모노이드 대상

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1. 개요

모노이드 대상은 모노이드 범주 내에서 정의되는 일종의 대수적 구조이다. 모노이드 대상 $(M, m, e)$ 는 대상 $M$ 과 두 사상 $m: M \otimes M \to M$ (곱셈) 및 $e: I \to M$ (단위)로 구성되며, 결합 법칙과 항등원 존재 조건을 만족해야 한다. 집합과 함수의 데카르트 모노이드 범주에서 모노이드 대상은 모노이드와 같으며, 아벨 군의 범주에서는 환과 유사한 개념을 나타낸다. 모노이드 범주 C에서 모노이드 사상은 모노이드 대상 간의 구조를 보존하는 사상이며, 모노이드 대상과 모노이드 사상들의 범주는 MonC로 표기한다.

모노이드 대상

정의

설명	범주론에서, 모노이드 대상은 곱셈과 항등원을 갖춘 대상이다. 모노이드 대상은 모노이드의 추상화된 개념이며, 집합 대신 범주의 대상을 사용한다.

형식적 정의

대상	C
곱셈	μ: M ⊗ M → M
항등원	η: I → M
조건	모노이드 대상은 다음 조건을 만족해야 한다.
결합 법칙	μ ∘ (μ ⊗ id) = μ ∘ (id ⊗ μ) ∘ α
항등원 법칙	μ ∘ (η ⊗ id) = id ∘ λ
μ ∘ (id ⊗ η) = id ∘ ρ

대칭 모노이드 범주에서의 모노이드 대상

조건	대칭 모노이드 범주 C에서 모노이드 대상 (M, μ, η)이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하면 가환 모노이드 대상이라고 한다.
가환 법칙	1=μ ∘ γ = μ

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 모노이드 대상의 범주

2. 정의

$(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ 가 모노이드 범주라고 하자. $\mathcal C$ 의 모노이드 대상 $(M,m,e)$ 는 다음 데이터로 이루어진다.

* $M$ 은 $\mathcal C$ 속의 대상이다.
* $m\colon M\otimes M\to M$ , $e\colon I\to M$ 는 $\mathcal C$ 속의 사상이다. 이들은 각각 모노이드의 이항 연산 및 항등원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

* (결합 법칙) $m\circ(m\otimes\operatorname{id}_M)=m\circ(\operatorname{id}_M\otimes m)\circ\alpha_{M,M,M}$ . (여기서 $(M\otimes M)\otimes M=M\otimes(M\otimes M)$ 로 간주한다.) 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

: $\begin{matrix}(M\otimes M)\otimes M&\xrightarrow\alpha&M\otimes(M\otimes M)\\{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\M\otimes M&&M\otimes M\\{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\M&=&M\end{matrix}$

* (항등원의 존재) $m\circ(e\otimes\operatorname{id}_M)=\lambda_M$ 이고, $m\circ(\operatorname{id}_M\otimes e)=\rho_M$ 이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

: $\begin{matrix}I\otimes M&\xrightarrow e&M\otimes M&\xleftarrow e&M\otimes I\\&{\scriptstyle\lambda}\searrow&\downarrow\scriptstyle m&\swarrow\scriptstyle\rho\\&&M\end{matrix}$

3. 예

집합과 함수의 데카르트 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 모노이드와 같다. 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 는 텐서곱과 함께 모노이드 범주를 이루며, 이 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 환의 개념과 같다.

* Set ( 집합 범주 )에서 데카르트 곱에 의해 유도된 모노이드 구조를 갖는 모노이드 대상은 일반적인 의미의 모노이드이다.
* Top ( 위상 공간 범주 )에서 곱 위상에 의해 유도된 모노이드 구조를 갖는 모노이드 대상은 위상 모노이드이다.
* 모노이드 범주 (모노이드의 직접곱)에서 모노이드 대상은 단순한 가환 모노이드이다. 이것은 에크만-힐튼 논증으로부터 쉽게 유도된다.
* 완전 결합 반격자 Sup 범주(데카르트 곱에 의해 유도된 모노이드 구조)에서 모노이드 대상은 단위 퀀테일이다.
* Ab 범주 에서 모노이드 대상은 환이다.
* 가환환 R에 대해, R-Mod , R상의 가군 범주에서 모노이드 대상은 R-대수이다.
* 등급 가군 범주에서 모노이드 대상은 등급 R-대수이다.
* R-가군의 체인 복합체 범주는 미분 등급 대수이다.
* K-Vect , 즉 K-벡터 공간 범주 (역시 텐서 곱을 사용)에서 모노이드 대상은 단위 결합 K-대수이고, 코모노이드 대상은 K-코대수이다.
* 임의의 범주 C에 대해, 그 자기 함자의 범주 는 합성 및 항등 함자 I_C에 의해 유도된 모노이드 구조를 갖는다. 에서의 모노이드 대상은 C상의 모나드이다.
* 종단 대상과 유한 곱을 가진 임의의 범주에서, 모든 대상은 대각 사상 를 통해 코모노이드 대상이 된다. 쌍대적으로, 시초 대상과 코곱을 가진 범주에서 모든 대상은 를 통해 모노이드 대상이 된다.

4. 모노이드 대상의 범주

모노이드 범주 C의 두 모노이드 대상 $(M, \mu, \eta)$ 와 $(M', \mu', \eta')$ 가 주어졌을 때, 사상 $f : M \to M'$ 가 다음 조건을 만족하면 모노이드 사상이라고 한다.

* $f \circ \mu = \mu' \circ (f \otimes f)$
* $f \circ \eta = \eta'$

즉, 다음 그림이 가환이어야 한다.

C에 있는 모노이드와 그 모노이드 사상들의 범주는 Mon_C로 표기한다. 일반적인 모노이드 범주는 Mon = Mon_Set으로 쓸 수 있다.