단순 확대

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1. 개요

단순 확대는 체 L이 체 K의 원소 α를 사용하여 L = K(α)로 표현될 때 L/K를 일컫는 용어이다. α는 원시 원소라고 불리며, α가 K에 대해 대수적이면 K[x]/(p(x))와 동형이고, 초월적이면 K의 유리 함수체와 동형이다. 유한 확대의 경우 원시 원소 정리에 의해 단순 확대가 될 필요충분조건이 주어지며, 유한 분해 가능 확대는 항상 단순 확대이다. 단순 확대는 생성원 θ에 따라 두 가지 구조로 분류되며, 다항식, 행렬, Kⁿ을 이용한 다양한 표현이 가능하다.

단순 확대

정의	체 L이 체 K의 부분체일 때, L이 K의 단순 확대라는 것은 K(α) = L이 되는 α ∈ L가 존재한다는 것이다.

최소 다항식	기약 다항식 p(X) ∈ K[X]가 존재하여 p(α) = 0이 되는 경우, α를 K의 대수적이라고 한다. 이 경우, K(α)는 K의 유한 확대이다.
초월 원소	어떤 다항식 p(X) ∈ K[X]에 대해서도 p(α) ≠ 0인 경우, α를 K의 초월적이라고 한다. 이 경우, K(α)는 K의 무한 확대이며, K의 유리 함수체 K(X)와 체 동형이다.

K(α)	K에 α를 첨가하여 얻은 체를 나타내는 표기법이다. 여기서 α는 K에 속하지 않는 원소이다. 즉, K(α)는 K와 α를 모두 포함하는 가장 작은 체이다.

유일성	α가 K의 대수적 원소이면, K(α)는 α를 근으로 갖는 유일한 기약 다항식 p(X)를 갖는다.
확대 차수	α가 K의 대수적 원소이면, [K(α):K]는 α의 최소 다항식의 차수와 같다.

2. 정의

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, $L=K(\alpha)$ 를 만족하는 $\alpha\in L$ 이 존재하면, $L/K$ 를 단순 확대라고 하고, $\alpha$ 를 원시 원소(primitive element^영어)라고 한다.

만약 $\alpha$ 가 $K$ -초월 원소라면, $K(\alpha)\cong K(x)$ 는 $K$ 의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 $\alpha$ 가 $K$ -대수적 원소라면, $K(\alpha)$ 는 $K$ 의 다항식환의 어떤 몫환과 동형이다.

: $K(\alpha)\cong K[x]/(p(x))$
: $[K(\alpha):K]=\deg p$

여기서 $p$ 는 $\alpha$ 의 $K$ -최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, $(p(x))$ 는 극대 아이디얼이며, $K[x]/(p(x))$ 는 체를 이룬다.

체 확대 $L/K$ 에서 $L = K(\theta)$ 를 만족하는 $\theta \in L$ 가 존재하면, $L/K$ 를 단순 확대라고 한다. 이는 $L$ 의 모든 원소가 $\theta$ 에 대한 유리식으로 표현될 수 있으며, 그 계수는 $K$ 에 속한다는 것을 의미한다. 즉, $L$ 은 체 연산 +, −, •, / 를 사용하여 $\theta$ 와 $K$ 의 원소로부터 생성된다. 이는 $L$ 이 $K$ 와 $\theta$ 를 모두 포함하는 가장 작은 체라는 것과 같다.

단순 확대에는 두 가지 종류가 있다.

$\theta$ 가 $K$ 에 대해 초월원일 수 있다. 이는 $\theta$ 가 $K$ 를 계수로 갖는 어떤 다항식의 영점도 아님을 의미한다. 이 경우 $K(\theta)$ 는 환 동형 사상으로 유리 함수체 $K(X)$ 와 동형이다.

그렇지 않으면 $\theta$ 는 $K$ 에 대해 대수적 원소이다. 즉, $\theta$ 는 $K$ 에 대한 다항식의 근이다. $\theta$ 를 근으로 하는, 최소 다항식의 차수가 $n$ 인 모닉 다항식 $p(X)$ 는 $\theta$ 의 최소 다항식이라고 한다. 그 차수는 체 확대의 차수, 즉 $L$ 을 $K$ -벡터 공간으로 볼 때의 차원 (벡터 공간)과 같다. 이 경우, $K(\theta)$ 의 모든 원소는 $\theta$ 의 $n$ 보다 작은 차수의 다항식으로 유일하게 표현될 수 있으며, $K(\theta)$ 는 몫환 $K[X]/(p(X))$ 와 동형이다.

두 경우 모두 $\theta$ 는 확대에 대한 생성 원소 또는 원시 원소라고 한다. 또한 $L$ 이 $\theta$ 에 의해 $K$ 위에서 생성되었다고 말한다.

예를 들어, 모든 유한체는 동일한 표수의 소수체의 단순 확대이다. 더 정확하게, $p$ 가 소수이고 $q=p^n$ 일 때, $q$ 개의 원소를 갖는 체 $L=\mathbb{F}_{q}$ 는 $K=\mathbb{F}_{p}$ 의 차수 $n$ 의 단순 확대이다. 사실, $L$ 은 $K[X]$ 에서 차수가 $n$ 인 기약 다항식의 근인 임의의 원소 $\theta$ 에 의해 체로 생성된다.

$L$ 을 $K$ 의 체 확대라고 하자.

* 확대 $L$ 이 단순 확대라는 것은, $L$ 의 어떤 원소 $\alpha$ 가 존재하여, $\alpha$ 에 의해 생성된 $L$ 의 부분 $K$ 확대 $K(\alpha)$ 가 $L$ 과 같아지는 것이다.
* $L$ 이 단순 확대이고 $g$ 가 $L$ 의 원소로, $L$ 이 $K(g)$ 와 같다면, $g$ 는 $L$ 의 $K$ 위의 생성원이라고 불린다.

$L = K(\alpha)$ 를 단순 확대라고 하자.

* 이 확대가 유한하다면,
* $\alpha$ 는 $K$ 상 대수적이다( $\alpha$ 의 거듭제곱 사이에 선형 종속적인 관계가 있어서 $\alpha$ 로 사라지는 다항식이 얻어진다.).
* $L$ 은 $\alpha$ 의 최소 다항식 $P$ 의 분해체와 동형이다.
* (이 체는 다항식 환 $K[X]$ 의 $P$ 로 생성된 아이디얼에 의한 몫으로 얻어진다.)
* 특히, $\alpha$ 가 $K$ 상 대수적인 원소라면 체 $K(\alpha)$ 는 " $K[\alpha]$ ", 즉 $a_n\alpha^n+\dotsb+a_1\alpha+a_0$ (여기서 $a_i \in K$ )의 형태로 표현되는 전체 집합과 같다.
* 무한 차수 확대라면,
* $\alpha$ 는 $K$ 상 초월적이다.
* 확대체는 $K$ 상의 유리 함수체 $K(X)$ 와 동형이다.
* (실제로, $X$ 를 $\alpha$ 로 사상하는 $K[X]$ 에서 $L$ 로의 $K$ -대수 준동형은 단사이므로 분수체 $K(X)$ 로 확장되고, 이렇게 얻어진 $K(X)$ 에서 $L$ 로의 체 준동형은 전사이다.)

3. 성질

유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, primitive element theorem^영어)에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 $L/K$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $L/K$ 는 단순 확대이다.
* $L/K$ 사이에, $K\subseteq M\subseteq L$ 이 되는 체 $M$ 의 수는 유한하다.

또한, 만약 $L/K$ 가 유한 분해 가능 확대라면, 그 사이에 존재하는 체들의 수는 유한하며, $L/K$ 는 항상 단순 확대이다. 원시원의 정리는 모든 유한 차수 분리 확대가 단순 확대임을 보장한다. 대수적 확대는 그 모든 원소의 최소 다항식이 중근을 갖지 않을 때 분리적이라고 한다. 유한 확대의 분리성의 여러 동치 조건에 더하여, 대수적 확대가 분리적이기 위한 충분 조건은 기초체가 완전체 (예: 표수 0 또는 유한체)라는 것이다.

4. 구조

단순 확대는 생성원 θ에 따라 다음과 같이 두 가지로 분류된다.

* θ가 [[초월원]]인 경우: θ는 K를 계수로 갖는 어떤 다항식의 영점도 아니다. 이 경우 $K(\theta)$ 는 유리 함수체 $K(X)$ 와 동형이다.
* θ가 [[대수적 원소]]인 경우: θ는 K에 대한 다항식의 근이다. θ를 근으로 하는 최소 다항식의 차수 n인 모닉 다항식 $p(X)$ 는 θ의 최소 다항식이라고 한다. 이 차수는 체 확대의 차수와 같다. 이 경우, $K(\theta)$ 는 몫환 $K[X]/(p(X))$ 와 동형이다.

5. 표현

단순 확대는 다항식 표현, 행렬 표현, 그리고 Kⁿ에서의 명시적인 표현으로 나타낼 수 있다.

* 다항식 표현: 체 K와 K의 확대 L에서 근 α를 갖는 기약 다항식 P(X)가 있을 때, 몫환 A=K[X]/(P)는 체가 되며, 체 K(α)는 A와 동형이다. K(α)의 원소는 최대 n-1차 다항식 (n = deg(P))으로 표현 가능하다. 이때 두 원소의 합은 다항식의 합, 곱은 다항식의 곱을 P로 나눈 나머지와 같다.
* 행렬 표현: α의 K 위에서의 최소 다항식 R의 동반 행렬 M으로 생성된 부분 행렬환 K(M)은 체가 되며, K(α)에서 K(M)으로의 사상(f(α)를 f(M)으로 보내는)은 체 동형이다.
* Kⁿ에서의 명시적인 표현: 체 K의 n차 단순대수 확대 L=K(α)는 집합 Kⁿ으로 표현될 수 있다. K(α)에서 Kⁿ으로의 전단사 사상을 통해 Kⁿ에 체의 구조가 유도되는데, 합은 벡터의 합과 같고, 곱셈은 Kⁿ x Kⁿ에서 Kⁿ으로의 쌍선형 사상 f(x,y)이다.

5.1. 다항식 표현

체론의 기본 정리 중 하나는, P(X)가 K 위의 기약 다항식이면 몫환 A=K[X]/(P) (여기서 (P)는 K[X]에서 P로 생성되는 아이디얼)는 체라는 것이다. 또한, P가 K의 확대 L에서 근 α를 가지면, 체 K(α)는 A와 동형이다. K(α)의 원소는 최대 차수 n-1의 다항식으로 표현될 수 있는데, 여기서 n = deg(P)이다. K(α)의 두 원소의 합은 대응하는 다항식의 합과 같고, 곱은 다항식의 곱을 P로 나눈 나머지(유클리드 나눗셈)와 같다.

예를 들어 P(X) = X² + 1 이면, 허수 i는 C에서 P의 근이다. C는 a + b X 형태의 다항식 집합과 동형이며, 이 사상에 의한 i의 상은 X이고, a + ib의 상은 a + bX이다. 복소수 계산 규칙은 다음과 같이 이 표현과 일치한다.

* a+ib + a'+ib' = (a+a') + i(b+b') 이고, a+bX + a'+b'X = (a+a') + (b+b')X이다.
* (a+ib)(a'+ib') = (aa'-bb') + i(ab'+ba') 이고, (a+bX)(a'+b'X) = (aa'+bb'X²) + (ab'+ba')X이다. P(X) = X²+1 이므로, X²를 P로 나눈 나머지는 -1이다. 따라서 (a+bX)(a'+b'X)를 P로 나눈 나머지는 (aa'-bb')+(ab'+ba')X''이며, 이는 복소수의 곱과 같다.

5.2. 행렬 표현

단순 확대 K(α)/K는 K에 성분을 갖는 행렬환의 부분체로 표현할 수 있다. R이 α의 K 위에서의 최소 다항식이고, M이 R의 동반 행렬이면, M으로 생성된 부분 행렬환 K(M)은 체이고, 사상 K(α) $\to$ K(M); f(α) $\mapsto$ f(M)는 모든 다항식 f에 대해 체 동형이다.

행렬 M은 이 성질을 만족하는 유일한 것은 아니다. $P^{-1}MP$ 형태의 모든 행렬 또한 분명히 그것을 만족시키는데, 이는 $f(P^{-1}MP) = P^{-1}f(M)P$ 이기 때문이다.

K가 환 A의 분수체이고 α가 A 위에 정수이면, R과 M은 A에 성분을 갖는다는 점에 주목할 수 있다. 환 $A[\alpha]$ 는 행렬환 $A[M]$ 으로 표현된다.

행렬환에 의한 단일 확장의 행렬 표현은 실제 계산의 전산 대수학에서 유용하다. 이는 연산이 행렬 연산으로 변환되기 때문이다. 특히, 원소의 대각합(trace)은 대응하는 행렬의 대각합이고, K 위의 노름은 행렬의 행렬식과 같다. 또한, 이 구성 절차를 반복하여 다항식 표현처럼 다항식의 분해체의 구성적 표현을 얻을 수 있다. 이를 위해서는 다항식의 기약 인자 곱으로의 분해 알고리즘, 예를 들어 기초체가 유리수체의 대수적 확대인 경우 크로네커 알고리즘을 준비하는 것으로 충분하다.

* R(X) = X² + 1 이면, R의 동반 행렬은 M $= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1\\ 1 &0 \end{array} \right)$ 이며, 따라서 허수 i는 M에 대응하고, 수 1은 단위 행렬 I에 대응한다. 그러므로 복소수의 집합 $\mathbb C$ 는 $aI + bM$ , 즉 $\left( \begin{array}{cc} a & -b\\ b & a\end{array} \right)$ 형태의 행렬이 이루는 환으로 표현된다.
* 마찬가지로, 다항식 $X^2 - X - 1$ 의 근으로 생성되는 유리수체의 이차 확대는 $aI + bM$ , 단 M'' $=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1\end{array} \right)$ 형태의 행렬 환으로 표현된다. 이는 $\left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & a+b\end{array} \right)$ 형태의 행렬이 이루는 환이다.

5.3. K<sup>n</sup>에서의 명시적인 표현

K 위의 차수 n인 원소 α에 의해 생성된 체 K 위의 모든 단순 확대는 집합 Kⁿ에 의해 표현된다. 여기서 합은 성분별로, 곱셈은 변수의 명시적인 어떤 식으로 정의된다.

더 정확하게는, K를 체, L K(α)를 K의 n차 단순대수 확대라고 할 때, K(α)에서 Kⁿ로의 사상 $\mapsto$ 는 전단사이다. K(α)에서의 합 x + y와 곱셈 x $\cdot$ y의 φ에 의한 상(像)으로부터 Kⁿ에 체의 구조가 유도된다. 체 K(α)와 Kⁿ은 φ에 의해 동형이고, Kⁿ에 유도된 합은 일반적인 벡터의 합이며, Kⁿ에 유도된 곱셈은 Kⁿ x Kⁿ에서 Kⁿ으로의 쌍선형 사상 f(x,y)이다.

그러한 사상 f는 K[X]ⁿ의 원소 (P₁, ... , P_n)와 동일시된다. 여기서 P_i는 2n 변수 x 와 y 의 2차 제차 다항식이다. Kⁿ 위에 유도된 곱셈은 문자 그대로 명시적인 형태로 쓰여진다.

(P₁(x, y), . . . , P_n(x, y)).

이 쌍선형 사상과 함께 제공되는 제차 다항식을 얻기 위해, 앞 절에서 논의된 행렬 표현을 사용하는 것이 한 가지 간단한 방법이다. 예를 들어 황금비로 생성된 단일 확대에서, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.

\left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & a+b\end{array} \right)

와

\left( \begin{array}{cc} a' & b'\\ b' & a'+b'\end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} aa'+bb' & ab'+b(a'+b')\\ a'b + b'(a+b) & bb'+(a+b)(a'+b')\end{array} \right)

구하는 쌍선형 사상은 행렬 곱의 첫 번째 열을 "읽는다".

f((a,b),(a',b' )) = (aa' + bb', a'b + b' (a+b)).

따라서, 명시적인 곱셈은 다음과 같다.

(X₁ , X₂) (Y₁ , Y₂) = (X₁Y₁ + X₂Y₂ , X₂Y₁ + X₁Y₂ + X₂Y₂)

이 기법은 매우 일반적이다.

Kⁿ에서의 이 표현은 명백한 방식으로 이전에 논의된 다항식 표현과 동일시되지 않고, 계산적이고 알고리즘적이다. 그러나 곱셈의 효율적인 계산은 α의 최소 다항식을 법으로 한 리덕션을 이용한다면, 명시적인 곱셈과 행렬 표현의 간단한 실행을 더욱 요구한다. 대가는 물론 쌍선형 사상 f의 결정이지만, 단 한 번만 실행되면 되기 때문에, 일반적으로 그러하듯이 많은 연산이 필요한 계산에 대해 이 선택은 유리하다.

6. 예시

* C / R은 허수 단위^영어 i에 의해 생성된다.
* Q(제곱근^영어2) / Q는 제곱근^영어2에 의해 생성된다.
* 모든 수체 (즉, Q의 유한 확장)는 어떤 θ에 대한 단순 확장 Q(θ)이다. 예를 들어, 유리수체 Q(제곱근^영어3, 제곱근^영어7)는 제곱근^영어3 + 제곱근^영어7 에 의해 생성된다.
* F(X) / F, 유리함수체는 형식 변수 X에 의해 생성된다.
* 복소수체는 실수체의 이차 확대이며, 허수 단위 i에 의해 생성된다.
* 2의 세제곱근과 허수 단위 i로 생성되는 체는 유리수체 Q의 단확대이다.
* 실수체는 유리수체의 단확대가 아니다.
* 표수 p에서, 단순확대가 아닌 유한 확대가 존재한다. 예를 들어, L이 표수 p의 체 k에 계수를 갖는 두 변수의 유리 함수체 k(X, Y)이고, K가 L의 부분체 k(X^p, Y^p)이면, L/K는 단순하지 않은 유한 확대이다.
* R(X) = X² + 1 이면, R의 동반 행렬은 M $= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1\\ 1 &0 \end{array} \right)$ 이며, 따라서 허수 i는 M에 대응하고, 수 1은 단위 행렬 I에 대응한다. 그러므로 복소수의 집합 $\mathbb C$ 는 $\left( \begin{array}{cc} a & -b\\ b & a\end{array} \right)$ 형태의 행렬이 이루는 환으로 표현된다.
* 마찬가지로, 다항식 의 근으로 생성되는 유리수체의 이차 확대는 , 단 M'' $=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1\end{array} \right)$ 형태의 행렬 환으로 표현된다. 이는 $\left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & a+b\end{array} \right)$ 형태의 행렬이 이루는 환이다.

6.1. 단순 유한 확대

체 확대 $L/K$ 에서, $L = K(\theta)$ 를 만족하는 $\theta \in L$ 이 존재하면 이를 단순 확대라고 부르며, $\theta$ 를 원시 원소라고 한다.

* ℂ/ℝ은 단순 확대이며, 원시 원소는 허수 단위 $i=\sqrt{-1}$ 이다.
* 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$ 역시 단순 확대이며, 원시 원소는 $\sqrt{d}$ 이다.
* $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 는 표수가 0인 분해 가능 확대이자 차수가 4인 유한 확대이므로, 원시 원소 정리에 의해 단순 확대이다. 이 경우 $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ 는 원시 원소가 된다.

6.2. 단순 무한 확대

체 K의 유리 함수체 K(x)는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

6.3. 단순하지 않은 유한 확대

표수^한국어 p에서, 단순 확대가 아닌 유한 확대가 존재한다. 예를 들어, L이 표수^한국어 p의 체 k에 계수를 갖는 두 변수의 유리 함수체 k(X, Y)이고, K가 L의 부분체 k(X^p, Y^p)이면, L/K는 단순하지 않은 유한 확대이다. 실제로, 확대의 차수는 p²이지만, L의 모든 원소는 K상에서 기껏해야 p차이다.

: $\mathbb F_p(x,y)$ 의 확대

: $\mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)$

:를 생각하자. 이는 차수 $p^2$ 의 유한 확대이다.

임의의 $a\in \mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)$ 에 대하여, $a^p\in \mathbb F_p(x,y)$ 이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 $p$ 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

7. 추가 설명

원시 원소 정리에 따르면, 유한 확대 $L/K$ 에 대해, $L/K$ 가 단순 확대인 것과 $K\subseteq M\subseteq L$ 인 중간체 $M$ 의 개수가 유한한 것은 서로 동치이다.^,^,

원시 원소 정리는 모든 유한 차수 분리 확대가 단순 확대임을 보장한다. 대수적 확대에서 모든 원소의 최소 다항식이 중근을 갖지 않으면 분리 확대라고 한다. 유한 확대의 분리성의 여러 동치 조건 외에도, 대수적 확대가 분리적이기 위한 충분 조건은 기초체가 완전체(표수 0 또는 유한체)인 경우이다.

소수 차수의 모든 유한 확대는 단순 확대이다.