가우스 합성

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1. 개요

가우스 합성은 가환환 위의 이차 형식과 이차 대수 및 가군 사이의 관계를 설명하는 수학적 개념이다. 이차 형식, 판별식, 이차 대수, 대각합 가능 가군, 가우스 합성, 동치 관계, 표현 문제 등을 포함하며, 특히 가우스는 이진 이차 형식의 합성을 연구하여 형식 클래스 군을 정의했다. 가우스의 연구는 대수적 수론에 큰 영향을 미쳤으며, 펠 방정식의 해, 정수의 표현 문제 등과 관련되어 있다.

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가우스 합성
정의
유형	이차 동차 다항식
변수	두 개의 변수
형태	ax² + bxy + cy² (여기서 a, b, c는 계수)
판별식
정의	b² - 4ac
중요성	이차 형식의 성질 (정부호, 부정부호, 반정부호, 부정정부호) 결정
가우스 합성
설명	두 이차 형식의 합성을 정의하는 방법
결과	또 다른 이차 형식이 생성됨
응용
정수론	이차 형태의 연구, 특히 정수의 표현 문제에 사용
암호학	일부 암호 시스템의 기반으로 사용

2. 정의

가환환 $R$ 위의 2차 자유 가군 $R^2$ 위의 두 이차 형식

: $Q,Q'\colon R^2\to R$

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 '''동치'''라고 한다.

: $Q\sim Q'\iff\exists M\in\operatorname{GL}(2;R),r\in R^\times=\operatorname{GL}(1;R)\colonrQ(M(-))=Q'$

이에 따라, 이차 형식은 임의의 1차 $R$ -자유 가군 $L$ 의 값을 갖는 함수

: $Q\colon V\to L$

로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 계수 2의 $\mathcal O_X$ -국소 자유 가군층 $V$ 및 $\mathcal O_X$ -가역 가군층 $L$ 이 주어졌을 때, $V$ 위의 $L$ 값의 '''이차 형식'''은 $\mathcal O_X$ -가군층 $\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L$ 의 단면이다.

: $Q\in\Gamma(X;\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L)$

2. 1. 이차 형식

가환환

R

위의 2차 자유 가군

R^2

위의 두 이차 형식

:

Q,Q'\colon R^2\to R

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 '''동치'''라고 한다.

:

Q\sim Q'\iff\exists M\in\operatorname{GL}(2;R),r\in R^\times=\operatorname{GL}(1;R)\colonrQ(M(-))=Q'

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차

R

-자유 가군

L

의 값을 갖는 함수

:

Q\colon V\to L

로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은 다음과 같다.

:

Q\in\operatorname{Sym}^2_RV^*\otimes_RL=L\otimes_R\frac{V^*\otimes_RV^*}{(u\otimes_Rv-v\otimes_Ru)_{u,v\in V^*}}

보다 일반적으로, 임의의 스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 계수 2의

\mathcal O_X

-국소 자유 가군층

V

및

\mathcal O_X

-가역 가군층

L

이 주어졌을 때,

V

위의

L

값의 '''이차 형식'''

:

Q\in\Gamma(X;\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L)

은

\mathcal O_X

-가군층

\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L

의 단면이다.

2. 2. 판별식

만약

R

가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군

R^2

위의 이차 형식

:

Q\colon R^2\to R

:

Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2

의 판별식은

\operatorname{Disc}(Q)=b^2-4ac

이다.

보다 일반적으로, 스킴

(X,\mathcal O_X)

위의, 2차

\mathcal O_X

-국소 자유 가군층

\mathcal M

위의,

\mathcal O_X

-가역층

\mathcal L

값의 이차 형식

:

Q\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L)

의 판별식

\operatorname{Disc}(Q)

는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은

\mathcal O_X

-가역층의 대역적 단면을 이룬다.

:

\operatorname{Disc}(Q)\in\Gamma\left(X;\left(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L\right)^{\otimes2}\right)

2. 3. 이차 대수

가환환

R

위의 '''이차 대수'''(quadratic algebra^영어)

R\to A

는

R

-결합 대수 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여 $A\otimes_RR_{\mathfrak p}$ 는 2차 $R_{\mathfrak p}$ -자유 가군이다. (즉, $A$ 는 계수 2의 $R$ -평탄 가군이다.)

R

위의 이차 대수

A

위의 가군

M

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''대각합 가능 가군'''(traceable module^영어)이라고 한다.

$M$ 은 $R$ 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
임의의 원소 $a\in A$ 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
: $\operatorname{tr}_{A/R}\colon A\to R$
: $\operatorname{tr}_{A/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon A\to A)$
: $\operatorname{tr}_{M/R}\colon A\to R$
: $\operatorname{tr}_{M/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon M\to M)$

보다 일반적으로, 임의의 스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 '''이차 대수층'''은

\mathcal O_X

-가환 대수층 가운데 2차

\mathcal O_X

-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층

\mathcal A

위의 '''대각합 가능 가군층'''

\mathcal M

은

\mathcal A

-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

$\mathcal O_X$ -가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
임의의 열린집합 $U\subseteq X$ 의 단면 $a\in\Gamma(U;\mathcal A)$ 에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
: $\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \Gamma(U;\mathcal A)\to\Gamma(U;\mathcal O_X)$
: $\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon A\to A)$
: $\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon A\to R$
: $\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon M\to M)$

두

A

-가군

M,M'

이 주어졌을 때, 텐서곱

M\otimes_AM'

을 정의할 수 있으므로,

A

-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다.

A

-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

가환환

R

가 정역일 때,

R

계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수

A

및

A

-가군

M

에 대하여,

M

은 항상

A

의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

2. 3. 1. 판별식 (이차 대수)

스킴

(X,\mathcal O_X)

위의 이차 대수층

\mathcal A

위의 대각합 가능 가군층

\mathcal M

의 '''판별식'''은 대각합 사상

:

\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \mathcal A\to\mathcal O_X

의 행렬식

:

\operatorname{Disc}(\mathcal A,\mathcal M)=\det\left(\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\right)\in\Gamma\left(X;\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}\right)

이다. 이는

\mathcal O_X

-가역층

\textstyle\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}

의 대역적 단면이다.

2. 4. 가우스 합성

임의의 가환환

R

및 그 위의 2차 자유 가군

V=R^2

에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

$V$ 위의 이차 형식들 $Q\colon V\to L$ 의 동치류들의 집합
$R$ 위의 이차 대수 $A$ 와 그 위의 대각합 가능 가군 $M$ 들의 동치류들의 집합

구체적으로,

(A,M)

이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운

R

-가군 준동형을 생각한다.

:

(A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)

:

(a+R)\otimes_R(m\wedge_R m')\mapsto(am)\otimes_Rm'-m\otimes_R(am')

이는

R

-가군

:

\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*\otimes_R\operatorname{Sym}^2(M;R)

의 원소를 정의하며, 이는

M^*

위에 정의된,

:

L=\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*

값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식

Q

가 원시 이차 형식(primitive quadratic form|원시 이차 형식^영어)인 것은

M

이

A

-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 '''가우스 합성'''이라고 한다.

3. 동치 관계

두 이차 형식 ''f''와 ''g''가 동치라는 것은, 다음 조건을 만족하는 정수 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 가 존재한다는 것을 의미한다.

: $\begin{align} f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) &= g(x,y),\\\alpha \delta - \beta \gamma &= 1.\end{align}$

예를 들어 $f= x^2 + 4xy + 2y^2$ 이고 $\alpha = -3$ , $\beta = 2$ , $\gamma = 1$ , $\delta = -1$ 일 때, ''f''는 $g = (-3x+2y)^2 + 4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^2$ 와 동치이며, 이는 $-x^2+4xy-2y^2$ 로 단순화된다.

이 동치 조건은 정수 이차 형식 집합에 대한 동치 관계를 정의한다. 따라서 이차 형식은 '클래스'라고 하는 동치 클래스로 분할된다. '클래스 불변량'은 형식의 동치 클래스에 정의된 함수이거나, 같은 클래스의 모든 형식이 공유하는 속성을 의미한다.

라그랑주는 $\alpha \delta - \beta \gamma = \pm 1$ 를 만족하는 다른 동치 개념을 사용했다. 가우스 이후, 이 정의는 위에 주어진 것보다 덜 유용하다는 것이 밝혀졌다. 구별이 필요한 경우, 위의 정의를 사용한 동치를 '적절 동치', 라그랑주의 의미에서의 동치를 '부적절 동치'라고 부른다.

행렬을 사용하면, 정수 원소를 가지고 행렬식이 1인 행렬

: $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$

이 주어졌을 때, $f(x,y) \mapsto f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)$ 는 이진 이차 형식 집합에 대한 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 의 (오른쪽) 군 작용이다. 위에서 설명한 동치 관계는 군 작용 이론에서 자연스럽게 나타난다.

$f=ax^2+bxy+cy^2$ 인 경우, 중요한 불변량은 판별식 $\Delta=b^2-4ac$ 와 ''a'', ''b'', ''c''의 최대 공약수이다.

이러한 불변량들을 사용하여 클래스와 형식을 분류한다. 판별식 $\Delta$ 가 0보다 작으면 해당 형식은 '정부호', $\Delta$ 가 완전 제곱수이면 '퇴화', 그렇지 않으면 '부정부호'라고 한다. 형식의 계수들이 서로소이면 (최대공약수가 1), 그 형식은 '원시'라고 한다. 형식의 판별식이 기본 판별식이면, 해당 형식은 원시적이다.^[1] 판별식은 $\Delta\equiv 0,1 \pmod 4.$ 를 만족한다.

3. 1. 동치류

\mathbb Z

위의 이차 형식의

\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)\times\operatorname{GL}(1;\mathbb Z)

-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.

2차 $\mathbb Z$ -환 $A_D$ . 이는 그 판별식 $D\in 4\mathbb Z+\{0,1\}$ 으로부터 다음과 같이 결정된다.

:

A_D=\begin{cases}\mathbb Z[t]/(t^2)&D=0\\\mathbb Z\cdot(1,1)+\sqrt D(\mathbb Z^2)&\sqrt D\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\\mathbb Z\left[\frac{D+\sqrt D}2\right]&\sqrt D\not\in\mathbb Z\end{cases}

$A$ -가군 $M$ 가운데 아벨 군으로서 $\mathbb Z^2$ 이며, $\operatorname{tr}_{A/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z$ 가 $\operatorname{tr}_{M/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z$ 가 같은 것 (둘째 조건은 $M$ 이 $A$ -아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히,

D\ne0

일 때,

M

은 항상

A_D

의 아이디얼과 동형이다. 그러나

D=0

일 경우 일반적으로

M

은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우

A_0=\mathbb Z[t]/(t^2)

이며

M=\mathbb Zx\oplus\mathbb Zy

,

tx=ty=0_M

이다.

\mathbb Z

위의 이차 형식의

\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)

-동치류를 분류하려면,

(A,M)

및

M

의 방향

\epsilon\in\{\pm1\}

을 사용하여야 한다.^[14]

3. 2. 불변량

\mathbb Z

위의 이차 형식의

\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)\times\operatorname{GL}(1;\mathbb Z)

-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.^[14]

2차 $\mathbb Z$ -환 $A_D$ . 이는 판별식 $D\in 4\mathbb Z+\{0,1\}$ 로부터 다음과 같이 결정된다.

:

A_D=\begin{cases}\mathbb Z[t]/(t^2)&D=0\\\mathbb Z\cdot(1,1)+\sqrt D(\mathbb Z^2)&\sqrt D\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\\mathbb Z\left[\frac{D+\sqrt D}2\right]&\sqrt D\not\in\mathbb Z\end{cases}

$A$ -가군 $M$ 가운데 아벨 군으로서 $\mathbb Z^2$ 이며, $\operatorname{tr}_{A/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z$ 가 $\operatorname{tr}_{M/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z$ 와 같은 것 (둘째 조건은 $M$ 이 $A$ -아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히,

D\ne0

일 때,

M

은 항상

A_D

의 아이디얼과 동형이다. 그러나

D=0

일 경우 일반적으로

M

은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우

A_0=\mathbb Z[t]/(t^2)

이며

M=\mathbb Zx\oplus\mathbb Zy

,

tx=ty=0_M

이다.

\mathbb Z

위의 이차 형식의

\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)

-동치류를 분류하려면,

(A,M)

및

M

의 방향

\epsilon\in\{\pm1\}

을 사용하여야 한다.^[14]

3. 3. 자기 동형

만약 ''f''가 이차 형식이라면, 다음과 같은 행렬

:

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})

내에서,

f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = f(x,y)

가 성립할 때 ''f''의 '''자기 동형'''이라고 한다.^[14] 예를 들어,

:

\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

는 형식

f = x^2 - 2y^2

의 자기 동형이다. 어떤 형식의 자기 동형은

\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})

의 부분군을 이룬다. ''f''가 정해적일 경우, 이 군은 유한군이며, ''f''가 부정적일 경우, 무한 순환군이다.

4. 표현

이진 이차 형식 $q(x,y)$ 는 방정식 $n = q(x,y)$ 를 만족하는 정수 $x$ 와 $y$ 를 찾을 수 있을 때, 정수 $n$ 을 '표현'한다고 한다. 이러한 방정식은 $q$ 에 의한 $n$ 의 "표현"이라고 불린다.^[2]

디오판토스는 홀수 정수 $n$ 에 대해 $n = x^2 + y^2$ 을 만족하는 정수 $x$ 와 $y$ 를 찾는 문제를 고려했다. 예를 들어 $n=65$ 일 때, $65 = 1^2 + 8^2$ , $65 = 4^2 + 7^2$ 가 성립한다. 따라서 $(x,y) = (1,8)$ 및 $(4,7)$ 과 같은 쌍을 찾을 수 있다. $x$ 와 $y$ 의 값을 바꾸거나 부호를 변경하면 총 16개의 서로 다른 해 쌍을 얻을 수 있다.

반면 $n=3$ 일 때, 방정식 $3=x^2 + y^2$ 은 정수 해를 갖지 않는다. 왜냐하면 $x = -1, 0, 1$ 을 제외하면 $x^2 \geq 4$ 가 성립하기 때문이다. 따라서 $x^2+y^2$ 는 $x$ 와 $y$ 가 각각 $-1, 0, 1$ 인 9개의 쌍을 제외하면 항상 3보다 크다. 이 9개의 쌍을 확인하면 $3 = x^2 + y^2$ 를 만족하는 해는 없다.

일반적으로 $n =x^2+y^2$ 방정식은 유한한 수의 해를 가진다. $|x|$ 와 $|y|$ 가 $\sqrt{n}$ 보다 작지 않으면 $x^2+y^2$ 가 $n$ 보다 커지기 때문이다. 이 조건을 만족하는 쌍은 유한하다.

4. 1. 표현 문제

이진 이차 형식 이론에서 가장 오래된 문제는 '''표현 문제'''이다. 이는 주어진 이차 형식 ''f''에 의해 주어진 숫자

n

의 표현을 설명하는 것이다. 여기서 "설명"은 다음을 포함하여 다양한 의미를 가질 수 있다.

모든 표현을 생성하는 알고리즘 제공
표현의 개수에 대한 닫힌 공식 제공
표현의 존재 여부 결정

예를 들어, 형식

x^2 + y^2

에 의한 숫자 3과 65의 표현 문제와 형식

x^2 - 2y^2

에 의한 숫자 1의 표현 문제를 생각해 볼 수 있다. 65는

x^2 + y^2

에 의해 16가지 다른 방식으로 표현되는 반면, 1은

x^2 - 2y^2

에 의해 무한히 많은 방식으로 표현되고, 3은

x^2+y^2

에 의해 전혀 표현되지 않는다. 첫 번째 경우, 16개의 표현이 명시적으로 설명되었다. 또한 정수를

x^2+y^2

로 표현하는 횟수는 항상 유한하다는 것이 밝혀졌다. 제곱수의 합 함수

r_2(n)

은 ''n''을

x^2+y^2

로 표현하는 횟수를 ''n''의 함수로 제공하며, 다음과 같은 닫힌 공식이 있다.^[3]

:

r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n)),

여기서

d_1(n)

은 4를 법으로 1과 약수가 합동인 ''n''의 약수의 개수이고,

d_3(n)

은 4를 법으로 3과 합동인 ''n''의 약수의 개수이다.

표현 문제와 관련된 불변량은 다음과 같다.

클래스에 의해 표현되는 정수의 집합. 정수 ''n''이 클래스의 형식으로 표현되면, 클래스의 다른 모든 형식으로도 표현된다.
클래스에 의해 표현되는 최소 절대값. 이는 클래스에 의해 표현되는 정수 집합에서 가장 작은 음수가 아닌 값이다.
클래스에 의해 표현되는, 클래스의 판별식을 법으로 하는 합동 클래스.

클래스에 의해 표현되는 최소 절대값은 퇴화 클래스의 경우 0이고, 정의 클래스와 부정 클래스의 경우 양수이다. 정의 형식

f = ax^2 + bxy + cy^2

에 의해 표현되는 모든 숫자는 부호가 동일하다.

a>0

이면 양수이고

a<0

이면 음수이다. 이러한 이유로, 전자는 '''양의 정부호''' 형식이라고 하고 후자는 '''음의 정부호''' 형식이라고 한다.

정수 ''n''을 형식 ''f''로 표현하는 횟수는 ''f''가 정의이면 유한하고, ''f''가 부정일 경우 무한하다.

x^2+y^2

는 양의 정부호이고

x^2 - 2y^2

는 부정 형식인 예시를 통해 이를 확인할 수 있다.

4. 2. 예시

디오판토스는 홀수 정수

n

에 대해

n = x^2 + y^2

을 만족하는 정수

x

와

y

를 찾을 수 있는지 고려했다.^[2]

n=65

일 때, 다음이 성립한다.

:

\begin{align} 65 &= 1^2 + 8^2,\\65 &= 4^2 + 7^2,\end{align}

따라서

(x,y) = (1,8)

및

(4,7)

과 같은 쌍을 찾을 수 있다.

x

와

y

의 값을 바꾸거나,

x

와

y

중 하나 또는 둘 다의 부호를 변경하여 더 많은 쌍을 얻을 수 있는데, 전체적으로 16개의 서로 다른 해 쌍이 있다. 반면에,

n=3

일 때 방정식

:

3=x^2 + y^2

은 정수 해를 갖지 않는다. 그 이유는

x^2 \geq 4

가

x = -1, 0

또는

1

이 아닌 경우에 성립하기 때문이다. 따라서

x^2+y^2

는

(x,y)

가

x

와

y

가 각각

-1, 0

또는 1인 9개의 쌍 중 하나가 아닌 경우 3을 초과한다. 이 9개의 쌍을 직접 확인하면

3 = x^2 + y^2

를 만족하는 것은 없으므로, 이 방정식은 정수 해를 갖지 않는다.

유사한 논증으로 각

n

에 대해 방정식

n =x^2+y^2

가 유한한 수의 해를 가질 수 있음을 보일 수 있는데, 이는

x^2+y^2

가 절댓값

|x|

와

|y|

가 모두

\sqrt{n}

보다 작지 않으면

n

을 초과하기 때문이다. 이 제약 조건을 만족하는 쌍은 유한 개뿐이다.

이차 형식과 관련된 또 다른 고대 문제는 펠 방정식을 푸는 것이다. 예를 들어

1 = x^2 - 2y^2

를 만족하는 정수 ''x''와 ''y''를 찾을 수 있다. 해에서 ''x''와 ''y''의 부호를 바꾸면 다른 해가 나오므로, 양의 정수에서 해를 찾는 것으로 충분하다. 한 가지 해는

(x,y) = (3,2)

이며, 즉

1 = 3^2 - 2 \cdot 2^2

라는 등식이 성립한다. 만약

(x,y)

가

1 = x^2 - 2 y^2

의 어떤 해라면,

(3x+4y,2x+3y)

는 또 다른 그러한 쌍이다. 예를 들어, 쌍

(3,2)

로부터, 우리는

:

(3\cdot 3 + 4 \cdot 2, 2\cdot 3 + 3 \cdot 2) = (17,12)

를 계산하며, 이가

1 = 17^2 - 2 \cdot 12^2

를 만족하는지 확인할 수 있다. 이 과정을 반복하면

1 = x^2 - 2y^2

인 추가 쌍

(x,y)

를 찾을 수 있다.

:

\begin{align}(3 \cdot 17 + 4 \cdot 12, 2 \cdot 17 + 3 \cdot 12) &= (99,70),\\(3 \cdot 99 + 4 \cdot 280, 2 \cdot 99 + 3 \cdot 70) &= (577,408),\\&\vdots \end{align}

이 값들은 계속 커질 것이므로, 1을

x^2 - 2y^2

형식으로 나타내는 무한히 많은 방법이 있음을 알 수 있다. 이 재귀적 설명은 유클리드 원론에 대한 스미르나의 테온의 주석에서 논의되었다.

4. 3. 등가 표현

표현

m = f(x_1,y_1)

과

n = g(x_2,y_2)

가 있을 때, 다음 조건을 만족하는 행렬

:

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

이 존재하면 두 표현은 등가이다. 조건은 정수 항목과 행렬식이 1인 조건을 만족하며,

f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = g(x,y)

이고,

:

\begin{pmatrix} \delta& -\beta \\ -\gamma & \alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}

이다.

위의 조건은 이진 이차 형식에 의한 정수의 표현 집합에 대한 그룹

\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})

의 (오른쪽) 작용을 제공한다.^[4] 이 방식으로 정의된 등가는 동치 관계이며, 특히 등가 표현의 형식은 등가 형식이다.

예를 들어

f = x^2 - 2y^2

이고 표현

1 = f(x_1,y_1)

을 고려해보자. 이러한 표현은 펠 방정식의 해이다. 행렬

:

\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

은 행렬식이 1이며 ''f''의 자기 동형 사상이다. 이 행렬에 의해 표현

1 = f(x_1,y_1)

에 작용하면 등가 표현

1 = f(3x_1 + 4y_1, 2x_1 + 3 y_1)

이 생성된다. 이것은

1 = x^2 - 2y^2

에 대한 무한히 많은 해를 생성한다. 이 행렬 작용을 반복하면 ''f''에 의해 1을 표현하는 무한 집합이 모두 등가임을 알 수 있다.

주어진 0이 아닌 판별식

\Delta

의 형식에 의해 정수 ''n''을 표현하는 등가 클래스는 일반적으로 유한 개가 있다. 이러한 클래스에 대한 대표의 완전한 집합은 ''환원된 형식''으로 제공될 수 있다.

\Delta < 0

일 때, 모든 표현은 환원된 형식에 의한 고유한 표현과 등가이므로, 대표의 완전한 집합은 판별식

\Delta

의 환원된 형식에 의한 ''n''의 유한 개의 표현으로 주어진다.

\Delta > 0

일 때, 자기에(Zagier)는 판별식

\Delta

의 형식에 의해 양의 정수 ''n''을 표현하는 모든 표현은 자기에의 의미에서 ''f''가 환원되고

x > 0

,

y \geq 0

인 고유한 표현

n = f(x,y)

와 등가임을 증명했다.^[4] 이러한 모든 표현의 집합은 표현의 등가 클래스에 대한 대표의 완전한 집합을 구성한다.

5. 환원과 유수

라그랑주는 판별식 ''D''를 갖는 이진 이차 형식의 클래스가 유한하게 존재함을 증명했으며, 그 수를 판별식 ''D''의 '''유수'''라 했다. 그는 각 클래스에서 정규 대표를 구성하기 위한 '''환원''' 알고리즘을 제시하여, 계수가 가장 작은 '''환원된 형식'''을 얻을 수 있도록 했다.^[5]

5. 1. 환원

라그랑주는 모든 값 ''D''에 대해 판별식 ''D''를 갖는 이진 이차 형식의 클래스가 유한하게 존재함을 증명했다. 그 수는 판별식 ''D''의 '''유수'''이다. 그는 각 클래스에서 정규 대표를 구성하기 위한 알고리즘, 즉 '''환원''' 알고리즘을 설명했는데, 이 알고리즘을 통해 계수가 적절한 의미에서 가장 작은 '''환원된 형식'''을 얻을 수 있다.

가우스는 그의 저서 《산술 연구》에서 더 우수한 환원 알고리즘을 제시했는데, 이 알고리즘은 이후 교과서에서 가장 일반적으로 제시되는 환원 알고리즘이 되었다. 1981년에 자기에(Zagier)는 가우스의 알고리즘을 대체할 수 있는 대안적인 환원 알고리즘을 발표했고, 이는 여러 용도로 사용되었다.^[5]

6. 합성

합성은 같은 판별식을 갖는 형식의 기본 동치 클래스에 대한 이항 연산으로, 가우스의 중요한 발견 중 하나이다. 이 연산은 이 집합을 판별식 $\Delta$ 의 '''형식 클래스 군'''(또는 단순히 클래스 군)이라는 유한 아벨 군으로 만든다.^[6] 클래스 군은 이후 대수적 수론의 중심 개념이 되었다. 현대적 관점에서, 기본 판별식 $\Delta$ 의 클래스 군은 판별식 $\Delta$ 의 이차수체 $\mathbf{Q}(\sqrt{\Delta})$ 의 좁은 클래스 군과 동형이다.^[6] 음의 $\Delta$ 의 경우, 좁은 클래스 군은 이상 클래스 군과 같지만, 양의 $\Delta$ 의 경우 두 배 클 수 있다.

"합성"은 때때로 이진 이차 형식에 대한 이항 연산을 의미하기도 한다. 이 경우, 이진 이차 형식의 특정 쌍만 합성될 수 있으며 결과 형식은 잘 정의되지 않지만, 동치 클래스는 잘 정의된다는 두 가지 주의 사항이 있다. 동치 클래스에 대한 합성 연산은 먼저 형식의 합성을 정의한 다음 이것이 클래스에 잘 정의된 연산을 유도한다는 것을 보여줌으로써 정의된다.

"합성"은 형식에 의한 정수의 표현에 대한 이항 연산을 의미할 수도 있다.

6. 1. 합성 연산

브라마굽타 항등식에서 볼 수 있듯이, 합성은 같은 판별식의 두 개의 이차 형식을 취하여 같은 판별식의 이차 형식을 생성하기 위해 결합하는 것을 의미한다.^[6]

형식의 합성에 대한 다양한 정의가 주어졌으며, 이는 종종 가우스의 극도로 기술적이고 일반적인 정의를 단순화하려는 시도였다. 여기서 Arndt의 방법을 제시하는데, 그 이유는 손으로 계산할 수 있을 정도로 간단하면서도 비교적 일반적이기 때문이다. 다른 정의는 바르가바 큐브에서 설명되어 있다.

6. 2. 형식 클래스 군

합성은 같은 판별식을 가지는 형식의 기본 동치 클래스에 대한 이항 연산으로, 가우스의 발견 중 하나이다. 이 연산은 이 집합을 판별식

\Delta

의 '''형식 클래스 군'''(또는 단순히 클래스 군)이라는 유한 아벨 군으로 만든다.^[6] 클래스 군은 대수적 수론의 중심적인 개념이 되었다. 현대적인 관점에서, 기본 판별식

\Delta

의 클래스 군은 판별식

\Delta

의 이차수체

\mathbf{Q}(\sqrt{\Delta})

의 좁은 클래스 군과 동형이다.^[6] 음의

\Delta

의 경우, 좁은 클래스 군은 이상 클래스 군과 같지만, 양의

\Delta

의 경우 두 배 클 수 있다.

요약하면, 합성 연산은 형식 클래스 군을 이루며, 형식 클래스 군은 이차 수체의 좁은 클래스 군 및 아이디얼 클래스 군과 관계를 가진다.

7. 속

가우스는 더 거친 동치 개념을 고려했는데, 각 거친 분류를 폼의 '''속'''이라고 불렀다. 각 속은 동일한 판별식의 유한 개의 동치류의 합집합이며, 류의 수는 판별식에만 의존한다. 이진 이차 형식의 맥락에서 속은 형식으로 표현되는 숫자의 합동류 또는 형식 집합에 정의된 '''속 지표'''를 통해 정의할 수 있다. 세 번째 정의는 n 변수의 이차 형식의 속의 특별한 경우이다. 이는 모든 유리 소수(그리고 아르키메데스 자리 포함)에서 형식이 국소적으로 동치이면 동일한 속에 속한다고 말한다.^[1]

8. 역사

카를 프리드리히 가우스는 1801년에 가우스 합성을 도입하였다.^[15] 가우스는 정수 계수 이항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수^[16] 및 스킴 계수^[17]의 이항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

가우스는 ''산술 연구'' 섹션 V에서 이 이론을 대폭 확장하고 개선하였다. 그는 서로 다른 판별식과 부정형식을 구성할 수 있는 구성 연산자의 매우 일반적인 버전을 도입했고, 라그랑주의 동치를 고유한 동치의 보다 정확한 개념으로 대체하였다. 이를 통해 주어진 판별식의 원시 류가 구성 연산에서 군을 형성한다는 것을 보여줄 수 있었다. 그는 종 이론을 도입했는데, 이는 유수를 제곱 부분군의 몫을 이해하는 강력한 방법을 제공한다. (가우스와 그 이후 많은 저자는 ''b'' 대신 2''b''를 썼다. ''xy''의 계수를 홀수로 허용하는 현대적인 관례는 아이젠슈타인에 기인한다.)

8. 1. 고대 ~ 중세

인도 수학자들은 7세기 브라마굽타가 펠 방정식을 연구한 것을 시작으로, 차크라발라 방법을 통해 펠 방정식의 완전한 해법을 제시한 자야데바 또는 바스카라 II까지 이진 이차 형식에 대한 연구를 진행했다.^[8] 3세기에는 디오판토스가 정수를 두 제곱의 합으로 표현하는 문제를 연구했다.^[9] 17세기 페르마는 디오판토스의 산술을 읽고 두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리를 포함한 이차 형식에 대한 관찰을 남겼다.^[10]

8. 2. 근세

이진 이차 형식과 관련된 첫 번째 문제는 특정 이진 이차 형식으로 정수를 표현하는 것의 존재 여부 또는 구성에 대한 것이었다. 주요 예로는 펠 방정식의 해와 정수를 두 제곱의 합으로 나타내는 것이 있다.^[7] 펠 방정식은 이미 7세기 CE에 인도의 수학자 브라마굽타에 의해 고려되었다.^[8] 정수를 두 제곱의 합으로 표현하는 문제는 3세기에 디오판토스에 의해 고려되었다.^[9] 17세기에 페르마는 두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리로 알려진 것을 포함하여 특정 이차 형식에 의한 표현에 대해 몇 가지 관찰을 했다.^[10] 오일러는 페르마의 관찰에 대한 최초의 증명을 제공하고 증명 없이 특정 형식에 의한 표현에 대한 몇 가지 새로운 추측을 추가했다.^[11]

이차 형식의 일반 이론은 1775년 라그랑주에 의해 그의 ''수론 연구''에서 시작되었다. 라그랑주는 "일관된 일반 이론은 모든 형식을 동시에 고려하는 것을 필요로 한다"는 것을 처음으로 깨달았다.^[12] 그는 판별식의 중요성을 인식하고 동치 및 환원의 본질적인 개념을 정의한 최초의 사람이었으며, 주어진 판별식에 대해 유한 개의 동치류가 있음을 보여줌으로써 최초로 산술적인 유수를 정의했다.^[13] 1798년, 르장드르는 ''수론 에세이''를 출판했는데, 이는 오일러와 라그랑주의 연구를 요약하고 형식에 대한 구성 연산의 첫 번째 모습을 포함한 자신의 기여를 추가했다.

8. 3. 19세기 이후

가우스의 연구는 2개 이상의 변수를 가진 이차 형식의 산술 이론과 이차 체를 일반적인 수체로 대체하는 대수적 수론의 발전에 큰 영향을 주었다.^[15] 그러나 그 영향은 즉각적이지 않았다. ''산술 연구''의 섹션 V는 혁신적인 아이디어를 담고 있었지만 매우 복잡하여, 많은 부분이 독자에게 맡겨졌다. 이러한 이유로 섹션 V는 난해하다는 평판을 얻었다. 디리클레는 이 이론을 단순화하여 더 많은 사람들이 이해할 수 있도록 하였고, 그의 연구는 ''수론 강의''라는 책으로 집대성되었다. 이 책의 제3판에는 데데킨트의 두 개의 부록이 포함되었는데, 부록 XI에서는 환론을 소개하였다. 1897년 힐베르트의 ''수론 보고서''가 출판된 이후, 이진 이차 형식 이론은 대수적 수론에서 그 중요성이 줄어들고 대수적 수체의 일반 이론에 자리를 내주게 되었다.

그럼에도 불구하고, 정수 계수를 갖는 이진 이차 형식에 대한 연구는 현재까지 계속되고 있다. 여기에는 이차 수체에 대한 많은 결과들이 포함되며, 이는 종종 이진 이차 형식의 언어로 표현될 수 있다. 섕크스의 구조, 자기에의 축소 알고리즘, 콘웨이의 토포그래프, 바르가바의 바르가바 큐브를 통한 구성의 재해석 등도 이진 이차 형식 이론에서 비롯된 발전이다.

8. 4. 현대

정수 계수를 갖는 이진 이차 형식에 대한 연구는 현재까지 계속되고 있다. 여기에는 이차 수체에 대한 수많은 결과가 포함되어 있으며, 이는 종종 이진 이차 형식의 언어로 번역될 수 있다. 섕크스의 구조, 자기에의 축소 알고리즘, 콘웨이의 토포그래프 및 바르가바의 바르가바 큐브를 통한 구성의 재해석을 포함하여 형식 자체 또는 형식을 생각함으로써 시작된 개발도 포함된다.^[7]

참조

_[1] Harvnb
_[2] Harvnb
_[3] Harvnb
_[4] Harvnb
_[5] Harvnb
_[6] Harvnb
_[7] Harvnb
_[8] Harvnb
_[9] Harvnb
_[10] Harvnb
_[11] Harvnb
_[12] Harvnb
_[13] Harvnb
_[14] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006. Volume 2 European Mathematical Society 2016-04-29
_[15] 서적 Disqvisitiones arithmeticae in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun. 1801
_[16] 저널 Composition of binary quadratic forms 1982-12
_[17] 저널 Gauss composition over an arbitrary base 2011-01-30

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