모리타 문맥

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1. 개요

모리타 문맥은 환과 가군을 사용하여 정의되는 수학적 구조로, 환의 성질을 연구하는 데 사용된다. 행렬, 멱등원, 준가법 범주, 2-범주를 통해 정의될 수 있으며, 삼각환과 같은 특수한 경우를 포함한다. 모리타 문맥은 왼쪽 및 오른쪽 아이디얼과 뇌터·아르틴 조건과 같은 성질을 가지며, 모리타 동치 이론과 관련이 있다. 일본 수학자 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위해 도입했으며, 하이먼 배스가 "모리타 문맥"이라는 용어를 사용했다.

모리타 문맥

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뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 아이디얼
- 3.2. 뇌터·아르틴 조건
4. 예
- 4.1. 자명한 경우
- 4.2. 오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥
5. 역사

2. 정의

모리타 문맥은 대수학의 한 개념으로, 여러 가지 동등한 방식으로 정의될 수 있다. 대표적으로 행렬을 이용한 정의, 멱등원을 이용한 정의, 준가법 범주를 이용한 정의, 그리고 2-범주를 이용한 정의 등이 있다.

2.1. 행렬을 통한 정의

환 $R$ 와 $S$ 사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* $(R,S)$ -쌍가군 ${}_RM_S$
* $(S,R)$ -쌍가군 ${}_SN_R$
* $(R,R)$ -쌍가군 준동형 $\phi\colon {}_R(M\otimes_SN)_R\to {}_RR_R$
* $(S,S)$ -쌍가군 준동형 $\psi\colon {}_S(N\otimes_RM)_S\to {}_SS_S$
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* $\operatorname{id}_M\otimes_S\psi=\phi\otimes_R\operatorname{id}_N$
* $\psi\otimes_S\operatorname{id}_N=\operatorname{id}_M\otimes_RN$

모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi,\psi)$ 이 주어졌을 때, 아벨 군
: $R\oplus M\oplus N\oplus S$
위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(Morita ring^영어)이라고 한다.
: $(r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi(m\otimes_Sn'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi(n\otimes_Rm')\right)$
$R\oplus M\oplus N\oplus S$ 의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬
: $\begin{pmatrix}r&m\\n&s\end{pmatrix}\qquad(r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)$
로 나타내며 $\phi$ 와 $\psi$ 를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로
: $\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}$
로 표기한다.

특수한 경우로, $N=0$ 이며 $\phi$ , $\psi$ 는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다. 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 $R\oplus M\oplus S$ 이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.
: $(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad(r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)$
만약 $T$ 와 $U$ 가 환이고, $M$ 이 $\left(U,T\right)$ -쌍가군이면, 삼각 행렬환 $R:=\left[\begin{array}{cc}T&0\\M&U\\\end{array}\right]$ 은 $\left[\begin{array}{cc}t&0\\m&u\\\end{array}\right]$ 형태의 2x2 행렬로 구성되며, 여기서 $t\in T,m\in M,$ 그리고 $u\in U,$ 는 일반적인 행렬 덧셈과 행렬 곱셈을 이항 연산으로 가진다.

2.2. 멱등원을 통한 정의

모리타 문맥은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다. 모리타 문맥 $(T,e)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* $T$ 는 환이다.
* $e\in T$ 는 멱등원이다. 즉, $e^2=e$ 를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(T,e)$ 가 주어졌을 때,
: $R=eTe$
: $S=(1-e)T(1-e)$
: $M=eT(1-e)$
: $N=(1-e)Te$
: $\phi\colon \left(eT(1-e)\otimes_R(1-e)Te\right)\to eTe$
: $\phi\colon \left(et(1-e)\otimes_R(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e$
: $\psi\colon \left((1-e)Te\otimes_SeT(1-e)\right)\to(1-e)T(1-e)$
: $\psi\colon \left((1-e)te\otimes_S et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)$
로 놓으면, $(R,S,M,N,\phi,\psi)$ 는 모리타 문맥을 이룬다.

반대로, 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi,\psi)$ 이 주어졌을 때,
: $T=\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}$
: $e=\begin{pmatrix}1_R&0_M\\0_N&0_S\end{pmatrix}$
로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 $N=(1-e)Te=0$ 일 경우, $(T,e)$ 는 삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 을 정의한다.

2.3. 준가법 범주를 통한 정의

모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 위의 풍성한 범주)이다. 이러한 준가법 범주 $\mathcal C$ 가 주어졌으며, 그 두 대상이 $X$ 와 $Y$ 라고 하자. 그렇다면
: $R=\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)=\hom_{\mathcal C}(X,X)$
: $S=\operatorname{End}_{\mathcal C}(Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,Y)$
: $M=\hom_{\mathcal C}(X,Y)$
: $N=\hom_{\mathcal C}(Y,X)$
로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) $R$ 와 $S$ 는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 $M$ 은 $(R,S)$ -쌍가군, $N$ 은 $(S,R)$ -쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상
: $\phi\colon M\otimes_SN\to R$
: $\psi\colon N\otimes_SM\to S$
이 존재한다. 만약 $N=0$ 일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2.4. 2-범주를 통한 정의

2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 $\mathcal C$ 속의 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\phi,\psi)$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* $R$ 와 $S$ 는 $\mathcal C$ 의 대상(=0-사상)이다.
* $M\colon R\to S$ 와 $N\colon S\to R$ 는 $\mathcal C$ 의 1-사상이다.
* $\phi\colon N\circ M\Rightarrow\operatorname{id}_R$ 와 $\psi\colon M\circ N\to\operatorname{id}_S$ 는 $\mathcal C$ 의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 $\operatorname{Bimod}$ 를 생각하자.
* $\operatorname{Bimod}$ 의 대상(=0-사상)은 환이다.
* $\operatorname{Bimod}$ 의 두 대상 $R$ , $S$ 사이의 1-사상은 $(R,S)$ -쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 $(_SN_T)\circ(_RM_S)={}_R(M\otimes_SN)_T$ 으로 주어진다.
* $\operatorname{Bimod}$ 의 두 대상 $R$ , $S$ 사이의 두 1-사상 $_RM_S$ , $_RN_S$ 사이의 2-사상은 $(R,S)$ -쌍가군 준동형 $\phi\colon M\to N$ 이다.
그렇다면, 2-범주 $\operatorname{Bimod}$ 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

3. 성질

삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 은 가환환이다.
* $R$ 와 $S$ 는 가환환이며, $M=0$ 이다.

3.1. 아이디얼

환 $R$ 와 $S$ 및 $(R,S)$ -쌍가군 $_RM_S$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
: $N\oplus\mathfrak S$
여기서
* $\mathfrak S\subseteq S$ 는 $S$ 의 왼쪽 아이디얼이다.
* $N\subseteq R\oplus M$ 은 $_RR\oplus{}_RM$ 의 $R$ -부분 가군이며, $M\mathfrak S\subseteq N\cap M$ 이다.

마찬가지로, 삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
: $\mathfrak R\oplus N$
여기서
* $\mathfrak R\subseteq R$ 는 $R$ 의 오른쪽 아이디얼이다.
* $N\subseteq M\oplus S$ 은 $M_S\oplus S_S$ 의 $S$ -부분 가군이며, $\mathfrak RM\subseteq N\cap M$ 이다.

마찬가지로, 삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.
: $\mathfrak r\oplus N\oplus\mathfrak s$
여기서
* $\mathfrak r\subseteq R$ 는 $R$ 의 양쪽 아이디얼이다.
* $\mathfrak s\subseteq S$ 는 $S$ 의 양쪽 아이디얼이다.
* $_RN_S\subseteq {}_RM{}_S$ 은 $_RM_S$ 의 $(R,S)$ -부분 쌍가군이며, $\mathfrak rM\subseteq N$ 이자 $M\mathfrak s\subseteq N$ 이다.

3.2. 뇌터·아르틴 조건

삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 이 왼쪽 뇌터 환이다.
* $R$ 와 $S$ 가 왼쪽 뇌터 환이고, $_RM$ 이 $R$ -뇌터 가군이다.

삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 이 오른쪽 뇌터 환이다.
* $R$ 와 $S$ 가 오른쪽 뇌터 환이고, $M_S$ 이 $S$ -뇌터 가군이다.

삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 이 왼쪽 아르틴 환이다.
* $R$ 와 $S$ 가 왼쪽 아르틴 환이고, $_RM$ 이 $R$ -아르틴 가군이다.

삼각환 $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})$ 이 오른쪽 아르틴 환이다.
* $R$ 와 $S$ 가 오른쪽 아르틴 환이고, $M_S$ 이 $S$ -아르틴 가군이다.

4. 예

모리타 문맥의 특수한 경우로, $N=0$ 이며 $\phi$ , $\psi$ 가 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우 모리타 환 $\begin{pmatrix}R&M\\0&S\end{pmatrix}$ 은 상삼각행렬의 형태를 가지며, 이를 삼각환이라고 부른다. 삼각환은 아벨 군으로서 직합 $R\oplus M\oplus S$ 과 같으며, 그 위의 환 구조는 다음과 같이 정의된다.
: $(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad(r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)$

4.1. 자명한 경우

만약 $M=N=0$ 이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.
: $\begin{pmatrix}R&0\\0&S\end{pmatrix}\cong R\times S$

또한, 만약 $R=S$ 이며, $M=\mathfrak m\subseteq R$ 과 $N=\mathfrak n\subseteq R$ 이 $R$ 의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환
: $\begin{pmatrix}R&\mathfrak m\\\mathfrak n&R\end{pmatrix}\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)$
은 $R$ 계수 2×2 행렬환의 부분환이 된다.

4.2. 오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $M_R$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.
* $S=\hom(M_R,M_R)$
* ${}_SN_R=\hom({}_SM_R,{}_RR_R)$
* $\phi\colon M\otimes_RN\to S$ , $(m\otimes_R n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))$
* $\psi\colon N\otimes_SM\to R$ , $(n\otimes_R m)\mapsto n(m)$
이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 $M_R$ 가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 $\operatorname{Mod}_R$ 의 생성 대상이라면, 이는 $R$ 와 $S$ 사이의 모리타 동치를 정의한다.

5. 역사

모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(Morita context^영어)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.