가산 콤팩트 공간

3. 성질

• 가산 콤팩트 공간의 닫힌집합은 가산 콤팩트 공간이다.^[7]
• 가산 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상은 가산 콤팩트 공간이다.^[8]
• 콤팩트 공간과 가산 콤팩트 공간의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.^[12][13]
• 두 가산 콤팩트 공간의 곱공간은 가산 콤팩트 공간일 필요는 없다.^[14] (이는 임의 개수의 콤팩트 공간의 곱공간은 콤팩트 공간이라는 티호노프 정리와 대비된다.)
• 가산 콤팩트 공간에서, 공집합이 아닌 부분 집합의 모든 국소 유한 모임은 유한하다.^[9]

3. 1. 함의 관계

• 콤팩트 공간 ⇒ 가산 콤팩트 공간 ⇒ 극한점 콤팩트 공간
• 점렬 콤팩트 공간 ⇒ 가산 콤팩트 공간
• 가산 콤팩트 공간 ⇒ 희박 콤팩트 공간 ⇒ 유사 콤팩트 공간

• T1 공간에서는 ℵ₀-집적점과 극한점의 개념이 일치하므로, 가산 콤팩트 공간과 극한점 콤팩트 공간의 개념이 서로 동치이다.^[15]
• T4 공간 (정규 하우스도르프 공간)의 경우, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간, 유사 콤팩트 공간의 개념이 서로 동치이다.
• 제1 가산 공간에서는 점렬 콤팩트 공간과 가산 콤팩트 공간의 개념이 서로 동치이다.^[5]
• 제2 가산 공간에서는 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간의 개념이 동치이다. 이는 제2 가산 공간이 제1 가산 공간이자 린델뢰프 공간이기 때문이다.
• 거리화 가능 공간에서는 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간, 유사 콤팩트 공간의 개념이 모두 동치이다.^[15]
• 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면, 바나흐 공간에 약한 위상을 부여했을 때, 그 부분 집합들에 대하여 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간의 개념이 동치이다.

• 가산 콤팩트 공간이 린델뢰프 공간이거나 메타콤팩트 공간이면 콤팩트 공간이다.
• 가산 콤팩트 파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.^[9]
• 가산 콤팩트 하우스도르프 공간 제1 가산 공간은 정규 공간이다.^[10][11]
• 정규 가산 콤팩트 공간은 모임 정규이다.
• 콤팩트 공간과 가산 콤팩트 공간의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.^[12][13]
• 점렬 콤팩트 공간과 가산 콤팩트 공간의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.
• 두 가산 콤팩트 공간의 곱공간은 가산 콤팩트 공간일 필요는 없다.^[14] (티호노프 정리에 따르면 임의 개수의 콤팩트 공간의 곱공간은 콤팩트 공간이다.)
• 실수 집합 ℝ에 표준 위상을 부여한 공간은 국소 콤팩트 공간, σ-콤팩트 공간, 파라콤팩트 공간이지만 가산 콤팩트 공간은 아니다. 따라서 이들 성질이 가산 콤팩트성을 함의하지는 않는다.

4. 예

• 모든 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다. 예를 들어, 닫힌구간 $[0,\; 1]$이나 유한 개의 점으로 이루어진 공간은 콤팩트 공간이므로 가산 콤팩트 공간이기도 하다.
• 첫 번째 비가산 순서수 $\backslash omega\_1$에 순서 위상을 부여한 공간은 가산 콤팩트 공간의 대표적인 예시이지만, 콤팩트 공간은 아니다.^[15]

• 실수의 전순서 집합 $\backslash mathbb\; R$ 위에 하위상($(-\backslash infty,x)$ 꼴의 집합들을 열린집합으로 하는 위상)을 부여한 공간은 극한점 콤팩트 공간^[15](모든 무한 집합이 극한점을 갖는 공간)이다. 하지만 $\backslash \{(-\backslash infty,n)\backslash colon\; n\backslash in\backslash mathbb\; N\backslash \}$은 유한 부분 덮개를 갖지 않는 가산 열린 덮개이므로, 가산 콤팩트 공간은 아니다. 이 공간은 또한 유사 콤팩트 공간(모든 실수 값 연속 함수가 유계인 공간)이다.
• 두 점으로 이루어진 비이산 공간 $X$와 가산 무한 이산 공간 $\backslash mathbb\; Z$의 곱공간 $X\backslash times\backslash mathbb\; Z$는 극한점 콤팩트 공간이다. 그러나 사영 함수 $X\backslash times\backslash mathbb\; Z\backslash to\backslash mathbb\; Z$는 연속 함수이지만 그 상 $\backslash mathbb\; Z$가 $\backslash mathbb\; R$에서 유계 집합이 아니므로, 유사 콤팩트 공간이 아니며 따라서 가산 콤팩트 공간도 아니다.
• 쌍대 가산 위상(열린집합이 공집합이거나 그 여집합이 가산 집합인 위상)을 갖춘 비가산 집합 $X$는 유사 콤팩트 공간이다. 하지만 $X$의 임의의 가산 무한 부분 집합은 이산 닫힌집합이 되므로, 극한점 콤팩트 공간이 아니다. 따라서 가산 콤팩트 공간도 아니다.

참조

_[1] 서적 Steen & Seebach
_[2] 웹사이트 General topology - Does sequential compactness imply countable compactness? https://math.stackex[...]
_[3] 서적 Steen & Seebach
_[4] 서적 Steen & Seebach
_[5] 서적 Willard
_[6] Thesis Sequential space methods University of British Columbia 1972
_[7] 서적 Willard
_[8] 서적 Willard
_[9] 웹사이트 Countably compact paracompact space is compact https://math.stackex[...]
_[10] 서적 Steen & Seebach
_[11] 웹사이트 Prove that a countably compact, first countable ''T''₂ space is regular https://math.stackex[...]
_[12] 서적 Willard
_[13] 웹사이트 Is the Product of a Compact Space and a Countably Compact Space Countably Compact? https://math.stackex[...]
_[14] 서적 Engelking
_[15] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall