'' = ''d'') 경우 뿐이다.

(표기 (''a'', ''b'')는 실수 선 위의 열린 구간을 나타낼 수도 있으므로, 문맥을 통해 의미를 명확히 해야 한다. 때로는 열린 구간을 ]''a'', ''b''[ 와 같이 표기하여 순서쌍과 구별하기도 한다.)

두 집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, 이들의 '''곱집합'''(Cartesian product) 또는 단순히 '''곱'''은 다음과 같이 정의된다.

:''A'' × ''B'' = {(''a'', ''b'') | ''a'' ∈ ''A'' and ''b'' ∈ ''B''}

즉, 곱집합 ''A'' × ''B''는 첫 번째 원소는 집합 ''A''에서 가져오고 두 번째 원소는 집합 ''B''에서 가져와 만든 모든 가능한 순서쌍의 집합이다.

이 정의는 세 집합의 곱 ''A'' × ''B'' × ''C'' (순서 삼중항의 집합)이나, 더 나아가 임의의 양의 정수 ''n''에 대한 ''n''-튜플의 집합으로 확장될 수 있다. 무한 개의 집합에 대한 곱집합도 정의할 수 있지만, 더 복잡한 정의가 필요하다.

곱집합의 개념은 르네 데카르트가 해석기하학을 발전시키는 과정에서 처음 도입했다. 예를 들어, '''R'''이 실수 전체의 집합을 나타낼 때, '''R'''² = '''R''' × '''R'''는 유클리드 평면을 나타내고, '''R'''³ = '''R''' × '''R''' × '''R'''는 3차원 유클리드 공간을 나타낸다.

6. 중요한 집합

소박한 집합론에서 '''집합'''은 객체의 잘 정의된 모임으로 묘사된다. 이러한 객체는 집합의 '''원소''' 또는 '''구성원'''이라고 불린다. 객체는 숫자, 사람, 다른 집합 등 무엇이든 될 수 있다. 예를 들어, 4는 모든 짝수 정수의 집합의 구성원이다. 분명히 짝수의 집합은 무한히 크다. 집합이 유한해야 한다는 요구 사항은 없다.

집합의 정의는 게오르크 칸토어에게 거슬러 올라간다. 그는 1915년 논문 ''[https://web.archive.org/web/20141020034245/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=pdf&no_cache=1&IDDOC=36218 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre]''에서 다음과 같이 썼다:

: '집합'이란 우리 생각이나 인식에 따라 구체적으로 구별되는 대상(이것을 집합 M의 '원소'라고 부른다)들을 전체로 묶어 놓은 것을 의미한다.

다음은 표기법이 거의 보편적인 몇 가지 중요한 집합이다. 이 목록에서 ''a'', ''b'', 그리고 ''c''는 자연수를 나타내고, ''r''과 ''s''는 실수를 나타낸다.

# 자연수는 세는 데 사용된다. 블랙보드 볼드 대문자 '''N'''($\backslash mathbb\{N\}$)은 종종 이 집합을 나타낸다.

# 정수는 ''x'' + ''a'' = ''b''와 같은 방정식에서 ''x''의 해로 나타난다. 블랙보드 볼드 대문자 '''Z'''($\backslash mathbb\{Z\}$)는 종종 이 집합을 나타낸다(독일어 ''Zahlen''에서 유래, '숫자'를 의미).

# 유리수는 ''a'' + ''bx'' = ''c''와 같은 방정식의 해로 나타난다. 블랙보드 볼드 대문자 '''Q'''($\backslash mathbb\{Q\}$)는 종종 이 집합을 나타낸다(''몫''에서 유래, R은 실수 집합에 사용되기 때문).

# 대수적 수는 다항식 방정식(정수 계수)의 해로 나타나며, $i=\backslash sqrt\{-1\backslash ,\}$을 포함한 근호 및 특정 다른 무리수를 포함할 수 있다. '''Q''' 위에 가로선($\backslash overline\{\backslash mathbb\{Q\}\}$)은 종종 이 집합을 나타낸다. 가로선은 대수적 폐포 연산을 나타낸다.

# 실수는 "실수선"을 나타내며, 유리수로 근사될 수 있는 모든 숫자를 포함한다. 이러한 숫자는 유리수 또는 대수적 수일 수 있지만, 유리수 계수를 가진 다항식 방정식의 해로 나타날 수 없는 초월수일 수도 있다. 블랙보드 볼드 대문자 '''R'''($\backslash mathbb\{R\}$)은 종종 이 집합을 나타낸다.

# 복소수는 실수와 허수의 합이다: $r+s\backslash ,i$. 여기서 $r$ 또는 $s$(또는 둘 다)는 0일 수 있다. 따라서 실수 집합과 순수 허수 집합은 복소수 집합의 부분 집합이며, 이는 실수 집합에 대한 대수적 폐포를 형성한다. 즉, $\backslash mathbb\{R\}$의 계수를 갖는 모든 다항식은 이 집합에서 적어도 하나의 근을 갖는다. 블랙보드 볼드 대문자 '''C'''($\backslash mathbb\{C\}$)는 종종 이 집합을 나타낸다. 숫자 $r+s\backslash ,i$는 평면의 점 $(r,s)$로 식별될 수 있으므로, $\backslash mathbb\{C\}$는 기본적으로 데카르트 곱 $\backslash R\backslash times\backslash R$와 "같다"("같다"는 것은 하나에서 모든 점이 다른 하나에서 고유한 점을 결정하고, 계산 결과에 대해 곱셈 규칙이 $\backslash mathbb\{C\}$에 적절한 한 계산에 어느 것을 사용하든 상관 없음을 의미한다).

7. 집합론의 역설

소박한 집합론은 직관적으로 이해하기 쉽지만, 집합을 정의하는 방식에 내재된 문제 때문에 몇 가지 심각한 역설을 안고 있다. 소박한 집합론에서는 특정 조건을 만족하는 대상들의 모임을 별다른 제한 없이 하나의 집합으로 간주하는데, 이를 무제한 이해 공리형식이라고 한다. 이 원리를 무비판적으로 적용하면 논리적 모순이 발생한다.

가장 널리 알려진 역설은 버트런드 러셀이 발견한 러셀의 역설이다. 다음과 같은 집합 Z를 정의해 보자.

• ''Z'' = {''x'' | ''x''는 자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합}

• 만약 ''Z''가 자기 자신을 원소로 가진다면(''Z'' ∈ ''Z''), ''Z''의 정의상 ''Z''는 자기 자신을 원소로 가지지 않아야 한다(''Z'' ∉ ''Z''). 이는 모순이다.
• 만약 ''Z''가 자기 자신을 원소로 가지지 않는다면(''Z'' ∉ ''Z''), ''Z''의 정의상 ''Z''는 자기 자신을 원소로 가져야 한다(''Z'' ∈ ''Z''). 이것 역시 모순이다.

• '''부랄리-포르티의 역설''' (1897): 모든 서수들의 집합이 존재한다고 가정할 때 발생하는 모순.^[6][14]
• '''칸토어의 역설''' (1897): 모든 기수들의 집합 또는 모든 집합들의 집합이 존재한다고 가정할 때 발생하는 모순.^[5][13][16] 집합론의 창시자인 게오르크 칸토어 자신도 이 역설을 인지하고 있었으나, 자신의 이론 자체를 훼손하는 것으로 여기지는 않았다.^[7][15][17]

7. 1. 역설의 해결

8. 현대 사회와 집합론

공리적 접근 방식과 다른 접근 방식 중 어느 것을 선택할지는 주로 편리함의 문제이다. 일상적인 수학에서는 공리적 집합론을 비형식적으로 사용하는 것이 최선의 선택일 수 있다. 특정 공리에 대한 언급은 일반적으로 관례적으로 필요할 때만 이루어진다. 예를 들어 선택 공리는 사용할 때 종종 언급된다. 마찬가지로, 형식적인 증명은 예외적인 상황에서만 필요하다. 공리적 집합론을 이렇게 비형식적으로 사용하는 방식은 표기법에 따라 소박한 집합론의 겉모습과 매우 유사해질 수 있다. 이러한 비형식적인 방식은 대부분의 주장, 증명, 논의를 공식화할 때 읽고 쓰기가 훨씬 쉬우며, 엄밀하게 형식적인 접근 방식보다 오류가 발생할 가능성이 적다.

참조

_[1] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) http://jeff560.tripo[...] 2020-04-14
_[2] 간행물 Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) Amer. Math. Soc.
_[3] 기타
_[4] 기타
_[5] 기타 1897-09-26
_[6] 기타 1899-08-03
_[7] 기타 1899-08-3
_[8] 서적 Set Theory: An Introduction to Large Cardinals
_[9] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) http://jeff560.tripo[...] 2020-04-14
_[10] 간행물 Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) Amer. Math. Soc.
_[11] 기타
_[12] 기타
_[13] 기타 1897-09-26
_[14] 기타 1899-08-03
_[15] 기타 1899-08-03
_[16] 기타 1897-09-26
_[17] 기타 1899-08-03