초공간

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 평탄한 초공간
3. 손지기 초공간
4. 초대칭 양자역학에서의 초공간
5. 민코프스키 공간의 초대칭 확장
6. 일반 상대성 이론에서의 초공간
참조

1. 개요

초공간은 수학적으로 초다양체로 표현되며, 비가환 공간의 특수한 경우로 정의된다. 평탄한 초공간은 곡률이 없지만 꼬임을 가지며, 손지기 초공간은 좌표 변환을 통해 스피너 좌표의 일부를 제거한 초공간이다. 초대칭 양자역학에서는 N개의 초전하를 가지며, 초장을 통해 초대칭을 나타낸다. 초 민코프스키 공간은 민코프스키 공간에 페르미온 자유도를 추가하여 확장한 공간이며, 일반 상대성 이론에서는 중력의 위상 공간을 지칭하는 용어로 사용되기도 한다.

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초공간
개요
유형	기하학적 구조
분야	물리학, 수학
관련 개념	초대칭, 초다양체, 초장
상세 정보
설명	초대칭 이론의 기본 공간

2. 수학적 정의

초공간은 수학적으로 초다양체(Supermanifold)로 나타낸다. 초다양체는 비가환 공간(Noncommutative space)의 특별한 경우로 볼 수 있는데, 일반적인 비가환 공간보다는 비가환성이 훨씬 적다. 비가환 공간은 일반적인 공간이 가진 가환적(순서를 바꿔도 결과가 같은) 성질을 대수학적으로 뽑아내 일반화한 개념으로, 우리가 흔히 아는 위상 공간이나 거리 공간과는 다른 구조를 가진다. 이 때문에 초공간을 단순히 기하학적 도형처럼 이해하기는 어렵고, 주로 형식적인 수학 구조로 다루게 된다.

수학이나 물리학 문헌에서는 '초공간'이라는 용어가 조금씩 다른, 서로 연관은 있지만 동일하지는 않은 의미로 사용되어 왔다.

하나는 슈퍼 민코프스키 공간과 같은 의미로 쓰이는 경우이다.^[1] 이는 아래 섹션에서 더 자세히 다룬다.
다른 하나는 슈퍼 벡터 공간과 같은 의미로 사용되는 경우이다. 이는 일반적인 벡터 공간에 그래스만 대수에서 가져온 추가적인 좌표, 즉 그래스만 수 방향을 더한 것으로 생각할 수 있다. 슈퍼 벡터 공간을 만드는 방법에는 여러 가지가 있으며, 로저스(Rogers)^[2]나 드윗(DeWitt)^[3] 등이 제시한 규칙들이 알려져 있다.
세 번째는 슈퍼 다양체와 같은 의미로 사용되는 경우이다. 슈퍼 다양체는 일반적인 다양체를 초대칭 이론에 맞게 일반화한 개념이다. 참고로, 앞에서 언급한 슈퍼 민코프스키 공간과 슈퍼 벡터 공간 모두 슈퍼 다양체의 특별한 예시로 볼 수 있다.
마지막으로, 이들과는 전혀 다른 의미로 일반 상대성 이론 분야에서 잠시 사용된 적이 있다. 이에 대해서는 다른 곳에서 자세히 논의한다.

2. 1. 평탄한 초공간

평탄한 초공간은 곡률이 없어 상대적으로 다루기 쉬운 초공간의 한 종류이다. 이는 일반적인 민코프스키 공간

\mathbb R^{p,q}

이 푸앵카레 군 ISO(p,q)을 로렌츠 군 SO(p,q)에 대한 잉여류 공간으로 표현되는 것과 유사하게 정의된다.

구체적으로, 평탄한 초공간은 초푸앵카레 군을 로렌츠 군에 대한 잉여류로 정의된다. 이 과정에서 초푸앵카레 군의 페르미온적 생성자는 반가환 스피너로 간주되며, 형식적으로 모든 괄호는 교환자로 취급된다. 이에 따라 평탄한 초공간의 좌표는 일반적인 4차원 벡터와 함께 일련의 그라스만 스피너로 구성된다.

평탄한 초공간은 정의상 곡률은 없지만, 꼬임(Torsion)을 가지는 특징이 있다. 이러한 꼬임 때문에 공변 미분을 정의해야 한다.

"초공간"이라는 용어는 여러 의미로 사용되는데, 그중 하나는 평탄한 초공간과 동의어로 사용되는 슈퍼 민코프스키 공간이다.^[1] 슈퍼 민코프스키 공간은 일반적인 민코프스키 공간에 반가환 페르미온 자유도를 추가하여 확장한 공간으로, 이 페르미온 자유도는 로렌츠 군과 관련된 클리포드 대수의 반가환 바일 스피너로 취급된다. 또는, 슈퍼 푸앵카레 대수를 로렌츠 군의 대수로 나눈 몫 공간으로 이해할 수도 있다. 슈퍼 민코프스키 공간의 좌표는 보통

(x,\theta,\bar{\theta})

로 표기한다.

3. 손지기 초공간

좌표 변환을 통하여 일반적인 초공간 대신 스피너 좌표의 일부를 없앤 '''손지기 초공간'''(chiral superspace^영어)을 정의할 수 있다. 예를 들어, 비확장 초대칭의 경우 왼손지기 초공간은 좌표 $x^\mu$ 와 $\theta^\alpha$ 만을 가지고, $\bar\theta^{\dot\alpha}$ 를 포함하지 않는다.

4. 초대칭 양자역학에서의 초공간

초대칭 양자역학은 ''N''개의 초전하를 가지며, 종종 초공간 '''R'''^1|2''N''에서 공식화된다. 이 공간은 시간으로 식별되는 하나의 실수 방향 ''t''와, Θ_''i'' 및 Θ^*_''i'' (여기서 ''i''는 1부터 ''N''까지)로 생성되는 ''N''개의 복소수 그라스만 방향을 포함한다.

''N'' = 1인 특수한 경우를 살펴보자. 이때 초공간 '''R'''^1|2는 3차원 벡터 공간이며, 좌표는 (''t'', Θ, Θ^*)의 삼중항으로 나타낼 수 있다. 이 좌표들은 리 초대수를 형성하는데, 여기서 ''t''는 짝수 등급, Θ와 Θ^*는 홀수 등급을 가진다. 이는 벡터 공간의 두 요소 사이에 괄호를 정의할 수 있음을 의미한다. 이 괄호는 두 짝수 좌표 또는 짝수-홀수 좌표 사이에서는 교환자가 되고, 두 홀수 좌표 사이에서는 반교환자가 된다. '''R'''^1|2 초공간은 아벨 리 초대수이므로, 모든 괄호(교환자 및 반교환자)는 0이 된다.

: $\left[ t,t\right]=\left[ t, \theta\right]=\left[ t, \theta^*\right]=\left\{\theta, \theta\right\}=\left\{ \theta, \theta^*\right\} =\left\{ \theta^*, \theta^*\right\}=0$

여기서 $[a,b]$ 는 ''a''와 ''b''의 교환자이고, $\{a,b\}$ 는 ''a''와 ''b''의 반교환자이다.

이 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 함수를 정의할 수 있는데, 이를 '''초장'''이라고 한다. 초장은 Θ와 Θ^*에 대한 멱급수로 확장할 수 있다. 위에서 정의된 대수적 관계(특히 Θ² = Θ^*2 = 0) 때문에, 이 멱급수 확장은 0차 항과 1차 항만 가진다. 따라서 초장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\Phi \left(t,\Theta,\Theta^* \right)=\phi(t)+\Theta\Psi(t)-\Theta^*\Phi^*(t)+\Theta\Theta^* F(t)$

여기서 $\phi(t)$ , $\Psi(t)$ , $\Phi^*(t)$ , $F(t)$ 는 시간 ''t''에 대한 일반 함수이다. 초장은 초공간의 초대칭을 나타내며, 이는 일반 공간에서 회전군을 나타내는 텐서 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

다음으로, 그래스만 방향에 대한 미분을 정의할 수 있다. 이 미분 연산은 초장 확장에서 1차 항을 0차 항으로 만들고, 0차 항은 소멸시킨다. 부호 규칙을 적절히 선택하면 다음과 같은 반교환 관계를 만족하게 할 수 있다.

: $\left\{\frac{\partial}{\partial \theta}\,,\Theta\right\}=\left\{\frac{\partial}{\partial \theta^*}\,,\Theta^*\right\}=1$

이 미분들을 이용하여 '''초전하''' 연산자 Q와 그 에르미트 켤레(Hermitian conjugate) Q^†를 다음과 같이 구성할 수 있다.

: $Q=\frac{\partial}{\partial \theta}-i\Theta^*\frac{\partial}{\partial t}\quad \text{and} \quad Q^\dagger=\frac{\partial}{\partial \theta^*}+i\Theta\frac{\partial}{\partial t}$

이 초전하 연산자들은 초대칭 대수의 페르미온 생성자 역할을 하며, 다음의 반교환 관계를 만족시킨다.

: $\left\{ Q,Q^\dagger\,\right\}=2i\frac{\partial}{\partial t}$

여기서 $i\frac{\partial}{\partial t}$ 는 양자역학에서의 해밀토니안 연산자에 해당한다. 또한, ''Q''와 그 켤레는 각각 자기 자신과 반교환한다 ( $\{Q,Q\} = \{Q^\dagger, Q^\dagger\} = 0$ ).

초대칭 매개변수 ε를 사용하여 초장 Φ의 초대칭 변환 $\delta_\epsilon\Phi$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\delta_\epsilon\Phi=(\epsilon^* Q+\epsilon Q^\dagger)\Phi.$

초장에 대한 ''Q''의 작용을 계산하면 다음과 같다.

: $\left[Q,\Phi \right]=\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\,-i\theta^*\frac{\partial}{\partial t}\right)\Phi=\psi+\theta^*\left(F-i\dot{\phi}\right)+i\theta\theta^*\dot{\psi}.$

여기서 $\dot{\phi}$ 와 $\dot{\psi}$ 는 각각 $\phi$ 와 $\psi$ 의 시간에 대한 미분을 나타낸다.

마지막으로, 초공간에서 '''공변 미분''' D와 D^†를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $D=\frac{\partial}{\partial \theta}-i\theta^*\frac{\partial}{\partial t}\quad \text{and} \quad D^\dagger=\frac{\partial}{\partial \theta^*}-i\theta\frac{\partial}{\partial t}$

이 공변 미분들은 초전하 Q, Q^†와 반교환하며, 다음과 같은 (부호가 반대인) 초대칭 대수 관계를 만족한다.

: $\left\{D,D^\dagger\right\}=-2i\frac{\partial}{\partial t}$ .

공변 미분이 초전하와 반교환한다는 사실은 중요한 의미를 가진다. 이는 어떤 초장의 공변 미분에 대한 초대칭 변환이, 그 초장의 초대칭 변환에 공변 미분을 적용한 것과 같다는 것을 의미한다. 따라서 일반적인 미분기하학에서 공변 미분이 텐서로부터 새로운 텐서를 구성하는 것처럼, 초공간의 공변 미분은 초장으로부터 새로운 초장을 구성하는 역할을 한다.

5. 민코프스키 공간의 초대칭 확장

평탄한 초공간은 곡률이 없어 상대적으로 다루기 쉬운 공간이다. 민코프스키 공간 $\mathbb R^{p,q}$ 이 푸앵카레 군 ISO(p,q)에서 로렌츠 군 SO(p,q)에 대한 잉여류 공간으로 표현될 수 있듯이, 평탄한 초공간 역시 초푸앵카레 군을 로렌츠 군에 대한 잉여류 공간으로 정의할 수 있다. 이 과정에서 초푸앵카레 군의 페르미온적 생성자는 반가환 스피너로 다루어진다.

초공간이라는 용어는 다양한 의미로 사용되지만, 그중 하나는 슈퍼 민코프스키 공간과 같은 의미로 쓰이는 경우이다.^[1] 이 정의에 따르면, 초 민코프스키 공간은 기존의 민코프스키 공간에 반가환 페르미온 자유도를 추가하여 확장한 공간이다. 여기서 추가된 페르미온 자유도는 로렌츠 군과 관련된 클리포드 대수의 반가환 바일 스피너로 간주된다.

대수적인 관점에서 초 민코프스키 공간은 슈퍼 푸앵카레 대수를 로렌츠 군의 대수로 나눈 몫 공간으로 이해할 수도 있다. 이러한 초 민코프스키 공간의 좌표는 일반적으로 $(x,\theta,\bar{\theta})$ 와 같이 표기된다. 여기서 $x$ 는 일반적인 민코프스키 공간의 좌표를 나타내고, $\theta$ 와 $\bar{\theta}$ 는 페르미온적인 스피너 좌표를 의미한다. $\bar{\theta}$ 위의 가로선은 해당 공간이 초 민코프스키 공간임을 나타내는 관례적인 표기법이다.

초 민코프스키 공간에서 페르미온 좌표는 단순한 그라스만 수가 아니라 클리포드 대수에서 유도된 반가환 바일 스피너라는 점에서, 초벡터 공간과 같은 다른 초공간 개념과는 중요한 차이가 있다. 클리포드 대수는 그라스만 수보다 훨씬 풍부하고 미묘한 구조를 가지며, 특히 직교군 및 스핀 군과의 관계를 통해 스핀 표현을 구성하고 깊은 기하학적 의미를 부여한다.^[4]

평탄한 초공간은 비록 곡률은 없지만 꼬임(torsion)을 가지고 있으며, 따라서 공변 미분을 정의하여 그 구조를 다루어야 한다.

6. 일반 상대성 이론에서의 초공간

"초공간"이라는 용어는 여러 다른 의미로 사용되기도 하지만, 일반 상대성 이론 분야에서는 특별한 의미를 가진다. 이 의미는 미스너, 손, 휠러가 저술한 책 중력에서 사용된 것으로, 일반 상대성 이론의 위상 공간을 가리킨다.

특히 이 개념은 중력을 기하역학적 관점에서 바라보는 것과 관련이 깊다. 즉, 일반 상대성 이론을 시공간 기하학 자체가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 다루는 역학 이론으로 해석하는 방식이다.

현대에 와서 이러한 "초공간"의 개념은 아인슈타인 방정식을 다양한 이론적, 실제적 상황에서 풀기 위해 사용되는 여러 형식론 중 하나로 구체화되었다. 대표적인 예로는 ADM 형식론이 있으며, 해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식이나 휠러-드윗 방정식과 관련된 아이디어들도 이 초공간 개념과 연결된다.

참조

_[1] 서적 Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry Benjamins Cumming Publishing
_[2] 서적 Supermanifolds: Theory and Applications World Scientific
_[3] 서적 Supermanifolds Cambridge University Press
_[4] 서적 Riemannian Geometry and Geometric Analysis Springer-Verlag
_[5] 서적 Membranes and Other Extendons (p-branes) World Scientific
_[6] 서적 Superspace, or One thousand and one lessons in supersymmetry Benjamin-Cummings
_[7] 서적 Perspectives on Supersymmetry II https://archive.org/[...] World Scientific 2010-04
_[8] 저널 Super-gauge transformations 1974-07-18

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