끈의 진동

1. 개요

끈의 진동은 끈에서 발생하는 파동의 현상을 다룬다. 끈에 의한 파동의 전파 속력은 끈의 장력의 제곱근에 비례하고, 끈의 선형밀도의 제곱근에 반비례한다. 끈의 진동은 파동의 속도, 파장, 주파수 간의 관계를 통해 설명되며, 현의 길이, 장력, 선밀도에 따라 기본 주파수가 결정된다. 끈의 진동은 스트로보스코프 효과를 통해 관찰할 수 있으며, 진동하는 현을 CRT 화면이나 스트로보스코프를 사용하여 파형을 시각적으로 확인할 수 있다.

2. 파동

끈에 의한 파동의 전파 속력($v$)는 끈의 장력($T$)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도($\backslash mu$)의 제곱근에 반비례하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$v\; =\; \backslash sqrt\{T\; \backslash over\; \backslash mu\}.$

이 관계는 16세기 후반 빈첸초 갈릴레이에 의해 발견되었다.

2.1. 파동 속력 유도

끈에 의한 파동의 전파 속력($v$)는 끈의 장력($T$)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도($\backslash mu$)의 제곱근에 반비례하며, 아래와 같이 나타낼 수 있다.

:$v\; =\; \backslash sqrt\{T\; \backslash over\; \backslash mu\}.$

이 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 끈의 한 지점 x로부터 작은 $\backslash Delta\; x$의 간격을 잡고, $m$을 질량, $\backslash mu$를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 $T$(상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 $x$와 $x\; +\; \backslash Delta\; x$에 가해지는 장력은 $T$로 근사할 수 있다.

:$T\_\{1x\}=T\_1\; \backslash cos(\backslash alpha)\; \backslash approx\; T.$
:$T\_\{2x\}=T\_2\; \backslash cos(\backslash beta)\backslash approx\; T.$

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$가 매우 작다고 생각하면 수평축의 알짜힘은 0이 되어 상쇄된다. 따라서 수직 방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같으므로 y에 대한 편미분으로 표현할 수 있다.

:$\backslash Sigma\; F\_y=T\_\{2y\}-T\_\{1y\}=T\_2\; \backslash sin(\backslash beta)-T\_1\; \backslash sin(\backslash alpha)=\backslash Delta\; m\; a\backslash approx\backslash mu\backslash Delta\; x\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; y\}\{\backslash partial\; t^2\}.$

양변을 장력 $T$으로 나누고 처음에 구했던 $T$에 관한 식을 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mu\backslash Delta\; x\}\{T\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; y\}\{\backslash partial\; t^2\}=\backslash frac\{T\_2\; \backslash sin(\backslash beta)\}\{T\_2\; \backslash cos(\backslash beta)\}-\backslash frac\{T\_1\; \backslash sin(\backslash alpha)\}\{T\_1\; \backslash cos(\backslash alpha)\}=\backslash tan(\backslash beta)-\backslash tan(\backslash alpha)$

각 양 끝의 $a$와 $b$에 대한 탄젠트값이 양 끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash Delta\; x\}\backslash left(\backslash left.\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right|^\{x+\backslash Delta\; x\}-\backslash left.\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right|^x\backslash right)=\backslash frac\{\backslash mu\}\{T\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; y\}\{\backslash partial\; t^2\}$

$\backslash Delta\; x$가 매우 작다고 가정하였으므로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 $y$의 미분값의 미분, 즉 $y$에 대한 이계미분이 된다.

:$\backslash frac\{\backslash partial^2\; y\}\{\backslash partial\; x^2\}=\backslash frac\{\backslash mu\}\{T\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; y\}\{\backslash partial\; t^2\}.$

이 식은 $y(x,t)$에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동 방정식에서 시간에 대한 이계 미분의 항은 $v^\{-2\}$와 같다. 따라서,

:$v=\backslash sqrt\{T\backslash over\backslash mu\},$

여기서 $v$는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰 진폭의 경우에는 $\backslash Delta\; x$ 은 좋은 근사식이 될 수 없고, 수평축의 장력은 상수 $T$로서 일정할 필요가 없다.

3. 파동의 주파수

전파 속도가 알려지면 현이 생성하는 소리의 주파수를 계산할 수 있다. 끈에서 발생하는 파동의 주파수($f$)는 파동의 속력($v$)과 파장($\backslash lambda$)에 의해 결정된다. 메르센의 법칙에 따르면, 주파수는 현의 장력($T$), 선밀도($\backslash mu$), 길이($L$)에 의해 다음과 같이 결정된다.

:$f\; =\; \backslash frac\{v\}\{2L\}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; 2L\; \}\; \backslash sqrt\{T\; \backslash over\; \backslash mu\}$

3.1. 주파수와 관련된 요인

파동의 속도는 파장 $\backslash lambda$를 주기 $\backslash tau$로 나눈 값과 같으며, 주파수 $f$를 곱한 값과 같다.

:$v\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{\backslash tau\}\; =\; \backslash lambda\; f.$

현의 길이가 $L$이면, 기본 하모닉은 현의 양 끝이 마디가 되어 진동하는 현이 생성하는 하모닉이므로, $L$은 기본 하모닉의 파장의 절반이다. 따라서 메르센의 법칙을 얻는다.

:$f\; =\; \backslash frac\{v\}\{2L\}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; 2L\; \}\; \backslash sqrt\{T\; \backslash over\; \backslash mu\}$

여기서 $T$는 장력 (뉴턴 단위), $\backslash mu$는 선밀도 (즉, 단위 길이당 질량), $L$은 현의 진동 부분의 길이이다. 그러므로:

* 현이 짧을수록 기본 주파수가 높다.
* 장력이 높을수록 기본 주파수가 높다.
* 현이 가벼울수록 기본 주파수가 높다.

n번째 하모닉의 파장이 $\backslash lambda\_n\; =\; 2L/n$으로 주어지면, n번째 하모닉의 주파수에 대한 식은 다음과 같다.

:$f\_n\; =\; \backslash frac\{nv\}\{2L\}$

장력이 T이고 선밀도가 $\backslash mu$인 현의 경우,

:$f\_n\; =\; \backslash frac\{n\}\{2L\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{T\}\{\backslash mu\}\}$

4. 끈 진동의 관찰

주간이나 기타 비진동 광원에서는 잔상 효과로 인해 끈이 정지된 것처럼 보이지만 더 두껍고 밝거나 흐릿하게 보인다. 이러한 효과는 발생하지 않는다.

4.1. 스트로보스코프 효과

진동하는 현의 파형은 진동수가 충분히 낮고 진동하는 현이 텔레비전이나 컴퓨터와 같은 CRT 화면 앞에 놓여 있을 경우 볼 수 있다(아날로그 오실로스코프는 제외).

이 효과를 스트로보스코프 효과라고 하며, 현이 진동하는 것처럼 보이는 속도는 현의 진동수와 화면의 재생 빈도의 차이이다. 형광등에서도 현의 진동수와 교류의 진동수의 차이와 같은 속도로 동일한 현상이 발생할 수 있다.

스트로보스코프를 사용하면 이와 유사하지만 더 제어 가능한 효과를 얻을 수 있다. 이 장치를 사용하면 제논 섬광 램프의 주파수를 현의 진동 주파수에 일치시킬 수 있다. 어두운 방에서는 파형이 명확하게 나타난다. 그렇지 않으면, 벤딩을 사용하거나, 머신 헤드를 조정하여 AC 주파수와 같거나 배수인 주파수를 얻어 동일한 효과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 기타의 경우 6번(가장 낮은 음) 줄을 세 번째 프렛에 누르면 97.999Hz의 G음이 난다. 약간의 조정을 통해 유럽 및 아프리카와 아시아 대부분의 국가의 교류 주파수인 50Hz보다 정확히 한 옥타브 높은 100Hz로 변경할 수 있다. 아메리카 대륙 대부분의 국가(AC 주파수가 60Hz)에서는 다섯 번째 줄, 첫 번째 프렛의 A#을 116.54Hz에서 120Hz로 변경하면 유사한 효과가 나타난다.