자기 조밀 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 완전 집합
- 2.2. 완전 집합 성질
3. 성질
- 3.1. 칸토어-벤딕손 정리
- 3.2. 집합의 크기
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

자기 조밀 공간은 위상 공간의 한 종류로, 모든 점이 스스로의 극한점인 공간을 의미하며, 고립점을 갖지 않는 공간과 동치이다. 위상 공간의 부분 집합인 완전 집합은 스스로의 극한점들의 집합과 같으며, 닫힌 집합이면서 자기 조밀 공간이다. 자기 조밀 공간의 한원소 부분 집합은 자기 조밀일 수 없으며, 두 자기 조밀 집합의 교집합은 일반적으로 자기 조밀이 아니다. 칸토어-벤딕손 정리는 자기 조밀 공간의 중요한 성질을 설명하며, 폴란드 공간의 닫힌 집합은 완전 집합 성질을 갖는다. 실수선과 칸토어 집합이 자기 조밀 공간의 예시이며, 연결 T1 공간은 자기 조밀 공간일 경우 한원소 공간이 아니다. 게오르크 칸토어와 이바르 오토 벤딕손은 칸토어-벤딕손 정리를 증명했다.

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자기 조밀 공간
일반 정보
정의	모든 점이 극한점인 위상 공간. 즉, 고립점이 없는 위상 공간
다른 이름	조밀 공간, 자기 빽빽 공간
성질
특징	자기 조밀 공간은 그 자체로 조밀한 부분 집합을 가짐. 즉, 자기 조밀 공간 A는 위상 공간 X의 부분 집합이며, A의 폐쇄성은 X와 같음
관련 개념	자기 조밀 공간은 흩어진 공간의 반대 개념 모든 완전 공간은 자기 조밀 공간이지만, 그 역은 성립하지 않음. 예를 들어, 유리수 집합은 자기 조밀 공간이지만 완전 공간은 아님
예시
예시	실수 집합 유리수 집합 칸토어 집합

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''자기 조밀 공간''' 또는 '''완전 공간'''(perfect space^영어)이라고 한다.

$X$ 는 고립점을 갖지 않는다. 즉, 모든 한원소 집합 $\{x\}\subseteq X$ 은 열린집합이 아니다.
모든 점이 스스로의 극한점이다.^[9] 즉, $X=\operatorname{acc\,pt}_2(X)$ 이다. (여기서 $\operatorname{acc\,pt}_2(X)$ 는 $X$ 의 극한점들의 집합이다.)

2. 1. 완전 집합

위상 공간

X

의 부분 집합

Y\subseteq X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''완전 집합'''이라고 한다.

$Y=\operatorname{acc\,pt}_2(Y)$ 이다. (여기서 $\operatorname{acc\,pt}_2(Y)$ 는 $Y$ 의 극한점들의 집합이다.)
$Y$ 는 $X$ 의 닫힌집합이며, $Y$ 는 (독립적인 위상 공간으로 여겼을 때) 자기 조밀 공간이다.^[9]

2. 2. 완전 집합 성질

위상 공간

X

의 부분 집합

Y\subseteq X

가 다음 두 조건 가운데 하나 이상을 만족시킨다면, '''완전 집합 성질'''(perfect-set property^영어)을 만족시킨다고 한다.^[9]

가산 집합이다.
$C\subseteq Y$ 인 $X$ -완전 집합 $C\subseteq X$ 가 존재한다.

3. 성질

자기 조밀 공간에서 모든 한원소 부분 집합은 자기 조밀일 수 없다. 이는 그 집합의 유일한 점이 고립되어 있기 때문이다. 모든 공간에서 자기 조밀 부분 집합은 합집합에 대해 닫혀 있다.^[5] 자기 조밀 공간에서 이러한 집합은 모든 열린집합을 포함한다.^[6] 자기 조밀 T₁ 공간에서 이러한 집합은 모든 조밀한 집합을 포함한다.^[7] 그러나 T₁이 아닌 공간은 자기 조밀이 아닌 조밀 부분 집합을 가질 수 있다. 예를 들어, 비이산 위상을 가진 자기 조밀 공간 $X=\{a,b\}$ 에서 집합 $A=\{a\}$ 는 조밀하지만 자기 조밀이 아니다.

어떤 자기 조밀 집합의 폐포는 완전 집합이다.^[8]

일반적으로 두 자기 조밀 집합의 교집합은 자기 조밀이 아니다. 하지만 자기 조밀 집합과 열린 집합의 교집합은 자기 조밀이다.

3. 1. 칸토어-벤딕손 정리

\kappa

가 무한 정칙 기수이고, 크기

\kappa

미만의 기저를 갖는 위상 공간

X

가 주어졌다고 하자. '''칸토어-벤딕손 정리'''(Cantor-Bendixson定理, Cantor–Bendixson theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.^[9]

$X\setminus\operatorname{acc\,pt}_{\kappa}(X)$ 는 $X$ 의, 크기 $\kappa$ 미만의 열린집합이다.
$\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)$ 는 $X$ 의 완전 집합이다.

특히,

\kappa=\aleph_1

로 놓으면, 제2 가산 공간

X

의 경우,

$X$ 의 $\aleph_1$ -집적점이 아닌 점들의 집합은 $X$ 의 가산 열린집합이다.
$X$ 의 $\aleph_1$ -집적점들의 집합은 $X$ 의 완전 집합이다.

특히, 폴란드 공간의 닫힌집합은 완전 집합 성질을 갖는다. 특히, 모든 폴란드 공간은 고립점을 갖지 않는 닫힌집합과, 이와 서로소인 가산 열린집합으로 분해할 수 있다.

3. 2. 집합의 크기

폴란드 공간의 모든 완전 집합의 크기는 0이거나

2^{\aleph_0}

이다. 따라서, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합의 크기는

\aleph_0

이하이거나

2^{\aleph_0}

이다. 즉, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합은 연속체 가설의 반례가 될 수 없다.

4. 예

연결 T₁ 공간에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

자기 조밀 공간이다.
한원소 공간이 아니다.

실수선은 자기 조밀 공간이다. 칸토어 집합은 자기 조밀 완전 분리 공간이다.

무리수의 위상 공간

\mathbb R\setminus\mathbb Q\subsetneq\mathbb R

는 자기 조밀 공간이지만, 이는

\mathbb R

의 닫힌집합이 아니므로

\mathbb R

의 완전 집합이 아니다.

자기 조밀 집합이지만 닫혀있지 않은 (따라서 완전 집합이 아닌) 집합의 간단한 예는 무리수 집합(실수의 부분 집합으로 간주)이다. 이 집합은 자기 조밀 집합인데, 무리수

x

의 모든 근방은 다른 무리수

y \neq x

를 적어도 하나 포함하기 때문이다. 반면에 무리수 집합은 모든 유리수가 그 폐포에 속하기 때문에 닫혀있지 않다. 마찬가지로, 유리수 집합도 자기 조밀 집합이지만 실수 공간에서는 닫혀있지 않다.

위의 예, 무리수와 유리수는 또한 위상 공간인

\mathbb{R}

에서 조밀 집합이다. 자기 조밀 집합이지만 위상 공간에서 조밀하지 않은 예로,

\mathbb{Q} \cap [0,1]

을 고려해 보자. 이 집합은

\mathbb{R}

에서 조밀하지 않지만 자기 조밀 집합이다.

5. 역사

게오르크 칸토어와 이바르 오토 벤딕손이 칸토어-벤딕손 정리를 증명하였다.

참조

_[1] 서적 Steen & Seebach
_[2] 서적 Engelking
_[3] 논문 On Two questions of Arhangel'skii and Collins regarding submaximal spaces http://topology.nipi[...] 1996
_[4] 웹사이트 α-Scattered spaces II https://www.research[...] 1977
_[5] 서적 Engelking
_[6] 서적 Kuratowski
_[7] 서적 Kuratowski
_[8] 서적 Kuratowski
_[9] 서적

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