자유곱

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1. 개요

자유곱은 대수적 구조 다양체에서의 쌍대곱으로 정의되며, 자유곱, 융합된 자유곱, 합동 자유곱 등이 있다. 군 G와 H의 자유곱은 G와 H의 단어를 원소로 갖는 군이며, 군의 표현을 사용하여 나타낼 수 있다. 자유군의 자유곱은 자유군이며, 모듈러 군은 두 순환군의 자유곱과 동형이다. 융합된 자유곱은 푸시 아웃의 일종으로, HNN 확장의 개념과 관련이 있다. 자유곱은 군 외에도 체 위의 대수, 확률 변수의 대수 등 다양한 분야에서 정의될 수 있으며, 자유 확률론에서 중요한 역할을 한다.

자유곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자유곱
- 2.2. 융합된 자유곱
3. 구성
4. 표현
- 4.1. 군의 표현
5. 예
6. 일반화: 융합된 자유곱
7. 다른 분야에서의 자유곱

2. 정의

자유곱의 더 일반적인 구성인 합동 자유곱은 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다. $G$ 와 $H$ 가 주어지고, 단사 $\varphi : F \rightarrow G$ 및 $\psi : F \rightarrow H$ (즉, 주입 군 준동형사상)가 주어졌다고 가정한다. 여기서 $F$ 는 임의의 군이다. 자유곱 $G * H$ 에서 시작하여, 모든 $F$ 의 원소 $f$ 에 대해 다음과 같은 관계를 추가한다.

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

즉, 위 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는 $G * H$ 의 가장 작은 정규 부분군 $N$ 을 구한다. 이 원소들은 $G$ 와 $H$ 가 자유곱에 포함되어 $G * H$ 에서 암묵적으로 고려된다. $\varphi$ 와 $\psi$ 에 대한 $G$ 와 $H$ 의 합동 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.

: $(G * H)/N$

합동은 $G$ 의 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 $\psi(F)$ 사이의 원소별 식별을 강제한다. 이는 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요한 구성으로, $F$ 가 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 자이페르트-판 캄펜 정리를 참조하라.

Karrass와 솔리타는 합동 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다. 합동 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

더 일반적인 구성으로, 동일한 범주에서의 푸시 아웃에 해당하는 융합곱이 있다. $G$ 와 $H$ 와 임의의 군 $F$ 로부터의 두 개의 군 준동형

: $\varphi\colon F \to G, \quad \psi\colon F \to H$

가 주어졌을 때, 자유곱 $G * H$ 를 만들고, 각 $f \in F$ 에 대해

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

형태의 관계식을 추가한다(암묵적으로 $G$ 및 $H$ 를 자유곱 $G * H$ 에 부분군으로 임베딩한다고 생각한다). 즉, 좌변 형태의 원소를 모두 포함하는 $G * H$ 의 최소의 정규 부분군을 $N$ 이라고 하면, $G$ 와 $H$ 의 ( $\varphi, \psi$ 에 관한) 융합곱은 몫군

: $(G * H)/N$

을 말한다. 여기서 "융합"(amalgamation)이란, $G$ 의 부분 집합인 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 부분 집합인 $\psi(F)$ 를, 원소별로 (즉, $F$ 의 원소 $f$ 마다) 강제로 동일시하는 연산을 의미한다. 이 구성 방법은 두 개의 연결 공간을 호 연결된 부분 공간( $F$ 는 이 부분 공간의 기본군 역할을 한다고 볼 수 있다)을 따라 붙인 공간의 기본군 계산에 이용할 수 있다. 융합곱 및 이와 유사한 개념인 HNN 확장은 나무에 작용하는 군에 관한 버스-세일 이론의 기본적인 구성 요소이다.

2.1. 자유곱

대수 구조 다양체 $\mathcal V$ 속의 두 대수 구조 $A,B\in\mathcal V$ 의 자유곱 $A*B$ 은 다음과 같이 정의된다. 우선, 집합 $A\sqcup B$ 로 생성되는 자유 대수 $F(A\sqcup B)\in\mathcal V$ 를 생각한다.

이제, $A$ 에서 성립하는 모든 대수적 관계 $p(a_1,a_2,\dots,a_n)=p'(a'_1,p'_2,\dots,p'_{n'})$ 와 $B$ 에서 성립하는 모든 대수적 관계 $q(b_1,b_2,\dots,b_k)=q'(b'_1,b'_2,\dots,b'_{k'})$ 들의 집합을 $\mathcal I\subseteq F(A\sqcup B)^2$ 라고 하고, $\mathcal I$ 를 포함하는 최소의 합동 관계를 ${\sim}\subseteq F(A\sqcup B)^2$ 이라고 한다.

그렇다면 $A*B=F(A\sqcup B)/{\sim}\in\mathcal V$ 이다.

2.2. 융합된 자유곱

대수 구조 다양체에서의 밂로서 융합된 자유곱을 정의한다. 연산 $\{f_i\}_{i\in I}$ 를 갖는 대수 구조 다양체 $\mathcal V$ 속의 두 준동형
: $f\colon C\to A$
: $g\colon C\to B$
의 융합된 자유곱 $A*_CB$ 는 다음과 같다. 자유곱 $A*B$ 위에서,
: $[f(c)]_\sim\sim'[g(c)]_\sim\qquad\forall c\in C$
를 만족하는 최소의 동치 관계를
: $\sim'\subseteq(A*B)^2$
라고 하자. 그렇다면, $\sim'$ 은 합동 관계이며,
: $A*_CB=(A*B)/{\sim'}\in\mathcal V$
이다.

자유곱의 더 일반적인 구성인 합동 자유곱은 동일한 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다. $G$ 와 $H$ 가 이전과 같이 주어지고 단사 $\varphi : F \rightarrow G \ \,$ 및 $\ \, \psi : F \rightarrow H$ (즉, 주입 군 준동형사상)가 주어졌다고 가정하자. 여기서 $F$ 는 임의의 군이다. 자유곱 $G * H$ 에서 시작하여 다음과 같은 관계를 부가한다.
: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$
모든 $F$ 의 $f$ 에 대해. 즉, 위의 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는 $G * H$ 의 가장 작은 정규 부분군 $N$ 을 구한다. 이 원소들은 $G$ 와 $H$ 가 자유곱에 포함되어 $G * H$ 에서 암묵적으로 고려된다. $\varphi$ 와 $\psi$ 에 대한 $G$ 와 $H$ 의 합동 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.
: $(G * H)/N.\,$

합동은 $G$ 의 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 $\psi(F)$ 사이의 원소별 식별을 강제했다. 이것은 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요한 구성으로, $F$ 가 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 다음을 참조: 자이페르트-판 캄펜 정리.

Karrass와 솔리타는 합동 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다. 예를 들어, $\varphi$ 와 $\psi$ 에 의해 유도된 $G$ 와 $H$ 에서 몫군 $(G * H)/N$ 으로의 준동형사상은 모두 단사이며, $F$ 에서 유도된 준동형사상도 마찬가지이다.

합동 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

3. 구성

군 G와 H의 자유곱 G ∗ H는 G와 H의 축약된 단어를 원소로 갖는 군이다. G ∗ H에서의 연산은 단어들을 연결한 후 축약하는 것이다. 축약은 항등원을 제거하거나, G의 원소끼리의 곱은 G에서 곱셈을 하고, H의 원소끼리의 곱은 H에서 곱셈을 하는 방식으로 이루어진다.

예를 들어, G가 무한 순환군 x^영어이고, H가 무한 순환군 y^영어이면, G ∗ H의 모든 원소는 x의 거듭제곱과 y의 거듭제곱이 번갈아 나타나는 곱이다. 이 경우, G ∗ H는 x와 y에 의해 생성된 자유군과 동형이다.

3.1. 단어

3.2. 축약된 단어

모든 축약된 단어는 비어있는 수열이거나, 정확히 하나의 G 또는 H의 원소를 포함하거나, 아니면 G와 H의 원소가 교대로 나타나는 수열의 형태이다. 예를 들면 다음과 같다.

: $g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.$

3.3. 자유곱 구성

G와 H가 군이라면, G와 H에 대한 단어는 다음과 같은 형태의 수열이다.

: $s_1 s_2 \cdots s_n$

여기서 각 $s_i$ 는 G의 원소이거나 H의 원소이다. 이러한 단어는 다음 연산을 사용하여 축약될 수 있다.

* (G 또는 H의) 항등원을 제거한다.
* $g_1 g_2$ 형태의 쌍을 G에서의 곱으로, $h_1 h_2$ 형태의 쌍을 H에서의 곱으로 바꾼다.

모든 축약된 단어는 비어있는 수열이거나, 정확히 하나의 G 또는 H의 원소를 포함하거나, 아니면 G와 H의 원소가 번갈아 나타나는 수열이다. 예를 들면 다음과 같다.

: $g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.$

자유곱 G ∗ H는 G와 H의 축약된 단어를 원소로 가지며, 연결 연산과 그 다음 축약 연산을 통해 군이 된다.

예를 들어, G가 무한 순환군 x^영어이고, H가 무한 순환군 y^영어이면, G ∗ H의 모든 원소는 x의 거듭제곱과 y의 거듭제곱이 번갈아 나타나는 곱이다. 이 경우, G ∗ H는 x와 y에 의해 생성된 자유군과 동형이다.

4. 표현

G^영어와 H^영어가 각각 표현 $G = \langle S_G \mid R_G \rangle$ 와 $H = \langle S_H \mid R_H \rangle$ 를 가질 때, 자유곱 $G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle$ 로 표현할 수 있다. 여기서 $S_G$ 와 $S_H$ 는 각각 G^영어와 H^영어의 생성 집합이고, $R_G$ 와 $R_H$ 는 각각 G^영어와 H^영어의 관계 집합이다. 이는 G^영어 ∗ H^영어가 G^영어의 생성원과 H^영어의 생성원으로 생성되며, 관계식은 G^영어의 관계식과 H^영어의 관계식으로 구성됨을 의미한다. 이때, 표기 충돌이 없다고 가정한다.

4.1. 군의 표현

$G = \langle S_G \mid R_G \rangle$ 를 G의 표현으로 하고 (여기서 $S_G$ 는 생성 집합이고 $R_G$ 는 관계 집합이다), $H = \langle S_H \mid R_H \rangle$ 를 H에 대한 표현이라고 하자. 그러면
: $G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle.$
즉, G ∗ H는 G에 대한 생성자들과 H에 대한 생성자들의 결합으로 생성되며, 관계는 G의 관계와 H의 관계로 구성된다(여기서는 표기 충돌이 없어서 실제로 상호 배타적 합집합이라고 가정한다).

예를 들어, G가 위수 4의 순환군
: $G = \langle x \mid x^4 = 1 \rangle$ 이고, H가 위수 5의 순환군
: $H = \langle y \mid y^5 = 1 \rangle$ 이라면, G ∗ H는 무한군
: $G * H = \langle x, y \mid x^4 = y^5 = 1 \rangle$ 이다.

자유군에는 원 사이의 관계가 없으므로, 자유군의 자유곱은 항상 자유군이다. 특히,
: $F_m * F_n \cong F_{m+n}$ 이다. 단, $F_n$ 은 n개의 생성원의 자유군을 나타낸다.

5. 예

예를 들어, G가 4차 순환군이고, H가 5차 순환군이라고 하면, G ∗ H는 무한군이다.

자유군의 자유곱은 항상 자유군이다.

모듈러 군 $PSL_2(\mathbf Z)$ 는 두 순환군의 자유곱과 동형이다.

5.1. 군의 자유곱

순환군의 자유곱을 살펴보자. 2차 순환군( $\operatorname{Cyc}(2)=\langle S|S^2=1\rangle$ )과 3차 순환군( $\operatorname{Cyc}(3)=\langle U|U^3=1\rangle$ )의 자유곱은 모듈러 군 $\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(3)=\langle S,U|S^2=U^3=1\rangle$ 이다. 이 경우, 보통 $S^{-1}U=T$ 로 정의한다.

무한 정이면체군 $\operatorname{Dih}(\infty)=\langle r,s\mid s^2=(rs)^2=1\rangle$ 은 두 2차 순환군의 자유곱으로 나타낼 수 있다. 즉, $\operatorname{Dih}(\infty)=\operatorname{Cyc}(2)*\operatorname{Cyc}(2)$ 이다.

자유군은 관계가 없으므로, 자유군의 자유곱은 항상 자유군이다. 특히, $F_m * F_n \cong F_{m+n}$ 공식이 성립한다. 여기서 $F_n$ 은 n개의 생성자에 대한 자유군을 나타낸다.

5.2. 환의 자유곱

비가환 다항식환 $\mathbb Z\langle x,y\rangle$ 는 환 대수 구조 다양체에서 환 $\mathbb Z[x]$ 와 $\mathbb Z[y]$ 의 자유곱이며, 텐서 대수 $T(\mathbb Z^2)$ 와 동형이다.

5.3. 가환환의 자유곱

다항식환에서, 가환환 $\mathbb{Z}[x]$ 와 $\mathbb{Z}[y]$ 의 자유곱은 다음과 같다.

: $\mathbb{Z}[x] * \mathbb{Z}[y] = \mathbb{Z}[x, y]$

5.4. 자유곱이 자명한 대수

아벨 군 또는 환 $R$ 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 $\sqcup$ 이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 $s=s$ 꼴로 자명하기 때문이다.

6. 일반화: 융합된 자유곱

융합된 자유곱(또는 융합곱)은 자유곱의 더 일반적인 구성으로, 동일한 범주론에서 일종의 푸시 아웃이다. $G$ 와 $H$ 가 주어지고, $F$ 가 임의의 군일 때, 단사 군 준동형사상 $\varphi : F \rightarrow G$ 및 $\psi : F \rightarrow H$ 가 주어졌다고 가정하자. 자유곱 $G * H$ 에서 시작하여, 모든 $F$ 의 원소 $f$ 에 대해 다음과 같은 관계를 추가한다.

: $\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1$

즉, 위의 식의 좌변에 있는 모든 원소를 포함하는 $G * H$ 의 가장 작은 정규 부분군 $N$ 을 구한다. 이때 $G$ 와 $H$ 는 $G * H$ 에 포함된 것으로 간주한다. $\varphi$ 와 $\psi$ 에 대한 $G$ 와 $H$ 의 융합된 자유곱은 다음과 같은 몫군이다.

: $(G * H)/N$

이는 $G$ 의 $\varphi(F)$ 와 $H$ 의 $\psi(F)$ 사이의 원소별 식별을 강제한 것이다. 이 구성은 경로 연결된 부분 공간을 따라 연결된 두 개의 연결된 공간의 기본군을 계산하는 데 필요하며, $F$ 는 부분 공간의 기본군 역할을 한다. 자세한 내용은 자이페르트-판 캄펜 정리를 참조한다.

Karrass와 솔리타는 융합된 자유곱의 부분군에 대한 설명을 제공했다. 예를 들어, $\varphi$ 와 $\psi$ 에 의해 유도된 $G$ 와 $H$ 에서 몫군 $(G * H)/N$ 으로의 준동형사상은 모두 단사이며, $F$ 에서 유도된 준동형사상도 마찬가지이다.

융합된 자유곱과 밀접하게 관련된 HNN 확장 개념은 나무에 작용하는 군에 대한 바스-세르 이론의 기본 구성 요소이다.

7. 다른 분야에서의 자유곱

자유곱은 체 위의 대수를 포함하여, 군 이외의 다른 대수적 구조에서도 유사하게 정의할 수 있다. 확률 변수의 대수의 자유곱은 자유 확률 이론에서 "자유성"을 정의하는 데에 데카르트 곱이 고전적인 확률론에서 통계적 독립성을 정의하는 데에 수행하는 역할과 동일한 역할을 한다.

체 위의 다원환과 같이 군 이외의 대수적 구조에서도 자유곱을 마찬가지로 정의할 수 있다. 확률 변수의 (다원)환의 자유곱은 고전적인 확률론에서의 독립성 개념이 데카르트 곱에 의해 정의되는 것과 마찬가지로 자유 확률론에서의 자유성 개념을 정의하는 역할을 한다.