대수 곡선의 모듈라이 공간

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1. 개요

대수 곡선의 모듈라이 공간은 주어진 종수와 표시된 점을 가진 대수 곡선들을 분류하는 공간이다. 안정 곡선의 모듈라이 스택은 매끄러운 사영 곡선을 분류하며, 콤팩트화되어 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 로 표시된다. 종수가 0인 곡선은 리만 구, 종수 1인 곡선은 타원 곡선으로, 각기 다른 방식으로 모듈라이 공간이 구성된다. 모듈라이 공간은 기약적이며, 적절성과 콤팩트성을 가지며, 거친 모듈라이 공간과 스택 모듈라이 공간이 존재한다. 낮은 종수에서는 단유리적이지만, 종수가 23 이상인 경우 일반형이 된다. 경계의 층화와 표시된 곡선의 모듈라이 등 다양한 측면에서 연구되며, 이중 그래프를 사용하여 경계의 기하학을 이해할 수 있다.

대수 곡선의 모듈라이 공간

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2. 안정 곡선의 모듈라이 스택

모듈라이 스택 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 는 주어진 종수 $g$ 를 갖는 안정 곡선들의 동형류를 분류하는 공간이다. $g > 1$ 일 때, 모듈라이 스택 $\mathcal{M}_{g}$ 는 안정적인 마디 곡선(동형 포함)에 해당하는 새로운 "경계" 점을 추가하여 콤팩트화될 수 있다. 안정 곡선은 완전하고 연결되어 있으며, 이중점 이외의 특이점이 없고, 유한한 자기 동형군만 있는 곡선이다. 두 모듈라이 스택( $\mathcal{M}_{g}$ , $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ ) 모두 보편 곡선군을 가지고 있다.

2.1. 정의

모듈라이 스택 $\mathcal{M}_{g}$ 는 동형사상을 기준으로 매끄러운 사영 곡선들을 분류한다. $g > 1$ 일 때, 이 스택은 안정적인 마디 곡선(동형과 함께)에 해당하는 새로운 "경계" 점을 추가하여 콤팩트화 될 수 있다. 곡선은 완전하고 연결되어 있고 이중 점 이외의 특이점이 없으며 유한한 자기 동형 군만 있는 경우 안정적이다. 결과 스택은 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 와 같이 표시된다. 두 모듈라이 스택 모두 보편 곡선군을 가지고 있다.

위의 두 스택 모두 $3g-3$ 차원이다. 따라서 안정적인 마디 곡선은 $g > 1$ 일 때 $3g-3$ 개의 매개변수들의 값을 선택하여 완전히 지정할 수 있다. 작은 종수에서는 그 수를 빼서 자기동형사상들의 매끄러운 족이 존재하는지 설명해야 한다. 종수 0인 복소 곡선은 정확히 하나, 즉 리만 구가 있으며, 동형사상 군은 $\text{PGL}(2)$ 이다. 따라서 $\mathcal{M}_0$ 의 차원은

: $\begin{align}\dim(\text{space of genus 0 curves}) - \dim(\text{group of automorphisms}) &= 0 - \dim(\mathrm{PGL}(2))\\&= -3 .\end{align}$

이다. 마찬가지로 종수 1에는 1차원 곡선 공간이 있지만 이러한 모든 곡선에는 1차원 자기동형군이 있다. 따라서 스택 $\mathcal{M}_1$ 은 0차원이다.

2.2. 차원

$\mathcal{M}_{g}$ 와 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 는 $g > 1$ 일 때 $3g-3$ 차원을 가진다. 따라서 안정적인 마디 곡선은 $g > 1$ 일 때 $3g-3$ 개의 매개변수들의 값을 선택하여 완전히 지정할 수 있다.

작은 종수에서는 자기동형사상들의 매끄러운 족의 존재를 고려하여 그 수를 빼야 한다. 종수 0인 복소 곡선은 리만 구 하나뿐이며, 그 동형사상 군은 $\text{PGL}(2)$ 이다. 따라서 $\mathcal{M}_0$ 의 차원은 다음과 같다.

: $\begin{align}\dim(\text{종수 0 곡선의 공간}) - \dim(\text{자기동형사상 군}) &= 0 - \dim(\mathrm{PGL}(2))\\&= -3 .\end{align}$

마찬가지로, 종수 1에는 1차원 곡선 공간이 있지만, 모든 곡선은 1차원 자기동형사상 군을 가진다. 따라서 스택 $\mathcal{M}_1$ 은 0차원이다.

2.3. 구성과 기약성

피에르 들리뉴와 데이비드 멈퍼드는 모듈라이 스택 $\mathcal{M}_g$ 가 기약(irreducible)이라는 중요한 정리를 증명했다. 즉, 두 개의 적절한 부분 스택의 합집합으로 표현될 수 없다는 것이다. 이들은 힐베르트 스킴 $\mathrm{Hilb}_{\mathbb{P}^{5g - 5 -1}}^{P_g(n)}$ 에서 안정 곡선의 자취 $H_g$ 를 분석하여 이를 증명했다. 세 개의 정규적으로 포함된 곡선(아주 풍부한 $\omega_C^{\otimes 3}$ 모든 곡선)은 힐베르트 다항식 $P_g(n) = (6n-1)(g-1)$ 을 갖는다. 그러면 이 스택은 $[H_g / \mathrm{PGL}(5g-6)]$ 모듈리 공간으로 구성된다. 변형 이론을 사용하여 들리뉴와 멈퍼드는 이 스택이 매끄럽고 $\mathcal{M}_g$ 가 유한한 안정자를 가짐을 보였다. 즉, $\mathcal{M}_g$ 가 들리뉴-멈퍼드 스택임을 보이기 위해 안정 곡선 사이의 동형 스택 $\mathrm{Isom}_S(C,C')$ 을 사용했다.

또한, $H_g$ 의 층화를 다음과 같이 찾았다.

: $H_g^o \coprod H_{g,1} \coprod \cdots \coprod H_{g,n}$

여기서 $H_g^o$ 는 매끄러운 안정 곡선의 부분 스킴이고, $H_{g,i}$ 는 $S^* = H_g \setminus H_g^o$ 의 기약 성분이다. 이들은 $\mathcal{M}_g^0 = H_g^0/\mathrm{PGL}(5g-6)$ 의 성분을 분석했다(기하 불변량 이론 몫으로). $H_g^o$ 의 여러 성분이 존재하는 경우, 그 중 어느 것도 완전하지 않을 것이다. 또한, 어떤 성분이든 비특이 곡선을 반드시 포함해야 한다. 결과적으로, 특이 자취 $S^*$ 는 연결 공간이므로 $H_g$ 의 한 성분에 포함된다. 게다가 모든 성분이 $S^*$ 와 교차하기 때문에, 모든 성분은 한 성분에 포함되어야 하므로 거친 공간 $H_g$ 는 기약이다. 대수 스택의 일반 이론에서 이는 스택 몫 $\mathcal{M}_g$ 가 기약임을 의미한다.

2.4. 적절성 (Properness)

모듈라이 스택의 적절성 또는 콤팩트성은 곡선의 안정적인 감소 정리에서 유도된다. 이는 아벨 버라이어티의 안정적인 감소에 관한 그로텐디크의 정리를 통해 확인할 수 있으며, 곡선의 안정적인 감소와 동등함을 보여준다.

2.5. 거친 모듈라이 공간 (Coarse Moduli Space)

모듈라이 스택 $\mathcal{M}_{g}$ 은 동형사상을 기준으로 매끄러운 사영 곡선들을 분류한다. 매끄럽거나 안정적인 곡선의 동치류를 나타내는 거친 모듈라이 공간을 고려할 수도 있다. 이러한 거친 모듈라이 공간은 모듈라이 스택 개념이 도입되기 전에 실제로 연구되었다. 실제로, 모듈라이 스택이라는 아이디어는 거친 모듈라이 공간의 사영성을 증명하기 위한 시도로 들리뉴와 멈퍼드에 의해 도입되었다. 최근에는 곡선의 스택이 실제로 더 근본적인 대상이라는 것이 분명해졌다.

거친 모듈라이 공간은 $g > 1$ 인 경우 스택과 동일한 차원을 갖는다. 그러나 종수 0에서는 거친 모듈라이 공간의 차원이 0이고, 종수 1에서는 차원이 1이다.

3. 낮은 종수 모듈라이 공간의 예

변형 이론을 사용하면 종수 0인 곡선들의 모듈라이 공간 기하학을 결정할 수 있다. 종수 0인 곡선의 모듈라이 공간의 수는 ℙ¹^라틴어이며, 이는 코호몰로지 군에 의해 제공된다.

세르 쌍대성에 따르면 이 코호몰로지 군은 쌍대화 층 ω_C^라틴어에 대해 다음과 동형이다.

> H¹(C,T_C)^라틴어 ≅ H⁰(C, ω_C⊗T_C^∨)^라틴어 ≅ H⁰(C, ω_C^⊗2)^라틴어

리만-로흐 정리에 따르면 표준 다발의 차수는 -2이고, ω_C^⊗2^라틴어의 차수는 -4이므로 대역 단면이 없다.

> H⁰(C,ω_C^⊗2)^라틴어 = 0

이는 종수 0인 곡선의 변형이 없음을 보여준다. 따라서 ℳ₀^라틴어은 단지 하나의 점일 뿐이고, 종수 0 곡선은 ℙ¹^라틴어이다. ℙ¹^라틴어의 자기동형 군은 대수 군 PGL(2,ℂ)^영어인데, 이는 ℙ¹^라틴어 위의 3개의 점들이 한 번 정해지면 경직화되기 때문이다. 그래서 대부분의 저자는 ℳ₀^라틴어를 ℳ_0,3^라틴어의 의미로 쓴다.

J-불변량으로 분류되는 타원 곡선의 동치류는 복소수에서 모듈라이 공간을 이해하는 초기 사례 중 하나이다. 종수 1의 경우, 타원 곡선의 모듈라이 공간 $\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}$ 는 j-불변량

$j: \mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}} \to \mathbb{A}^1_\mathbb{C}$

에 의해 분류된다. 여기서

\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}=\mathcal{M}_{1,1}\times_{\text{Spec}(\mathbb{Z})} \text{Spec}(\mathbb{C})

이다. 위상적으로

\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}

는 아핀 직선이지만, 기저 위상 공간

\mathbb{P}^1_\mathbb{C}

을 갖는 스택으로 콤팩트화될 수 있는데, 이는 하나의 첨점(cusp)을 갖는 타원 곡선을 추가함으로써 가능하다. 일반적인 경우의 구성은 들리뉴와 라포포트가 완성하였다.

대부분 하나의 표시된 점이 있는 종수 1 곡선은 군의 원점으로 간주된다. 표시된 점이 없는 경우, 점

[C] \in \mathcal{M}_1

의 안정자 군은 타원 곡선이 아벨 군 구조를 가지므로 가설적인 모듈라이 공간

\mathcal{M}_1

의 안정자 군이 된다. 이는 이 가설적 모듈라이 공간에 불필요한 기술적 복잡성을 추가한다. 반면,

\mathcal{M}_{1,1}

는 매끄러운 들리뉴-멈퍼드 스택이다.

고전적인 결과에 따르면 모든 종수 2 곡선은 초타원형이다. 따라서 모듈라이 공간은 리만-후르비츠 공식을 사용하여 곡선의 분기 자취에서 완전히 결정될 수 있다. 임의의 종수 2 곡선은 다음 형식의 다항식으로 주어진다.

:

y^2 - x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)

여기서

a,b,c \in \mathbb{A}^1

는 유일하게 정의된다. 그러한 곡선에 대한 매개변수 공간은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathbb{A}^3 \setminus (\Delta_{a,b} \cup \Delta_{a,c} \cup \Delta_{b,c}),

여기서

\Delta_{i,j}

는

i \neq j

인 자취에 해당한다.

가중 사영 공간과 리만-후르비츠 공식을 사용하면 초타원 곡선은 다음 형식의 다항식으로 설명할 수 있다.

:

z^2 = ax^6 + bx^5y + cx^4y^2 + dx^3y^3 + ex^2y^4 + fxy^5 + gy^6 ,

여기서

a,\ldots,f

는

\Gamma(\mathbb{P}(3,1), \mathcal{O}(g))

의 단면에 대한 매개변수이다. 그러면 삼중근을 포함하지 않는 단면의 자취에는 점

[C]\in \mathcal{M}_2

으로 표현되는 모든 곡선

C

이 포함된다.

종수 3 곡선의 모듈라이 공간은 초타원 곡선과 비초타원 곡선으로 나뉜다. 비초타원 곡선은 모두 4차 평면 곡선(종수-차수 공식 사용)으로 나타낼 수 있으며, 이는 힐베르트 초곡면 스킴의 매끄러운 자취에 의해 매개변수화된다.

:

\operatorname{Hilb}_{\mathbb{P}^2}^{8t-4} \cong \mathbb{P}^{\binom{6}{4} - 1}

.

모듈라이 공간은 부분 스택에 의해 다음과 같이 계층화된다.

:

\mathcal{M}_3 = [H_2/\mathrm{PGL}(3))] \coprod \mathcal{M}_3^{\mathrm{hyp}}

3.1. 종수 0

변형 이론을 사용하여 종수 0인 곡선들의 모듈라이 공간의 기하학을 결정할 수 있다. 종수 0인 곡선의 모듈라이 공간의 수, 예를 들어 ℙ¹^라틴어는 코호몰로지 군에 의해 제공된다.

세르 쌍대성을 통해 이 코호몰로지 군은 쌍대화 층 ω_C^라틴어에 대해 다음과 동형이다.

> H¹(C,T_C)^라틴어 ≅ H⁰(C, ω_C⊗T_C^∨)^라틴어 ≅ H⁰(C, ω_C^⊗2)^라틴어

그러나 리만-로흐 정리를 사용하면 표준 다발의 차수가 -2이다. 그래서 ω_C^⊗2^라틴어의 차수는 -4이다. 따라서 대역 단면이 없다.

> H⁰(C,ω_C^⊗2)^라틴어 = 0

이는 종수 0인 곡선의 변형이 없음을 보여준다. 이것은 ℳ₀^라틴어이 단지 하나의 점일 뿐이고, 종수 0 곡선은 ℙ¹^라틴어임을 증명한다. 유일한 기술적인 어려움은 ℙ¹^라틴어의 자기동형 군이 대수 군 PGL(2,ℂ)^영어이라는 점이다. 이는 ℙ¹^라틴어 위의 3개의 점들이 한 번 정해지면 경직화한다. 그래서 대부분의 저자는 ℳ₀^라틴어를 ℳ_0,3^라틴어의 의미로 쓴다.

3.2. 종수 1

J-불변량으로 분류되는 타원 곡선의 동치류는 복소수에서 모듈라이 공간을 이해하는 초기 사례 중 하나이다. 종수 1의 경우, 타원 곡선의 모듈라이 공간 $\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}$ 는 j-불변량

$j: \mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}} \to \mathbb{A}^1_\mathbb{C}$

에 의해 분류된다. 여기서

\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}=\mathcal{M}_{1,1}\times_{\text{Spec}(\mathbb{Z})} \text{Spec}(\mathbb{C})

이다. 위상적으로

\mathcal{M}_{1,1}|_{\mathbb{C}}

는 아핀 직선이지만, 기저 위상 공간

\mathbb{P}^1_\mathbb{C}

을 갖는 스택으로 콤팩트화될 수 있다. 이는 하나의 첨점(cusp)을 갖는 타원 곡선을 추가함으로써 가능하다. 일반적인 경우의 구성은 들리뉴와 라포포트가 완성하였다.

대부분 하나의 표시된 점이 있는 종수 1 곡선은 군의 원점으로 간주된다. 표시된 점이 없는 경우, 점

[C] \in \mathcal{M}_1

의 안정자 군은 타원 곡선이 아벨 군 구조를 가지므로 가설적인 모듈라이 공간

\mathcal{M}_1

의 안정자 군이 된다. 이는 이 가설적 모듈라이 공간에 불필요한 기술적 복잡성을 추가한다. 반면,

\mathcal{M}_{1,1}

는 매끄러운 들리뉴-멈퍼드 스택이다.

3.3. 종수 2

모든 종수 2 곡선은 초타원형이라는 것이 고전적인 결과이다. 따라서 모듈라이 공간은 리만-후르비츠 공식을 사용하여 곡선의 분기 자취에서 완전히 결정될 수 있다. 임의의 종수 2 곡선은 다음 형식의 다항식으로 제공된다.

: $y^2 - x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)$

여기서 $a,b,c \in \mathbb{A}^1$ 는 유일하게 정의된다. 그러한 곡선에 대한 매개변수 공간은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathbb{A}^3 \setminus (\Delta_{a,b} \cup \Delta_{a,c} \cup \Delta_{b,c}),$

여기서 $\Delta_{i,j}$ 는 $i \neq j$ 인 자취에 해당한다.

가중 사영 공간과 리만-후르비츠 공식을 사용하여 초타원 곡선은 다음 형식의 다항식으로 설명할 수 있다.

: $z^2 = ax^6 + bx^5y + cx^4y^2 + dx^3y^3 + ex^2y^4 + fxy^5 + gy^6 ,$

여기서 $a,\ldots,f$ 는 $\Gamma(\mathbb{P}(3,1), \mathcal{O}(g))$ 의 단면에 대한 매개변수이다. 그러면 삼중근을 포함하지 않는 단면의 자취에는 점 $[C]\in \mathcal{M}_2$ 으로 표현되는 모든 곡선 $C$ 이 포함된다.

3.4. 종수 3

종수 3 곡선의 모듈라이 공간은 초타원 곡선과 비초타원 곡선으로 나뉜다. 비초타원 곡선은 모두 4차 평면 곡선(종수-차수 공식 사용)으로 나타낼 수 있으며, 이는 힐베르트 초곡면 스킴의 매끄러운 자취에 의해 매개변수화된다.

: $\operatorname{Hilb}_{\mathbb{P}^2}^{8t-4} \cong \mathbb{P}^{\binom{6}{4} - 1}$ .

모듈라이 공간은 부분 스택에 의해 다음과 같이 계층화된다.

: $\mathcal{M}_3 = [H_2/\mathrm{PGL}(3))] \coprod \mathcal{M}_3^{\mathrm{hyp}}$ .

4. 쌍유리 기하학 (Birational Geometry)

이전의 모든 경우에서, 모듈라이 공간은 단유리인 것으로 밝혀졌다. 이는 지배적인 유리 사상이 존재함을 의미한다. 세베리는 종수 10까지는 모듈라이 공간이 단유리임을 증명했지만, 종수 $g \geq 23$ 에 대해서는 이러한 모든 모듈라이 공간은 일반형이므로 단유리적이지 않다. 이는 거친 모듈라이 공간의 고다이라 차원을 연구하여 밝혀졌다.

4.1. 단유리성 (Unirationality)

이전의 모든 경우에서, 모듈라이 공간은 단유리인 것으로 발견될 수 있다. 이는 지배적인 유리 사상이 존재함을 의미한다. 그리고 이것이 모든 분야에서 사실일 것이라는 것은 오랫동안 기대되어 왔다. 실제로 세베리는 이것이 종수 10까지 사실임을 증명했다. 하지만 종수 $g \geq 23$ 에 대해서는 이러한 모든 모듈라이 공간은 일반적인 유형이므로 단유리적이지 않다. 그들은 거친 모듈라이 공간의 고다이라 차원을 연구하여 이를 달성했다. 그리고 $g \geq 23$ 일 때 $\kappa_g > 0$ 임도 보였다. 사실, $g > 23$ 에 대해,

: $\kappa_g = 3g - 3 = \dim(\mathcal{M}_g),$

따라서 $\mathcal{M}_g$ 는 일반형이다.

4.2. 일반형 (General Type)

이전의 모든 경우에서, 모듈라이 공간은 단유리인 것으로 밝혀졌다. 이는 지배적인 유리 사상이 존재함을 의미한다. 그러나 종수 $g \geq 23$ 에 대해서는 이러한 모든 모듈라이 공간은 일반형이므로 단유리적이지 않다.

이는 거친 모듈라이 공간의 고다이라 차원을 연구하여 밝혀졌다.

: $\kappa_g = \mathrm{Kod}(\overline{\mathcal{M}}_{g}),$

$g \geq 23$ 일 때 $\kappa_g > 0$ 임이 보여졌다. 사실, $g > 23$ 에 대해,

: $\kappa_g = 3g - 3 = \dim(\mathcal{M}_g),$

따라서 $\mathcal{M}_g$ 는 일반형이다.

이는 선직 버라이어티의 선형계가 보편 곡선 $\mathcal{C}_g$ 을 포함할 수 없음을 의미하기 때문에 기하학적으로 중요하다.

5. 경계의 층화 (Stratification of the Boundary)

모듈라이 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 의 경계는 낮은 종수의 곡선들로 이루어진 층(strata)으로 분해된다. 이 경계의 점들은 종수 $g$ 인 특이 곡선에 해당한다.

5.1. 층의 분해

모듈라이 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 는 경계 $\partial\overline{\mathcal{M}}_{g}$ 에 점들이 종수 $g$ 인 특이 곡선인 자연적인 층화가 있다. 이는 다음과 같은 층으로 분해된다.

: $\partial\overline{\mathcal{M}}_{g} = \coprod_{0 \leq h \leq (g/2)} \Delta_h^*$

여기서,

* $1 \leq h < g/2$ 인 경우, $\Delta_h^* \cong \overline{\mathcal{M}}_{h} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-h}$ 이다.
* $\Delta_0^* \cong \overline{\mathcal{M}}_{g-1,2} / (\Z/2)$ 이며, 여기서 작용은 두 개의 표시된 점을 치환한다.
* $g$ 가 짝수이면, $\Delta_{g/2} \cong (\overline{\mathcal{M}}_{g/2} \times \overline{\mathcal{M}}_{g/2}) / (\Z/2)$ 이다.

이 자취들 위에 있는 곡선은 다음에 해당한다.

* 이중점에서 연결된 한 쌍의 곡선 $C, C'$ .
* 단일 이중점 특이점에서 종수 $g$ 곡선의 정규화.
* 순환을 기준으로 이중점에서 연결된 동일한 종수의 곡선 쌍.

5.2. 종수 2의 경우

Genus^영어 2의 경우 다음과 같은 층화가 존재한다.

: $\begin{align}\partial \overline{\mathcal{M}}_2 &= \Delta_0^* \coprod \Delta_1^* \\&= \overline{\mathcal{M}}_{1,2}/(\Z/2)\coprod(\overline{\mathcal{M}}_1\times \overline{\mathcal{M}}_1)/(\Z/2)\end{align}$ .

이 층화의 더 깊은 분석은 저우 환 $A^*(\overline{\mathcal{M}}_2)$ 의 생성원들을 얻는 데 사용될 수 있다.

6. 표시된 곡선의 모듈라이 (Moduli of Marked Curves)

$n$ 개의 표시 점이 있는 종수 $g$ 마디 곡선의 모듈라이 스택을 고려할 수 있다. 표시된 점을 고정하는 곡선 자기동형사상의 부분 군이 유한한 경우 이러한 표시된 곡선은 안정적이라고 한다. $n$ 개의 표시된 점이 있는 매끄러운(또는 안정적인) 종수 $g$ 곡선의 결과 모듈라이 스택은 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 로 표시되고 $3g-3+n$ 차원을 갖는다.

6.1. 타원 곡선의 모듈라이 스택

하나의 표시된 점이 있는 종수 1 곡선들의 모듈라이 스택 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 은 타원 곡선의 스택이다. 레벨 1 모듈러 형식은 이 스택에 있는 선다발의 단면이고, 레벨 N 모듈러 형식은 레벨 N 구조 (대략 N 차 점의 표시)가 있는 타원 곡선 스택에 있는 선다발의 단면이다.

7. 경계 기하학 (Boundary Geometry)

콤팩트화된 모듈라이 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 의 중요한 특성은 그 경계가 종수 $g' < g$ 인 모듈라이 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g',n'}$ 으로 설명될 수 있다는 것이다. 표시된 안정 마디 곡선이 주어지면, 이중 그래프와 연관지을 수 있다. $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 에 주어진 이중 그래프를 가진 곡선의 자취의 폐포는 유한 군에 의한 콤팩트화된 곡선들의 모듈라이 공간들의 곱 $\prod_v \overline{\mathcal{M}}_{g_v,n_v}$ 의 스택 몫과 동형이다. 곱에서 꼭짓점 $v$ 에 해당하는 인자는 라벨링 및 표시 수 $n_v$ 에서 가져온 종수 $g_v$ 를 가지며, $v$ 에서 나가는 모서리와 반모서리의 수와 같다. 총 종수 $g$ 는 $g_v$ 에 그래프의 닫힌 주기 수를 더한 값이다.

7.1. 이중 그래프 (Dual Graph)

표시된 안정 마디 곡선에는 꼭짓점, 모서리, 반모서리 등으로 구성된 이중 그래프를 대응시킬 수 있다. 이중 그래프의 각 요소는 다음과 같은 의미를 갖는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

그래프 요소	의미
꼭짓점	마디 곡선의 기약 성분
꼭짓점 라벨	해당 성분의 산술 종수
모서리	곡선의 마디
반모서리	표시

이중 그래프를 통해

\overline{\mathcal{M}}_{g,n}

경계의 구조를 분석할 수 있다. 주어진 이중 그래프를 갖는 곡선들의 자취의 폐포는 유한군에 의한 콤팩트화된 곡선들의 모듈라이 공간들의 곱의 스택 몫과 동형이다. 이 곱에서 꼭짓점 $v$ 에 해당하는 인자는 라벨 및 표시 수

n_v

에서 가져온 종수

g_v

를 가지며, $v$ 에서 나가는 모서리와 반모서리의 수와 같다. 총 종수 $g$ 는

g_v

에 그래프의 닫힌 주기 수를 더한 값이다.

이중 그래프에

g_v=g

로 이름 붙은 꼭짓점이 포함된 안정 곡선(다른 모든 꼭짓점은

g_v=0

이고 그래프는 나무)을 "유리수 꼬리"라 하며, 해당 모듈라이 공간은

\mathcal{M}^{r.t.}_{g,n}

과 같이 표시된다. 이중 그래프가 나무인 안정 곡선을 "콤팩트 유형"(야코비 행렬이 콤팩트하기 때문)이라 하며, 해당 모듈라이 공간은

\mathcal{M}^{c.}_{g,n}

로 표시한다.

7.2. 유리수 꼬리와 콤팩트 유형

표시된 안정 마디 곡선은 음이 아닌 정수로 이름표가 지정되고 고리, 다중 모서리, 번호가 매겨진 반모서리를 가질 수 있는 꼭지점이 있는 그래프인 이중 그래프와 연관지을 수 있다. 여기서 그래프의 꼭지점은 마디 곡선의 기약 성분에 해당하고, 꼭지점의 라벨링은 해당 성분의 산술 종수이며, 모서리는 곡선의 마디에 해당하고, 반모서리는 표시에 해당한다.

이중 그래프에 $g_v=g$ 으로 이름 붙은 꼭지점이 포함된 안정 곡선들(따라서 다른 모든 꼭지점은 $g_v=0$ 이고 그 그래프는 나무이다)을 "유리수 꼬리"라고 하며 모듈라이 공간은 $\mathcal{M}^{\mathrm{r.t.}}_{g,n}$ 과 같이 표시한다. 이중 그래프가 나무인 안정적인 곡선을 "콤팩트 유형"(야코비 행렬이 콤팩트하기 때문에)이라고 하며 모듈라이 공간 $\mathcal{M}^{\mathrm{c.}}_{g,n}$ 로 표시한다.