종결식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표기법
- 2.2. 실베스터 행렬을 이용한 정의
3. 성질
4. 계산
5. 응용
6. 동차 종결식 (Homogeneous Resultant)
7. 매콜리 종결식 (Macaulay's Resultant)
8. 2개의 정의식의 동치성 증명 (일본어 문서)
참조

1. 개요

종결식은 두 다항식의 근을 사용하여 정의되는 대수적 개념으로, 두 다항식이 공통 근을 갖는지 여부를 판별하는 데 사용된다. 대수적으로 닫힌 체 K를 계수로 갖는 두 다항식 p(x)와 q(x)의 종결식은 다음과 같이 정의된다. res(p,q)=pdeg pdeg q qdeg qdeg q ∏x:p(x)=0∏y:q(y)=0(x−y). 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식과 같으며, 표기법은 res(A,B) 또는 Res(A,B)로 나타낸다. 종결식은 가환환 R 및 다항식 p, q, r ∈ R[x]에 대해 등급 가환성, 승법성 등의 성질을 가지며, 다항식 방정식 시스템을 풀거나 판별식을 계산하는 데 응용된다. 계산 방법으로는 실베스터 행렬의 행렬식을 이용하거나, 유클리드 호제법과 유사 나머지 수열을 사용하는 방법 등이 있다. 또한, 동차 종결식, 매콜리 종결식 등 다양한 변형이 존재하며, 컴퓨터 대수 시스템에서 중요한 도구로 활용된다.

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종결식
정의
대상	다항식 f와 g
종류	다항식의 계수로 구성된 표현식
의미	두 다항식이 공통 근을 갖는지 여부를 나타내는 값
수학적 정의
다항식 f(x)	f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (aₙ ≠ 0)
f(x)의 근	α₁, …, αₙ
다항식 g(x)	g(x) = bₘxᵐ + bₘ₋₁xᵐ⁻¹ + … + b₁x + b₀ (bₘ ≠ 0)
g(x)의 근	β₁, …, βₘ
종결식 (resultant)	Res(f, g) = aₙᵐ ∏ᵢ g(αᵢ) = (-1)ⁿᵐ bₘⁿ ∏ⱼ f(βⱼ) = aₙᵐbₘⁿ ∏ᵢ,ⱼ (αᵢ - βⱼ)
조건	f와 g가 공통 근을 가짐 ↔ Res(f, g) = 0
계산 방법
행렬식	실베스터 행렬의 행렬식으로 계산 가능
실베스터 행렬	(m+n) × (m+n) 크기의 정사각행렬
컴퓨터 대수 시스템	컴퓨터 대수 시스템을 통해 효율적으로 계산 가능
활용
다항식 연립 방정식	다항식 연립 방정식의 해를 구하는 데 활용
기약성 판정	다항식의 기약성 판정에 활용
계산 대수 기하학	계산 대수 기하학에서 중요한 역할 수행
잏반화	다변수 다항식으로 일반화 가능

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 를 계수로 갖는 두 다항식

: $p(x)=p_{\deg p}x^{\deg p}+\cdots\in K[x]$

: $q(x)=q_{\deg q}x^{\deg q}+\cdots\in K[x]$

의 '''종결식'''은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{res}(p,q)=p_{\deg p}^{\deg q}q_{\deg q}^{\deg q}\prod_{x\colon p(x)=0}\prod_{y\colon q(y)=0}(x-y)$

이는 $p$ 의 근들과 $q$ 의 근들의 모든 차를 곱한 값으로, 근이 중복될 경우 중복된 횟수만큼 거듭하여 곱한다.

종결식은 실베스터 행렬의 행렬식과 같으며, $p$ 와 $q$ 의 계수들의 다항식이므로, 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 가환환의 계수를 갖는 다항식환에서도 정의할 수 있다.^[4]

2. 1. 표기법

두 일변수 다항식 ''A''와 ''B''의 종결식은 일반적으로

\operatorname{res}(A,B)

또는

\operatorname{Res}(A,B)

로 표기한다.

다변수 다항식의 경우, 다른 변수를 계수로 갖는 한 변수에 대한 일변수 다항식으로 간주될 수 있다. 이때 종결식을 정의하고 계산하기 위해 선택된 변수는 아래첨자로 표시하는데,

\operatorname{res}_x(A,B)

또는

\operatorname{Res}_x(A,B)

와 같이 나타낸다.

다항식의 차수는 종결식 정의에 사용된다. 그러나 ''d'' 차수의 다항식은 최고차항 계수가 0인 더 높은 차수의 다항식으로 간주될 수도 있다. 이러한 더 높은 차수가 종결식에 사용되는 경우,

\operatorname{res}_{d,e}(A,B)

또는

\operatorname{res}_x^{d,e}(A,B)

와 같이 일반적으로 아래첨자 또는 위첨자로 표시한다.

이 절과 하위 절에서 ''A''와 ''B''는 각각 ''d''와 ''e'' 차수의 ''x''에 대한 두 다항식이며, 그 결과는

\operatorname{res}(A,B)

로 표시한다.

2. 2. 실베스터 행렬을 이용한 정의

대수적으로 닫힌 체 계수를 갖는 두 다항식

:

p(x)=p_{\deg p}x^{\deg p}+\cdots\in K[x]

:

q(x)=q_{\deg q}x^{\deg q}+\cdots\in K[x]

의 종결식은 두 다항식의 계수로 구성된 실베스터 행렬의 행렬식으로 정의된다.

두 일변수 다항식의 결합자는 체 또는 가환환에서 일반적으로 해당 실베스터 행렬의 행렬식으로 정의된다. 보다 구체적으로,

:

A = a_0 x^d + a_1 x^{d-1} + \cdots + a_d

:

B = b_0 x^e + b_1 x^{e-1} + \cdots + b_e

각각 차수가

d

와

e

인 0이 아닌 다항식이라고 하자.

\mathcal{P}_i

를 요소가 차수가

i

보다 엄격하게 작은 다항식인 차원

i

의 벡터 공간 (또는 계수가 가환환에 속하는 경우 자유 가군)으로 표시하자. 맵

:

\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}

는

:

\varphi(P,Q) = AP + BQ

와 같으며 차원이 같은 두 공간 사이의 선형 맵이다.

x

의 거듭제곱의 기저 (내림차순으로 나열됨)에서 이 맵은 차원이

d+e

인 정사각 행렬로 표현되며, 이는

A

와

B

의 "실베스터 행렬"이라고 한다.

따라서

A

와

B

의 결합자는 행렬식

:

\begin{vmatrix}a_0      & 0           & \cdots & 0          & b_0        & 0              & \cdots & 0       \\a_1    & a_0       & \cdots & 0           & b_1     & b_0           & \cdots & 0  \\a_2    & a_1     & \ddots & 0           & b_2     & b_1         & \ddots & 0 \\\vdots  &\vdots   & \ddots & a_0        & \vdots   &\vdots       & \ddots & b_0  \\a_d       & a_{d-1} & \cdots & \vdots   & b_e       & b_{e-1}     & \cdots & \vdots\\0          & a_d       & \ddots &  \vdots  & 0          & b_e          & \ddots &  \vdots  \\\vdots  & \vdots   & \ddots & a_{d-1}  & \vdots  & \vdots      & \ddots & b_{e-1}   \\0          & 0          & \cdots  & a_d       & 0           & 0              & \cdots & b_e\end{vmatrix}

이며, 이 행렬은

a_i

의

e

열과

b_j

의

d

열을 갖는다.

예를 들어,

d = 3

과

e = 2

를 사용하면

:

\begin{vmatrix}a_0    & 0     & b_0   & 0    & 0 \\a_1    & a_0   & b_1   & b_0  & 0  \\a_2    & a_1   & b_2   & b_1  & b_0 \\a_3    & a_2   & 0     & b_2  & b_1 \\0      & a_3   & 0     & 0    & b_2\end{vmatrix}

를 얻는다.

다항식의 계수가 정역에 속하는 경우

:

\operatorname{res}(A, B) = a_0^e b_0^d \prod_{\begin{array}{c}1 \leq i \leq d\\ 1 \leq j \leq e\end{array}} (\lambda_i-\mu_j) = a_0^e \prod_{i=1}^d B(\lambda_i) = (-1)^{de} b_0^d \prod_{j=1}^e A(\mu_j),

여기서

\lambda_1, \dots, \lambda_d

및

\mu_1,\dots,\mu_e

는 정역을 포함하는 임의의 대수적으로 닫힌 체에서

A

와

B

의 중복도를 포함하여 계산된 근이다.

복소수의 체에서, 다항식

:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

의 중복을 포함한 근을

\alpha_1, \dots, \alpha_n

,

:

g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0

의 중복을 포함한 근을

\beta_1, \dots, \beta_m

라고 할 때, 다음 등식이 성립한다.^[4]

:

{a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots  &a_0     &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &        &\ddots &    \\&        &a_n    &a_{n-1} &\cdots  &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0     &        &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &\ddots  &       &    \\&        &\ddots &\ddots  &        &\ddots &    \\&        &       &b_m     &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{vmatrix}

:（대각 성분에

a_n

이

m

개,

b_0

이

n

개）

3. 성질

종결식은 두 다항식의 계수에 대한 다항식이며, 두 다항식이 공통근을 갖는지 여부를 나타내는 중요한 정보를 제공한다.

가환환 $R$ 및 $p,q,r\in R[x]$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[5]

(등급 가환성) $\operatorname{res}(p,q)=(-1)^{\deg p\deg q}\operatorname{res}(q,p)$
(승법성) $\operatorname{res}(pq,r)=\operatorname{res}(p,r)\operatorname{res}(q,r)$

대수적으로 닫힌 체

K

및 0이 아닌

p,q\in K[x]

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[5]

$\operatorname{res}(p,q)=0$
$p$ 와 $q$ 는 적어도 하나의 근을 공유한다.
$p$ 와 $q$ 의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

정역 계수를 가진 두 다항식의 결합 행렬식은 두 다항식이 양의 차수를 가진 공통 약수를 가질 때에만 0이다. 정수 영역 계수를 가진 두 다항식의 결합 행렬식은 두 다항식이 계수를 포함하는 대수적 폐체에서 공통 근을 가질 때에만 0이다.

Elimination Property|소거 성질^영어은 다항식 아이디얼의 소거 이론에서 핵심적인 역할을 하며, 공통 영점 집합과의 관계를 명확히 보여준다.

I=\langle A, B\rangle

를 다항식환

R[x]

에서 두 다항식

A

와

B

에 의해 생성된 아이디얼이라고 하자. 여기서

R=k[y_1,\ldots,y_n]

는 체 위의 다항식환이다. 만약

A

와

B

중 적어도 하나가

x

에 대해 모닉 다항식이라면 다음이 성립한다.

$\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R$
아이디얼 $I\cap R$ 과 $R\operatorname{res}_x(A,B)$ 는 동일한 대수적 집합을 정의한다. 즉, 대수적으로 닫힌 체의 $n$ 개 원소 튜플이 $I\cap R$ 의 원소들의 공통 영점일 필요충분조건은 $\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 영점인 것이다.
아이디얼 $I\cap R$ 은 아이디얼의 근기가 주 아이디얼 $R\operatorname{res}_x(A,B)$ 와 같다. 즉, $I\cap R$ 의 각 원소는 $\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 배수인 거듭제곱을 갖는다.
$\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 모든 기약 다항식 인수들은 $I\cap R$ 의 모든 원소를 나눈다.

일반 종결식은 절대 기약 다항식이며, 주어진 다항식들로 생성되는 아이디얼과 밀접한 관련이 있다. 차수가

d

와

e

인 두 다항식

A = a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d

와

B = b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e

의

d + e + 2

개의 계수를 서로 다른 미지수로 생각하고,

R = \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_d, b_0, \ldots, b_e]

를 이 미지수로 정의된 정수 위의 다항식 환이라고 하면, 결합자

\operatorname{res}(A,B)

는 차수

d

와

e

에 대한 '''일반 결합자'''라고 불리며 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\operatorname{res}(A,B)$ 는 절대 기약 다항식이다.
만약 $I$ 가 $A$ 와 $B$ 에 의해 생성된 $R[x]$ 의 아이디얼이라면, $I\cap R$ 는 $\operatorname{res}(A,B)$ 에 의해 생성된 주 아이디얼이다.

일반 종결식은 각 다항식의 계수들에 대해 동차 다항식이며, 준동차 다항식의 성질도 갖는다. 이는 다변수 다항식의 종결식을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 차수

d

와

e

에 대한 일반적인 결합식은 여러 면에서 동차적이다.

$a_0, \ldots, a_d$ 에 대해 차수 $e$ 의 동차식이다.
$b_0, \ldots, b_e$ 에 대해 차수 $d$ 의 동차식이다.
모든 변수 $a_i$ 와 $b_j$ 에 대해 차수 $d+e$ 의 동차식이다.
만약 $a_i$ 와 $b_i$ 에 가중치 $i$ 가 주어지면 (즉, 각 계수의 가중치는 기본 대칭 다항식으로서의 차수이다), 총 가중치 $de$ 의 준동차적이다.
만약 $P$ 와 $Q$ 가 각각 차수 $d$ 와 $e$ 를 갖는 동차 다변수 다항식이라면, $\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)$ 로 표기되는, 변수 $x$ 에 대한 차수 $d$ 와 $e$ 에서의 결합식은 다른 미지수에 대해 차수 $de$ 의 동차식이다.

환 준동형사상

\varphi\colon R\to S

가 주어졌을 때 (여기서

R

과

S

는 가환환) 다항식의 계수에

\varphi

를 적용하면

\varphi

는 다항식 환

R[x]\to S[x]

의 준동형사상으로 확장된다. 이 확장된 준동형사상을 같은 기호

\varphi

로 나타내면, 종결식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\varphi$ 가 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 차수를 보존하면(즉, $\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = e$ 이면), $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) < d$ 이고 $\deg(\varphi(B))< e$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) =f < e$ 이고, $A$ 의 최고차항 계수가 $a_0$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = f 이고 \deg(\varphi(B)) = e 이고, B 의 최고차항 계수가 b_0 이면, \varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)) 이다.$

변수 변환에 대한 불변성은 다음과 같다.

$\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))$
$\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))$
$A_r(x) = x^d A(1/x)$ 그리고 $B_r(x) = x^e B(1/x)$ 가 각각 $A$ 와 $B$ 의 역수 다항식이라면, $\operatorname{res}(A_r, B_r) = (-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)$ 이다.

이는 종결식이 0이라는 속성이 변수의 선형 및 사영 변환에 대해 불변함을 의미한다.

두 다항식에 상수배를 하거나, 한 다항식에 다른 다항식의 상수배를 더하는 변환에 대해 종결식은 특정 인자만큼 곱해지는 형태로 변한다.

''a''와 ''b''가 0이 아닌 상수이고, ''A''와 ''B''가 다항식일 때, $\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B)$ 이다.
''A''와 ''B''가 다항식이고, ''C''가 ''A'' – ''CB''의 차수가 δ가 되도록 하는 또 다른 다항식이라면, $\operatorname{res}(B, A-CB)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(B,A)$ 이다.
특히, ''B''가 모닉 다항식이거나, deg ''C'' < deg ''A'' – deg ''B''이면, $\operatorname{res}(B,A-CB) = \operatorname{res}(B,A)$ 이다.
deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''이면, $\operatorname{res}(B,A-CB)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(B,A)$ 이다.

3. 1. 특징적 성질

가환환

R

및

p,q,r\in R[x]

에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

'''등급 가환성:''' $\operatorname{res}(p,q)=(-1)^{\deg p\deg q}\operatorname{res}(q,p)$
'''승법성:''' $\operatorname{res}(pq,r)=\operatorname{res}(p,r)\operatorname{res}(q,r)$ ^[5]

대수적으로 닫힌 체

K

및 0이 아닌

p,q\in K[x]

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[5]

$\operatorname{res}(p,q)=0$
$p$ 와 $q$ 는 적어도 하나의 근을 공유한다.
$p$ 와 $q$ 의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

계수가 가환환인 두 다항식의 종결식은 다음 속성들을 만족하는 고유한 함수이다. (만약 이 체이거나 정역이라면, 종결식은 두 다항식의 계수에 대한 고유한 함수이다.)

만약 R이 다른 환 S의 부분환이라면, $\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).$ 즉, A와 B는 R 또는 S에 대한 다항식으로 간주될 때 동일한 종결식을 갖는다.
만약 $A=a_0$ 이 0이 아닌 상수이면 $\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.$ 마찬가지로, $B=b_0$ 이면 $\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.$
$\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1$
$\operatorname{res}(B,A)=(-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)$
$\operatorname{res}(AB,C) = \operatorname{res}(A,C)\operatorname{res}(B,C)$

A

와

B

를 각각 가환환

R

의 계수를 갖는 차수

d

와

e

의 두 다항식이라고 하고,

\varphi\colon R\to S

를

R

에서 다른 가환환

S

로의 환 준동형사상이라고 하자. 다항식의 계수에

\varphi

를 적용하면

\varphi

를 다항식 환

R[x]\to S[x]

의 준동형사상으로 확장할 수 있으며, 이는

\varphi

로 표기한다. 이 표기법을 사용하면 다음과 같다.

만약 $\varphi$ 가 $A$ 와 $B$ 의 차수를 보존한다면(즉, $\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = e$ 라면), $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).$
만약 $\deg(\varphi(A)) < d$ 이고 $\deg(\varphi(B))< e,$ 라면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0.$
만약 $\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) =f < e,$ 이고 $A$ 의 최고차항 계수가 $a_0$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).$
만약 $\deg(\varphi(A)) = f 이고 \deg(\varphi(B)) = e, 이고 B 의 최고차항 계수가 b_0 이면, \varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).$

이러한 성질들은 행렬식으로서의 결과식의 정의로부터 쉽게 추론할 수 있다. 이는 주로 두 가지 상황에서 사용된다. 정수 계수를 가진 다항식의 결과식을 계산할 때, 이를 여러 소수에 대해 모듈러로 계산하고 중국인의 나머지 정리를 사용하여 원하는 결과식을 얻는 것이 일반적으로 더 빠르다. R이 다른 부정원들에 대한 다항식 환이고, S가 R의 일부 또는 모든 부정원들을 수치 값으로 특수화하여 얻은 환인 경우, 이러한 성질들은 다음과 같이 다시 나타낼 수 있다. ''특수화에 의해 차수가 보존되면, 두 다항식의 특수화의 결과식은 결과식의 특수화이다.'' 이 성질은 예를 들어 원통 대수적 분해에서 기본적으로 사용된다.

만약 $a$ 와 $b$ 가 0이 아닌 상수(즉, 미지수 $x$ 에 독립적)이고, $A$ 와 $B$ 가 위에 정의된 바와 같다면, $\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B).$
만약 $A$ 와 $B$ 가 위에 정의된 바와 같고, $C$ 가 $A-CB$ 의 차수가 $\delta$ 가 되도록 하는 또 다른 다항식이라면, $\operatorname{res}(B, A-CB)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(B,A).$
특히, $B$ 가 모닉 다항식이거나, $\deg C < \deg A - \deg B$ 이면, $\operatorname{res}(B,A-CB) = \operatorname{res}(B,A),$ 그리고, $f = \deg C > \deg A - \deg B = d - e$ 이면, $\operatorname{res}(B,A-CB)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(B,A).$

이러한 성질들은 다항식의 유클리드 알고리즘과 그 변형들(유사 나머지 수열)에서, 두 개의 연속적인 나머지(또는 유사 나머지)의 종결식은 쉽게 계산할 수 있는 인자에 의해 초기 다항식의 종결식과 다르다는 것을 의미한다. 반대로, 이것은 마지막 나머지 또는 유사 나머지의 값으로부터 초기 다항식의 종결식을 추론할 수 있게 한다. 이것은 부분 종결식-유사 나머지-수열 알고리즘의 기본 아이디어이며, 부분 종결식을 유사 나머지로 얻기 위해 위의 공식을 사용하고, 종결식을 마지막 0이 아닌 유사 나머지로 사용한다(종결식이 0이 아닌 경우). 이 알고리즘은 정수 또는, 더 일반적으로, 정수 도메인에 대한 다항식에 대해 정확한 나눗셈(즉, 분수를 포함하지 않음) 외에는 어떠한 나눗셈도 없이 작동한다. 이 알고리즘은

O(de)

개의 산술 연산을 포함하는 반면, 실베스터 행렬의 행렬식을 표준 알고리즘으로 계산하려면

O((d+e)^3)

개의 산술 연산이 필요하다.

다음과 같이 다항식 f와 g가 주어졌을때,

:

f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

(

a_n \ne 0

),

:

g(x)=b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots b_1 x + b_0

(

b_m \ne 0

),

f의 중복을 포함한 근을

\alpha_1, \dots, \alpha_n

, g의 중복을 포함한 근을

\beta_1, \dots, \beta_m

라고 할 때, 다음 등식이 성립한다.^[4]

:

{a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots  &a_0     &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &        &\ddots &    \\&        &a_n    &a_{n-1} &\cdots  &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0     &        &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &\ddots  &       &    \\&        &\ddots &\ddots  &        &\ddots &    \\&        &       &b_m     &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{vmatrix}

(대각 성분에

a_n

이

m

개,

b_0

이

n

개)

3. 2. 영점 (Zeros)

대수적으로 닫힌 체

K

및 0이 아닌 다항식

p,q\in K[x]

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[5]

$\operatorname{res}(p,q)=0$
$p$ 와 $q$ 는 적어도 하나의 근을 공유한다.
$p$ 와 $q$ 의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

정역 계수를 가진 두 다항식의 결합 행렬식은 두 다항식이 양의 차수를 가진 공통 약수를 가질 때에만 0이다. 정수 영역 계수를 가진 두 다항식의 결합 행렬식은 두 다항식이 계수를 포함하는 대수적 폐체에서 공통 근을 가질 때에만 0이다.

차수가

e

미만인 다항식

P

와 차수가

d

미만인 다항식

Q

가 존재하여

\operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.

가 성립한다. 이는 임의의 가환환 위 다항식에 대한 베주 항등식의 일반화이다. 즉, 두 다항식의 결합 행렬식은 이들 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속한다.

n

차 다항식

:

f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

(

a_n \ne 0

)

의 중복을 포함한 근을

\alpha_1, \dots, \alpha_n

,

m

차 다항식

:

g(x)=b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0

(

b_m \ne 0

)

의 중복을 포함한 근을

\beta_1, \dots, \beta_m

라고 할 때, 다음 등식이 성립한다.^[4]

:

{a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots  &a_0     &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &        &\ddots &    \\&        &a_n    &a_{n-1} &\cdots  &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0     &        &       &    \\&\ddots  &\ddots &        &\ddots  &       &    \\&        &\ddots &\ddots  &        &\ddots &    \\&        &       &b_m     &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{vmatrix}

: (대각 성분에

a_n

이

m

개,

b_0

이

n

개)

3. 3. 환 준동형사상에 대한 불변성

환 준동형사상

\varphi\colon R\to S

가 주어졌을 때 (여기서

R

과

S

는 가환환) 다항식의 계수에

\varphi

를 적용하면

\varphi

는 다항식 환

R[x]\to S[x]

의 준동형사상으로 확장된다. 이 확장된 준동형사상을 같은 기호

\varphi

로 나타내면, 종결식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\varphi$ 가 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 차수를 보존하면(즉, $\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = e$ 이면), $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) < d$ 이고 $\deg(\varphi(B))< e$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) =f < e$ 이고, $A$ 의 최고차항 계수가 $a_0$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = f 이고 \deg(\varphi(B)) = e 이고, B 의 최고차항 계수가 b_0 이면, \varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)) 이다.$

이러한 성질은 종결식의 행렬식 정의에서 유도된다.

이 성질은 정수 계수 다항식의 종결식을 계산할 때 유용하게 사용된다. 여러 소수에 대해 모듈러 연산을 수행하고, 중국인의 나머지 정리를 사용하여 원래 종결식을 복원하는 것이 더 효율적일 수 있다.

또한,

R

이 다항식 환이고

S

가

R

의 일부 부정원(indeterminate)을 수치 값으로 특수화하여 얻은 환인 경우, "특수화에 의해 차수가 보존되면, 두 다항식의 특수화의 종결식은 결과식의 특수화이다"라는 명제로 요약할 수 있다. 이 성질은 원통 대수적 분해에서 중요하게 사용된다.

3. 4. 변수 변환에 대한 불변성

가환환

R

의 계수를 갖는 차수

d

와

e

의 두 다항식

A

와

B

에 대해,

R

에서 다른 가환환

S

로의 환 준동형사상

\varphi \colon R \to S

를 생각할 수 있다. 다항식의 계수에

\varphi

를 적용하면 다항식 환

R[x] \to S[x]

의 준동형사상으로 확장되며, 이는

\varphi

로 표기한다.

$\varphi$ 가 $A$ 와 $B$ 의 차수를 보존하면(즉, $\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = e$ 이면), $\varphi(\operatorname{res}(A, B)) = \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) < d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) < e$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A, B)) = 0$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = f < e$ 이며, $A$ 의 최고차항 계수가 $a_0$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A, B)) = \varphi(a_0)^{e - f} \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.
$\deg(\varphi(A)) = f < d$ 이고 $\deg(\varphi(B)) = e$ 이며, $B$ 의 최고차항 계수가 $b_0$ 이면, $\varphi(\operatorname{res}(A, B)) = (-1)^{e(d - f)} \varphi(b_0)^{d - f} \operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B))$ 이다.

이러한 성질들은 행렬식으로서의 결과식 정의에서 쉽게 유도된다.

변수 변환에 대한 불변성은 다음과 같다.

$\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))$
$\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))$
$A_r(x) = x^d A(1/x)$ 그리고 $B_r(x) = x^e B(1/x)$ 가 각각 $A$ 와 $B$ 의 역수 다항식이라면, $\operatorname{res}(A_r, B_r) = (-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)$ 이다.

이는 종결식이 0이라는 속성이 변수의 선형 및 사영 변환에 대해 불변함을 의미한다.

3. 5. 다항식 변환에 대한 불변성

두 다항식에 상수배를 하거나, 한 다항식에 다른 다항식의 상수배를 더하는 변환에 대해 종결식은 특정 인자만큼 곱해지는 형태로 변한다.

''a''와 ''b''가 0이 아닌 상수이고, ''A''와 ''B''가 다항식일 때, 다음이 성립한다.

\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B).

''A''와 ''B''가 다항식이고, ''C''가 ''A'' – ''CB''의 차수가 δ가 되도록 하는 또 다른 다항식이라면, 다음이 성립한다.

\operatorname{res}(B, A-CB)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(B,A).

특히, ''B''가 모닉 다항식이거나, deg ''C'' < deg ''A'' – deg ''B''이면, 다음이 성립한다.

\operatorname{res}(B,A-CB) = \operatorname{res}(B,A).

deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''이면, 다음이 성립한다.

\operatorname{res}(B,A-CB)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(B,A).

이러한 성질들은 다항식의 유클리드 알고리즘과 그 변형(유사 나머지 수열)에서, 두 개의 연속적인 나머지(또는 유사 나머지)의 종결식이 초기 다항식의 종결식과 쉽게 계산할 수 있는 인자만큼 다르다는 것을 의미한다. 이는 부분 종결식-유사 나머지-수열 알고리즘의 핵심 아이디어이며, 이 알고리즘은 정수 또는 정수 도메인에 대한 다항식에 대해 정확한 나눗셈 외에는 어떠한 나눗셈도 없이 작동한다. 이 알고리즘은

O(de)

개의 산술 연산을 포함하는 반면, 실베스터 행렬의 행렬식을 표준 알고리즘으로 계산하려면

O((d+e)^3)

개의 산술 연산이 필요하다.^[5]

3. 6. 일반적인 성질 (Generic Properties)

일반 종결식은 절대 기약 다항식이며, 주어진 다항식들로 생성되는 아이디얼과 밀접한 관련이 있다.

두 다항식

:

A = a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d

:

B = b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e

의

d + e + 2

개의 계수를 서로 다른 미지수로 생각하자.

R = \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_d, b_0, \ldots, b_e]

를 이 미지수로 정의된 정수 위의 다항식 환이라고 하면, 결합자

\operatorname{res}(A,B)

는 차수

d

와

e

에 대한 '''일반 결합자'''라고 불리며 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\operatorname{res}(A,B)$ 는 절대 기약 다항식이다.
만약 $I$ 가 $A$ 와 $B$ 에 의해 생성된 $R[x]$ 의 아이디얼이라면, $I\cap R$ 는 $\operatorname{res}(A,B)$ 에 의해 생성된 주 아이디얼이다.

3. 7. 동차성 (Homogeneity)

일반 종결식은 각 다항식의 계수들에 대해 동차 다항식이며, 준동차 다항식의 성질도 갖는다. 이는 다변수 다항식의 종결식을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

차수

d

와

e

에 대한 일반적인 결합식은 여러 면에서 동차적이다. 좀 더 자세히 말하면 다음과 같다.

$a_0, \ldots, a_d$ 에 대해 차수 $e$ 의 동차식이다.
$b_0, \ldots, b_e$ 에 대해 차수 $d$ 의 동차식이다.
모든 변수 $a_i$ 와 $b_j$ 에 대해 차수 $d+e$ 의 동차식이다.
만약 $a_i$ 와 $b_i$ 에 가중치 $i$ 가 주어지면 (즉, 각 계수의 가중치는 기본 대칭 다항식으로서의 차수이다), 총 가중치 $de$ 의 준동차적이다.
만약 $P$ 와 $Q$ 가 각각 차수 $d$ 와 $e$ 를 갖는 동차 다변수 다항식이라면, $\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)$ 로 표기되는, 변수 $x$ 에 대한 차수 $d$ 와 $e$ 에서의 결합식은 다른 미지수에 대해 차수 $de$ 의 동차식이다.

3. 8. 소거 성질 (Elimination Property)

Elimination Property|소거 성질^영어은 다항식 아이디얼의 소거 이론에서 핵심적인 역할을 하며, 공통 영점 집합과의 관계를 명확히 보여준다.

I=\langle A, B\rangle

를 다항식환

R[x]

에서 두 다항식

A

와

B

에 의해 생성된 아이디얼이라고 하자. 여기서

R=k[y_1,\ldots,y_n]

는 체 위의 다항식환이다. 만약

A

와

B

중 적어도 하나가

x

에 대해 모닉 다항식이라면 다음이 성립한다.

$\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R$
아이디얼 $I\cap R$ 과 $R\operatorname{res}_x(A,B)$ 는 동일한 대수적 집합을 정의한다. 즉, 대수적으로 닫힌 체의 $n$ 개 원소 튜플이 $I\cap R$ 의 원소들의 공통 영점일 필요충분조건은 $\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 영점인 것이다.
아이디얼 $I\cap R$ 은 아이디얼의 근기가 주 아이디얼 $R\operatorname{res}_x(A,B)$ 와 같다. 즉, $I\cap R$ 의 각 원소는 $\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 배수인 거듭제곱을 갖는다.
$\operatorname{res}_x(A,B)$ 의 모든 기약 다항식 인수들은 $I\cap R$ 의 모든 원소를 나눈다.

첫 번째 주장은 결합식(resultant)의 기본적인 성질이다. 다른 주장들은 두 번째 주장의 직접적인 따름정리이며, 다음과 같이 증명할 수 있다.

A

와

B

중 적어도 하나가 모닉이므로, 튜플

(\beta_1,\ldots, \beta_n)

은

\operatorname{res}_x(A,B)

의 영점일 필요충분조건은

(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)

가

A

와

B

의 공통 영점이 되도록 하는

\alpha

가 존재하는 것이다. 이러한 공통 영점은 또한

I\cap R

의 모든 원소의 영점이기도 하다. 반대로, 만약

(\beta_1,\ldots, \beta_n)

이

I\cap R

의 원소들의 공통 영점이라면, 그것은 결합식의 영점이며,

(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)

가

A

와

B

의 공통 영점이 되도록 하는

\alpha

가 존재한다. 따라서

I\cap R

과

R\operatorname{res}_x(A,B)

는 정확히 동일한 영점을 갖는다.

4. 계산

종결식은 이론적으로 근의 차를 이용한 곱으로 계산할 수 있다. 주어진 식은 다음과 같다.^[4]

: ${a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 & & \\&\ddots &\ddots & & &\ddots & \\& &a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0 & & & \\&\ddots &\ddots & &\ddots & & \\& &\ddots &\ddots & &\ddots & \\& & &b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{vmatrix}$

하지만 이 방법은 실제로 근을 정확하게 계산하기 어렵기 때문에 비효율적이며 수치적 불안정성을 갖는다.

실제로는 실베스터 행렬의 행렬식을 이용하는 것이 일반적이다. 차수가 각각 d와 e인 두 다항식

$A = a_0 x^d + a_1 x^{d-1} + \cdots + a_d$
$B = b_0 x^e + b_1 x^{e-1} + \cdots + b_e$

의 종결식은 다음과 같은 실베스터 행렬의 행렬식으로 정의된다.

:

\begin{vmatrix}a_0      & 0           & \cdots & 0          & b_0        & 0              & \cdots & 0       \\a_1    & a_0       & \cdots & 0           & b_1     & b_0           & \cdots & 0  \\a_2    & a_1     & \ddots & 0           & b_2     & b_1         & \ddots & 0 \\\vdots  &\vdots   & \ddots & a_0        & \vdots   &\vdots       & \ddots & b_0  \\a_d       & a_{d-1} & \cdots & \vdots   & b_e       & b_{e-1}     & \cdots & \vdots\\0          & a_d       & \ddots &  \vdots  & 0          & b_e          & \ddots &  \vdots  \\\vdots  & \vdots   & \ddots & a_{d-1}  & \vdots  & \vdots      & \ddots & b_{e-1}   \\0          & 0          & \cdots  & a_d       & 0           & 0              & \cdots & b_e\end{vmatrix}

이 행렬은 의 열과 의 열을 갖는다.

유클리드 호제법 및 유사 나머지 수열을 이용하는 방법도 효율적이다. 특히, 부분 종결식 유사 나머지 수열 알고리즘은 정수 계수 다항식에 대해 정확한 나눗셈(분수를 사용하지 않음) 외에는 어떠한 나눗셈도 없이 작동하며, O(de) 개의 산술 연산을 필요로 한다. 실베스터 행렬의 행렬식을 표준 알고리즘으로 계산하는 경우 O((d+e)³) 개의 산술 연산이 필요하므로, 부분 종결식 유사 나머지 수열 알고리즘이 더 효율적이다.

고속 곱셈 알고리즘을 활용하면 더욱 개선된 시간 복잡도를 얻을 수 있다.

5. 응용

종결식(Resultant)은 다항식 시스템의 해를 구하는 데 중요한 도구로 사용되며, 여러 분야에 응용된다.

수론: 판별식과 함께 수론의 기본적인 도구이다. 대수적 수의 합과 곱이 다시 대수적 수가 됨을 증명하는 데 사용될 수 있다.
대수기하학: 두 평면 대수 곡선의 교차점을 계산하거나, 유리 곡선의 음함수 방정식을 구하는 데 사용된다.
기호 적분: 유리 함수의 부정 적분을 계산할 때, 부분 분수 분해와 함께 사용되어 적분 결과를 더 간단한 형태로 표현할 수 있게 한다. 특히, 라자드–리오보–트레이거 방법은 종결식을 이용하여 대수적 수를 최소화한 적분 표현을 제공한다.
컴퓨터 대수: 컴퓨터 대수학에서 중요한 도구이며, 대부분의 컴퓨터 대수 시스템에 효율적으로 구현되어 있다.^[1]

5. 1. 다항식 시스템 (Application to Polynomial Systems)

결합자는 다항식 방정식 시스템을 풀기 위해 도입되었으며, 이러한 시스템을 풀기 위한 알고리즘이 존재한다는 가장 오래된 증거를 제공한다. 결합자는 주로 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식 시스템에 사용되지만, 일반적인 시스템도 해결할 수 있다.

두 개의 미지수를 갖는 두 다항식 방정식 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\begin{align}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{align}

여기서

P

와

Q

는 각각 전체 차수

d

와

e

를 갖는 다항식이다. 이때,

R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)

는

x

에 관한 다항식이 되며, 일반적으로

de

차수를 갖는다.

x

의 값

\alpha

가

R

의 근이 되는 경우는 다음 두 가지 중 하나이다.

계수를 포함하는 대수적 폐체에서 $\beta$ 가 존재하여 $P(\alpha,\beta) = Q(\alpha,\beta)=0$ 인 경우
$\deg(P(\alpha,y)) 및 \deg(Q(\alpha,y)) 인 경우 (이 경우 P 와 Q 는 x=\alpha 에 대해 무한대에서 공통 근을 갖는다고 한다.)$

따라서, 시스템의 해는

R

의 근을 계산하고, 각 근

\alpha

에 대해

P(\alpha,y),

Q(\alpha,y),

및

\operatorname{res}_x(P,Q).

의 공통 근을 계산하여 얻을 수 있다.

베주의 정리는

\deg\left(\operatorname{res}_y(P,Q)\right)\le de

의 값, 즉

P

와

Q

의 차수의 곱에서 유도된다. 변수의 선형 변화 후, 결과식의 각 근

x

에 대해

(x, y)

가

P

와

Q

의 공통 영점인

y

의 값이 정확히 하나 있다고 가정할 수 있다. 이를 통해 공통 영점의 수가 결과식의 차수, 즉

P

와

Q

의 차수의 곱 이하임을 알 수 있다.

일반적인 다항식 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\begin{align}P_1(x_1, \ldots, x_n) &= 0 \\&\;\;\vdots \\P_k(x_1, \ldots, x_n) &= 0\end{align}

이 경우, U-종결식을 이용하여 해를 구할 수 있다. 19세기 말에 소개된 방법은

k-1

개의 새로운 미지수

U_2, \ldots, U_k

를 도입하고

\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).

를 계산한다. 이것은

U_2, \ldots, U_k

에 대한 다항식이며, 그 계수는

x_1, \ldots, x_{n-1}

의 다항식이다. 이 다항식 계수의 공통 영점이

\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}

인 것은, 일변수 다항식

P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)

이 공통 영점, 아마도 무한대에서 공통 영점을 가지는 것과 같다. 이 과정을 일변수 다항식을 찾을 때까지 반복한다.

Macaulay의 결합자는 Macaulay가 "U-결합자"라고 부르는 다항식 방정식 시스템을 푸는 방법을 제공한다.

n-1

차수의 동차 다항식

P_1, \ldots, P_{n-1}

이 주어지면,

d_1, \ldots, d_{n-1}

개의 미지수

x_1, \ldots, x_n

에 대한 체

k

에 대해, 그들의 '''U-결합자'''는

n

다항식

P_1, \ldots, P_{n-1}, P_n

의 결합자이며, 여기서

P_n = u_1 x_1 + \cdots + u_n x_n

는 계수가 새로운 미지수

u_1, \ldots, u_n

인 일반적인 선형 형식이다.

U-결합자는

k[u_1, \ldots, u_n].

의 동차 다항식이다.

P_1, \ldots, P_{n-1}

의 공통 영점이 양의 차원의 사영 대수적 집합을 형성하는 경우에만 0이 된다. 만약 U-결합자가 0이 아니면, 그 차수는 Bézout 경계

d_1\cdots d_{n-1}

이다.

U-결합자는

k

의 대수적으로 닫힌 확장에서 선형 형식의 곱으로 인수분해된다. 만약

\alpha_1u_1+\ldots+\alpha_nu_n

이 그러한 선형 인자라면,

\alpha_1, \ldots, \alpha_n

는

P_1, \ldots, P_{n-1}

의 공통 영점의 동차 좌표이다.

5. 2. 수론 (Number Theory)

판별식은 수론의 기본적인 도구이며,

a_0^{-1} (-1)^{n(n - 1)/2}\operatorname{res}_x(f(x), f'(x))

로 표현된다. 여기서

a_0

는

f(x)

의 최고차항 계수이고

n

은 차수이다.

만약

\alpha

와

\beta

가

P(\alpha) = Q(\beta) = 0

을 만족하는 대수적 수라면,

\gamma = \alpha+\beta

는 결과식

\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x))

의 근이고,

\tau = \alpha\beta

는

\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))

의 근이다. 여기서

n

은

Q(y)

의 차수이다. 그리고

1/\beta

가

y^n Q(1/y) = 0

의 근이라는 사실과 결합하면, 대수적 수의 집합이 체임을 알 수 있다.

K(\alpha)

를 원소

\alpha

에 의해 생성된 대수적 체 확장이라고 하고,

\alpha

는

P(x)

를 최소 다항식으로 가진다고 하자.

\beta \in K(\alpha)

의 모든 원소는

\beta = Q(\alpha)

로 쓸 수 있으며, 여기서

Q

는 다항식이다. 그러면

\beta

는

\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x))

의 근이며, 이 결과식은

\beta

의 최소 다항식의 거듭제곱이다.

5. 3. 대수기하학 (Algebraic Geometry)

두 개의 평면 대수 곡선이 다항식 ''P''(''x'', ''y'')와 ''Q''(''x'', ''y'')의 영점으로 정의되었을 때, 종결식은 교차점을 계산하는 데 사용된다. 더 정확하게는,

\operatorname{res}_y(P,Q)

의 근은 교차점과 공통 수직 점근선의 ''x'' 좌표이며,

\operatorname{res}_x(P,Q)

의 근은 교차점과 공통 수평 점근선의 ''y'' 좌표이다.

유리 곡선은 다음과 같은 매개 변수 방정식으로 정의될 수 있다.

x = \frac{P(t)}{R(t)},\qquady = \frac{Q(t)}{R(t)},

여기서 ''P'', ''Q'' 및 ''R''은 다항식이다. 곡선의 음함수 방정식은

\operatorname{res}_t(x R - P, y R - Q).

와 같이 주어진다. 이 곡선의 ''차수''는 ''P'', ''Q'' 및 ''R''의 최고 차수이며, 종결식의 총 차수와 같다.

5. 4. 기호 적분 (Symbolic Integration)

기호적 적분에서, 유리 함수의 부정 적분을 계산하기 위해, 부분 분수 분해를 사용하여 적분을 분해한다. 이때 분해된 각 항은 부정 원시 함수가 유리 함수인 "유리 부분"과, 다음과 같은 형태를 가지는 "로그 부분"으로 구성된다.

:

\frac{P(x)}{Q(x)}

여기서

Q(x)

는 제곱 인수가 없는 다항식이고

P(x)

는

Q(x)

보다 차수가 낮은 다항식이다. 이러한 함수의 부정 적분은 필연적으로 로그와, 일반적으로

Q(x)

의 근인 대수적 수를 포함한다. 실제로, 부정 적분은 다음과 같다.

:

\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \sum_{Q(\alpha)=0} \frac{P(\alpha)}{Q'(\alpha)} \log(x-\alpha)

여기서 합은

Q(x)

의 모든 복소수 근에 걸쳐 실행된다.

이 표현에 관련된 대수적 수의 수는 일반적으로

Q(x)

의 차수와 같지만, 더 적은 대수적 수를 사용하여 표현식을 계산하는 경우가 많다. 라자드–리오보–트레이거 방법은 대수적 수를 사용한 계산 없이 대수적 수의 수가 최소인 표현식을 생성한다. 이 방법에서 종결식은 다음과 같이 표현된다.

:

S_1(r) S_2(r)^2 \cdots S_k(r)^k = \operatorname{res}_r (rQ'(x)-P(x), Q(x))

오른쪽에 나타나는 결과는 제곱 인수가 없는 인수분해이다. 트레이거는 부정 적분이

:

\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x))

임을 보였다. 여기서 내부 합은

S_i(r)

의 근에 걸쳐 실행되고(

S_i(r)=1

이면 빈 합이므로 합은 0이다),

T_i(r,x)

는

x

에서 차수가

i

인 다항식이다. 라자드-리오보의 기여는

T_i(r,x)

가

rQ'(x)-P(x)

와

Q(x)

의 차수가

i

인 부분 결과라는 증명이다. 따라서 부분 결과 유사 나머지 수열에 의해 결과가 계산되면 무료로 얻을 수 있다.

5. 5. 컴퓨터 대수 (Computer Algebra)

종결식은 컴퓨터 대수학에서 기본적인 도구이며, 대부분의 컴퓨터 대수 시스템은 종결식 계산을 효율적으로 구현하고 있다.^[1]

6. 동차 종결식 (Homogeneous Resultant)

두 개의 미지수를 갖는 두 개의 동차 다항식에 대해서도 종결식이 정의된다. 두 개의 동차 다항식 P(x, y)^영어와 Q(x, y)^영어가 각각 전체 차수 p^영어와 q^영어를 갖는다고 할 때, 이들의 '''동차 종결식'''은 선형 맵의 단항식 기저에 대한 행렬의 행렬식이다.

:(A,B) ↦ AP+BQ^영어

여기서 A^영어는 q − 1^영어 차수의 이변수 동차 다항식에 대해, B^영어는 p − 1^영어 차수의 동차 다항식에 대해 각각 적용된다. 즉, P^영어와 Q^영어의 동차 종결식은 다음과 같다.

:

("Res"의 대문자는 두 개의 종결식을 구별하기 위해 사용되지만, 약어의 대문자에 대한 표준 규칙은 없다.)

동차 종결식은 일반적인 종결식과 본질적으로 동일한 속성을 가지며, 본질적으로 두 가지 차이점이 있다. 다항식 근 대신 사영 직선에서 영점을 고려하고, 다항식의 차수는 환 준동형에 따라 변경되지 않을 수 있다.

즉:

정역 위의 두 동차 다항식의 종결식은 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서 0이 아닌 공통 영점을 가질 때 0이다.
P^영어와 Q^영어가 가환환 R^영어의 계수를 갖는 두 개의 이변수 동차 다항식이고, 가 R^영어에서 다른 가환환 S^영어로의 환 준동형이면, 를 R^영어 위의 다항식으로 확장하여 를 얻는다.
동차 종결식이 0이 되는 속성은 변수의 모든 사영 변화에 대해 불변이다.

일반적인 종결식의 모든 속성은 동차 종결식으로 유사하게 확장될 수 있으며, 종결식 속성은 일반적인 종결식의 해당 속성과 매우 유사하거나 더 간단하다.

7. 매콜리 종결식 (Macaulay's Resultant)

'''매콜리 종결식'''(프랜시스 소어비 매컬리)은 '''다변수 종결식''' 또는 '''다항식 종결식'''이라고도 불리며, ''n''개의 미지수에 대한 ''n''개의 동차 다항식의 동차 결과식을 일반화한 것이다. 매콜리 종결식은 이러한 ''n''개의 동차 다항식의 계수에 대한 다항식이며, 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서 다항식들이 공통의 0이 아닌 해를 갖는 경우, 또는 동등하게, 다항식에 의해 정의된 ''n''개의 초표면이 ''n'' –1차원 사영 공간에서 공통의 영점을 갖는 경우에만 0이 된다.^[3] 다변수 종결식은 그뢰브너 기저와 함께 효과적인 소거 이론(컴퓨터에서의 소거 이론)의 주요 도구 중 하나이다.

동차 결과식과 마찬가지로 매콜리 종결식은 행렬식으로 정의될 수 있으므로 환 준동형에서 잘 작동한다. 그러나 단일 행렬식으로는 정의할 수 없다.

7. 1. 일반 동차 다항식의 결합자 (Resultant of Generic Homogeneous Polynomials)

일반 동차 다항식의 결합자(Resultant of Generic Homogeneous Polynomials^영어)는 특정 조건을 만족하는 정사각 행렬들의 최대공약수로 정의된다. 일반 결합자는 기약 다항식이며, 베주 경계와 관련된 차수를 갖는다.

''n'' 변수에서 ''d'' 차수의 동차 다항식은 최대

\binom{n+d-1}{n-1}=\frac{(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}

개의 계수를 가질 수 있으며, 이 계수들이 서로 다른 미지수이면 "일반적"이라고 한다.

P_1, \ldots, P_n

을 각각의 전체 차수

d_1, \dots, d_n

을 갖는 ''n'' 개의 일반적인 동차 다항식이라고 하자. 이들은 함께

\sum_{i=1}^n\binom{n+d_i-1}{n-1}

개의 미지 계수를 포함한다. ''C''를 이 모든 미지 계수를 갖는 정수 위의 다항식 링이라고 하자. 따라서 다항식

P_1, \ldots, P_n

은

C[x_1,\ldots, x_n]

에 속하며, 이들의 결과(아직 정의되지 않음)는 ''C''에 속한다.

'''Macaulay 차수'''는

D=d_1+\cdots+d_n-n+1

인 정수이며, Macaulay의 이론에서 근본적인 것이다. 결과를 정의하기 위해, 다음의 ''C''-선형 맵의 단항 기저에 대한 행렬인 '''Macaulay 행렬'''을 고려한다.

(Q_1, \ldots, Q_n)\mapsto Q_1P_1+\cdots+Q_nP_n,

여기서 각

Q_i

는 차수

D-d_i

의 동차 다항식에 걸쳐 있으며, 공역은 차수 ''D''의 동차 다항식의 ''C''-모듈이다.

n = 2

인 경우, Macaulay 행렬은 Sylvester 행렬이며, 정사각 행렬이지만,

n > 2

인 경우 더 이상 참이 아니다. 따라서, 행렬식을 고려하는 대신, 모든 최대 소행렬식을 고려하는데, 이는 Macaulay 행렬과 동일한 수의 행을 갖는 정사각 부분 행렬의 행렬식이다. Macaulay는 이 주 소행렬식에 의해 생성된 ''C''-아이디얼이 이 소행렬식의 최대공약수에 의해 생성되는 주 아이디얼임을 증명했다. 정수 계수를 갖는 다항식으로 작업하므로, 이 최대공약수는 부호까지 정의된다. '''일반적인 Macaulay 결과'''는 각 ''i''에 대해,

P_i

의 모든 계수에 0을 대입하고,

x_i^{d_i}

의 계수에는 1을 대입할 때 1이 되는 최대공약수이다.^[1]

7. 2. 체 위에서의 다항식의 결합자 (Resultant of Polynomials over a Field)

체 Field|필드^영어 위에서의 다항식의 결합자는 일반 결합자에 다항식의 계수를 대입하여 얻어진다. 결합자는 다항식들이 algebraic closure|대수적 폐포^영어에서 0이 아닌 공통 영점을 가질 때에만 0이 된다.^[1]

이 정리의 "만약에" 부분은 이전 단락의 마지막 속성에서 파생되며, 사영 영점 정리의 효과적인 버전이다. 만약 결합자가 0이 아니라면,^[1]

:

\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,

여기서

D=d_1+\cdots +d_n-n+1

은 매콜리 차수이고,

\langle x_1,\ldots, x_n\rangle

는 최대 동차 아이디얼이다. 이것은

P_1,\ldots,P_n

이

x_1,\ldots,x_n

의 유일한 공통 영점인 (0, ..., 0) 외에는 다른 공통 영점을 갖지 않는다는 것을 의미한다.^[1]

7. 3. 계산 가능성 (Computability)

결합 계산은 행렬식과 다항식 최대공약수 계산으로 축소될 수 있으므로, 유한한 단계 내에 결합을 계산하기 위한 알고리즘이 존재한다.

계수가 체에 속하는 입력 다항식의 경우, 결합의 정확한 값은 거의 중요하지 않으며, 0과 같은지 여부만 중요하다. 결합은 Macaulay 행렬의 랭크가 행의 수보다 작을 때에만 0이 되므로, 이 0과의 동일성은 가우스 소거법을 Macaulay 행렬에 적용하여 검사할 수 있다.

결합 계산이 유용한 정보를 제공할 수 있는 또 다른 경우는 입력 다항식의 계수가 종종 매개변수라고 불리는 소수의 미지수에 대한 다항식인 경우이다. 이 경우, 결합이 0이 아니면 매개변수 공간에서 초표면을 정의한다. 점이 이 초표면에 속하는 것은

x_1, \ldots,x_n

의 값이 점의 좌표와 함께 입력 다항식의 영점이 될 때와 동일하다. 즉, 결합은 입력 다항식에서

x_1, \ldots,x_n

의 "소거 이론"의 결과이다.

7. 4. U-종결식 (U-resultant)

d_1, \ldots, d_{n-1}

차수의 동차 다항식

P_1, \ldots, P_{n-1}

이

n

개의 미지수

x_1, \ldots, x_n

에 대한 체

k

에 대해 주어지면, 이들의 '''''U''-종결식'''은 다항식

P_1, \ldots, P_{n-1}, P_n

의 결합자이다. 여기서

P_n = u_1 x_1 + \cdots + u_n x_n

는 계수가 새로운 미지수

u_1, \ldots, u_n

인 일반적인 선형 형식이다. 이러한 일반 계수에 대한 표기법

u_i

또는

U_i

는 전통적이며, ''U''-종결식이라는 용어의 기원이다.^[1]

''U''-종결식은

k[u_1, \ldots, u_n]

의 동차 다항식이다.

P_1, \ldots, P_{n-1}

의 공통 영점이 양의 차원을 갖는 사영 대수적 집합을 형성하는 경우에만 0이 된다 (즉,

k

의 대수적으로 닫힌 확장에서 무한히 많은 사영 영점이 존재하는 경우이다). ''U''-종결식이 0이 아니면, 그 차수는 Bézout 경계

d_1\cdots d_{n-1}

이다.^[1]

''U''-종결식은

k

의 대수적으로 닫힌 확장에서 선형 형식의 곱으로 인수분해된다. 만약

\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_n u_n

이 그러한 선형 인자라면,

\alpha_1, \ldots, \alpha_n

는

P_1, \ldots, P_{n-1}

의 공통 영점의 동차 좌표이다. 모든 공통 영점은 이러한 선형 인자 중 하나에서 얻을 수 있으며, 인자로서의 중복성은 이 영점에서

P_i

의 교차 중복성과 같다. 즉, ''U''-종결식은 Bézout의 정리의 완전히 명시적인 버전을 제공한다.^[1]

8. 2개의 정의식의 동치성 증명 (일본어 문서)

多項式|다항식^일본어 ''f''(''x'') = ''a''_''n''''x''^''n'' + ''a''_''n''-1''x''^''n''-1 + … + ''a''₁''x'' + ''a''₀ (''a''_''n'' ≠ 0)의 중복을 포함한 근을 , ''g''(''x'') = ''b''_''m''''x''^''m'' + ''b''_''m''-1''x''^''m''-1 + … + ''b''₁''x'' + ''b''₀ (''b''_''m'' ≠ 0)의 중복을 포함한 근을 라고 할 때, 다음 등식이 성립한다.^[4]

: ${a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 & & \\&\ddots &\ddots & & &\ddots & \\& &a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0 & & & \\&\ddots &\ddots & &\ddots & & \\& &\ddots &\ddots & &\ddots & \\& & &b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{vmatrix}$

(대각 성분에 이 ''m''개, 이 ''n''개)
증명:: $A := \begin{bmatrix}a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 & & \\&\ddots &\ddots & & &\ddots & \\& &a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots &a_0 \\b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0 & & & \\&\ddots &\ddots & &\ddots & & \\& &\ddots &\ddots & &\ddots & \\& & &b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0\end{bmatrix}$

라고 둔다. ''A''의 제1~''m''행을 ''a''_''n''으로, 제(''n'' + 1)~(''m'' + ''n'')행을 ''b''_''m''으로 나누면, 근과 계수의 관계에 의해, 성분은 0 또는 1 또는 또는 의 기본대칭식이 된다.

따라서 $\tfrac{1}의 다항식 이다.일 때를 생각한다. 라고 하고,: \boldsymbol{x} := {}^t( \lambda^{n+m-1}, \cdots , \lambda , 1) (''t''는 전치 를 나타낸다)$

라고 둔다. $\textstyle \sum\limits_{i=0}^n a_i \lambda^i = \sum\limits_{j=0}^m b_j \lambda^j =0$ 이므로,

: $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{o}$ ( $\boldsymbol{o}$ 는 영벡터)

$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{o}$ 이므로, 이 비자명인 해가 존재하고, 따라서 계수 행렬은 비가역이다. 즉,

: $|A|=0$

$\tfrac{1}일 때 0이 되므로, 인수 정리 에 의해 를 인수로 갖는다.: \tfrac{1}{{a_n}^m {b_m}^n} |A| = c \, \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j )$

양변의 의 계수를 비교하면,

: $\therefore \ |A| = {a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j )$

체(體) ''K''에 정역 ''R''이 포함되어 있고, ''f''를 ''n''차, ''g''를 ''m''차 ''R'' 계수 다항식이라고 하자.

: $f(x)=f_n x^n + f_{n-1} x^{n-1} + \cdots + f_1 x + f_0$ ,

: $g(x)=g_m x^m + g_{m-1} x^{m-1} + \cdots g_1 x + g_0$

는 ''K''의 대수적 폐포 위에서

: $f = f_m \textstyle \prod\limits_{i=1}^n ( x - \alpha_i )$

: $g = g_n \textstyle \prod\limits_{j=1}^m ( x - \beta_j )$

로 인수분해되며, 종결식 $\operatorname{Res} (f,g)$ 을 정의할 수 있다.

참조

_[1] 간행물 Lessons introductory to the modern higher algebra https://archive.org/[...] Dublin, Hodges, Figgis, and Co.
_[2] 논문 Some Formulæ in Elimination https://zenodo.org/r[...]
_[3] 서적 Using Algebraic Geometry Springer Science+Business Media
_[4] 서적 線形代数問題集森北出版 1989-01-01
_[5] 서적 Algebra Springer

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