내림 데이터

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 스택
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

내림 데이터는 수학의 한 분야로, 주어진 층을 기반으로 하는 강하 데이터로 이어진다. 이는 체를 통한 정의, 구체적 정의, 덮개를 통한 정의 등 다양한 방식으로 정의될 수 있으며, 효과적 내림의 개념과 스택의 정의로 이어진다. 내림 이론은 완전충실 강하가 존재하기 위한 조건과 함자가 범주의 동치가 되기 위한 조건을 알려준다. 스택은 모든 덮개에 대해 효과적 내림이 성립하는 올범주로, 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 내림 데이터는 연속 함수, 준연접층, 벡터 다발 등 다양한 예시를 통해 이해할 수 있으며, 역사적으로 그로텐디크의 세미나를 통해 발전해왔다.

더 읽어볼만한 페이지

층론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
층론 - 층 (수학)
층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.
대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.

내림 데이터
개요
분야	수학, 특히 대수기하학 및 정수론
하위 분야	갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 모티프 이론
관련 개념
관련 개념	층 이론, 호몰로지 대수학
반대 개념	상승

2. 정의

Descent theory|내림 이론^영어의 핵심은 주어진 덮개에 대한 국소적인 데이터(내림 데이터)로부터 전체 대상을 구성하고, 이 구성이 유일한지(충실충만한 내림), 가능한 모든 내림 데이터가 전체 대상으로부터 오는지(효과적 내림)를 판별하는 것이다.^[1]

이를 이해하기 위해 벡터 다발을 예시로 들어 설명한다.

위상 공간 ''X''가 열린 집합 ''X_i''로 덮여 있다고 가정하자. ''X_i''들의 분리 집합을 ''Y''라고 하면, 자연스러운 사상 $p: Y \rightarrow X$ 가 존재한다. ''Y''는 ''X''의 '위에' 있고, ''X_i''들은 ''X''로 '아래로' 투영된다고 생각할 수 있다.

여기서 '강하'는 ''Y''에 대한 벡터 다발, 즉 각 ''X_i''에 주어진 벡터 다발 ''V_i''를 의미한다. 우리의 목표는 이 다발들을 '접착'하여 ''X''에 대한 하나의 벡터 다발 ''V''를 만드는 것이다. ''V''를 ''X_i''로 제한했을 때, 다발 동형까지 ''V_i''를 얻을 수 있어야 한다.

이를 위해 각 겹침 $X_{ij}$ (''X''_''i''와 ''X''_''j''의 교집합)에서 ''V_i''와 ''V_j''를 섬유별로 식별하는 사상 $f_{ij}: V_i \rightarrow V_j$ 가 필요하다. 이 $f_{ij}$ 들은 동치 관계의 반사적, 대칭적, 전이적 속성을 만족해야 한다. 예를 들어, 전이성을 위해 $f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik}$ 가 성립해야 한다.

이 조건들은 섬유 다발 이론에서 전이 사상의 표준적인 조건과 일치한다. 연관 다발을 만드는 방법은 섬유를 변화시키는 것인데, 이는 다양한 섬유에 작용하는 동일한 ''f''_''ij''를 사용함으로써 가능하다.

텐서장 구성은 야코비 연쇄 법칙을 따르며, 이는 '텐서 구성의 자연성'으로 요약될 수 있다.

더 추상적으로, $X_{ij}$ 의 분리 집합을 섬유곱(여기서는 등화기) $Y \times_X Y$ 로 해석할 수 있다. ''X''로의 두 개의 서로 다른 투영 사상을 통해 섬유로의 끌어당김인 ''V''′과 ''V''"는 우리가 제어해야 하는 ''X''_''ij''에 대한 다발이다.

이러한 과정을 통해 조합론적인 측면을 제거하고, 범주론적 접근 방식을 사용할 수 있다.

2. 1. 체를 통한 정의

작은 범주

\mathcal C

와

\mathcal C

위의 올범주

\Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C

, 그리고

\mathcal C

속의 대상

U\in\mathcal C

가 주어졌다고 하자.

U

위의 체

S\subseteq\hom_{\mathcal C}(-,U)

가 주어졌을 때,

S

는 다음과 같은 함자로 생각할 수 있다.

:

\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

:

X\mapsto S(X)

:

\left(X\xrightarrow fY\right)\mapsto \left(S(Y)\xrightarrow{f^*}S(X)\right)

이 함자에 그로텐디크 구성을 적용하면 올범주

\Pi_S\colon\operatorname{Elem}(S)\to\mathcal C

를 얻는다. 여기서

\operatorname{Elem}(S)

의 대상

(X,\iota)

는

X\in\mathcal C

와

(\iota\colon X\to U)\in S(X)

로 구성된다. 즉,

X

위의 올은

S(X)

이다.

S

위의 '''내림 데이터'''는

\mathcal C

-올범주의 사상

F\colon\operatorname{Elem}(S)/\mathcal C\to\mathcal F/\mathcal C

이다. 이는 다음 가환 그림을 만족시키고, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 보내는 함자이다.

:

\begin{matrix}\operatorname{Elem}(S)&\to&\mathcal F\\&\searrow&\downarrow\\&&\mathcal C\end{matrix}

체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 체는 주어진 대상의 사상들을 모아놓은 것으로, 덮개의 개념을 일반화한다. 체를 이용하여 내림 데이터를 정의하고, 이를 통해 전체 대상을 구성할 수 있다.

2. 2. 구체적 정의

주어진 위치 $\mathcal{C}$와 올범주 $\Pi \colon \mathcal{F} \to \mathcal{C}$, 그리고 $\mathcal{C}$의 대상 $U$와 $U$의 덮개체 $\{\iota_i \colon U_i \to U\}_{i \in I}$에 대해, 내림 데이터는 다음과 같이 구성된다.

각 $i \in I$에 대해, 대상 $F_i \in \mathcal{F}(U_i)$가 존재한다.
임의의 사상 $u \colon U_i \to U_j$에 대해 ($\iota_j \circ u = \iota_i$), $\Pi(\phi_u) = u$를 만족하는 데카르트 사상 $\phi_u \colon F_i \to F_j$가 존재한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족해야 한다.

$u = \operatorname{id}_{U_i}$일 때, $\phi_{\operatorname{id}_{U_i}} = \operatorname{id}_{F_i}$이다.
임의의 $U_i \xrightarrow{u} U_j \xrightarrow{v} U_k$에 대하여 ($\iota_j \circ u = \iota_i$, $\iota_k \circ v = \iota_j$), $\phi_{v \circ u} = \phi_v \circ \phi_u$이다.

만약 올범주 $\mathcal{F/C}$에 쪼갬이 주어지면, 쪼갬에 의해 주어진 표준적 올림 $u^*F_j \to F_j$가 존재하고, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의해) $\phi_u$는 유일하게 결정되는 동형 사상 $F_i \to u^*F_j$으로 생각할 수 있다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

체를 생성하는 사상 집합 $\{\iota_i \colon U_i \to U\}$에 대한 정의는 다음과 같다.

모든 당김을 갖는 작은 범주 $\mathcal{C}$가 주어져 있다.
$\mathcal{C}$ 위의 올범주 $\Pi \colon \mathcal{F} \to \mathcal{C}$가 주어져 있다.
$\mathcal{C}$의 대상 $U \in \mathcal{C}$가 주어져 있다.
$U$를 공역으로 하는 사상들의 집합 $\{\iota_i \colon U_i \to U\}_{i \in I}$가 주어져 있다.

이 경우, 내림 데이터는 다음과 같다.

각 $i \in I$ 및 사상 $f \colon X \to U_i$에 대하여, 대상 $F_{i,f} \in \mathcal{F}(X)$가 존재한다.
각 가환 오각형

```

X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\

\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\

X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U

```

에 대하여, $\Pi(\phi_{i,f,u,j,f'}) = u$인 데카르트 사상 $\phi_{i,f,u,j,f'} \colon F_{i,f} \to F_{j,f'}$가 존재한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족해야 한다.

$f \colon X \to U_i$에 대하여, $\phi_{i,f,\operatorname{id}_X,i,f} = \operatorname{id}_{F_i}$이다.
임의의 당김

```

U_i\times_UU_j &\to&U_i\\

\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_i\\

U_j&\underset{\iota_j}\to&U

```

에 대하여, $F_{i,\operatorname{proj}_{U_i}} = F_{j,\operatorname{proj}_{U_j}}$이다.

임의의 가환 그림

```

X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\

\scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\

X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U\\

\scriptstyle v\downarrow&&&&\|\\

X''&\underset{f''}\to&U_k&\underset{\iota_k}\to&U

```

에 대하여, $\phi_{j,f',v,k,f''} \circ \phi_{i,f,u,j,f'} = \phi_{k,f'',v \circ u,i,f}$이다.

올범주 $\mathcal{F/C}$에 정규 쪼갬이 주어진 경우, 즉 각 $F \in \mathcal{F}$ 및 $f \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})$에 대하여 올림 $f^*X \xrightarrow{\phi_{f,X}} X$가 주어지고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이며, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

각 $i \in I$에 대하여, 대상 $F_i \in \mathcal{F}(U_i)$가 존재한다.
각 $i, j \in I$ 및 당김 $U_i \xleftarrow{\operatorname{proj}_{U_i}} U_i \times_U U_j \xrightarrow{\operatorname{proj}_{U_j}} U_j$에 대하여, 동형 사상 $\phi_{ij} \colon \operatorname{proj}_{U_j}^*F_j \to \operatorname{proj}_{U_i}^*F_i$가 존재한다.

이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

모든 $i \in I$에 대하여 $\phi_{i,i} = \operatorname{id}$이며, $\phi_{i,j} \circ \phi_{j,i} = \operatorname{id}$이다.
(공사슬 조건 cocycle condition^영어) 모든 $i,j,k \in I$에 대하여, $\operatorname{proj}_{13}^*\phi_{i,k} = \operatorname{proj}_{12}^*\phi_{i,j} \circ \operatorname{proj}_{23}^*\phi_{j,k} \colon \operatorname{proj}_3^*F_i \to \operatorname{proj}_1^*F_k$이다. 여기서 $\operatorname{proj}_{(-)}$는 $U_i \times_U U_j \times_U U_k$의 각종 사영 사상이다.

그러면 임의의 사상 $f \colon X \to U_i$에 대하여 $F_{i,f} = \operatorname{dom}f^*F_i$인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

2. 3. 덮개를 통한 정의

덮개는 체를 생성하는 사상들의 집합으로, 이를 통해 내림 데이터를 정의할 수 있다. 우선 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

모든 당김을 갖는 작은 범주 $\mathcal C$
$\mathcal C$ 위의 올범주 $\Pi\colon\mathcal F\to\mathcal C$
$\mathcal C$ 의 대상 $U\in\mathcal C$
$U$ 를 공역으로 하는 사상들의 집합 $\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}$ .

그러면,

S

위의 '''내림 데이터'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

각 $i\in I$ 및 사상 $f\colon X\to U_i$ 에 대하여, 대상 $F_{i,f}\in\mathcal F(X)$
각 가환 오각형

\begin{matrix}    X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\    \scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\    X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U    \end{matrix}

에 대하여,

\Pi(F_{i,f,u,j,f'})=u

인 데카르트 사상

\phi_{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

$f\colon X\to U_i$ 에 대하여, $\phi_{i,f\operatorname{id}_X,i,f}=\operatorname{id}_{F_i}$
임의의 당김 $\begin{matrix}$

U_i\times_UU_j &\to&U_i\\ \downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_i\\ U_j&\underset{\iota_j}\to&U \end{matrix}에 대하여,

F_{i,\operatorname{proj}_{U_i}}=F_{j,\operatorname{proj}_{U_j}}

임의의 가환 그림 $\begin{matrix}$

X&\overset f\to&U_i&\overset{\iota_i}\to&U\\ \scriptstyle u\downarrow&&&&\|\\ X'&\underset{f'}\to&U_j&\underset{\iota_j}\to&U\\ \scriptstyle v\downarrow&&&&\|\\ X''&\underset{f''}\to&U_k&\underset{\iota_k}\to&U \end{matrix}에 대하여,

\phi_{j,f',v,k,f''}\circ\phi_{i,f,u,j,f'}=\phi_{k,f'',v\circ u,i,f}

올범주

\mathcal F/\mathcal C

의 정규 쪼갬이 주어진 경우, 즉 각

F\in\mathcal F

및

f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)

에 대하여 올림

:

f^*X\xrightarrow{\phi_{f,X}}X

가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

각 $i\in I$ 에 대하여, 대상 $F_i\in\mathcal F(U_i)$
각 $i,j\in I$ 및 당김 $U_i\xleftarrow{\operatorname{proj}_{U_i}}U_i\times_UU_j\xrightarrow{\operatorname{proj}_{U_j}}U_j$ 에 대하여, 동형 사상 $\phi_{ij}\colon\operatorname{proj}_{U_j}^*F_j\to\operatorname{proj}_{U_i}^*F_i$

이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

모든 $i\in I$ 에 대하여 $\phi_{i,i}=\operatorname{id}$ 이며, $\phi_{i,j}\circ\phi_{j,i}=\operatorname{id}$ 이다.
(공사슬 조건) 모든 $i,j,k\in I$ 에 대하여, $\operatorname{proj}_{13}^*\phi_{i,k}=\operatorname{proj}_{12}^*\phi_{i,j}\circ\operatorname{proj}_{23}^*\phi_{j,k}\colon\operatorname{proj}_3^*F_i\to \operatorname{proj}_1^*F_k$ . 여기서 $\operatorname{proj}_{(-)}$ 는 $U_i\times_UU_j\times_UU_k$ 의 각종 사영 사상이다.

그렇다면, 임의의 사상

f\colon X\to U_i

에 대하여

F_{i,f}=\operatorname{dom}f^*F_i

인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동치이다.

2. 4. 효과적 내림

올범주

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

및

\mathcal B

위의 그로텐디크 위상 및 대상

U\in\mathcal B

와 그 덮개

\{U_i\to U\}_{i\in I}

가 주어졌을 때, 함자

\mathcal E(U)\to\operatorname{Desc}(\{\iota_i\}_{i\in I})

가 범주의 동치라면, 덮개

\{\iota_i\}_{i\in I}

는 '''효과적 내림'''(effective descent^영어)을 보인다고 한다.^[1] 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터

\mathcal E(U)

속의 올을 재구성할 수 있다.

만약

\mathcal B

위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면,

\Pi

를 스택(stack^영어)이라고 한다.

3. 스택

올범주 $\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B$ 및 $\mathcal B$ 위의 그로텐디크 위상에 대하여, 만약 $\mathcal B$ 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, $\Pi$ 를 '''스택'''(stack^영어)이라고 한다.

벡터 다발을 분리 집합의 위상 공간에 대한 데이터로부터 벡터 다발을 구성하는 경우는 이해하기 쉬운 예시이다.

''X''가 열린 집합 ''X_i''로 덮인 위상 공간이라고 가정하자. ''Y''를 ''X_i''의 분리 집합으로 하여 자연스러운 사상

: $p: Y \rightarrow X.$

이 존재한다고 하자. ''Y''를 ''X''의 '위에' 있다고 생각하고 ''X_i''를 '아래로' ''X''로 투영한다. 이 때, ''강하''는 ''Y''에 대한 벡터 다발 (즉, 각 ''X_i''에 주어진 다발)을 의미하며, 우리의 관심사는 그러한 다발 ''V_i''를 '접착'하여 X에 대한 단일 다발 ''V''를 만드는 것이다. ''V''가 ''X_i''로 제한될 때, 다발 동형까지 ''V_i''를 반환해야 한다.

필요한 데이터는 다음과 같다. 각 겹침

: $X_{ij},$

즉, ''X''_''i''와 ''X''_''j''의 교집합에서 사상

: $f_{ij}: V_i \rightarrow V_j$

을 요구하여, 섬유별로 ''V_i''와 ''V_j''를 식별하는 데 사용한다. 또한, ''f_ij''는 동치 관계의 반사적, 대칭적 및 전이적 속성을 기반으로 하는 조건을 충족해야 한다(접착 조건). 예를 들어, 전이성을 위해

: $f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik}$

이 성립한다(적절한 표기법을 선택). ''f''_''ii''는 항등 사상이어야 하며, 따라서 대칭성은 $f_{ij}=f^{-1}_{ji}$ 가 된다(따라서 섬유별 동형 사상).

이들은 실제로 섬유 다발 이론에서 표준적인 조건이다(전이 사상 참조). 주목해야 할 중요한 응용 분야 중 하나는 '섬유의 변화'이다. 만약 ''f''_''ij''가 다발을 만드는 데 필요한 전부라면, 연관 다발을 만드는 방법은 여러 가지가 있다. 즉, 다양한 섬유에 작용하는 본질적으로 동일한 ''f''_''ij''를 사용할 수 있다.

또 다른 중요한 점은 연쇄 법칙과의 관계이다. 텐서장을 구성하는 방법에 대한 논의는 '일단 접다발을 강하하는 방법을 배우면, 전이성이 야코비 연쇄 법칙인 경우, 나머지는 단순히 '텐서 구성의 자연성'으로 요약될 수 있다.'

추상 이론에 더 가까이 가기 위해

: $X_{ij}$

의 분리 집합을

: $Y \times_X Y,$

섬유 곱 (여기서는 등화기)으로 해석해야 한다. ''X''로의 두 개의 서로 다른 투영 사상을 통해 섬유로의 끌어당김인 ''V''′과 ''V''"는 우리가 제어해야 하는 ''X''_''ij''에 대한 다발이다.

따라서 더 추상적인 수준으로 가면 조합론적인 측면을 제거하고(즉, 색인을 생략하고) 시작했던 덮개의 특별한 형식이 아닌 ''p''에 대해 의미가 있는 것을 얻을 수 있다. 그런 다음 범주론적 접근 방식을 사용할 수 있다. 해야 할 일은 접착 조건을 다시 표현하는 것이다.

4. 예시

내림 이론은 여러 수학 분야에서 구체적인 예시를 통해 이해할 수 있다.

연속 함수: 위상 공간에서 연속 함수는 열린 덮개에 대해 효과적인 내림이 성립하며, 이는 스택을 이룬다.
준연접층: 스킴 위의 준연접층은 fpqc 위상에서 유효 내림이 성립하며, 에탈 위상, 자리스키 위상 등에서도 효과적인 내림이 성립한다.
벡터 다발: 벡터 다발은 국소적으로는 자유 가군이지만 전체적으로는 꼬여 있을 수 있다. 한국의 이공계 연구에서 벡터 다발은 선형대수학, 미분기하학, 위상수학 등 다양한 분야의 기초 개념으로 활용된다. 내림 이론은 열린 덮개 위에 주어진 벡터 다발들을 겹치는 영역에서 정의된 전이 사상을 통해 짜깁기하여 전체 공간 위의 벡터 다발을 구성하는 방법을 제공한다.

4. 1. 연속 함수

위상 공간 범주의 화살표 범주

\operatorname{Top}^\to

를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자

:

\operatorname{cod}\colon\operatorname{Top}^\to\to\operatorname{Top}

에 의하여, 이는 올범주를 이루며,

X

위의 올은 조각 범주

\operatorname{Top}/X

이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉,

\operatorname{Top}^\to

은

\operatorname{Top}

위의 스택을 이룬다.

4. 2. 준연접층

준연접층은 스킴의 범주 위의 올범주를 이룬다. 스킴 위의 fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, 준연접층은 (fpqc 위상을 부여한) 스킴 위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴에 대하여, 준연접층은 조각 범주 위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

4. 3. 벡터 다발 (한국의 관점)

벡터 다발은 국소적으로는 자유 가군(free module)이지만, 전체적으로는 꼬여 있을 수 있는 대상이다. 특히, 한국의 이공계 연구에서 벡터 다발은 선형대수학, 미분기하학, 위상수학 등 다양한 분야의 기초 개념으로 활용된다. 내림 이론은 열린 덮개 위에 주어진 벡터 다발들을 짜깁기하여 전체 공간 위의 벡터 다발을 구성하는 방법을 제공한다. 이는 겹치는 영역에서 정의된 전이 사상을 통해 이루어지며, 전이 사상들은 특정 조건을 만족해야 한다.

''X''가 열린 집합 ''X_i''로 덮인 위상 공간이라고 가정하자. ''Y''를 ''X_i''의 분리 집합으로 하고, 자연스러운 사상

:

p: Y \rightarrow X.

이 존재한다고 하자. ''Y''를 ''X''의 '위에' 있다고 생각하고, ''X_i''를 '아래로' ''X''로 투영한다.

각 겹침, 즉 ''X''_''i''와 ''X''_''j''의 교집합에서, 섬유별로 ''V_i''와 ''V_j''를 식별하는 데 사용되는 사상

:

f_{ij}: V_i \rightarrow V_j

이 필요하다. 또한, ''f_ij''는 동치 관계의 반사적, 대칭적 및 전이적 속성을 기반으로 하는 조건을 충족해야 한다(접착 조건). 예를 들어, 전이성을 위해

:

f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik}

이 성립한다. ''f''_''ii''는 항등 사상이어야 하며, 따라서 대칭성은

f_{ij}=f^{-1}_{ji}

가 된다(따라서 섬유별 동형 사상).

이들은 섬유 다발 이론에서 표준적인 조건이다(전이 사상 참조). 주목해야 할 중요한 응용 분야 중 하나는 '섬유의 변화'이다. 만약 ''f''_''ij''가 다발을 만드는 데 필요한 전부라면, 연관 다발을 만드는 방법은 여러 가지가 있다. 즉, 다양한 섬유에 작용하는 본질적으로 동일한 ''f''_''ij''를 사용할 수 있다.

또 다른 중요한 점은 연쇄 법칙과의 관계이다. 텐서장을 구성하는 방법에 대한 논의는 '일단 접다발을 강하하는 방법을 배우면, 전이성이 야코비 연쇄 법칙인 경우, 나머지는 단순히 '텐서 구성의 자연성'으로 요약될 수 있다'는 내용을 담고 있다.

5. 역사

내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권^[2]에서 도입되었다. 이 아이디어는 1955년부터 1965년까지의 기간 동안 개발되었다. 이 시기는 대략 대수적 위상수학의 요구 사항은 충족되었지만 대수 기하학의 요구 사항은 충족되지 않았던 시기이다. 추상적인 범주론의 관점에서 볼 때, 벡(Beck)의 코모나드 연구는 이러한 아이디어의 총괄이었다. 벡의 모나드 정리를 참조하라.

대수 기하학에서 몫으로의 전환은 어려운 문제였다. 1959년 그로텐디크의 세미나 "TDTE"(하강 정리 및 존재 기법)는 이러한 문제가 기하학자들에게 얼마나 시급했는지를 보여준다. 이 세미나는 FGA를 참조하며, 하강 문제를 일반적인 대수 기하학의 표현 가능 함자 문제, 특히 모듈리 문제와 연결했다.

참조

_[1] Citation Descent data for quasi-coherent sheaves, Stacks Project https://stacks.math.[...]
_[2] 서적 Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) Springer

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com