올범주

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1. 개요

올범주는 두 가지 방법으로 정의될 수 있으며, 위상 공간 또는 범주 위에 정의된다. 쪼갬을 갖춘 올범주는 위상 공간의 열린 집합이나 범주의 대상에 범주를 대응시키고, 제한 함자와 자연 동형을 통해 이들 범주를 연결한다. 데카르트 사상을 통한 정의에서는 함자, 데카르트 사상, 올범주, 올범주 사상 등의 개념을 사용한다. 올범주는 곱 올범주, 조각 범주, 공역 올범주 등 다양한 예시를 가지며, 층, 올다발 등 수학의 여러 분야에서 활용된다.

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그로텐디크 전체 $\mathcal{U}$ 가 주어졌을 때, $\mathcal{U}$ -작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 $\mathcal{U}$ 의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
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올범주

2. 정의

올범주의 개념은 크게 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 하나는 준층의 정의를 직접적으로 일반화한 것으로 개념적으로 명확하지만, 실제 응용에서는 불필요할 수 있는 추가 데이터인 쪼갬을 포함한다. 다른 하나는 기술적으로 다루기 용이하며 불필요한 데이터를 포함하지 않지만, 개념적으로는 덜 명확할 수 있는 데카르트 사상을 이용한 정의이다.^[1] 이 두 정의 사이의 본질적인 차이는 "쪼갬"이라는 데이터의 유무에 있으며, 데카르트 사상을 이용한 정의에 쪼갬 데이터를 추가하면 쪼갬을 이용한 정의와 동치가 된다.^[1]

위상수학이나 기하학에서는 종종 특정 유형의 수학적 대상이 어떤 "기저 공간" 위에 존재한다고 여겨지는 상황을 다룬다. 대표적인 예로 위상 공간 위의 벡터 다발, 주다발, 층 등이 있으며, 다른 다양체에 의해 매개변수화된 대수적 다양체의 "족(family)"도 이에 해당한다.^[2] 이러한 상황의 일반적인 특징은, 기저 공간 사이의 적절한 사상 $f:X\to Y$ 에 대해, $Y$ 위의 대상을 $X$ 위의 대상으로 변환하는 역상 연산 $f^*$ 가 존재한다는 점이다. 예를 들어, $Y$ 위의 벡터 다발 $E$ 가 주어졌을 때, 그 역상 $f^*(E)$ 는 $X$ 위의 벡터 다발이 된다.^[2]

기저 공간 위의 대상들은 종종 그 자체로 범주를 형성하며, 대상들 사이에는 사상이 존재한다. 이때 역상 연산 $f^*$ 는 보통 함자가 되어 사상들의 합성과 호환된다.^[2] 하지만, 여러 사상을 합성할 경우 역상 함자는 일반적으로 엄격하게 호환되지 않을 수 있다. 즉, $g:Y\to Z$ 가 또 다른 사상이고 $z$ 가 $Z$ 위의 대상일 때, $f^*(g^*(z))$ 와 $(g\circ f)^*(z)$ 가 정확히 같지 않고 단지 자연 동형 관계에 있을 뿐인 경우가 많다.^[2]

: $f^*(g^*(z))\neq (g\circ f)^*(z)$

이러한 역상 시스템의 "느슨함"에서 발생하는 미묘한 문제들을 체계적으로 다루기 위해 올범주라는 개념이 도입되었다.^[2]

올범주의 주요 응용 분야 중 하나는 강하 이론으로, 이는 위상수학에서 사용되는 "붙이기" 기법을 매우 폭넓게 일반화한 것이다. 특히 대수기하학의 복잡한 상황에 적용 가능한 강하 이론을 구축하기 위해 올범주의 정의는 상당히 일반적이고 추상적으로 발전했다.^[2] 하지만 기본적인 직관은 앞서 언급한 벡터 다발 등의 예시를 통해 이해할 수 있다.^[2]

기술적으로는 데카르트 사상을 이용한 정의가 더 유연하고 간결하며, 이는 그로텐디크가 1960-1961년경에 도입한 방식이다. 쪼갬을 이용한 정의는 그로텐디크가 1959년에 처음 제시한 방식이다. 이 문서에서는 두 가지 정의 방식을 모두 다룬다. 논의 과정에서 발생할 수 있는 "큰" 범주와 관련된 집합론적 문제는 작은 범주로 제한하거나 그로텐디크 전체를 사용하는 방식으로 엄밀하게 다룰 수 있지만, 여기서는 편의상 이러한 문제를 무시한다.^[2]

2. 1. 쪼갬을 통한 정의

올범주의 개념은 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 하나는 준층 정의의 직접적인 일반화로 개념적으로 명확하지만, 응용에 불필요한 추가 데이터인 "쪼갬"을 포함한다. 다른 하나는 기술적으로 더 용이하고 불필요한 데이터가 없지만, 개념적으로 덜 명확하다. 이 두 정의의 차이는 "쪼갬"이라는 데이터에 있으며, 두 번째 정의에 쪼갬 데이터를 추가하면 첫 번째 정의와 동치가 된다.

위상 공간

B

가 주어졌을 때,

B

위의 '''쪼갬을 갖춘 올범주'''

\Pi

는 다음 데이터로 구성된다.

$B$ 의 각 열린집합 $U \subseteq B$ 에 대응하는 범주 $\Pi(U)$ .
두 열린집합 $U \subseteq V \subseteq B$ 에 대응하는 함자 $\operatorname{res}^V_U\colon\Pi(V) \to \Pi(U)$ . 이를 '''제한 함자'''(restriction functor^영어)라고 한다.
세 열린집합 $U \subseteq V \subseteq W \subseteq B$ 에 대응하는, 함자 $\operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V$ 와 $\operatorname{res}^W_U$ 사이의 자연 동형 $\tau_{U,V,W}\colon \operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V \Rightarrow \operatorname{res}^W_U$ .

이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다.

:임의의 네 열린집합

U \subseteq V \subseteq W \subseteq X

에 대하여,

\tau_{U,V,X}\circ\tau_{V,W,X} = \tau_{U,W,X}\circ\tau_{U,V,W}

더 일반적으로, 임의의 범주

\mathcal B

가 주어졌을 때,

\mathcal B

위의 '''쪼갬을 갖춘 올범주'''는 다음 데이터로 구성된다.

$\mathcal B$ 의 각 대상 $U$ 에 대응하는 범주 $\Pi(U)$ .
두 대상 사이의 각 사상 $i\colon U \to V$ 에 대응하는 함자 $\operatorname{res}_i\colon\Pi(V) \to \Pi(U)$ . 이를 '''제한 함자'''(restriction functor^영어)라고 한다.
두 사상 $U \xrightarrow i V \xrightarrow j W$ 에 대응하는, 함자 $\operatorname{res}_i \circ \operatorname{res}_j$ 와 $\operatorname{res}_{j\circ i}$ 사이의 자연 동형 $\tau_{i,j}\colon \operatorname{res}_i\circ \operatorname{res}_j \Rightarrow \operatorname{res}_{j\circ i}$ .

이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다.

:임의의 세 사상

U \xrightarrow i V \xrightarrow j W \xrightarrow k X

에 대하여,

\tau_{i,k\circ j}\circ\tau_{j,k} = \tau_{j\circ i,k}\circ\tau_{i,j}

2. 2. 데카르트 사상을 통한 정의

올범주를 정의하는 한 가지 방법은 데카르트 사상이라는 특별한 종류의 사상을 이용하는 것이다. 이 방식은 올범주를 기술적으로 다루기 편리하게 해주지만, 처음 접할 때는 직관적으로 이해하기 어려울 수도 있다. 이는 준층의 정의를 직접 일반화하는 다른 정의 방식과 대비된다.

함자

\phi:F\to E

가 주어졌을 때,

F

의 사상

m:x\to y

중에서 특정 조건을 만족하는 것을 데카르트 사상이라고 부른다. 이 조건의 핵심은,

m

의 사영

f=\phi(m)

과 관련된 다른 사상

n

이 주어졌을 때,

m\circ a = n

을 만족하는 특정 사상

a

가 유일하게 존재한다는 것이다. 이러한 유일성 조건은 데카르트 사상이 일종의 보편 성질을 만족함을 의미하며, 사영

f

에 대한 대상

y

의 '역상'으로

x

를 생각할 수 있게 한다. 데카르트 사상의 정확한 정의와 성질은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

이 데카르트 사상의 개념을 바탕으로 올범주를 정의할 수 있다.

E

위의 범주

\phi:F\to E

가 올범주가 되려면 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다.

1. 모든 적절한 사상

f:T\to S

in

E

와 대상

y \in F_S

에 대해,

f

를 사영으로 갖는 데카르트 사상

m:x\to y

(즉,

f

에 의한

y

의 역상)이 적어도 하나 존재해야 한다.

2. 데카르트 사상들의 합성은 항상 데카르트 사상이어야 한다.

이 정의는 그로텐디크가 1960-1961년 사이에 도입한 것으로, 올범주를 다루는 데 있어 기술적으로 유연하고 경제적인 방식을 제공한다. 특히, '쪼갬'이라는 별도의 데이터를 명시적으로 요구하지 않고 올범주의 구조를 포착할 수 있다는 장점이 있다.

2. 2. 1. 데카르트 사상

함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자.

\mathcal E

의 사상

f\colon X\to Y

가 다음 보편 성질을 만족시킨다면,

f

를 데카르트 사상(Cartesian morphism^영어, morphisme cartésien^프랑스어)이라고 한다.

: 임의의 사상

f'\colon X'\to Y

와

\hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)

에 대하여, 만약

\Pi(f)\circ\hat g=\Pi(f')

라는 등식이 성립한다면, 다음 두 조건을 만족하는 사상

g\colon X'\to X

가 유일하게 존재한다.

:: 1.

\Pi(g)=\hat g

:: 2.

f\circ g=f'

이를 도식으로 표현하면 다음과 같다. 아래 도식에서 왼쪽은 범주

\mathcal E

에서의 사상들을, 오른쪽은 함자

\Pi

에 의해 범주

\mathcal B

로 보내진 사상들을 나타낸다. 조건

\Pi(f)\circ\hat g=\Pi(f')

이 만족될 때, 점선으로 표시된 사상

g

가 유일하게 존재해야

f

가 데카르트 사상이 된다.

\begin{matrix}\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\\hline\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&\underset{\Pi f}\to&\Pi Y\end{matrix}\end{matrix}

다른 관점에서 데카르트 사상을 정의할 수도 있다. 두 범주

E, F

와 함자

\phi:F\to E

가 주어졌다고 하자. 이때

F

의 사상

m:x\to y

가 다음 조건을 만족하면

\phi

''-데카르트 사상'' (또는 간단히 ''데카르트 사상'')이라고 한다.

:

m

의 사영을

f:T\to S

(즉,

f = \phi(m)

)라고 하고,

f

와 같은 사영을 갖는 임의의 사상

n:z\to y

(즉,

\phi(n)=f

)가 주어졌을 때,

m\circ a = n

을 만족하는 ''정확히 하나의'' 사상

a:z\to x

가 존재해야 하며, 이 사상

a

는

T

위에 있어야 한다 (즉,

\phi(a) = \text{id}_T

).

여기서 올 범주

F_S

는

E

의 대상

S

에 대해,

\phi(x)=S

를 만족하는

F

의 대상

x

들과

\phi(m)=\text{id}_S

를 만족하는

F

의 사상

m

들로 구성된

F

의 부분 범주를 의미한다.

F_S

의 사상은

S

''-사상''이라고 부른다. 함자

\phi

에 의해

F

의 대상이나 사상이

E

로 옮겨진 것을 그 대상 또는 사상의 사영이라고 한다.

데카르트 사상

m:x\to y

는 그 사영

f=\phi(m)

의 역상이라고 하며, 대상

x

는

f

에 의한

y

의 역상이라고 한다.

올 범주

F_S

안에서의 데카르트 사상은 정확히

F_S

의 동형 사상들이다. 일반적으로, 주어진 사상

f:T\to S

로 사영되는 데카르트 사상은 하나 이상 존재할 수 있으며, 그 정의역(source)이 다를 수 있다. 즉,

f

에 의한 주어진 대상

y

의 역상이 여러 개 있을 수 있다. 하지만 데카르트 사상의 정의에 따라, 이러한 서로 다른 역상들은 올 범주

F_T

안에서 서로 동형이다.

함자

\phi:F\to E

는

E

''-범주''라고도 하며,

F

를

E

위의 범주라고 부른다. 두

E

-범주

\phi:F\to E

와

\psi:G\to E

사이의

E

''-함자''는

\psi\circ\alpha = \phi

를 만족하는 함자

\alpha:F\to G

이다.

E

-범주들은 자연스럽게 2-범주를 형성하는데, 여기서 1-사상은

E

-함자이고, 2-사상은

E

-함자들 사이의 자연 변환 중 그 성분들이 모두 특정 올 범주 안에 있는 것들이다.

두

E

-범주 사이의

E

-함자가 데카르트 사상을 항상 데카르트 사상으로 보내는 경우, 이를 데카르트 함자라고 한다. 두

E

-범주

F, G

사이의 데카르트 함자들은 자연 변환을 사상으로 하는 범주

\text{Cart}_E(F,G)

를 형성한다. 특별한 경우로,

E

자체를 항등 함자를 통해

E

-범주로 생각할 수 있다. 이때

E

에서

E

-범주

F

로 가는 데카르트 함자를 데카르트 단면이라고 한다. 데카르트 단면은

E

의 각 대상

S

에 대해 올 범주

F_S

의 대상

x_S

하나를 선택하고,

E

의 각 사상

f:T\to S

에 대해

x_S

의 역상인 데카르트 사상

m_f: x_T\to x_S

를 선택하는 것과 같다. 즉, 데카르트 단면은

E

의 대상들에 대해 정합적인(compatible) 역상들의 시스템을 제공한다.

F

의 데카르트 단면들의 범주는 다음과 같이 표기한다.

:

\underset{\longleftarrow}{\mathrm{Lim}} (F/E) = \mathrm{Cart}_E(E,F).

만약

E

가 종단 대상

e

를 갖는 경우 (예를 들어

E

가 토포스이거나, 대상

S

위의 화살표 범주

E_{/S}

인 경우), 데카르트 단면의 범주에서 올 범주

F_e

로 가는 함수

\epsilon\colon\underset{\longleftarrow}{\mathrm{Lim}} (F/E) \to F_e

(단면

s

를

s(e)

로 보냄)는 충분충실하다.

2. 2. 2. 올범주

함자

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''올범주'''(fibered category^영어)라고 한다.

대상 $Y\in\mathcal E$ 및 $\mathcal B$ 속의 임의의 사상 $\hat f\colon\hat X\to \Pi(Y)$ 에 대하여, $\Pi(X)=\hat X$ 이며 $\Pi(f)=\hat f$ 인 대상 $X\in\mathcal E$ 및 데카르트 사상 $f\colon X\to Y$ 가 존재한다.
:

\begin{matrix}\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\\hline\exists X\overset{\exists f}\to Y&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\hat X\overset{\hat f}\to\Pi Y\end{matrix}

이 경우,

f

를

\hat f

의

X

에서의 '''데카르트 올림'''(Cartesian lift^영어)이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

올범주의 '''쪼갬'''(cleavage^영어, clivage^프랑스어)은 각

(X,\hat f)

에 대하여 한 올림을 고르되, 만약

\hat f

가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라,

\mathcal B

의 각 사상

f\colon U \to V

에 대하여 함자

\operatorname{res}_f\colon\Pi(V) \to \Pi(U)

가 정의된다.

올범주

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

의, 대상

\hat X\in\mathcal B

위의 '''올'''(fiber^영어, fibre^프랑스어)

\mathcal E(\hat X)

은

\hat X

의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된,

\mathcal E

의 부분 범주이다.

위상수학과 기하학에는 어떤 유형의 객체가 기본 "기저 공간" 위에 존재한다고 간주되는 많은 예가 있다. 고전적인 예로는 위상 공간에 대한 벡터 다발, 주다발, 층이 있다. 또 다른 예는 다른 다양체에 의해 매개변수화된 대수적 다양체의 "패밀리"로 주어진다. 이러한 상황의 특징은 기저 공간 사이의 적절한 유형의 사상

f:X\to Y

에 대해

Y

에서 정의된 객체를

X

의 동일한 유형의 객체로 가져오는 해당 "역상"(또는 "당김"이라고도 함) 연산

f^*

이 있다는 것이다. 예를 들어,

Y

에 대한 벡터 다발

E

의 역상은

X

에 대한 벡터 다발

f^*(E)

이다.

또한, 고려된 "기저 공간의 객체"가 범주를 형성하는 경우가 많다. 즉, 객체 사이에 사상(사상)이 있다. 이러한 경우 역상 연산은 객체 간의 이러한 사상의 합성과 종종 호환되거나, 더 기술적인 용어로는 함자이다.

그러나

g:Y\to Z

가 다른 사상인 경우 역상 함자는 합성 사상과 "엄격하게" 호환되지 않는 경우가 많다. 만약

z

가

Z

"위에" 있는 객체(예: 벡터 다발)라면,

:

f^*(g^*(z))\neq (g\circ f)^*(z).

대신, 이러한 역상은 단지 자연스러운 동형 사상일 뿐이다. 역상 시스템에 약간의 "여유"를 도입하면 몇 가지 미묘한 문제가 발생하며, 올범주가 이를 공식화한다.

올범주의 주요 응용 분야는 위상 수학에서 사용되는 "접착" 기술의 광범위한 일반화와 관련된 강하 이론에 있다. 대수 기하학에서 사소하지 않은 상황에 적용할 수 있을 정도로 충분한 일반성을 가진 강하 이론을 지원하기 위해 올범주의 정의는 매우 일반적이고 추상적이다. 그러나 기본 직관은 위에서 논의한 기본적인 예를 염두에 두면 비교적 간단하다.

만약

\phi:F\to E

가 두 범주 사이의 함자이고

S

가

E

의 대상이라면,

\phi(x)=S

를 만족하는 대상

x

와

\phi(m)=\text{id}_S

를 만족하는 사상

m

으로 구성된

F

의 부분 범주는 ''

S

'' ''위에 있는'' ''올 범주''(또는 ''올'')라고 하며

F_S

로 표기한다.

F_S

의 사상은

S

''-사상''이라고 하며,

F_S

의 대상

x,y

에 대해

S

-사상의 집합은

\text{Hom}_S(x,y)

로 표기한다.

\phi

에 의한

F

의 대상 또는 사상의 이미지를 그 ''사영''(by

\phi

)이라고 한다. 만약

f

가

E

의 사상이라면,

f

로 사영되는

F

의 사상은

f

''-사상''이라고 하며,

F

의 대상

x

와

y

사이의

f

-사상의 집합은

\text{Hom}_f(x,y)

로 표기한다.

F

의 사상

m:x\to y

가 다음 조건을 만족하면

\phi

''-데카르트'' (또는 단순히 ''데카르트'')라고 한다.

: 만약

f:T\to S

가

m

의 사영이고,

n:z\to y

가

f

-사상이라면,

m\circ a = n

을 만족하는 ''정확히 하나의''

T

-사상

a:z\to x

가 존재한다.

'''데카르트 사상'''

m:x\to y

는 그 사영

f=\phi(m)

의 ''역상''이라고 하며, 대상

x

는 ''

f

에 의한''

y

의 ''역상''이라고 한다.

올 범주

F_S

의 데카르트 사상은 정확히

F_S

의 동형 사상이다. 일반적으로 주어진 사상

f:T\to S

로 사영되는 데카르트 사상이 하나 이상일 수 있으며, 소스가 다를 수 있다. 따라서

f

에 의한 주어진 대상

y

의 역상이 두 개 이상 있을 수 있다. 그러나 정의에서 직접적으로 따르는 결과는 이러한 두 역상이

F_T

에서 동형이라는 것이다.

함자

\phi:F\to E

는 또한

E

''-범주''라고도 하며,

F

를

E

-범주 또는

E

''위에 있는'' 범주라고 한다.

E

-범주

\phi:F\to E

에서

E

-범주

\psi:G\to E

로의

E

-함자는

\psi\circ\alpha = \phi

를 만족하는 함자

\alpha:F\to G

이다.

E

-범주는 자연스러운 방식으로 2-범주를 형성하며, 1-사상은

E

-함자이고, 2-사상은 어떤 올에 있는 성분으로 이루어진

E

-함자 사이의 자연 변환이다.

두

E

-범주 사이의

E

-함자는 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 변환하는 경우 ''데카르트 함자''라고 한다. 두

E

-범주

F,G

사이의 데카르트 함자는 자연 변환을 사상으로 하는 범주

\text{Cart}_E(F,G)

를 형성한다. 특별한 경우는

E

를 항등 함자를 통해

E

-범주로 간주하여 제공된다. 그러면

E

에서

E

-범주

F

로의 데카르트 함자는 ''데카르트 단면''이라고 한다. 따라서 데카르트 단면은

E

의 각 대상

S

에 대해

F_S

의 하나의 대상

x_S

를 선택하고, 각 사상

f:T\to S

에 대해 역상

m_f: x_T\to x_S

를 선택하는 것으로 구성된다. 따라서 데카르트 단면은

E

의 대상에 대한 (엄밀히) 호환 가능한 역상 시스템이다.

F

의 데카르트 단면의 범주는 다음과 같이 표기한다.

:

\underset{\longleftarrow}{\mathrm{Lim}} (F/E) = \mathrm{Cart}_E(E,F).

E

가 종단 대상

e

를 갖는 중요한 경우(따라서 특히

E

가 토포스이거나

E

에서 대상

S

를 갖는 화살표의 범주

E_{/S}

인 경우) 함수

:

\epsilon\colon\underset{\longleftarrow}{\mathrm{Lim}} (F/E) \to F_e,\qquad s\mapsto s(e)

는 충분충실하다.

올범주의 기술적으로 가장 유연하고 경제적인 정의는 데카르트 사상의 개념에 기반한다. 이는 ''쪼갬''의 관점에서 정의와 동등하며, 후자의 정의는 실제로 Grothendieck (1959)에 제시된 원래 정의이다. 데카르트 사상의 관점에서 정의는 1960-1961년 Grothendieck (1971)에서 소개되었다.

E

범주

\phi:F\to E

는 각 사상

f

의 공역이 투영 범위 내에 있고 적어도 하나의 역상을 갖는 경우, 그리고

F

에서 임의의 두 데카르트 사상

m,n

의 합성

m\circ n

이 항상 데카르트 사상인 경우 ''올범주'' (또는 ''

E

에 올범주'' 또는 ''

E

위에 올범주'')이다. 즉,

E

-범주는 역상이 항상 존재하고 (공역이 투영 범위 내에 있는 사상의 경우) ''전이적''인 경우 올범주이다.

만약

E

가 종착 객체

e

를 가지고

F

가

E

위에 올범주라면, 이전 섹션의 끝에서 정의된 데카르트 단면에서

F_e

로의 함자

\epsilon

는 범주의 동치이며, 또한 객체에 대해 전사이다.

만약

F

가 올범주인

E

-범주라면, 각 사상

f:T\to S

in

E

와 각 객체

y

in

F_S

에 대해 (선택 공리를 사용하여) 정확히 하나의 역상

m:x\to y

를 선택하는 것이 항상 가능하다. 이렇게 선택된 사상의 집합을 ''쪼갬''이라고 하며, 선택된 사상을 ''수송 사상''(쪼갬의)이라고 한다. 쪼갬과 함께 올범주를 ''분할된 범주''라고 한다. 쪼갬은 수송 사상이

F

의 모든 항등 사상을 포함하는 경우 ''정규화''라고 한다. 즉, 항등 사상의 역상이 항등 사상으로 선택된다는 의미이다. 분명히 쪼갬이 존재한다면, 정규화되도록 선택할 수 있다. 아래에서는 정규화된 쪼갬만 고려한다.

올범주인

E

-범주

F

에 대한 (정규화된) 쪼갬의 선택은, 각 사상

f:T\to S

in

E

에 대해 ''함자''

f^*:F_S\to F_T

를 지정한다. 객체에서

f^*

는 해당 수송 사상에 의한 역상일 뿐이며, 사상에서는 데카르트 사상의 정의 보편적 성질에 의해 자연스럽게 정의된다. 객체

S

of

E

에 올 범주

F_S

를 연관시키고, 사상

f

에 ''역상 함자''

f^*

를 연관시키는 연산은 범주의 범주에서

E

로의 공변 함자에 ''가깝다''. 그러나 일반적으로 사상의 합성과 엄격하게 교환하지 못한다. 대신, 만약

f:T\to S

와

g:U\to T

가

E

의 사상이라면, 함자의 동형 사상이 존재한다.

:

c_{f,g}\colon  \quad g^*f^* \to (f \circ g)^*.

이러한 동형 사상은 다음과 같은 두 가지 호환성을 만족한다.

#

c_{f,\mathrm{id}_T} = c_{\mathrm{id}_S,f} = \mathrm{id}_{f^*}

# 세 개의 연속적인 사상

h,g,f\colon\quad V \to U \to T \to S

와 객체

x\in F_S

에 대해 다음이 성립한다:

c_{f,g\circ h} \cdot c_{g,h}(f^*(x)) = c_{f\circ g, h}(x)\cdot h^*(c_{f,g}(x)).

Grothendieck (1971) 섹션 8을 참조하면, 반대로 함자들의 모임

f^*:F_S\to F_T

와 위 호환성을 만족하는 동형 사상

c_{f,g}

는 분할된 범주를 정의한다. 이러한 역상 함자의 모임은 올범주에 대한 보다 직관적인 관점을 제공한다. 실제로 Grothendieck (1959)에서 이러한 호환 가능한 역상 함자의 관점에서 올범주가 소개되었다.

Gray의 논문은 이러한 아이디어와 공간의 피브레이션 개념 사이의 유추를 만든다.

이러한 아이디어는 Brown의 논문에서와 같이 군의 경우에 단순화되며, 이는 군의 피브레이션에서 유용한 일련의 완전열을 얻는다.

2. 2. 3. 올범주 사상

밑범주

\mathcal B

가 같은 두 올범주

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

와

\Pi'\colon\mathcal E'\to\mathcal B

사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자

F\colon\mathcal E\to\mathcal E'

이다.

$F$ 는 조각 범주 $\operatorname{Cat}/\mathcal B$ 의 사상이다. 즉, 다음 함자 가환 그림이 성립한다.
: $\begin{matrix}$

\mathcal E&\overset F\to&\mathcal E'\\&{\scriptstyle\Pi}\searrow&\downarrow\scriptstyle\Pi'\\&&\mathcal B\end{matrix}

이는

\Pi' \circ F = \Pi

임을 의미한다.

$F$ 는 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 보낸다. 즉, $\mathcal E$ 의 임의의 데카르트 사상 $m$ 에 대해, 그 상 $F(m)$ 은 $\mathcal E'$ 의 데카르트 사상이다.

\mathcal B

위의 (작은) 올범주들과 이들 사이의 사상들은 범주를 이루며, 이를

\operatorname{Fib}(\mathcal B)

라고 표기한다.

함자

\phi:F\to E

가 주어졌을 때,

F

의 사상

m:x\to y

가 데카르트 사상이라는 것은 다음 조건을 만족하는 것을 의미한다:

만약

m

의 사영(projection)이

f:T\to S

(즉,

f = \phi(m)

)이고,

n:z\to y

가

f

-사상(즉,

\phi(n)=f

)이라면,

m\circ a = n

을 만족하는 유일한

T

-사상

a:z\to x

(즉,

\phi(a)=\text{id}_T

)가 존재한다.
데카르트 사상

m:x\to y

는 그 사영

f=\phi(m)

의 역상(pullback)이라고 하며, 대상

x

는

f

에 의한

y

의 역상이라고 한다. 올범주

F_S

의 데카르트 사상은 정확히

F_S

의 동형 사상이다.

함자

\phi:F\to E

는

E

위의 범주(

E

-범주)라고도 한다. 두

E

-범주

\phi:F\to E

와

\psi:G\to E

사이의

E

-함자는

\psi\circ\alpha = \phi

를 만족하는 함자

\alpha:F\to G

이다. 이러한

E

-함자가 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 보내면 데카르트 함자라고 한다.

특히,

E

자체를 항등 함자를 통해

E

-범주로 간주할 때,

E

에서

E

-범주

F

로 가는 데카르트 함자를 데카르트 단면(Cartesian section)이라고 한다. 데카르트 단면은

E

의 각 대상

S

에 대해

F_S

의 대상

x_S

를 하나씩 선택하고, 각 사상

f:T\to S

에 대해 이 대상들에 대응하는 역상 사상

m_f: x_T\to x_S

를 선택하는 것으로 구성된다. 즉,

E

의 대상과 사상에 대해 호환되는 역상들의 시스템이다.

F

의 데카르트 단면들의 범주는 다음과 같이 표기한다.

:

\underset{\longleftarrow}{\mathrm{Lim}} (F/E) = \mathrm{Cart}_E(E,F).

3. 성질

올범주의 개념은 데카르트 사상을 기반으로 정의하는 것이 기술적으로 더 유연하고 간결하다. 이는 그로텐디크(Grothendieck)가 1959년에 제시한 절단 개념을 이용한 원래 정의와 동등하며, 데카르트 사상을 이용한 정의는 1960-1961년에 도입되었다.

범주 $F$ 에서 기저 범주 $E$ 로 가는 함자 $\phi:F\to E$ 가 주어졌을 때, $F$ 가 $E$ 위의 올범주라는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것을 의미한다.

# $E$ 의 모든 사상 $f: T \to S$ 와 $S$ 위의 올 $F_S$ 에 속하는 모든 대상 $y$ 에 대해, $f$ 위의 데카르트 사상 $m: x \to y$ 가 적어도 하나 존재한다. (즉, 역상이 항상 존재한다.)

# $F$ 에서 데카르트 사상들의 합성은 항상 데카르트 사상이다. (즉, 데카르트 사상 조건은 전이적이다.)

$E$ 위의 올범주 $F$ 가 주어지면, 선택 공리를 사용하여 각 사상 $f:T\to S$ in $E$ 와 각 대상 $y$ in $F_S$ 에 대해 정확히 하나의 데카르트 사상(역상) $m:x\to y$ 를 선택할 수 있다. 이렇게 선택된 데카르트 사상들의 모음을 절단(cleavage^영어)이라고 하며, 선택된 사상들을 수송 사상(transport morphism^영어)이라고 부른다. 절단을 갖춘 올범주를 분할된 범주(cloven category^영어)라고 한다. 만약 절단이 $F$ 의 모든 항등 사상을 포함하면 (즉, 항등 사상의 역상이 항등 사상으로 선택되면) 정규화된 절단이라고 한다.

절단의 선택은 각 사상 $f:T\to S$ in $E$ 에 대해 역상 함자 $f^*:F_S\to F_T$ 를 정의한다. 이 역상 함자들은 일반적으로 사상의 합성과 엄격하게 교환되지 않지만, 자연 동형 $c_{f,g}\colon g^*f^* \to (f \circ g)^*$ 를 통해 약하게 교환된다. 이러한 구조는 그로텐디크가 1959년에 올범주를 처음 소개할 때 사용한 관점이다. 존 그레이(John W. Gray)는 이러한 아이디어가 위상 공간의 피브레이션 개념과 유사함을 지적했다.

만약 절단의 수송 사상들의 합성이 항상 수송 사상이 되는 경우, 이 절단을 분할(split cleavage^영어)이라고 하며, 분할을 갖춘 올범주를 분할된 올범주(split fibered category^영어)라고 한다. 분할된 올범주는 $E$ 에서 범주의 범주로 가는 엄격한 함자, 즉 역상 함자들이 $g^*f^* = (f \circ g)^*$ 를 만족하는 경우에 해당한다. 모든 올범주가 분할을 허용하는 것은 아니다.

고정된 기저 범주 $E$ 위의 올범주들은 2-범주 $\mathbf{Fib}(E)$ 를 형성하며, 여기서 사상은 데카르트 함자이다. 마찬가지로 $E$ 위의 분할 범주들은 2-범주 $\mathbf{Scin}(E)$ 를 형성한다. 분할 구조를 잊는 망각 2-함자 $i:\mathbf{Scin}(E)\to\mathbf{Fib}(E)$ 가 존재한다.

모든 올범주가 분할을 가지지는 않지만, 모든 올범주는 분할 범주와 동치이다. 구체적으로, 망각 함자 $i$ 는 왼쪽 2-수반 $L$ 과 오른쪽 2-수반 $S$ 를 가지며, 주어진 올범주 $F$ 에 대해 $L(F)$ 와 $S(F)$ 는 $F$ 와 동치인 두 개의 (일반적으로는 다른) 분할 범주를 제공한다. 이 구성은 스택 이론에서 중요한 역할을 한다.

3. 1. 합성

두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.

작은 범주의 범주

\operatorname{Cat}

에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.

:

\begin{matrix}\mathcal C\times_{\mathcal B}\mathcal D&\overset{\Pi'}\to&\mathcal D\\\downarrow&&\downarrow\\\mathcal C&\underset\Pi\to&\mathcal B\\\end{matrix}

만약

\Pi

가 올범주라면

\Pi'

역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.

3. 2. 분해계

올범주

\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B

에서, 만약

\mathcal B

위에 분해계

(\mathfrak E,\mathfrak M)

가 주어졌다고 가정하자. 이때, 다음과 같이 두 모임을 정의할 수 있다.

$\mathfrak E'$ : $\mathcal E$ 의 사상 중에서, $\Pi$ 에 대한 상(image)이 $\mathfrak E$ 에 속하는 사상들의 모임이다.
$\mathfrak M'$ : $\mathcal E$ 의 데카르트 사상 중에서, $\Pi$ 에 대한 상이 $\mathfrak M$ 에 속하는 사상들의 모임이다.

이렇게 정의된

(\mathfrak E',\mathfrak M')

은

\mathfrak E

위의 분해계를 형성한다.

특히,

\mathcal E

가 동형 사상의 모임이고,

\mathfrak M

이 모든 사상의 모임인 경우를 생각해보자. 이 경우는 자명하게 분해계를 이루는데, 이때

\mathfrak M'

은 모든 데카르트 사상의 모임이 되고,

\mathfrak E'

은 동형 사상의 원상의 모임이 된다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)의 쌍은 올범주의 분해계를 이룬다는 것을 알 수 있다.

4. 종류

올범주는 올의 성질에 따라 여러 종류로 나눌 수 있다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

'''준군 올범주'''(, , catégorie fibrée en groupoïdes^프랑스어): 모든 올이 준군을 이루는 올범주이다.
'''이산 올범주'''(discretely fibred category^영어): 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 외의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주이다.

4. 1. 준군 올범주

모든 올이 준군을 이루는 올범주를 '''준군 올범주'''(category fibered in groupoids^영어, catégorie fibrée en groupoïdes^프랑스어)라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 '''이산 올범주'''(discretely fibred category^영어)라고 한다.

범주화된 범주와 관련된 구조로 범주화된 군에 속하는 범주가 있다. 이는

p:\mathcal{F} \to \mathcal{C}

형태의 범주화된 범주로, 다음 조건을 만족하는

\mathcal{F}

의 모든 하위 범주를 의미한다.

# 객체

c \in \text{Ob}(\mathcal{C})

를 고정한다.

# 하위 범주의 객체는

p(x) = c

인

x \in \text{Ob}(\mathcal{F})

이다.

# 사상은

p(f) = \text{id}_c

를 만족하는

f:x\to y

로 주어진다.

이러한 하위 범주는 군체

\mathcal{F}_c

로 표시된다. 그로텐디크 구성에서 연관된 2-함자는 스택의 예이다. 간단히 말해서, 연관된 함자

F_p:\mathcal{C}^{op} \to \text{Groupoids}

는 객체

c

를 범주

\mathcal{F}_c

로 보내고, 사상

d \to c

는 범주화된 범주 구조로부터 함자를 유도한다. 즉,

\mathcal{F}

의 객체로 간주되는

x \in \text{Ob}(\mathcal{F}_c)

에 대해,

p(y) = d

인

y \in \text{Ob}(\mathcal{F})

가 존재한다. 이러한 연관성은 군체의 함자인 함자

\mathcal{F}_c \to \mathcal{F}_d

를 제공한다.

범주에서 올범주를 이루는 주요 예시 중 하나는 범주

\mathcal{C}

내의 군체 대상에서 비롯된다. 따라서 군체 대상이 주어지면

:

x \overset{s}\underset{t}\rightrightarrows y

다음과 같은 연관된 군체 대상이 있다.

:

h_x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_y

요네다 매장으로부터의 반변 공변자

\underline{\text{Hom}}(\mathcal{C}^{op},\text{Sets})

의 범주 내에 존재한다. 이 다이어그램을 대상

z \in \text{Ob}(\mathcal{C})

에 적용하면 집합 내의 군체가 생성되므로

:

h_x(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_y(z)

연관된 작은 군

\mathcal{G}

가 있다. 이는 반변 2-함자

F: \mathcal{C}^{op} \to \text{Groupoids}

를 생성하며, Grothendieck 구성을 사용하면 이는

\mathcal{C}

위에서 범주에서 올범주를 생성한다. 대상 위의 섬유 범주는 집합 내의 원래 군에서 생성된 연관 군과 같다.

4. 2. 이산 올범주

모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 '''이산 올범주'''(discretely fibred category^영어)라고 한다.

5. 예

수학의 여러 분야, 특히 위상수학, 기하학, 대수기하학 등에서 올범주의 다양한 예를 찾을 수 있다. 많은 경우, 어떤 종류의 수학적 대상이 주어진 '기저 공간(base space)' 위에 존재하는 구조에서 올범주가 자연스럽게 나타난다. 대표적인 예로는 위상 공간 위의 벡터 다발, 주다발, 층 등이 있다. 또한, 다른 다양체를 매개변수로 갖는 대수적 다양체들의 모임(family) 역시 이러한 구조의 예시이다.

이러한 상황들의 공통적인 특징은, 기저 공간 사이의 적절한 사상 $f:X\to Y$ 가 주어졌을 때, $Y$ 위에 정의된 대상(예: 벡터 다발 $E$ )을 $X$ 위의 같은 종류의 대상(벡터 다발 $f^*(E)$ )으로 변환하는 역상(pullback) 연산 $f^*$ 이 존재한다는 점이다. 위에서 언급한 예시들은 모두 이러한 역상 연산을 가진다.

더 나아가, 기저 공간 위에 정의된 대상들 자체도 종종 범주를 이루며, 대상들 사이에 사상이 존재한다. 이 경우, 역상 연산 $f^*$ 는 대상들 사이의 사상과 호환되는 방식으로 작동하는데, 이를 기술적으로 함자라고 부른다.

하지만 역상 함자는 사상의 합성과 관련하여, $f:X\to Y$ 와 $g:Y\to Z$ 라는 두 사상이 주어졌을 때, $Z$ 위의 대상 $z$ 에 대해 두 역상 $f^*(g^*(z))$ 와 $(g\circ f)^*(z)$ 가 일반적으로 정확히 같지는 않고, 대신 자연스러운 동형 사상 관계( $f^*(g^*(z))\cong (g\circ f)^*(z)$ )를 만족하는 경우가 많다. 올범주(또는 섬유화 범주, fibered category)는 이러한 역상 함자의 합성이 엄격하게 유지되지 않는 상황을 수학적으로 다루는 틀을 제공한다.

다른 예로는 군 대상의 작용이나 아벨 범주 내의 사슬 복합체에서 유도되는 구조 등이 있다. 예를 들어, 군 대상 $G$ 가 대상 $X$ 에 작용할 때 관련된 군론적 대상 $G\times X \underset{t}\overset{s}\rightrightarrows{} X$ 를 생각할 수 있으며, 이는 올범주 구조를 제공한다. 또한, 아벨 범주 $\mathcal{A}$ 안의 2항 사슬 복합체 $\mathcal{E}_1 \xrightarrow{d} \mathcal{E}_0$ 역시 관련된 군론적 대상 $s,t:\mathcal{E}_1\oplus\mathcal{E}_0 \rightrightarrows \mathcal{E}_0$ 을 통해 올범주를 구성하는 데 사용될 수 있다.

올범주의 중요한 응용 분야 중 하나는 강하 이론(descent theory)이다. 이는 위상수학의 '붙이기'(gluing) 기법을 일반화한 것으로, 올범주는 대수기하학의 복잡한 상황에서도 적용 가능한 강하 이론을 전개하기 위한 핵심적인 틀을 제공한다.

5. 1. 곱 올범주

두 범주

\mathcal C

,

\mathcal D

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주

\mathcal C\times\mathcal D

에서

\mathcal C

(또는

\mathcal D

)로 사영하는 함자

:

\operatorname{proj}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C

:

\operatorname{proj}_{\mathcal D}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D

는 올범주를 이룬다.

5. 2. 조각 범주

범주

\mathcal C

속의 대상

B\in\mathcal C

에 대한 조각 범주

\mathcal C/B

를 생각할 수 있다. 이 조각 범주에서, 각 사상(화살표)을 그 정의역으로 보내는 망각 함자를 정의할 수 있다.

:

\mathcal C/B\to\mathcal C

:

(X\xrightarrow fB)\mapsto X

:

\begin{pmatrix}X&\xrightarrow f&Y\\&\searrow&\downarrow\\&&B\end{pmatrix}\mapsto(X\xrightarrow fY)

이 망각 함자는 이산 올범주를 이룬다. 이때, 대상

X\in\mathcal C

위의 올은

X

에서

B

로 가는 사상 모임(이산 범주로 간주)

\hom_{\mathcal C}(X,B)

이다.

이는 사실 표현 가능 준층

:

\hom_{\mathcal C}(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

에 그로텐디크 구성을 적용한 것과 같다.

5. 3. 공역 올범주

범주

\mathcal C

가 모든 당김을 갖는다고 가정하자. 이때,

\mathcal C

의 화살표 범주

\mathcal C^\to

를 고려할 수 있다. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^\to\to\mathcal C

\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon(A\overset f\to B)\mapsto B

\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\left(\begin{matrix}A&\overset f\to&B\\{\scriptstyle h}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle k\\C&\underset g\to&D\end{matrix}\right)\mapsto (B\overset k\to D)

이 함자

\operatorname{codom}_{\mathcal C}

는 올범주를 이룬다.^[1] 사상

f\colon A\to B

에 대해,

g\in\mathcal C^\to

(즉,

g\colon C\to B

)에서의 올림(lifting)은 다음과 같은 당김으로 주어진다. 이는

A\times_BC\to A

에서

g

로 가는

\mathcal C^\to

의 사상으로 간주된다.

\begin{matrix}\begin{matrix}A\times_BC&\to&C\\\downarrow&&\downarrow\scriptstyle g\\A&\underset f\to&B\end{matrix}\end{matrix}

5. 4. 그로텐디크 구성

작은 범주의 범주

\operatorname{Cat}

로 가는 함자

:

F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}

가 주어졌을 때,

\mathcal C

위의 '''그로텐디크 구성'''(Grothendieck construction^영어)

\mathcal C\textstyle\int F

는 다음과 같이 정의되는 범주이다.

$\mathcal C\textstyle\int F$ 의 대상 $(X,x)$ 은 $\mathcal C$ 의 대상 $X\in\mathcal C$ 와 $F(X)$ 의 대상 $x\in F(X)$ 의 순서쌍이다.
$\mathcal C\textstyle\int F$ 의 사상 $(f,\phi)\colon(X,x)\to(X',x')$ 은 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to X'$ 과 $F(X)$ 의 사상 $\phi\colon x\to Ff(x')$ 의 순서쌍이다.

이렇게 정의된 범주

\mathcal C\textstyle\int F

는

\mathcal C

위의 올범주를 이룬다. 구체적으로, 사영 함자

P \colon \mathcal C\textstyle\int F \to \mathcal C

는

(X,x) \mapsto X

와

(f,\phi) \mapsto f

로 정의된다. 이때,

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

위의 올(fiber)

P^{-1}(X)

은 작은 범주

F(X)

와 동형이다.

그로텐디크 구성은 위상수학이나 기하학에서 나타나는 다양한 구조를 통일된 방식으로 다루는 데 유용하다. 예를 들어, 위상 공간 위의 벡터 다발, 주다발, 층 등을 올범주의 언어로 기술할 수 있다. 이러한 구조들은 보통 '밑 공간(base space)' 위에 정의되며, 밑 공간 사이의 사상

f:X\to Y

에 대해 대상(예: 벡터 다발)을

Y

에서

X

로 옮기는 '역상(pullback)' 연산

f^*

을 갖는다. 그로텐디크 구성은 이러한 역상 함자의 개념과 밀접하게 연관된다.

5. 4. 1. 가군 범주

범주

\operatorname{Mod}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\operatorname{Mod}$ 의 대상은 $(R,M)$ 형태의 순서쌍으로, 여기서 $R$ 은 가환환이고 $M$ 은 $R$ 위의 가군이다.
$\operatorname{Mod}$ 의 사상 $(f,\phi)\colon (R,M)\to(R',M')$ 은 환 준동형 $f\colon R\to R'$ 과 $R$ -가군 준동형 $\phi\colon M\to f^*M'$ 의 순서쌍이다.

이렇게 정의된

\operatorname{Mod}

는 가환환들의 범주인

\operatorname{CRing}

위의 올범주를 형성한다. 구체적으로, 어떤 가환환

R

위의 올(fiber)은 해당 환

R

위의 가군들로 이루어진 범주

\operatorname{Mod}_R

이다.

이러한 구성은 가환환을 그 위의 가군 아벨 범주로 보내는 함자

:

M\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}

:

M\colon R\mapsto \operatorname{Mod}_R

:

M\colon (f\colon R\to S)\mapsto(f^*\colon\operatorname{Mod}_S\to\operatorname{Mod}_R)

에 대한 그로텐디크 구성으로 이해할 수 있다. 즉, 이 올범주의 각 올은 가군 범주

\operatorname{Mod}_R

이 된다.

5. 5. 준연접층

범주

\operatorname{QCoh}

는 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname{QCoh}$ 의 대상 $(X,\mathcal F)$ 는 스킴 $X$ 와 그 위에 정의된 준연접층 $\mathcal F$ 의 순서쌍이다.
$\operatorname{QCoh}$ 의 사상 $(f,\phi)\colon(X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)$ 는 스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 와 층 사상 $\phi\colon \mathcal F \to f^*\mathcal G$ 의 순서쌍이다. 여기서 $f^*\mathcal G$ 는 $\mathcal G$ 의 $f$ 를 통한 역상이다.

이렇게 정의된 범주

\operatorname{QCoh}

에서 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

로 가는, 대상

(X, \mathcal F)

를

X

로 보내는 망각 함자

\operatorname{QCoh} \to \operatorname{Sch}

는 올범주를 형성한다.^[1] 이는 스킴을 그 위의 준연접층들의 아벨 범주

\operatorname{QCoh}_X

로 대응시키는 함자

:

\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Cat}

:

X \mapsto \operatorname{QCoh}_X

에 대한 그로텐디크 구성으로 이해할 수 있다. 이 구성에서 중요한 점은, 임의의 두 스킴 사상

X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z

에 대하여, 역상 함자의 합성은 일반적으로 결합 법칙을 엄격하게 만족하지 않고, 대신 자연 동형

:

f^* \circ g^* \cong (g\circ f)^*

이 존재한다는 것이다.

만약 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

위에 fpqc 위상을 부여한다면, 준연접층의 올범주는 스택을 이룬다.

일반적으로 위상수학이나 기하학에서는 벡터 다발, 주다발, 층과 같이 어떤 대상이 기저 공간 "위에" 존재하는 구조를 다룬다. 기저 공간 사이의 사상

f:X\to Y

가 주어지면,

Y

위의 대상(예: 준연접층

\mathcal G

)을

X

위의 대상(준연접층

f^*\mathcal G

)으로 바꾸는 "역상" 연산

f^*

이 존재한다. 이 역상 연산은 보통 함자처럼 작동하여 대상 간의 사상과 호환된다. 하지만 사상의 합성에 대해서는

f^*(g^*(z))

와

(g\circ f)^*(z)

가 정확히 같지 않고, 위에서 보았듯이 자연스러운 동형 사상 관계만 성립하는 경우가 많다. 올범주(또는 섬유화 범주)는 이러한 역상 함자의 합성이 엄격하게 유지되지 않는 상황을 수학적으로 정형화하는 틀을 제공한다.

5. 5. 1. 원소 범주

모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.

집합의 범주

\operatorname{Set}

으로 가는 반변함자

:

F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

가 주어졌다고 하자. 여기서

\mathcal C

는 범주이고

\mathcal C^{\operatorname{op}}

는

\mathcal C

의 반대 범주이다. 이때,

\mathcal C

위의 '''원소 범주'''(category of elements^영어)

\mathcal C\textstyle\int F

를 다음과 같이 정의한다.

$\mathcal C\textstyle\int F$ 의 대상 $(X,x)$ 은 $\mathcal C$ 의 대상 $X\in\mathcal C$ 와 집합 $F(X)$ 의 원소 $x\in F(X)$ 의 순서쌍이다.
$\mathcal C\textstyle\int F$ 의 사상 $f\colon (X,x)\to (X',x')$ 는 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to X'$ 중에서 다음 조건을 만족하는 것이다: 반변함자 $F$ 는 $f$ 에 대해 함수 $Ff\colon F(X')\to F(X)$ 를 유도하는데, 이 함수가 $x'$ 을 $x$ 로 보내야 한다( $Ff(x') = x$ ).

이렇게 정의된 원소 범주

\mathcal C\textstyle\int F

는

\mathcal C

위의 이산 올범주를 이룬다. 이 경우,

\mathcal C

의 각 대상

X

위의 올(fiber)은 집합

F(X)

를 이산 범주로 간주한 것과 같다.

원소 범주 구성은 함자

F

의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때 적용되는 그로텐디크 구성의 특수한 경우에 해당한다.

5. 5. 2. 부분 대상 범주

모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다.

모든 당김을 가지는 작은 범주

\mathcal C

를 생각해 보자. 이 범주

\mathcal C

에서 부분 순서 집합의 범주

\operatorname{Poset}

로 가는 함자

\operatorname{Sub}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\operatorname{Sub}\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Poset}

\operatorname{Sub}\colon X\mapsto\operatorname{Sub}(X)

\operatorname{Sub}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^*\colon \operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)\right)

여기서

\operatorname{Sub}(X)

는 대상

X

의 부분 대상들이 이루는 부분 순서 집합이다. 또한,

f^*

는 단사 사상의 당김 연산을 의미한다. (참고로, 단사 사상은 당김 연산에 의해 그 성질이 보존된다.)

이 함자

\operatorname{Sub}

에 그로텐디크 구성을 적용하면 '''부분 대상 올범주'''

\operatorname{Sub}(\mathcal C)

를 얻을 수 있다. 이 범주는 구체적으로 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname{Sub}(\mathcal C)$ 의 대상은 $(X,x)$ 형태의 순서쌍이다. 여기서 $X$ 는 $\mathcal C$ 의 대상이고, $x$ 는 $X$ 의 부분 대상 ( $x\in\operatorname{Sub}(X)$ )이다.
$\operatorname{Sub}(\mathcal C)$ 의 사상 $f\colon(X,x)\to(X',x')$ 는 $\mathcal C$ 안에서의 사상 $f\colon X\to X'$ 중에서 $x\le f^*(x')$ 라는 조건을 만족하는 것이다.

이렇게 구성된

\operatorname{Sub}(\mathcal C)

는

\mathcal C

위의 올범주를 이루며, 각 대상

X\in\mathcal C

위의 올(fiber)은 해당 대상의 부분 대상들의 부분 순서 집합

\operatorname{Sub}(X)

가 된다.

5. 6. 위상 함자

모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.

위상수학과 기하학에는 어떤 유형의 객체가 기본 "기저 공간" 위에 존재하는 것으로 간주되는 많은 예가 있다. 고전적인 예로는 위상 공간에 대한 벡터 다발, 주다발, 층이 있다. 또 다른 예는 다른 다양체에 의해 매개변수화된 대수적 다양체의 "패밀리"로 주어진다. 이러한 상황의 전형적인 특징은 기저 공간 사이의 적절한 유형의 사상

f:X\to Y

에 대해,

Y

에서 정의된 고려 대상 객체를

X

의 동일한 유형의 객체로 가져오는 해당 "역상"(또는 "당김"이라고도 함) 연산

f^*

이 있다는 것이다. 이는 실제로 위의 예에서 사실이다. 예를 들어,

Y

에 대한 벡터 다발

E

의 역상은

X

에 대한 벡터 다발

f^*(E)

이다.

또한, 고려된 "기저 공간의 객체"가 범주를 형성하는 경우가 많다. 즉, 객체 사이에 사상이 있다. 이러한 경우 역상 연산은 객체 간의 이러한 사상의 합성과 종종 호환되거나, 더 기술적인 용어로는 함자이다. 다시 말하지만, 이것은 위에 나열된 예에서 사실이다.

그러나

g:Y\to Z

가 다른 사상인 경우, 역상 함자는 합성 사상과 "엄격하게" 호환되지 않는 경우가 많다. 만약

z

가

Z

"위에" 있는 객체(예: 벡터 다발)라면, 다음이 성립한다.

f^*(g^*(z))\neq (g\circ f)^*(z).

대신, 이러한 역상은 단지 자연스러운 동형 사상일 뿐이다. 역상 시스템에 약간의 "여유"를 도입하면 몇 가지 미묘한 문제가 발생하며, 섬유화 범주가 이를 공식화한다.

섬유화 범주의 주요 응용 분야는 위상 수학에서 사용되는 "접착"(gluing) 기술의 광범위한 일반화와 관련된 강하 이론에 있다. 대수 기하학에서 사소하지 않은 상황에 적용할 수 있을 정도로 충분한 일반성을 가진 강하 이론을 지원하기 위해 섬유화 범주의 정의는 매우 일반적이고 추상적이다. 그러나 기본 직관은 위에서 논의한 기본적인 예를 염두에 두면 매우 간단하다.

5. 7. 올다발

올다발의 범주

\operatorname{Bun}

을 생각해 보자. 이 범주의 대상은 올다발

\pi\colon E \twoheadrightarrow B

이고, 사상은 다발 사상이다. 다발 사상은 전체 공간

E

에서

E'

로 가는 함수

f

와 밑공간

B

에서

B'

로 가는 함수

g

의 쌍으로, 특정 조건을 만족하며 다음 그림으로 표현할 수 있다.

:

\begin{matrix}E &\overset f\to & E' \\{\scriptstyle\!\!\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!\!\!} \\B & \underset g\to & B'\end{matrix}

이 범주에서 각 올다발을 그 밑공간으로 보내는 함자를 정의할 수 있다. 이를 망각 함자라고 하며, 올다발의 구조는 '잊고' 밑공간과 그 사이의 사상만 고려한다. 이 함자는 다음과 같이 표기한다.

:

\operatorname{codom} \colon \operatorname{Bun} \to \operatorname{Top}

:

\operatorname{codom} \colon (E \,\xrightarrow\pi\, B) \mapsto B

:

\operatorname{codom} \colon \left(\begin{smallmatrix}E &\overset f\to & E' \\{\scriptstyle\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!} && {\scriptstyle\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!} \\B & \underset g\to & B'\end{smallmatrix}\right) \mapsto g

여기서

\operatorname{Top}

은 위상 공간과 연속 함수의 범주를 나타낸다. 이 망각 함자는 올범주의 조건을 만족시키므로, 올다발의 범주

\operatorname{Bun}

은 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

위의 올범주가 된다.

특정 위상 공간

B

가 주어졌을 때, 이

B

위의 올 (fiber)은

B

를 밑공간으로 하는 모든 올다발들과, 밑공간 사이의 사상이

B

위의 항등 함수인 다발 사상들로 구성된 범주

\operatorname{Bun}_B

를 의미한다.

올범주의 중요한 구조 중 하나는 쪼갬 (cleavage)이다. 이는 밑공간 사이의 사상

g\colon B\to B'

각각에 대해,

B'

위의 올다발을

B

위의 올다발로 변환하는 당김 함자

g^* \colon \operatorname{Bun}_{B'} \to \operatorname{Bun}_B

를 하나씩 대응시키는 방법을 선택하는 것과 같다.

벡터 다발의 범주

\operatorname{Vect}

역시 비슷한 방식으로 밑공간으로 가는 망각 함자를 통해 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

위의 올범주를 형성한다.

:

\operatorname{codom} \colon \operatorname{Vect} \to \operatorname{Top}

또한, 밑범주를 모든 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

대신, 특정 위상 공간

X

의 열린집합들로 이루어진 범주

\operatorname{Open}(X)

로 제한할 수도 있다. 이 경우에도

X

의 열린집합 위에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주에서

\operatorname{Open}(X)

로 가는 망각 함자는 올범주가 된다.

:

\operatorname{Bun}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)

:

\operatorname{Vect}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)

하지만 주의할 점은, 밑범주를 위상 공간의 범주나 열린집합의 범주 대신 다양체의 범주로 선택하면 일반적으로 올범주가 되지 않는다는 것이다. 이는 다양체의 범주에서는 임의의 두 사상에 대한 올곱 (fibered product)이 항상 존재하지 않을 수 있기 때문이다.

5. 8. 층

범주

\operatorname{Sh}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

대상: 순서쌍 $(X,\mathcal F)$ . 여기서 $X$ 는 위상 공간이며, $\mathcal F$ 는 $X$ 위의 (집합 값을 가지는) 층이다.
사상: $(f,\phi) \colon (X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)$ 는 연속 함수 $f \colon X\to Y$ 와 층 사상 $\phi \colon \mathcal F\to f^*\mathcal G$ 의 순서쌍이다. 만약 층을 에탈레 공간으로 간주한다면, 이 사상은 다음과 같은 가환 그림으로 나타낼 수 있다.

\begin{matrix}\mathcal F &\overset \phi\to & f^*\mathcal G \\{\scriptstyle\!\!\!\!\pi_{\mathcal F}}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi_{f^*\mathcal G}\!\!\!\!} \\X & \underset {\operatorname{id}}\to & X\end{matrix}

여기서

f^*\mathcal G

는 당김 층(pullback sheaf)을 의미하며, 에탈레 공간으로 보면

f

를 통한

\mathcal G

의 역상(inverse image)에 해당한다. 즉, 에탈레 공간 구성을 통해

\operatorname{Sh}

는 화살표 범주

\operatorname{Top}^\to

의 부분 범주로 여길 수 있다.

이때, 각 층

(X,\mathcal F)

를 그 기저 위상 공간

X

로 보내는 망각 함자

\operatorname{Sh} \to \operatorname{Top}

는 올범주를 형성한다. 이 올범주에서 위상 공간

X

위의 올(fiber)은

X

위에 정의된 모든 층들의 범주, 즉

\operatorname{Sh}(X)

이다.

유사하게, 임의의 위상 공간

X

에 대해, 그 열린집합들의 범주

\operatorname{Open}(X)

와 각 열린집합

U \subseteq X

위에 정의된 층들의 범주

\operatorname{Sh}(U)

를 모아 만든 범주

\operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)}

를 생각할 수 있다. 이 경우, 각 층을 그 층이 정의된 열린집합으로 보내는 망각 함자

\operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)} \to \operatorname{Open}(X)

역시 올범주를 이룬다.

위 정의에서 집합 값을 가지는 층 대신, 군, 아벨 군, 환, 가환환 등 특정 대수 구조 다양체의 값을 가지는 층을 사용해도 동일한 방식으로 올범주를 구성할 수 있다.

층의 역상 함자는 위상 공간

S

위의 층의 범주

\text{Sh}(S)

를 위상 공간들의 범주

\text{Top}

위의 섬유화 범주

\text{Sh}

로 만든다. 이 섬유화 범주는 층의 에탈레 공간들로 구성된

A(\text{Top})

(위상 공간 범주의 화살표 범주)의 충만한 부분 범주로 설명될 수 있다. 마찬가지로, 군 값의 층이나 환 값의 층 역시

\text{Top}

위의 섬유화 범주를 형성한다.

6. 역사

올범주는 알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장에서 처음으로 정의한 개념이다.^[2] 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"이라는 관련 개념을 현재 통용되는 정의보다 더 약하게 정의하였으나,^[2] 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 널리 사용되게 되었다. 다만 올범주의 정의 자체는 데카르트 사상의 두 가지 정의 중 어느 것을 따르든 동일하다.

참조

_[1] 저널 Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory 2007-05-17
_[2] 서적 Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) Springer

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