집합족적 정규 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 순서 위상
- 4.2. 기타 예시
5. 유전적(완비) 집합족적 정규 공간
- 5.1. 동치 조건
- 5.2. 예시
참조

1. 개요

집합족적 정규 공간은 위상 공간의 부분 집합족에 대한 개념으로, 이산 집합족과 분리 집합족을 사용하여 정의된다. 위상 공간 X가 집합족적 정규 공간이 되기 위한 조건은 닫힌 집합들의 이산 집합족이 서로소인 열린 집합들로 분리될 수 있다는 것이다. 완비 집합족적 정규 공간은 모든 부분 집합이 집합족적 정규 공간인 경우를 의미하며, 유전적 집합족적 정규 공간은 모든 열린 부분 공간이 집합족적 정규 공간인 경우를 말한다. 거리화 가능 공간, 파라콤팩트 하우스도르프 공간, 순서 위상 공간 등이 집합족적 정규 공간의 예시에 해당한다.

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집합족적 정규 공간
개요
종류	위상 공간
속성	정규 공간보다 강함
정의
영어 이름	Collectionwise normal space
정의	임의의 이산적인 닫힌 집합족이 주어졌을 때, 이 집합족의 각 집합을 포함하는 서로소인 열린 집합족이 존재하는 위상 공간
성질
함의 관계	모든 파라콤팩트 공간은 집합족적 정규 공간이다. 모든 집합족적 정규 공간은 정규 공간이다. 모든 집합족적 정규 공간은 티호노프 공간이다.
약한 조건	집합족적 하우스도르프 공간 분리 가능한 공간 린델뢰프 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합들의 집합족 $\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''이산 집합족'''(discrete family^영어)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\{i\in I\colon N\cap S_i\ne\varnothing\}$ 이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 $N\ni x$ 이 존재한다.
$\{\operatorname{cl}S_i\}_{i\in I}$ 는 서로소 집합족이며, 임의의 $J\subseteq I$ 에 대하여 $\textstyle\bigcup_{j\in J}\operatorname{cl}S_j$ 는 닫힌집합이다.

위상 공간

X

의 부분 집합들의 집합족

\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''분리 집합족'''(separated family^영어) 또는 '''거의 이산 집합족'''(almost discrete family}})이라고 한다.

임의의 $i\in I$ 에 대하여, $\textstyle S_i\cap\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\$ ^영어S_j=\varnothing이다.
$\{S_i\}_{i\in I}$ 는 $\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i$ 의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

X

를 '''집합족적 정규 공간'''이라고 한다.

임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

X

를 '''완비 집합족적 정규 공간'''(completely collectionwise normal space^영어) 또는 '''유전 집합족적 정규 공간'''(hereditarily collectionwise normal space^영어)이라고 한다.

$X$ 의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
$X$ 의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
임의의 분리 집합족 $\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.

2. 1. 이산 집합족

2. 2. 분리 집합족

2. 3. 집합족적 정규 공간

위상 공간

X

에서, 닫힌집합들의 이산 집합족이 서로소인 열린집합들로 분리될 수 있다면,

X

를 '''집합족적 정규 공간'''이라고 한다.

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

X

를 '''집합족적 정규 공간'''이라고 한다.

임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 이산 집합족 $\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.

위상 공간

X

의 부분 집합들의 집합족

\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''이산 집합족'''(discrete family^영어)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\{i\in I\colon N\cap S_i\ne\varnothing\}$ 이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 $N\ni x$ 이 존재한다.
$\{\operatorname{cl}S_i\}_{i\in I}$ 는 서로소 집합족이며, 임의의 $J\subseteq I$ 에 대하여 $\textstyle\bigcup_{j\in J}\operatorname{cl}S_j$ 는 닫힌집합이다.

위상 공간

X

의 부분 집합들의 집합족

\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''분리 집합족'''(separated family^영어) 또는 '''거의 이산 집합족'''(almost discrete family}})이라고 한다.

임의의 $i\in I$ 에 대하여, $\textstyle S_i\cap\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\$ ^영어S_j=\varnothing이다.
$\{S_i\}_{i\in I}$ 는 $\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i$ 의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

집합족적 정규 공간은 집합족적 하우스도르프 공간이며, 정규 공간이다. 하우스도르프 공간 파라콤팩트 공간은 집합족적 정규 공간이다. 특히, 모든 거리화 가능 공간은 집합족적 정규 공간이다. 또한, 모든 정규 가산 콤팩트 공간 (따라서 모든 정규 콤팩트 공간)은 집합족적 정규 공간이다. 집합족적 정규 공간의 F-시그마 집합 (F_σ)은 부분 공간 위상에서 역시 집합족적 정규 공간이다. 특히, 이는 닫힌 부분 집합에 대해 성립한다.

2. 4. 완비 집합족적 정규 공간

위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

X

를 '''완비 집합족적 정규 공간'''(completely collectionwise normal space^영어) 또는 '''유전 집합족적 정규 공간'''(위상 공간]]

X

의 부분 집합들의 집합족

\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)

가 임의의

i\in I

에 대하여,

\textstyle S_i\cap\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\/hereditarily collectionwise normal space}})이라고 한다.

$X$ 의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
$X$ 의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
임의의 분리 집합족 $\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i$ 인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i\}_{i\in I}$ 이 존재한다.

위상 공간 (수학)^영어S_j=\varnothing를 만족하면 '''분리 집합족'''(separated family^영어) 또는 '''거의 이산 집합족'''(almost discrete family^영어)이라고 한다. 즉,

\{S_i\}_{i\in I}

는

\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i

의 이산 집합족이다. 모든 이산 집합족은

3. 성질

거리화 가능 공간은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 이는 다시 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간에 함의된다. 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 하우스도르프 공간이다.^[5] 또한, 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 완전 정규 하우스도르프 공간(T₆)으로, 완비 정규 하우스도르프 공간(T₅)으로, 다시 정규 하우스도르프 공간(T₄)으로 함의된다.

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 ('''마이클-나가미 정리''', Michael–Nagami theorem^영어).^[5]

위상 공간 $X$ 에 대하여, 거리화 가능 공간이 되는 것과 무어 공간이며 집합족적 정규 공간이 되는 것은 서로 동치이다.^[6]

집합족적 정규 공간은 집합족적 하우스도르프 공간이다.
집합족적 정규 공간은 정규 공간이다.
하우스도르프 공간 파라콤팩트 공간은 집합족적 정규 공간이다. 특히, 모든 거리화 가능 공간은 집합족적 정규 공간이다.
모든 정규 가산 콤팩트 공간 (따라서 모든 정규 콤팩트 공간)은 집합족적 정규 공간이다.
집합족적 정규 공간의 F-시그마 집합(F_σ)은 부분 공간 위상에서 역시 집합족적 정규 공간이다. 특히, 이는 닫힌 부분 집합에 대해 성립한다.
'''무어 거리화 정리'''는 집합족적 정규 무어 공간이 거리화 가능 공간임을 명시한다.

3. 1. 함의 관계

거리화 가능 공간은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 이는 다시 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간에 함의된다. 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 하우스도르프 공간이다.^[5] 또한, 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 완전 정규 하우스도르프 공간(T₆)으로, 완비 정규 하우스도르프 공간(T₅)으로, 다시 정규 하우스도르프 공간(T₄)으로 함의된다.

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 ('''마이클-나가미 정리''', Michael–Nagami theorem^영어).^[5]

위상 공간

X

에 대하여, 거리화 가능 공간이 되는 것과 무어 공간이며 집합족적 정규 공간이 되는 것은 서로 동치이다.^[6]

집합족적 정규 공간은 집합족적 하우스도르프 공간이다.
집합족적 정규 공간은 정규 공간이다.
하우스도르프 공간 파라콤팩트 공간은 집합족적 정규 공간이다. 특히, 모든 거리화 가능 공간은 집합족적 정규 공간이다.
모든 정규 가산 콤팩트 공간 (따라서 모든 정규 콤팩트 공간)은 집합족적 정규 공간이다.
집합족적 정규 공간의 F-시그마 집합(F_σ)은 부분 공간 위상에서 역시 집합족적 정규 공간이다. 특히, 이는 닫힌 부분 집합에 대해 성립한다.
'''무어 거리화 정리'''는 집합족적 정규 무어 공간이 거리화 가능 공간임을 명시한다.

3. 2. 파라콤팩트 공간과의 관계

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다. ('''마이클-나가미 정리''', Michael–Nagami theorem^영어).^[5]

위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[6]

거리화 가능 공간이다.
무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

하우스도르프 공간 파라콤팩트 공간은 집합족적 정규 공간이다. 특히, 모든 거리화 가능 공간은 집합족적 정규 공간이다.

3. 3. 거리화 가능성과의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[6]

거리화 가능 공간	→	단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간
	↘			↓		↓
		완전 정규 하우스도르프 공간 (T₆)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T₅)	→	정규 하우스도르프 공간 (T₄)

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 ('''마이클-나가미 정리''', Michael–Nagami theorem^영어).^[5]

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[6]

거리화 가능 공간이다.
무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

무어 공간이면서 집합족적 정규 공간인 것은 거리화 가능 공간이라는 내용은 '''무어 거리화 정리'''를 통해 알 수 있다.

4. 예시

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 ω₁은 완전 정규 공간이 아니다. 모든 선형 순서 위상 공간 과 모든 일반화된 순서 공간은 집합족적 정규 공간이다.

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다.^[6] 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 $\omega_1$ 은 완전 정규 공간이 아니다.^[6] 집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.^[6]

4. 1. 순서 위상

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 ω₁은 완전 정규 공간이 아니다. 모든 선형 순서 위상 공간 과 모든 일반화된 순서 공간은 집합족적 정규 공간이다.

4. 2. 기타 예시

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다.^[6] 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수

\omega_1

은 완전 정규 공간이 아니다.^[6] 집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.^[6]

5. 유전적(완비) 집합족적 정규 공간

위상 공간 ''X''가 모든 부분 공간이 부분 공간 위상을 갖는 집합족적 정규 공간이면 '''유전적 집합족적 정규 공간'''이라고 한다.

유전적 정규 공간이 분리 집합에 의해 특징지어질 수 있는 것과 마찬가지로 유전적 집합족적 정규 공간에 대한 동등한 특징이 있다. ''X''의 부분 집합족 $F_i (i \in I)$ 는 모든 ''i''에 대해 $F_i \cap \operatorname{cl}(\bigcup_{j \ne i}F_j) = \empty$ 일 때, 즉 $F_i$ 의 족이 그 합집합에서 이산 집합일 때 '''분리 집합족'''이라고 하며, 여기서 cl은 ''X''에서의 폐포 연산자를 나타낸다. 다음 조건들은 동치이다.

# ''X''는 유전적 집합족적 정규 공간이다.

# ''X''의 모든 열린 부분 공간은 집합족적 정규 공간이다.

# ''X''의 모든 분리 집합족 $F_i$ 에 대해, $F_i \subseteq U_i$ 를 만족하는 서로소인 열린 집합족 $U_i (i \in I)$ 가 존재한다.

5. 1. 동치 조건

위상 공간 ''X''가 모든 부분 공간이 부분 공간 위상을 갖는 집합족적 정규 공간이면 '''유전적 집합족적 정규 공간'''이라고 한다.

유전적 정규 공간이 분리 집합에 의해 특징지어질 수 있는 것과 마찬가지로 유전적 집합족적 정규 공간에 대한 동등한 특징이 있다. ''X''의 부분 집합족

F_i (i \in I)

는 모든 ''i''에 대해

F_i \cap \operatorname{cl}(\bigcup_{j \ne i}F_j) = \empty

일 때, 즉

F_i

의 족이 그 합집합에서 이산 집합일 때 '''분리 집합족'''이라고 하며, 여기서 cl은 ''X''에서의 폐포 연산자를 나타낸다. 다음 조건들은 동치이다.

# ''X''는 유전적 집합족적 정규 공간이다.

# ''X''의 모든 열린 부분 공간은 집합족적 정규 공간이다.

# ''X''의 모든 분리 집합족

F_i

에 대해,

F_i \subseteq U_i

를 만족하는 서로소인 열린 집합족

U_i (i \in I)

가 존재한다.

5. 2. 예시

다음은 집합족적 정규 공간의 예시이다.

모든 선형 순서 위상 공간이다.^[2]^[3]
모든 일반화된 순서 공간이다.
모든 거리화 가능 공간은 모임 정규 공간이고, 거리화 가능성이 유전적인 성질이라는 사실에서 집합족적 정규 공간임을 알 수 있다.
모든 단조 정규 공간 역시 집합족적 정규 공간이다.^[4]

참조

_[1] 문서
_[2] 간행물 A direct proof that a linearly ordered space is hereditarily collectionwise normal 1970
_[3] 간행물 A Simple Proof that a Linearly Ordered Space is Hereditarily and Completely Collectionwise Normal https://projecteucli[...] 2006
_[4] 간행물 Monotonically Normal Spaces https://www.ams.org/[...] 1973-04
_[5] 서적
_[6] 저널 https://archive.org/[...]

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