이음 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 사상
5. 예시
6. 한국의 위상수학 연구
참조

1. 개요

이음은 두 위상 공간의 곱공간을 몫공간으로 정의하며, 기둥을 양 끝에서 서로 반대 방향으로 찌그러뜨린 형태를 갖는다. 이음은 뿔, 축소 이음, 현수 등과 관련되며, 기하학적 집합, 추상적 단순 복합체 등 다양한 맥락에서 정의된다. 이음 연산은 가환적이며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서는 결합 법칙이 성립한다. 이음은 호모토피 동치, 호모토피 연결성, 삭제된 조인 등 다양한 성질을 가지며, 사상 간의 이음도 정의된다. 초구, 단순체, 원뿔, 현수 등 다양한 예시를 통해 이음의 개념을 이해할 수 있다.

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이음 (위상수학)

2. 정의

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 의 '''이음'''은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

: $X \star Y = \frac{X \times Y \times [0,1]}{\sim}$

여기서 동치 관계 $\sim$ 는 다음과 같다.

: $(x,y,t) \sim (x',y',t') \iff (t = t') \land\left(x=x' \lor t = 1\right) \land\left(y=y' \lor t= 0\right)$

즉,

: $(x,y,0) \sim (x',y,0)$

: $(x,y,1) \sim (x,y',1)$

이다. 다시 말해, 기둥 $X \times Y \times [0,1]$ 을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

한원소 공간 $Y=\{\bullet\}$ 과의 이음

: $X \star \{\bullet\} \cong \frac{X \times [0,1] }{ X \times \{1\} }$

을 $X$ 의 '''뿔'''(cone^영어)이라고 한다.

두 점을 가진 공간 $(X,\bullet_X)$ , $(Y,\bullet_Y)$ 의 '''축소 이음'''(reduced join^영어)은 다음과 같다.

: $X * Y = \frac{X \star Y}{X \star\{\bullet_Y\} \cup \{\bullet_X\} \star Y}$

이는 사실 분쇄곱 $X \wedge Y$ 의 축소 현수와 위상 동형이다. 이음과 축소 이음은 서로 호모토피 동치이다.

위상 공간 $X$ 의 '''원뿔'''은 $CX$ 로 표기하며, $X$ 와 한 점의 조인이다.

위상 공간 $X$ 의 '''현수'''는 $SX$ 로 표기하며, $X$ 와 $S^0$ (0차원 구, 또는 두 점을 가진 이산 공간)의 조인이다.

2. 1. 위상 공간의 이음

두 위상 공간

X

,

Y

의 '''이음'''은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

:

X \star Y = \frac{X \times Y \times [0,1]}{\sim}

여기서 동치 관계

\sim

는 다음과 같다.

:

(x,y,t) \sim (x',y',t') \iff (t = t') \land\left(x=x' \lor t = 1\right) \land\left(y=y' \lor t= 0\right)

즉,

:

(x,y,0) \sim (x',y,0)

:

(x,y,1) \sim (x,y',1)

이다. 다시 말해, 기둥

X \times Y \times [0,1]

을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

A

와

B

가 비어 있지 않은 위상 공간이라면, 이음은 다음과 같은 몫공간으로 정의할 수 있다.

:

A\star B\ :=\ (A\times B \times [0,1] )/ \sim,

여기서 동치 관계

\sim

는 다음과 같다.

:

(a, b_1, 0) \sim (a, b_2, 0) \quad\mbox{for all } a \in A \mbox{ and } b_1,b_2 \in B,

:

(a_1, b, 1) \sim (a_2, b, 1) \quad\mbox{for all } a_1,a_2 \in A \mbox{ and } b \in B.

끝점에서 이로 인해

A\times B\times \{0\}

는

A

로,

A\times B\times \{1\}

는

B

로 축소된다.

만약

A

와

B

가 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

의 유계 부분 집합이고, 적절한 조건을 만족하면, 위상적 정의는 기하학적 정의로 축소된다.^[4]

2. 2. 기하학적 집합의 이음

A

와

B

가 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

의 부분 집합이라면,

A

의 한 점과

B

의 한 점 사이의 모든 선분들의 집합으로 이음을 정의할 수 있다.^[1] 즉, 다음과 같다.

:

A\star B\ :=\ \{ t\cdot a +  (1-t)\cdot b ~|~  a\in A, b\in B, t\in [0,1]\}

일부 저자는 정의를 '결합 가능한' 부분 집합으로 제한하기도 한다.^[2]

A

의 한 점과

B

의 한 점을 연결하는 서로 다른 두 선분은 최대 공통 끝점에서만 만나도록(즉, 내부에서 교차하지 않도록) 하는 것이다.

A

가

\mathbb{R}^n

에 있고

B

가

\mathbb{R}^m

에 있다면,

A\times\{ 0^m \}\times\{0\}

와

\{0^n \}\times B\times\{1\}

은

\mathbb{R}^{n+m+1}

에서 결합 가능하게 만들수 있다.

2. 3. 추상적 단순 복합체의 이음

두 추상적 단순 복합체

A

와

B

의 '''이음'''(영어: join)

A \star B

는 다음과 같이 정의된다.

꼭짓점 집합 $V(A\star B)$ 는 $V(A)$ 와 $V( B)$ 의 상호 배타적 합집합이다.
$A\star B$ 의 단순체는 $A$ 의 단순체와 $B$ 의 단순체의 모든 상호 배타적 합집합이다. 즉, $A\star B := \{ a\sqcup b: a\in A, b\in B \}$ 이다. 만약 $V(A)$ 와 $V( B)$ 가 서로 소라면, 이음은 단순히 $\{ a\cup b: a\in A, b\in B \}$ 이다.

3. 성질

3. 1. 가환성

이음 연산은 위상동형까지 가환적이다. 즉,

A\star B\cong B\star A

이다.

3. 2. 결합성

일반적인 위상 공간에서는 이음의 결합 법칙이 성립하지 않는다.^[3] 그러나 국소 콤팩트 하우스도르프 공간

A, B, C

에 대해서는

(A\star B)\star C \cong A\star(B\star C)

가 성립한다.^[3] 따라서, 공간의 자기 결합을 ''k''번 하는 것을 정의할 수 있으며,

A^{*k} := A * \cdots * A

(''k''번)로 나타낸다.^[3]

A\star B

와 동일한 기본 집합을 사용하지만 다른 위상을 사용하는 다른 결합 연산

A\; \hat{\star}\;B

를 정의하는 것이 가능하다.^[3] 이 연산은 ''모든'' 위상 공간에 대해 결합적이다.^[3] 국소 콤팩트 하우스도르프 공간

A

와

B

에 대해, 결합

A\star B

와

A \;\hat{\star}\;B

는 일치한다.^[3]

3. 3. 호모토피 동치

만약 A와 A'가 호모토피 동치이면, A * B와 A' * B 또한 호모토피 동치이다.^[4]

3. 4. 축소 이음

기저점을 가진 CW 복합체

(A, a_0)

와

(B, b_0)

가 주어졌을 때, "축소 이음"

:

\frac{A\star B}{A \star \{b_0\} \cup \{a_0\} \star B}

는 분쇄곱의 축소 현수

$\Sigma(A\wedge B)$

와 위상 동형이다.

{A \star \{b_0\} \cup \{a_0\} \star B}

는 수축 가능하므로, 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

:

A\star B\simeq \Sigma(A\wedge B).

이 동치는 동형사상

\widetilde{H}_n(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ \bigl( =H_{n-1}(A\times B / A\vee B)\bigr)

을 성립시킨다.

3. 5. 호모토피 연결성

두 개의 삼각화 가능 공간

A, B

가 주어졌을 때, 이들의 조인트의 호모토피 연결성 (

\eta_{\pi}

)은 각 부분의 연결성의 합보다 크거나 같다.^[4]

$\eta_{\pi}(A*B) \geq \eta_{\pi}(A)+\eta_{\pi}(B)$ .

예를 들어,

A = B = S^0

을 두 개의 분리된 점의 집합이라고 하자. 점들 사이에 1차원 구멍이 있으므로

\eta_{\pi}(A)=\eta_{\pi}(B)=1

이다. 조인트

A * B

는 정사각형인데, 이는 2차원 구멍을 가진 원과 위상동형이므로

\eta_{\pi}(A * B)=2

이다. 일반적으로, ''n''개의

S^0

의 조인트는

S^{n-1}

와 위상동형이며,

\eta_{\pi}(S^{n-1})=n

이다.

3. 6. 삭제된 조인

추상 복합체 ''A''의 '''삭제된 결합'''은 ''A''의 ''서로소'' 면들의 모든 분리합집합을 포함하는 추상 복합체이다.^[4]

:

A^{*2}_{\Delta} := \{ a_1\sqcup a_2: a_1,a_2\in A, a_1\cap a_2 = \emptyset \}

삭제된 조인 연산은 조인과 교환 가능하다.^[4] 즉, 모든 두 개의 추상 복합체 ''A''와 ''B''에 대해 다음과 같다.

:

(A*B)^{*2}_{\Delta} = (A^{*2}_{\Delta}) *  (B^{*2}_{\Delta})

''증명''. 좌변 복합체의 각 단체는

(a_1 \sqcup b_1) \sqcup (a_2\sqcup b_2)

의 형태를 가지며, 여기서

a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B

이고

(a_1 \sqcup b_1), (a_2 \sqcup b_2)

는 서로소이다. 서로소 합집합의 속성에 따라, 후자의 조건은

a_1,a_2

가 서로소이고

b_1,b_2

가 서로소인 것과 같다. 우변 복합체의 각 단체는

(a_1 \sqcup a_2) \sqcup (b_1\sqcup b_2)

의 형태를 가지며, 여기서

a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B

이고

a_1,a_2

는 서로소이며

b_1,b_2

는 서로소이다. 따라서 양변의 단체 집합은 정확히 같다.

특히, n차원 단체

\Delta^n

을 자신과 삭제된 조인은 n차원 교차 다포체이며, 이는 n차원 구

S^n

와 위상 동형이다.^[4]

단순 복합체 A의 '''n-겹 k-겹 삭제 조인'''은 다음과 같이 정의된다.

:

A^{*n}_{\Delta(k)} := \{ a_1\sqcup a_2 \sqcup\cdots \sqcup a_n: a_1,\cdots,a_n  \text{는 A의 k-겹 서로소 면 } \}

여기서 "k-겹 서로소"는 임의의 ''k''개의 부분집합이 교집합이 공집합임을 의미한다.

''m''개의 점을 가진 이산 공간의 ''n''-겹 2-겹 삭제 조인을 (''m'',''n'')-체스판 복합체라고 한다.

4. 사상

두 사상 $f\colon A_1\to A_2$ 와 $g\colon B_1\to B_2$ 가 주어졌을 때, 이들의 이음 $f\star g\colon A_1\star B_1 \to A_2\star B_2$ 는 이음 $A_1\star B_1$ 의 각 점을 $a\in A_1, b\in B_1$ 에 대해 $t\cdot a +(1-t)\cdot b$ 로 나타내는 것을 기반으로 정의된다.

: $f\star g ~(t\cdot a +(1-t)\cdot b) ~~=~~ t\cdot f(a) + (1-t)\cdot g(b)$

5. 예시

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

: $\mathbb S^m \star \mathbb S^n \cong \mathbb S^{m+n+1}$

크기 2의 이산 공간 $\mathbb S^0$ 과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

$A = \{ \emptyset, \{a\} \}$ 및 $B = \{\emptyset, \{b\} \}$ 라고 가정한다. 즉, 점이 하나인 두 집합이다. 그러면 $A \star B = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}$ 이며, 이는 선분을 나타낸다. A와 B의 정점 집합은 서로소임을 유의해야 한다. 그렇지 않으면 서로소로 만들어야 한다. 예를 들어, $A^{\star 2} = A \star A = \{ \emptyset, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1,a_2\} \}$ 여기서 a₁과 a₂는 V(A)의 단일 요소의 두 복사본이다. 위상적으로 그 결과는 $A \star B$ 와 같다. 즉, 선분이다.
$A = \{ \emptyset, \{a\} \}$ 및 $B = \{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{b,c\} \}$ 라고 가정한다. 그러면 $A \star B = P(\{a,b,c\})$ 이며, 이는 삼각형을 나타낸다.
$A = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\} \}$ 및 $B = \{\emptyset, \{c\}, \{d\} \}$ 라고 가정한다. 즉, 두 개의 이산 점이 있는 두 집합이다. 그러면 $A\star B$ 는 면이 $\{a,c\}, \{b,c\}, \{a,d\}, \{b,d\}$ 인 복합체이며, 이는 "사각형"을 나타낸다.

조합적 정의는 다음과 같은 의미에서 위상적 정의와 같다. 모든 두 개의 추상적 단순 복합체

A

와

B

에 대해

||A\star B||

는

||A||\star ||B||

와 동형이다. 여기서

||X||

는 복합체

X

의 모든 기하학적 실현을 나타낸다.

만약 $A = \{ \emptyset, \{a\} \}$ (단일 점)이라고 가정하자. 그러면 $A^{*2}_{\Delta} := \{ \emptyset, \{a_1\}, \{a_2\} \}$ 가 되며, 이는 두 개의 서로소인 점을 가진 이산 공간이다 ( $A^{\star 2} =\{ \emptyset, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1,a_2\} \}$ = 구간임을 기억하라).
만약 $A = \{ \emptyset, \{a\} ,\{b\}\}$ (두 점)이라고 가정하자. 그러면 $A^{*2}_{\Delta}$ 는 $\{a_1, b_2\}, \{a_2, b_1\}$ 를 면으로 가지는 복합체이다(두 개의 서로소인 모서리).
만약 $A = \{ \emptyset, \{a\} ,\{b\}, \{a,b\}\}$ (모서리)라고 가정하자. 그러면 $A^{*2}_{\Delta}$ 는 $\{a_1,b_1\}, \{a_1, b_2\}, \{a_2, b_1\}, \{a_2,b_2\}$ 를 면으로 가지는 복합체이다(정사각형). $A^{\star 2}$ 가 정사면체를 나타낸다는 것을 기억하라.
만약 ''A''가 (''n''-1)차원 단체(''n''개의 꼭짓점을 가짐)를 나타낸다고 하자. 그러면 조인 $A^{\star 2}$ 는 (''2n-''1)차원 단체(2''n''개의 꼭짓점을 가짐)이다. 즉, x₁+...+x_2n=1을 만족하는, 음이 아닌 좌표를 가진 모든 점(x₁,...,x_2n)의 집합이다. 삭제된 조인 $A^{*2}_{\Delta}$ 는 이 단체의 부분집합으로 간주될 수 있다. 즉, 해당 단체 내에서 오직 0이 아닌 좌표만이 x₁,..,x_n의 일부 ''k'' 좌표와 x_n+1,...,x_2n의 보완적인 n-k 좌표인 모든 점(x₁,...,x_2n)의 집합이다.

5. 1. 초구의 이음

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

:

\mathbb S^m \star \mathbb S^n \cong \mathbb S^{m+n+1}

크기 2의 이산 공간

\mathbb S^0

과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

5. 2. 단순체의 이음

두 단순체의 결합은 단순체이다. ''n''차원과 ''m''차원 단순체의 결합은 (''m''+''n''+1)차원 단순체이다. 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

두 개의 분리된 점의 결합은 선분이다(''m''=''n''=0).
점과 선분의 결합은 삼각형이다 (m=0, n=1).
두 선분의 결합은 고체 사면체 또는 사면체형 입체와 동형이다 (''m''=''n''=1).
점과 (''n''-1)차원 단순체의 결합은 ''n''차원 단순체이다.
점과 다각형 (또는 임의의 폴리토프)의 결합은 피라미드이다. 예를 들어 점과 정사각형의 결합은 정사각뿔이다. 점과 정육면체의 결합은 육각뿔이다.
점과 원의 결합은 원뿔이고, 점과 구의 결합은 초원뿔이다.

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

:

\mathbb S^m \star \mathbb S^n \cong \mathbb S^{m+n+1}

크기 2의 이산 공간

\mathbb S^0

과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

5. 3. 원뿔과 현수

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

:

\mathbb S^m \star \mathbb S^n \cong \mathbb S^{m+n+1}

크기 2의 이산 공간

\mathbb S^0

과의 이음은 현수와 위상 동형이다. 위상 공간

X

의 '''원뿔'''은

CX

로 표기하며,

X

와 한 점의 조인이다. 위상 공간

X

의 현수는

SX

로 표기하며,

X

와

S^0

(0차원 구, 또는 두 점을 가진 이산 공간)의 조인이다.

6. 한국의 위상수학 연구

참조

_[1] 서적 Introduction to Piecewise-Linear Topology https://link.springe[...] Springer-Verlag
_[2] 간행물 Chapter 5 - Piecewise Linear Topology https://www.scienced[...] North-Holland 2001-01-01
_[3] 서적 Homotopical Topology Springer
_[4] 문서 Cite Matousek 2007, Section 4.3

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