이백오십칠각형

3. 작도 가능성

정이백오십칠각형은 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 있는 다각형이다. 일반적으로 홀수 소수 ''p''에 대해 정''p''각형이 작도 가능하려면, ''p''가 페르마 소수여야 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 3, 5, 17, 257, 65537 다섯 개뿐이며^[6][7], 이에 해당하는 정다각형은 정삼각형, 정오각형, 정십칠각형, 정이백오십칠각형, 정육만오천오백삼십칠각형이다.

257은 2²³ + 1 형태로 표현되는 페르마 소수이기 때문에 정이백오십칠각형은 작도가 가능하다. 이러한 작도 가능성은 수학적으로 중요한 의미를 지니며, 삼각함수에서 각이 2π/257 rad일 때 그 함수의 값이 유리수와 제곱근의 조합만으로 표현될 수 있음을 뜻한다. 구체적으로, $\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{257\}$과 $\backslash cos\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{257\}$의 값은 128차 대수적 수이며, 다른 모든 작도 가능 수와 마찬가지로 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.

가우스는 1801년에 이미 정이백오십칠각형의 작도 가능성을 알고 있었던 것으로 알려져 있으며^[1], 구체적인 작도 방법은 1832년 프리드리히 율리우스 리셸로와 슈베덴바인에 의해 발표되었다.^[2][6][7]

3. 1. 작도 방법

4. 대칭성

정이백오십칠각형은 Dih₂₅₇ 대칭, 차수 514를 갖는다. 257은 소수이므로, 한 개의 이면각 부분군: Dih₁, 그리고 두 개의 순환군 대칭: Z₂₅₇ 및 Z₁이 존재한다.

5. 257-그램

257-그램은 257개의 변을 가진 별 다각형이다. 257은 소수이므로, 슐래플리 기호 {257/''n''}으로 표현되는 정규 257-그램은 정수 ''n''이 2부터 128까지일 때 총 127개가 존재한다. 예를 들어 {257/128}은 257개의 거의 방사형인 모서리를 가지며, 각 별 꼭짓점에서의 내각 크기는 180°/257 (약 0.7°)이다.

참조

_[1] 논문 Das regelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise. https://books.google[...] 2015-12-08
_[2] 논문 De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, ... http://gdz.sub.uni-g[...] 2015-12-08
_[3] 논문 Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions http://apollonius.ma[...] 2011-11-06
_[4] 논문 De resolutione algebraica aequationis X²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata http://www.digizeits[...]
_[5] 서적 Introduction to Geometry Wiley
_[6] 저널 De resolutione algebraica aequationis Xsup257/sup = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata http://www.digizeits[...]
_[7] 서적 Introduction to Geometry Wiley