단순 리 초대수

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1. 개요

단순 리 초대수는 리 대수의 개념을 확장한 것으로, 짝수 부분과 홀수 부분으로 구성된 Z/2 등급 벡터 공간이다. 표수 0의 체 위의 단순 리 초대수는 고전 리 초대수와 카르탕형 대수로 분류되며, 복소수 단순 리 초대수는 빅토르 카츠에 의해 분류되었다. 단순 리 초대수의 예시로는 일반·특수 선형 초대수, 직교-심플렉틱 초대수, 페리플렉틱 초대수, 이상한 초대수, 𝔬𝔰𝔭(4|2;α) 등이 있다.

단순 리 초대수

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 복소수 단순 리 초대수
- 3.2. 실수체 위의 고전 단순 리 초대수
4. 예
5. 역사

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$ 내에서 특별한 부분 대수인 아이디얼 $\mathfrak i$ 는 $[\mathfrak g,\mathfrak i\} \subseteq\mathfrak i$ 조건을 만족하는 부분 리 초대수를 말한다.

표수 0인 체 위에서, 리 초대수가 $\{0\}$ 과 자기 자신 외에는 아이디얼을 갖지 않을 때, 즉 정확히 두 개의 아이디얼만 가질 때 이를 단순 리 초대수라고 한다. ( $\mathfrak g=\{0\}$ 인 경우는 아이디얼이 하나뿐이므로 단순 리 초대수로 보지 않는다.)

단순 리 초대수는 추가적인 조건, 즉 $\mathfrak g_0$ 의 $\mathfrak g_1$ 위 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현인지 여부에 따라 두 종류로 분류된다. 이 조건을 만족하면 고전 리 초대수(classical Lie superalgebra^영어)라고 부른다.

만족하지 않는 단순 리 초대수는 카르탕형 대수(Cartan-type algebra^영어) 또는 초고전적 대수(hyperclassical algebra^영어)라고 하며, $\mathfrak w(n)$ , $\mathfrak s(n)$ , $\tilde{\mathfrak s}(n)$ , $\mathfrak h(n)$ 등이 대표적인 예이다.

2.1. 리 초대수 아이디얼

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$ 의 아이디얼은 $\mathfrak g$ 의 부분 리 초대수 $\mathfrak i\subseteq\mathfrak g$ 가운데 다음 조건을 만족하는 것을 말한다.
: $[\mathfrak g,\mathfrak i\} \subseteq\mathfrak i$

표수 0의 체 위의 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 정확히 두 개의 아이디얼, 즉 $\{0\}$ 과 $\mathfrak g$ 전체만을 가질 때, 이를 단순 리 초대수라고 부른다. 이때 $\mathfrak g=\{0\}$ 인 경우는 아이디얼이 하나뿐이므로 단순 리 초대수에 해당하지 않는다. 이는 마치 숫자 1을 소수로 간주하지 않는 것과 유사하다.

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 다음 조건을 만족시키면 고전 리 초대수(classical Lie superalgebra^영어)라고 한다.
* $\mathfrak g_0$ 의, $\mathfrak g_1$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수는 카르탕형 대수(Cartan-type algebra^영어) 또는 초고전적 대수(hyperclassical algebra^영어)라고 부르며, 대표적인 예로 $\mathfrak w(n)$ , $\mathfrak s(n)$ , $\tilde{\mathfrak s}(n)$ , $\mathfrak h(n)$ 등이 있다.

2.2. 단순 리 초대수

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$ 의 아이디얼은 $\mathfrak g$ 의 부분 리 초대수 $\mathfrak i\subseteq\mathfrak g$ 가운데 아래 조건을 만족하는 것을 말한다.
: $[\mathfrak g,\mathfrak i\} \subseteq\mathfrak i$

표수 0인 체 위의 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼만을 가질 때, 이를 단순 리 초대수라고 한다. 이 두 아이디얼은 $\{0\}$ (영 아이디얼)과 $\mathfrak g$ 자신이다. 즉, 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다. $\mathfrak g=\{0\}$ 인 경우는 아이디얼이 하나뿐이므로 단순 리 초대수로 보지 않는다. 이는 마치 숫자 1을 소수로 간주하지 않는 것과 유사하다.

표수 0인 체 위의 단순 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 추가적으로 다음 조건을 만족하면 고전 리 초대수(classical Lie superalgebra^영어)라고 부른다.
* $\mathfrak g_0$ 의, $\mathfrak g_1$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수는 카르탕형 대수(Cartan-type algebra^영어) 또는 초고전적 대수(hyperclassical algebra^영어)라고 하며, $\mathfrak w(n)$ , $\mathfrak s(n)$ , $\tilde{\mathfrak s}(n)$ , $\mathfrak h(n)$ 등이 있다.

2.3. 고전 리 초대수

표수 0의 체 위의 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼 ( $\{0\}$ 과 $\mathfrak g$ 전체)만을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (만약 $\mathfrak g=\{0\}$ 이라면 아이디얼이 하나뿐이므로 단순 리 초대수에 해당하지 않는다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(classical Lie superalgebra^영어)라고 한다.
* $\mathfrak g_0$ 의, $\mathfrak g_1$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수는 카르탕형 대수(Cartan-type algebra^영어) 또는 초고전적 대수(hyperclassical algebra^영어)라고 부르며, 여기에는 $\mathfrak w(n)$ , $\mathfrak s(n)$ , $\tilde{\mathfrak s}(n)$ , $\mathfrak h(n)$ 등이 있다.

2.4. 카르탕형 대수 (초고전적 대수)

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan-type algebra^영어) 또는 초고전적 대수(hyperclassical algebra^영어)라고 하며, $\mathfrak w(n)$ , $\mathfrak s(n)$ , $\tilde{\mathfrak s}(n)$ , $\mathfrak h(n)$ 등이 있다.

3. 분류

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위에서의 단순 리 초대수와 실수체 위의 고전 단순 리 초대수는 모두 분류되었다. 자세한 분류 내용은 아래 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3.1. 복소수 단순 리 초대수

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.

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이름	기호	조건	보손 부분 대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수 선형	\mathfrak{sl}(m>n)	$1\le m$	$\mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak{u}(1)$	$m^2+n^2-1$	$(\mathbf n,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf n},\mathbf m)$
사영 특수 선형	\mathfrak{psl}(m>m)	$m\ge2$	$\mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(m)$	$2n^2-2$	$(\mathbf m,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf m},\mathbf m)$	$2m^2$
직교-심플렉틱	\mathfrak{osp}(m>2n)	$m\ge1$ , $n\ge1$	$\mathfrak o(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n)$	$m(m-1)/2+n(2n+1)$	$(\mathbf m,\mathbf{2n})$	$2mn$
이상한	$\mathfrak{q}(n)$	$n\ge3$	$\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1)$	$n^2$	$\mathbf{(n^2-1)}$	$n^2-1$
페리플렉틱	$\mathfrak p(n)$	$n\ge3$	$\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1)$	$n^2$	$\mathbf n^{\text{sym}\otimes2}\oplus\bar{\mathbf n}^{\wedge2}$	$n^2$
예외	\mathfrak{osp}(4>2;\alpha)	$\alpha\ne0,-1,+1$	$\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)$	9	$(\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)$	8
예외	\mathfrak f(3>1)		$\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak o(7)$	24	$(\mathbf2,\mathbf8)$	16
예외	$\mathfrak g(3)$		$\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{g}_2$	17	$(\mathbf 2,\mathbf 7)$	14
카르탕형	$\mathfrak w(n)$	$n\ge2$	(복잡함)	$n2^{n-1}$	(복잡함)	$n2^{n-1}$
카르탕형 특수	$\mathfrak s(n)$	$n\ge3$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1} + (n-2\lfloor n/2\rfloor)$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor)$
카르탕형 특수	$\tilde{\mathfrak s}(n)$	$2\mid n\ge4$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1$
해밀턴형	$\mathfrak h(n)$	$n\ge4$	(복잡함)	$2^{n-1} -2 + (n-2\lfloor n/2\rfloor)$	(복잡함)	$2^{n-1} - (n-2\lfloor n/2\rfloor)$

위 표에서

\mathbf r^{\text{sym}\otimes2}

는

\mathbf r\otimes\mathbf r

의 대칭 성분이고,

\mathbf r^{\wedge2}

는

\mathbf r\otimes\mathbf r

의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.
:

\mathfrak{sl}(2|1)=\mathfrak{osp}(2|2)

\mathfrak{osp}(4|2;1)=\mathfrak{osp}(4|2;-2)=\mathfrak{osp}(4|2;-1/2)=\mathfrak{osp}(4|2)

\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)=\mathfrak{osp}(4|2;\alpha^{-1})=\mathfrak{osp}(4|2;-\alpha-1)

\mathfrak w(2) = \mathfrak{sl}(2|1)

\mathfrak s(3) = \mathfrak p(3)

\mathfrak h(4) = \mathfrak{sl}(2|2)

이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

3.2. 실수체 위의 고전 단순 리 초대수

실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.

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복소화	실수 형태	조건	보손 부분 대수
$\mathfrak{sl}(m\|n)$	\mathfrak{sl}(m>n;\mathbb R)	$m \ne n$	$\mathfrak{sl}(m;\mathbb R) \oplus \mathfrak{sl}(n;\mathbb R)\oplus\mathbb R$
	\mathfrak{su}^*(m>n)	$m \ne n$ , $2\mid m,n$	$\mathfrak{su}^(m) \oplus \mathfrak{su}^(n)\oplus\mathbb R$
	\mathfrak{su}(m-p,p>n-q,q)	$m \ne n$ , $0, 0$	$\mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(n-q,q)\oplus\mathfrak u(1)$
$\mathfrak{psl}(m\|m)$	\mathfrak{psl}(m>m;\mathbb R)		$\mathfrak{sl}(m;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(m;\mathbb R)$
	\mathfrak{psu}^*(m>m)	$2\mid m$	$\mathfrak{su}^(m)\oplus\mathfrak{su}^(m)$
	\mathfrak{psu}(m-p,p>m-q,q)	$0$	$\mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(m-q,q)$
	(이름 없음)		$\mathfrak{sl}(m;\mathbb C)$
$\mathfrak{osp}(m\|2n)$	\mathfrak{osp}(m-p,p>2n;\mathbb R)	$0\le p\le m$	$\mathfrak o(m-p,p;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)$
$\mathfrak{osp}(m\|2n)$	\mathfrak{osp}^*(m>2n-2q,2q)	$2\mid m$	$\mathfrak o^*(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n-2q,2q;\mathbb R)$
\mathfrak{osp}(4>2;\alpha)	\mathfrak{osp}(4-p,p>2;\alpha)	$p\in\{0,1,2\}$	$\mathfrak o(4-p,p)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$
$\mathfrak f(4)$	$\mathfrak f(7-p,p)$	$p\in\{0,3\}$	$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R)$
$\mathfrak f(4)$	$\mathfrak f(7-p,p)$	$p\in\{1,2\}$	$\mathfrak{su}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R)$
$\mathfrak g(3)$	(이름 없음)		$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(-14)}$
$\mathfrak g(3)$	(이름 없음)		$\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(2)}$
$\mathfrak p(n)$	$\mathfrak p^*(n)$	$2\mid n$	$\mathfrak{su}^*(n)$
$\mathfrak p(n)$	$\mathfrak p(n;\mathbb R)$		$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$
$\mathfrak q(n)$	$\mathfrak{uq}(n-p,p;\mathbb R)$	$0\le p\le n$	$\mathfrak{su}(n-p,p)$
	$\mathfrak q^*(n)$	$2\mid n$	$\mathfrak{su}^*(n)$
	$\mathfrak q(n;\mathbb R)$		$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$

4. 예

리 초대수에는 다양한 종류가 있으며, 주요 예시는 다음과 같다.

* [[#일반·특수 선형 초대수|일반 선형 리 초대수]] general linear Lie superalgebra^영어 $\mathfrak{gl}(m|n)$ : 특정 크기의 초행렬 전체로 구성된 리 초대수이다.
* [[#일반·특수 선형 초대수|특수 선형 리 초대수]] special linear Lie superalgebra^영어 $\mathfrak{sl}(m|n)$ : 일반 선형 리 초대수 중에서 초대각합이 0인 원소들로 이루어진 부분 리 초대수이다. $m=n$ 인 경우, 중심에 대한 몫으로 [[#일반·특수 선형 초대수|사영 특수 선형 리 초대수]] projective special linear Lie superalgebra^영어 $\mathfrak{psl}(m|m)$ 를 정의할 수 있다.
* [[#직교-심플렉틱 초대수|직교-심플렉틱 리 초대수]] orthosymplectic Lie superalgebra^영어 $\mathfrak{osp}(m|2n)$ : 특정 조건을 만족하는 초행렬들로 구성되며, 직교군과 심플렉틱 군의 개념을 리 초대수로 확장한 것이다.
* [[#페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수|페리플렉틱 리 초대수]] periplectic Lie superalgebra^영어 $\mathfrak p(n)$ : 특정 대칭 조건을 만족하는 초행렬로 정의되는 리 초대수이다.
* [[#페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수|이상한 리 초대수]] queer Lie superalgebra^영어 $\mathfrak q(n)$ : 특정 조건을 만족하는 초행렬들의 리 초대수 $\tilde{\mathfrak q}(n)$ 의 중심에 대한 몫으로 정의된다.
* [[#𝔬𝔰𝔭(4|2;α)| $\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)$ 계열]]: 복소수 파라미터 $\alpha$ 에 의존하는 1차원 리 초대수 계열이다. 이 계열은 $\mathfrak{d}(2,1;\alpha)$ 로 표기하기도 한다. 실수 계수를 고려할 경우, 파라미터 $\alpha$ 의 값에 따라 서로 다른 실수 형태를 가진다.
* [[#카르탕형 리 초대수|카르탕형 리 초대수]]: 벡터 공간 위의 외대수와 그 위의 미분 연산자를 이용하여 정의되는 리 초대수들이다. 대표적으로 $\mathfrak w(n)$ 이 있으며, 이의 부분 리 초대수로 [[#카르탕형 리 초대수|특수 카르탕형 리 초대수]] special Cartan-type Lie superalgebra^영어 $\mathfrak s(n)$ 과 [[#카르탕형 리 초대수|해밀턴형 리 초대수]] Hamilton-type Lie superalgebra^영어 $\mathfrak h(n)$ 등이 있다.

4.1. 일반·특수 선형 초대수

$(m|n)\times(m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
: $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$
여기서 $A$ 는 $m\times m$ 행렬이고, $D$ 는 $n\times n$ 행렬이다. $(m|n)\times(m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(general linear Lie superalgebra^영어) $\mathfrak{gl}(m|n)$ 이라고 한다. 초행렬의 초대각합(supertrace^영어)은 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname{str}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D$

특수 선형 리 초대수(special linear Lie superalgebra^영어) $\mathfrak{sl}(m|n)$ 는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.
: $\mathfrak{sl}(m|n)=\{M\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon\operatorname{str}(M)=0\}$
단위 행렬 $1_{m|n}$ 의 경우, 초대각합은 $\operatorname{str}1_{m|n}=m-n$ 이다. 따라서, $1_{m|n}\in\mathfrak{sl}(m|n)$ 일 필요 충분 조건은 $m=n$ 이다. 이 경우 ( $m=n$ ), 사영 특수 선형 리 초대수(projective special linear Lie superalgebra^영어) $\mathfrak{psl}(m|m)$ 는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.
: $\mathfrak{psl}(m|m)=\left\{[M]_\sim\colon M\in\mathfrak{sl}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}$

4.2. 직교-심플렉틱 초대수

직교-심플렉틱 리 초대수(orthosymplectic Lie superalgebra^영어) $\mathfrak{osp}(m|2n)$ 는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.
: $\mathfrak{osp}(m|2n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(m|n)\colonA^\top=-A,\;D^\top\Omega=-\Omega D,\;B=C^\top\Omega\right\}$
여기서
: $\Omega=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}$
이다.

4.3. 페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수

페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie superalgebra^영어) $\mathfrak p(n)$ 는 다음과 같다.
: $\mathfrak p(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A^\top=-D,\;B^\top=B,\;C^\top=-C,\;\operatorname{tr}A=0\right\}$

$\tilde{\mathfrak q}(n)$ 를 다음과 같이 정의하자.
: $\tilde{\mathfrak q}(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname{tr}B=0\right\}$
이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(queer Lie superalgebra^영어) $\mathfrak q(n)$ 이라고 한다.
: $\mathfrak q(n)=\{[M]_\sim\colon M\in\tilde{\mathfrak q}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}$

4.4. 𝔬𝔰𝔭(4|2;''α'')

$\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)$ 또는 $\mathfrak{d}(2,1;\alpha)$ 는 다음과 같이 구체적으로 정의된다. 이 리 초대수의 보손 부분인 리 대수는 $\mathfrak{sl}(2)^{\oplus3}$ 이며, 이에 대한 페르미온 표현은 $(\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)$ 이다. 지표를 다음과 같이 설정하자.

* $a,b\in\{1,2,3\}\in\mathbb Z/(3)$ ( $\operatorname{Sym}(3)$ 의 정의 표현 지표)
* $i\in\{1,2,3\}$ ( $\mathfrak{sl}(2)$ 지표)
* $\alpha,\beta\in\{1,2\}$ ( $\mathfrak{sl}(2)$ 의 정의 표현 지표)

이를 사용하여 보손 생성원 $t^a$ 와 페르미온 생성원 $F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}$ 에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.
: $[t_i^a,t_j^b] = \mathrm i\delta^{ab}\epsilon_{ijk}t^a_k$
: $[t^a_i,F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}] = \frac12\sigma^i_{\alpha_a'\alpha_a}F_{\alpha_1\dotso\alpha_a'\dotso\alpha_3}$
: $\{F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3},F_{\beta_1\beta_2\beta_3}\} = \sum_{a=1}^3 s_a (C\sigma^i)_{\alpha_a\beta_a} C_{\alpha_{a+1}\beta_{a+1}} C_{\alpha_{a+2}\beta_{a+2}} t_i^a\qquad(s_1,s_2,s_3\in\mathbb C)$
여기서 $\sigma^i$ 는 파울리 행렬이며, $C = \mathrm i\sigma^2$ 는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 나타나는 세 개의 복소수 계수 $(s_1,s_2,s_3)$ 는 야코비 항등식에 의해 다음 조건을 만족해야 한다.
: $s_1+s_2+s_3=0$
또한, 이 계수들은 다음과 같은 동치 관계를 가진다.
: $(s_1,s_2,s_3) \sim (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)},s_{\sigma(3)}) \sim (\lambda s_1,\lambda s_2,\lambda s_3)\qquad(\lambda\in\mathbb C^\times,\;\sigma\in\operatorname{Sym}(3))$
이는 $[s_1:s_2:s_3]$ 가 3차원 복소수 사영 평면 $\mathbb{CP}^2$ 의 동차 좌표를 이루며, 가능한 값의 공간은 $s_1 + s_2 + s_3 = 0$ 으로 정의되는 사영 직선을 대칭군 $\operatorname{Sym}(3)$ 의 작용으로 나눈 오비폴드임을 의미한다.

좌표를 $\alpha = s_2 / s_1 \in \mathbb{CP}^1$ 로 잡으면, 이 좌표 위의 $\operatorname{Sym}(3)$ 작용은 다음과 같은 동치 관계를 유도한다.
: $\alpha \sim \alpha^{-1} \sim -(\alpha+1) \sim -\frac1{\alpha+1} \sim -\frac\alpha{\alpha+1} \sim -1-\frac1\alpha$
특별히 $\alpha \sim 1 \sim -2 \sim -1/2$ 인 경우는 $\mathfrak{osp}(4|2)$ 에 해당한다.

실수 계수를 고려할 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같이 분류된다.

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보손 리 대수	대칭	$\alpha$ 의 조건	$\alpha$ 의 동치 관계	$\alpha$ 의 표준 영역
$\mathfrak o(2,2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus3}$	$\operatorname{Sym}(3)$	$\alpha\in\mathbb{RP}^1$	$\alpha\sim1/\alpha\sim-1-\alpha$	$\alpha\in[0,1]$
$\mathfrak o(3,1;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$1$	$\alpha \in -1/2 + \mathrm i\mathbb R$	(없음)	$\alpha\in-1/2+\mathrm i\mathbb R$
$\mathfrak o(4;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(2\mathbb R)^{\oplus2}\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\operatorname{Sym}(2)$	$\alpha\in\mathbb{RP}^1$	$\alpha\mapsto 1/\alpha$	$\alpha\in[-1,1]$

실수 계수 조건은 복소수 파라미터

\alpha

의 가능한 값을 제한하며, 이에 따라

\operatorname{Sym}(3)

대칭성도 위 표와 같이 깨지게 된다. 각 경우의

\alpha

값들은 표에 명시된 동치 관계를 가지며, 이 동치 관계의 동치류들은 해당 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

4.5. 카르탕형 리 초대수

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 외대수 $\textstyle\bigwedge V$ 위의 $\mathbb Z/2$ -등급 미분들, 즉 $K$ -선형 변환
: $d\colon \bigwedge(V)\to\bigwedge(V)$
가운데 다음 조건을 만족시키는 것들의 벡터 공간을 $\operatorname W(V)$ 라고 한다.
: $d(a\vee b) = (da)\wedge b + (-)^{\deg a}a \wedge db\qquad\left(b\in \bigwedge(V),\;a\in\bigwedge_{2\bullet+1}(V) \cup \bigwedge_{2\bullet}(V) \right)$
$V$ 의 기저 $(v_i)_{i\in I}$ 를 잡았을 때, $d\in \operatorname W(V)$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다.
: $d = \sum_{i\in I} a_i \frac\partial{\partial v_i}\qquad\left(a_i\in \bigwedge(V)\;\forall i\in I\right)$
$\textstyle\bigwedge(V)$ 의 $\mathbb Z$ -등급으로부터, 이는 $\operatorname W(V)$ 위에 $\mathbb Z$ -등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히 다음과 같다.
: $[d,d'] = d\circ d' \pm d'\circ d$
여기서 ± 부호는 $\mathbb Z/2$ 등급에 의하여 결정된다.

만약 $V$ 가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, $\operatorname W(V)$ 는 단순 리 초대수를 이루며, 이를 $\mathfrak w(\dim V)$ 로 표기한다.

특수 카르탕형 리 초대수(special Cartan-type Lie superalgebra^영어) $\mathfrak s(n)$ 과 $\mathfrak s(n)$ 및 해밀턴형 리 초대수(Hamilton-type Lie superalgebra^영어) $\mathfrak h(n)$ 은 모두 $\mathfrak w(n)$ 의 부분 리 초대수이다.

5. 역사

단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.