환산 질량

3. 유도

서로 상호작용하는 두 입자로 이루어진 계를 생각해 보자. 두 입자의 질량이 각각 $m\_1$과 $m\_2$일 때, 이들의 상호작용과 운동을 기술하는 것은 복잡할 수 있다. 특히 두 입자의 운동을 동시에 고려해야 하는 이체 문제는 직접 풀기 어려울 때가 많다.

이러한 이체 문제를 더 간단한 일체 문제로 변환하여 다루기 쉽게 만들기 위해 도입된 개념이 환산 질량(reduced mass)이다. 환산 질량은 보통 그리스 문자 $\backslash mu$ (뮤)로 표기하며, 두 입자의 질량 $m\_1$과 $m\_2$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{1\}\{1/m\_1\; +\; 1/m\_2\}\; =\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}$

환산 질량을 사용하면, 두 입자 사이의 상대적인 운동, 예를 들어 한 입자에 대한 다른 입자의 위치 벡터 $\backslash mathbf\; r\; =\; \backslash mathbf\; r\_1\; -\; \backslash mathbf\; r\_2$의 시간에 따른 변화를 기술하는 방정식이 단순화된다. 이 상대 운동은 마치 질량이 $\backslash mu$인 하나의 가상 입자가 두 입자 사이에 작용하는 상호작용 힘 $\backslash mathbf\; F\_\{12\}$ (입자 2가 입자 1에 가하는 힘)을 받으며 움직이는 것처럼 표현될 수 있다. 즉, 상대 운동에 대한 운동 방정식은 다음과 같은 형태를 띤다.

:$\backslash mu\; \backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{r\}\}\{dt^2\}\; =\; \backslash mathbf\; F\_\{12\}$

여기서 $\backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{r\}\}\{dt^2\}$은 상대 위치 벡터 $\backslash mathbf\; r$의 시간에 대한 2차 미분으로, 상대 가속도를 의미한다.

결과적으로, 환산 질량의 도입은 두 개의 움직이는 입자를 다루는 복잡한 문제를, 하나의 입자가 고정된 힘의 중심(다른 입자의 위치를 원점으로 간주했을 때)에 대해 움직이는 더 간단한 문제로 바꾸어 분석할 수 있게 해준다. 환산 질량 개념이 어떻게 수학적으로 유도되는지에 대한 자세한 과정은 뉴턴 역학이나 라그랑주 역학을 이용한 설명을 통해 확인할 수 있다.

3. 1. 뉴턴 역학

3. 2. 라그랑주 역학

4. 성질

환산 질량 $\backslash mu$는 항상 각 물체의 질량보다 작거나 같다. 즉, 다음 부등식이 항상 성립한다.

$$\backslash mu\; \backslash leq\; m\_1,\; \backslash quad\; \backslash mu\; \backslash leq\; m\_2$$

또한, 만약 라면 항상 가 성립하는데, 이는 $2\backslash mu$가 $m\_1$과 $m\_2$의 조화 평균이기 때문이다.

환산 질량은 역수 가산성을 갖는다.

$$\backslash frac\{1\}\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{m\_2\}$$

이 식을 정리하면 조화 평균의 절반과 같음을 알 수 있다.

만약 한 물체의 질량이 다른 물체보다 매우 크다면 ($m\_1\; \backslash gg\; m\_2$), 환산 질량은 더 가벼운 물체의 질량에 가까워진다 ($\backslash mu\; \backslash approx\; m\_2$). 반대로 $m\_1\; \backslash ll\; m\_2$인 경우에는 $\backslash mu\; \backslash approx\; m\_1$이다. 예를 들어, 지구-태양 계의 환산 질량은 지구의 질량에 매우 가깝고, 수소 원자에서 환산 질량은 전자의 질량에 매우 가깝다.

두 물체의 질량이 같은 특수한 경우($m\_1\; =\; m\_2$)에는 환산 질량이 각 질량의 절반이 된다.

$$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{m\_1\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{m\_2\}\{2\}$$

이체 문제에서 질량 $m\_1$과 $m\_2$를 가진 두 물체가 질량 중심 주위를 도는 운동은, 하나의 물체(예: 물체 2)를 기준점으로 고정하고 다른 물체(물체 1)가 환산 질량 $\backslash mu$를 가지고 원래 두 물체 사이에 작용하는 힘을 받으며 움직이는 일체 문제와 동등하다. 뉴턴의 제2법칙과 뉴턴의 제3법칙을 사용하면 두 물체 사이의 상대 가속도 $a$는 다음과 같이 주어진다.

$$a\; =\; a\_1\; -\; a\_2\; =\; \backslash frac\{F\_\{12\}\}\{\backslash mu\}$$

여기서 $F\_\{12\}$는 물체 2가 물체 1에 작용하는 힘이다. 이는 물체 1이 물체 2를 기준으로, 환산 질량 $\backslash mu$를 가진 물체처럼 움직인다는 것을 의미한다.

중력의 경우, 두 물체 사이의 힘 $F\; =\; G\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{r^2\}$는 환산 질량을 사용하여 $F\; =\; G\; \backslash frac\{(m\_1+m\_2)\backslash mu\}\{r^2\}$로도 표현할 수 있다. 이는 계산상으로 한쪽 질량을 환산 질량 $\backslash mu$로, 다른 쪽 질량을 두 물체의 질량 합 $(m\_1+m\_2)$으로 바꾸면 원래의 중력과 동일한 결과를 얻을 수 있음을 보여준다.

"환산 질량"이라는 용어는 보다 일반적으로 다음과 같은 형태의 대수항을 가리키는 데 사용될 수도 있다.

$$x\_\backslash text\{red\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\}\; =\; \backslash frac\{x\_1\; x\_2\}\{x\_1\; +\; x\_2\}$$

이 형태는 여러 요소가 병렬로 연결될 때 등가적인 값을 계산하는 데 유용하며, 예를 들어 전기적, 열적, 수력학적, 또는 역학적 저항기 등의 병렬 연결에서 사용된다. 이 식은 다음과 같이 더 많은 요소로 확장될 수 있다.

$$\backslash frac\{1\}\{x\_\backslash text\{eq\}\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{x\_i\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_n\}$$

5. 응용

환산 질량 $\backslash mu$는 항상 각 물체의 질량 $m\_1$, $m\_2$보다 작다(

특히 한 물체가 다른 물체보다 매우 무거울 경우($m\_1\backslash gg\; m\_2$ 또는 $m\_1\backslash ll\; m\_2$), 환산 질량은 더 가벼운 물체의 질량에 가까워진다($\backslash mu\backslash approx\; m\_\{\backslash text\{lighter\}\}$). 예를 들어, 태양과 지구 계에서는 환산 질량이 지구의 질량과 거의 같고, 수소 원자에서는 전자의 질량에 매우 가깝다. 이러한 근사는 충돌 문제나 양자 역학 문제 등에서 계산을 간편하게 하는 데 유용하다.

환산 질량은 고전 역학에서 다루는 다양한 이체 문제, 특히 중력 상호작용 문제를 효과적으로 단순화하는 데 널리 사용된다. 복잡한 이체 문제를 환산 질량 $\backslash mu$를 가진 가상의 입자가 고정된 중심점(두 물체의 질량 중심) 주위를 도는 일체 문제로 변환하여 분석할 수 있다.

"환산 질량"이라는 용어는 보다 일반적으로 다음과 같은 형태의 대수항을 가리키는 경우도 있다.

:$x\_\backslash text\{red\}\; =\; \{1\; \backslash over\; \{1\; \backslash over\; x\_1\}\; +\; \{1\; \backslash over\; x\_2\}\}\; =\; \{x\_1\; x\_2\; \backslash over\; x\_1\; +\; x\_2\}$.

이는 병렬로 연결된 복수의 전기적, 열적, 수압적, 또는 역학적인 저항기 등의 요소의 등가값을 계산하는 관계식에서도 사용된다.

5. 1. 중력

5. 2. 충돌

5. 3. 양자 역학

5. 4. 관성 모멘트

6. 일반적인 환산 질량

"환산 질량"이라는 용어는 보다 일반적으로 다음과 같은 형태의 대수항을 가리키는 경우가 있다.

:$x\_\backslash text\{red\}\; =\; \{1\; \backslash over\; \{1\; \backslash over\; x\_1\}\; +\; \{1\; \backslash over\; x\_2\}\}\; =\; \{x\_1\; x\_2\; \backslash over\; x\_1\; +\; x\_2\}$.

이를 확장하여 다음과 같은 형태의 식을 간략화할 수 있다.

:$\backslash \; \{1\backslash over\; x\_\backslash text\{eq\}\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{1\backslash over\; x\_i\}\; =\; \{1\backslash over\; x\_1\}\; +\; \{1\backslash over\; x\_2\}\; +\; \backslash cdots+\; \{1\backslash over\; x\_n\}$.

이러한 환산 질량은 병렬로 연결된 복수의 전기적, 열적, 수압적, 또는 역학적인 저항기 등의 요소의 관계식에도 사용된다. 이러한 관계식은 요소를 연결하는 연속 방정식과 마찬가지로 요소의 물리적인 특성에 의해 결정된다.

참조

_[1] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers 1991
_[2] 서적 Dynamics and Relativity Wiley 2009
_[3] 서적 Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1) Oxford University Press 1977