바른틀 앙상블

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

바른틀 앙상블은 통계 역학에서 사용되는 개념으로, 주어진 온도에서 시스템의 열역학적 특성을 계산하는 데 활용된다. 분배 함수를 통해 헬름홀츠 자유 에너지를 계산하고, 밀도 행렬과 연산자를 이용하여 양자역학적 시스템을 표현하며, 확률 분포와 열역학적 상태량 간의 관계를 설명한다. 정준 앙상블은 시스템이 독립적인 부분으로 분리될 수 있는 경우 볼츠만 분포를 제공하며, 이징 모형과 같은 강한 상호작용 시스템에도 적용될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

통계역학 - 볼츠만 상수
볼츠만 상수 k는 온도와 에너지를 연결하는 상수이며, 기체 상수와 아보가드로 상수의 비로 정의되고, SI 단위계에서 1.380649×10⁻²³ J/K의 값을 가지며, 거시 물리학과 미시 물리학을 연결하는 중요한 역할을 한다.
통계역학 - 상태 밀도
상태 밀도는 계에서 특정 에너지 준위에 존재할 수 있는 상태의 수를 나타내는 물리량으로, 계의 종류, 차원, 분산 관계 등에 따라 달라지며, 고체 물리학과 양자역학적 계에서 중요한 역할을 한다.
열역학 - 볼츠만 상수
볼츠만 상수 k는 온도와 에너지를 연결하는 상수이며, 기체 상수와 아보가드로 상수의 비로 정의되고, SI 단위계에서 1.380649×10⁻²³ J/K의 값을 가지며, 거시 물리학과 미시 물리학을 연결하는 중요한 역할을 한다.
열역학 - 열기관
열기관은 고온 열원에서 열을 받아 일을 하고 나머지를 저온 열원으로 방출하는 장치이며, 증기 동력, 가스 동력, 내연기관 등으로 분류되어 화력 발전소, 자동차 등 다양한 분야에 활용된다.

바른틀 앙상블
개요
정의	일정한 온도에 있는 계의 앙상블
설명	외부의 열저장소와 열적으로 평형을 이루고, 입자 수와 부피가 고정된 닫힌 계를 다룸 통계 역학에서 계의 가능한 모든 상태를 나타내는 집합 계가 특정 상태에 있을 확률은 볼츠만 분포에 따름
기호	NVT 앙상블
변수
온도	T (일정)
입자 수	N (일정)
부피	V (일정)
확률 밀도 함수
설명	계의 각 미시 상태에 대한 확률을 정의 계가 특정 미시 상태에 있을 확률은 볼츠만 인자에 비례
수식	exp(-E/(kT)) / Z
E	계의 에너지
k	볼츠만 상수
T	온도
Z	분배 함수 (모든 가능한 상태에 대한 볼츠만 인자의 합)
분배 함수
정의	계의 통계적 속성을 계산하는 데 사용되는 중요한 양 계의 모든 가능한 미시 상태에 대한 정보를 포함
기호	Z
계산	모든 가능한 상태에 대한 exp(-E/(kT))의 합
자유 에너지
기호	F
헬름홀츠 자유 에너지	F(N, V, T)
관계식	F = -kT ln(Z)
응용
설명	액체 및 고체와 같은 응축 물질의 속성을 연구하는 데 사용 화학 반응의 평형 상수를 계산하는 데 사용 다양한 통계 역학적 문제를 해결하는 데 사용
역사
창시자	조사이어 윌러드 기브스
중요성	통계 역학의 기초를 형성

2. 분배 함수

바른틀 앙상블에서 분배 함수는 계의 모든 미시상태에 대한 정보를 담고 있는 핵심적인 함수로, 이를 통해 다양한 열역학적 특성을 계산할 수 있다.^[1] 분배 함수는 온도 ''T''와 미시상태 i의 에너지 ''E''_i의 함수이며, 미시상태의 에너지는 입자의 개수, 계의 부피와 같은 열역학적 변수의 함수이다. 따라서 미시상태의 에너지를 계산하여 분배함수를 구성하면, 그 분배함수로부터 계의 다른 열역학적 특성을 계산해낼 수 있다.^[1]

정준 집단이 따르는 확률 분포는 '''정준 분포'''(canonical distribution) 또는 '''카노니컬 분포'''라고 불린다.^[1]

역온도 로 특징지어지는 열욕과 접촉하고 있는 계가 미시적 상태 를 가질 확률 분포는

와 같이 주어진다. 여기서 는 계가 미시적 상태 를 가질 때의 에너지이다.^[1]

확률 분포 분자의 는 '''볼츠만 인자'''라고 불리며, 계가 높은 에너지 상태에 있을 확률이 지수적으로 감소함을 보여준다.^[1]

확률의 정규화 계수 는 모든 확률 를 더했을 때 1이 되도록

로 정의된다. 이 정규화 계수는 '''분배 함수'''라고 불리며, 열역학과의 관계에서 중요한 역할을 한다.^[1]

2. 1. 정의

바른틀 앙상블에서, 계의 각 미시상태

j

(

j

=1, 2, 3, ...)에 대한 총 에너지를

E_{j}

로 표기한다. 일반적으로 계의 불연속적인 양자 상태를 미시상태로 간주한다.

바른틀 분배함수는 다음과 같다.

:

Z = \sum_{j} e^{- \beta E_j}

여기서 ''β''는 보통 다음과 같이 정의한다.

:

\beta \equiv \frac{1}{k_BT}

''T''는 계의 온도이며, ''k_B''은 볼츠만 상수이다. 겹침 상태가 존재할 경우, 분배함수는 다음과 같이 쓴다.

:

Z = \sum_{j} g_j\cdot e^{- \beta E_j}

여기서

g_j

는 겹침 인자이다.

2. 2. 물리적 의미

바른틀 앙상블에서, 계의 모든 미시상태에 일련 번호

j

(

j

=1, 2, 3, ...)를 붙이고, 계가 미시상태

j

에 있을 때 계의 총 에너지를

E_{j}

로 표기한다.

바른틀 분배함수는 다음과 같다.

:

Z = \sum_{j} e^{- \beta E_j}

여기서 ''β''는 보통 다음과 같이 정의한다.

:

\beta \equiv \frac{1}{k_BT}

''T''는 계의 온도를 뜻하며, ''k_B''은 볼츠만 상수다.

분배 함수는 계가 미시상태 ''j''에 있을 확률 ''P_j''를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

P_j = \frac{1}{Z} e^{- \beta E_j}.

여기서

e^{- \beta E_j}

는 볼츠만 인자다. 분배함수는 확률값의 합을 1로 만드는 틀맞춤(Normalization) 상수로 쓰였다.

:

\sum_j P_j = \frac{1}{Z} \sum_j e^{- \beta E_j} = \frac{1}{Z} Z = 1.

"분배 함수"라는 이름은 각각 다른 미시상태의 확률을 '분배'한다고 해서 붙여진 이름이다. ''Z''란 문자는 독일어 단어 ''Zustandssumme''에서 왔으며, "상태의 합(영어: "sum over states")"이란 뜻이다.

3. 헬름홀츠 자유에너지

헬름홀츠 자유에너지 ''A''는 바른틀 앙상블과 관련된 자유에너지로, 계의 안정성과 평형 상태를 파악하는 데 사용된다. 헬름홀츠 자유에너지는 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $A=-k_bT~\ln Z \,$

여기서 $k_b$ 는 볼츠만 상수, T는 절대온도, Z는 분배 함수를 나타낸다. 헬름홀츠 자유에너지는 에너지( $E$ )와 엔트로피( $S$ )를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $A= -TS\,$

헬름홀츠 자유에너지( $F$ )는 분배 함수( $Z$ )를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

: $F(\beta) = -\frac{1}{\beta} \ln Z(\beta)$

여기서 $\beta = \frac{1}{k_bT}$ 이며, $k_b$ 는 볼츠만 상수, $T$ 는 절대온도이다.

이 관계식은 미시적인 확률 분포에 기초한 분배 함수를 열역학적인 상태량인 자유 에너지에 관련시키며, 통계역학에 의한 열역학 재현의 한 예이다.

자유 에너지는 온도로 특징지어지는 계에서의 완전한 열역학 함수이며, 여기에서 다양한 상태량이 계산된다. 예를 들어 엔트로피는 다음과 같다.

: $S(\beta) = k\beta^2 \frac{\partial F(\beta)}{\partial\beta}= k\ln Z(\beta) -k\beta \frac{\partial}{\partial\beta} \ln Z(\beta)$

또한 열용량은 다음과 같다.

: $C(\beta) = -\beta\frac{\partial S(\beta)}{\partial\beta}= k\beta^2 \frac{\partial^2}{\partial\beta^2} \ln Z(\beta)$

4. 밀도 행렬과 밀도 연산자

양자역학적 계에서 정준 앙상블을 나타내는 방법이다. 밀도 행렬의 대각선 성분은 각 에너지 고유 상태에 있을 확률을 나타낸다. 밀도 연산자를 통해 정준 앙상블을 표현할 수 있다. 바른틀 앙상블에서 에너지의 고윳값이 $E_n$ 인 양자상태에 있을 확률은 볼츠만 인자, $e^{-\beta E_n}$ 로 주어진다. 밀도 행렬의 대각선 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\rho_n = \over {\sum_n e^{-\beta E_n}}}$

밀도 연산자 표현식은 다음과 같다.

: $\rho = \over {Tr(e^{-\beta H})}}$

양자역학적인 계에서는 미시적 상태는 힐베르트 공간 상의 점으로 표시된다. 특히 에너지 고유 상태로 대표되는 경우가 많으며, 확률 분포는

: $p_i = \frac{1}{Z(\beta)} \exp[-\beta E_i]$

가 되고, 분배 함수는

: $Z(\beta) = \sum_i \exp[-\beta E_i]$

가 된다. 는 에너지 고유 상태를 지정하는 양자수이며, 는 해당 에너지 고유값이다.

트레이스를 사용하면, 분배 함수는 해밀토니안 에 의해,

: $Z(\beta) = \operatorname{Tr} \exp[-\beta \hat{H}]$

로 나타낼 수 있다.

5. 자유에너지 유도

엔트로피와 자유에너지의 정의로부터 분배함수로 표현된 자유에너지를 유도할 수 있다. 헬름홀츠 자유에너지 ''A''는 다음과 같이 정의된다.

: $A=-k_bT~\ln Z \,$

이는 에너지와 다음과 같은 관계를 만족한다.

: $A= -TS\,$

여기서 $S$ 는 엔트로피이다. 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.

: $S = -k_b<\ln p_i> = -k_b \sum_{i} p_i \ln p_i\,$

: $= -k_b\sum_{i}\frac{1}{Z}\,e^{-\beta E_i}(-\beta E_i - \ln Z)\,$

: $= \frac{1}{T} + k_b \frac{\ln Z}{Z} \sum_{i} e^{-\beta E_i}$

: $= \frac{1}{T} + k_b \ln Z$

따라서 자유에너지는 분배함수로부터 다음과 같이 유도된다.

: $A = -TS = -k_bT \ln Z \,$

다른 방식으로도 유도할 수 있다. 엔트로피는 다음과 같이 표현 가능하다.^[1]

: $S = <-k_B ln \rho>= -k_B$

$= Tr[\rho G]$ 이므로,

: $S = -k_B Tr[\rho ln \rho]$

: $= -k_B Tr[\rho (-\beta H - ln Z))]$

: $= k_B \beta Tr[\rho H] + k_B Tr[\rho ln Z]$

: $= k_B \beta + k_B$

: $TS = k_B T \beta + k_B T$

: $= U + k_B T ln Z$

자유에너지의 정의에 의해,

: $A = U - TS = -k_B T ln Z$

열역학 이론에 따르면 자유 에너지는 에너지와 다음과 같이 관계된다.^[2]

: $E(\beta) = \frac{\partial}{\partial\beta}\{ \beta F(\beta) \}$

이를 이용하면, 자유 에너지의 통계역학적인 표현은 다음과 같다.^[2]

: $F(\beta) = -\frac{1}{\beta} \ln Z(\beta)$

6. 정준 앙상블의 적용

정준 앙상블은 열 저장조와 열적 평형 상태에 있는 모든 시스템에 적용된다.^[1] 시스템 자체는 작거나 클 수 있지만, 열 저장조는 매우 크다고 가정한다.

시스템이 열 저장조 외의 외부 물체와 에너지를 교환하지 않도록 시스템은 기계적으로 고립되어 있어야 한다.^[1] 정준 앙상블은 열 저장조와 직접 접촉하는 시스템에 적용하는 것이 일반적인데, 이는 접촉이 평형을 보장하기 때문이다. 실제 상황에서는 다음 중 하나를 가정하여 정준 앙상블의 사용을 정당화한다.

1. 접촉이 기계적으로 약하다고 가정.

2. 분석 대상 시스템에 열 저장조 연결의 적절한 부분을 통합하여, 시스템에 대한 연결의 기계적 영향을 시스템 내에서 모델링.

총 에너지가 고정되어 있지만 시스템의 내부 상태를 알 수 없는 경우에는 정준 앙상블이 아닌 미시 정준 앙상블이 적절한 설명이다. 입자 수가 가변적인 시스템(입자 저장조와의 접촉)의 경우에는 그랜드 정준 앙상블이 올바른 설명이다. 상호 작용하는 입자 시스템에 대한 통계 물리학 교과서에서는 세 가지 앙상블이 열역학적 극한에서 열역학적 동등성이 있다고 가정한다.

7. 정준 앙상블의 성질

'''고유성''': 정준 앙상블은 주어진 온도에서 주어진 물리 시스템에 대해 고유하게 결정되며, 좌표계의 선택(고전 역학)이나 기저(양자 역학) 또는 에너지의 영점과 같은 임의의 선택에 의존하지 않는다.^[1] 정준 앙상블은 기본 열역학 관계식을 재현하는 N, V, T가 일정한 유일한 앙상블이다.^[9]
'''통계적 평형''(정상 상태): 정준 앙상블은 기본 시스템이 지속적으로 움직이고 있음에도 불구하고 시간이 지남에 따라 진화하지 않는다. 이는 앙상블이 시스템의 보존량(에너지)의 함수일 뿐이기 때문이다.^[1]
'''다른 시스템과의 열적 평형''': 동일한 온도의 정준 앙상블로 각각 설명되는 두 시스템이 열적 접촉을 하면^[10] 각 시스템은 동일한 앙상블을 유지하고 결과적으로 결합된 시스템은 동일한 온도의 정준 앙상블로 설명된다.^[1]
'''최대 엔트로피''': 주어진 기계적 시스템(고정 N, V)의 경우, 정준 앙상블 평균 −⟨log P⟩ ( 엔트로피)는 동일한 ⟨E⟩를 갖는 모든 앙상블의 가능한 최대값이다.^[1]
'''최소 자유 에너지''': 주어진 기계적 시스템(고정 N, V) 및 주어진 T 값의 경우, 정준 앙상블 평균 ⟨E + kT log P⟩ ( 헬름홀츠 자유 에너지)는 모든 앙상블의 가능한 최소값이다.^[1] 이는 엔트로피를 최대화하는 것과 동등하다는 것을 쉽게 알 수 있다.

8. 자유 에너지, 앙상블 평균, 완전 미분

헬름홀츠 자유에너지 ''A''의 편미분을 통해 다양한 정준 앙상블 평균량을 계산할 수 있다.

평균 압력: ^[1]
깁스 엔트로피: ^[1]
화학 퍼텐셜: (단, 작은 계의 정준 앙상블에는 정확히 적용되지 않음)^[11]
평균 에너지: ^[1]

''A''(''V'', ''T'')의 완전 미분은 다음과 같다.^[1]

:

위 식에 ⟨''E''⟩에 대한 관계식을 대입하면 열역학 제1법칙과 유사한 식을 얻을 수 있다.^[1]

:

정준 앙상블에서 계의 에너지는 불확실성을 가지며, 에너지의 분산은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

자유 에너지 ''F''는 에너지와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

이를 통해 자유 에너지의 통계역학적인 표현을 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

여기서 ''Z''(β)는 분배 함수를 의미한다.

자유 에너지를 이용하여 다양한 열역학적 상태량을 계산할 수 있다. 예를 들어, 엔트로피는 다음과 같다.

:

열용량은 다음과 같이 계산된다.

:

부피 ''V''와 입자 수 ''N''을 고려하면, 압력 ''P''와 화학 퍼텐셜 μ는 다음과 같이 통계역학적으로 표현할 수 있다.

:

:

엔트로피는 다음과 같이 깁스 엔트로피 표식을 만족한다.

:

9. 예시

바른틀 앙상블과 분배 함수는 일정한 온도를 가진 계의 열역학적 변수를 계산하는 데 쓰인다. 양자 통계 역학의 포츠 모델은 바른틀 앙상블을 확률 측도로 이용한다.

9. 1. 볼츠만 분포 (분리 가능한 시스템)

시스템이 독립적인 부분으로 분리될 수 있고(서로 다른 부분이 상호작용하지 않는 경우), 각 부분이 고정된 물질 조성을 가지고 있다면, 각 부분은 그 자체로 시스템으로 간주될 수 있으며 전체와 동일한 온도를 갖는 바른틀 앙상블로 설명된다. 더욱이 시스템이 여러 개의 "유사한" 부분으로 구성된 경우 각 부분은 다른 부분과 정확히 동일한 분포를 갖는다.

이러한 방식으로 바른틀 앙상블은 "임의의 수"의 입자로 구성된 시스템에 대해 정확히 볼츠만 분포(또는 맥스웰-볼츠만 통계)를 제공한다. 이에 비해 미시적 앙상블로부터 볼츠만 분포를 정당화하는 것은 많은 수의 부분(즉, 열역학적 극한)을 가진 시스템에만 적용된다.

볼츠만 분포 자체는 통계 역학을 실제 시스템에 적용하는 데 있어 가장 중요한 도구 중 하나이며, 독립적인 부분으로 분리될 수 있는 시스템(예: 기체 내 입자, 공동 내 전자기 모드, 고분자 내 분자 결합)의 연구를 대폭 단순화한다.

9. 2. 이징 모형 (강한 상호작용 시스템)

이징 모형은 강자성 현상 및 자기 조립 단분자막 형성의 널리 논의되는 장난감 모델이며, 상전이를 보여주는 가장 간단한 모델 중 하나이다.^[14] 라르스 온사거는 정준 앙상블에서 무한 크기의 정방 격자 이징 모형의 자유 에너지를 정확하게 계산했다.^[14]

10. 양자 역학 및 고전 역학에서의 표현

통계적 앙상블의 정확한 수학적 표현은 고려하는 역학의 종류(양자 또는 고전)에 따라 달라진다. 양자역학에서는 정준 앙상블이 대각화를 통해 이산적인 미시 상태 집합을 제공하므로 비교적 간단하게 설명할 수 있다. 반면, 고전 역학의 경우는 정준 위상 공간에 대한 적분을 포함하므로 더 복잡하며, 위상 공간에서의 미시 상태의 크기는 어느 정도 임의로 선택할 수 있다.^[1]

10. 1. 양자 역학

양자역학에서 통계적 앙상블은

\hat \rho

로 표시되는 밀도 행렬로 표현된다.^[1] 기저 독립 표기법에서 정준 앙상블은 밀도 행렬이다.

:

\hat \rho = \exp\left(\tfrac{1}{kT}(F - \hat H)\right),

여기서

\hat H

는 시스템의 총 에너지 연산자(해밀토니안)이고,

\exp()

는 행렬 지수 연산자이다. 자유 에너지

F

는 밀도 행렬의 대각합이 1이라는 확률 정규화 조건에 의해 결정된다.

\operatorname{Tr} \hat \rho=1

:

:

e^{-\frac{F}{k T}} = \operatorname{Tr} \exp\left(-\tfrac{1}{kT} \hat H\right).

정준 앙상블은 시스템의 에너지 고유 상태와 에너지 고유값을 알고 있는 경우 브라-켓 표기법을 사용하여 간단한 형태로 쓸 수도 있다. 에너지 고유 상태의 완전한 기저

|\psi_i\rangle

가 주어지면,

i

로 인덱싱된 정준 앙상블은 다음과 같다.

:

\hat \rho = \sum_i e^{\frac{F - E_i}{k T}} |\psi_i\rangle \langle \psi_i |

:

e^{-\frac{F}{k T}} = \sum_i e^{\frac{- E_i}{k T}}.

여기서

E_i

는

\hat H |\psi_i\rangle  E_i |\psi_i\rangle

에 의해 결정되는 에너지 고유값이다. 즉, 양자 역학의 미시 상태 집합은 정상 상태의 완전한 집합으로 주어지며, 밀도 행렬은 이 기저에서 대각선이며, 대각선 항목은 각각 확률을 직접 제공한다.

양자역학적인 계에서는 미시적 상태는 힐베르트 공간 상의 점으로 표시된다. 특히 에너지 고유 상태로 대표되는 경우가 많으며, 확률 분포는

:

p_i = \frac{1}{Z(\beta)} \exp[-\beta E_i]

가 되고, 분배 함수는

:

Z(\beta) = \sum_i \exp[-\beta E_i]

가 된다.

i

는 에너지 고유 상태를 지정하는 양자수이며,

E_i

는 해당 에너지 고유값이다.

트레이스를 사용하면, 분배 함수는 해밀토니안

\hat H

에 의해,

:

Z(\beta) = \operatorname{Tr} \exp[-\beta \hat{H}]

로 나타낼 수 있다.

10. 2. 고전 역학

고전 역학에서 통계적 앙상블은 시스템의 위상 공간에서 결합 확률 밀도 함수로 표현된다.^[1] 여기서

p_1, \ldots, p_n

및

q_1, \ldots, q_n

은 시스템 내부 자유도의 정준 좌표(일반화된 운동량 및 일반화된 좌표)이다. 입자 시스템에서 자유도

n

의 수는 물리적 상황에 따라 입자 수

N

에 의존한다. 3차원 단원자 기체(분자가 아님)의 경우

n = 3N

이다. 이원자 기체에는 회전 및 진동 자유도도 있다.

정준 앙상블에 대한 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:

\rho = \frac{1}{h^n C} e^{\frac{F - E}{k T}},

여기서

$E$ 는 시스템의 에너지이며, 위상 $(p_1, \ldots, q_n)$ 의 함수이다.
$h$ 는 $에너지 \times 시간$ 단위를 갖는 임의적이지만 미리 결정된 상수이며, 하나의 미세 상태의 범위를 설정하고 $\rho$ 에 올바른 차원을 제공한다.^[15]
$C$ 는 과다 계수 보정 계수이며, 동일한 입자가 서로 자리를 바꿀 수 있는 입자 시스템에 자주 사용된다.^[16]
$F$ 는 정규화 인수를 제공하며 특성 상태 함수인 자유 에너지이기도 하다.

F

의 값은

\rho

가 정규화된 확률 밀도 함수가 되도록 요구하여 결정된다.

:

e^{-\frac{F}{k T}} = \int \ldots \int \frac{1}{h^n C} e^{\frac{- E}{k T}} \, dp_1 \ldots dq_n

이 적분은 전체 위상 공간에 걸쳐 수행된다.

고전 역학에서의 미세 상태는 위상 공간 영역이며, 이 영역은 부피

h^nC

를 갖는다. 각 미세 상태는 에너지 범위를 가지며,

h

를 매우 작게 선택하여 이 범위를 임의로 좁게 만들 수 있다. 위상 공간 적분은 위상 공간이 충분히 미세하게 분할되면 미세 상태에 대한 합으로 변환될 수 있다.

11. 확률 분포

역온도 beta|베타^영어로 특징지어지는 열욕과 접촉하고 있는 계가 미시적 상태 omega|오메가^영어를 가질 확률 분포는

:

로 주어진다. 여기서 는 계가 미시적 상태 omega|오메가^영어를 가질 때의 에너지이다.

확률 분포 의 분자의 는 '''볼츠만 인자'''라고 불린다. 계가 높은 에너지 상태에 있을 확률이 지수적으로 감소하는 것을 알 수 있다.

확률의 정규화 계수 는 확률 를 모두 더하면 1이 되도록

:

로 정의된다. 이 정규화 계수는 특히 '''분배 함수'''라고 불리며, 열역학과의 관계에서 중요한 역할을 한다.

정준 앙상블(바른틀 앙상블)이 따르는 확률 분포는 '''정준 분포'''(canonical distribution) 또는 '''카노니컬 분포'''라고 불린다.

12. 열역학과의 관계

통계역학적 처방에 따라, 미시적 물리량의 기댓값을 통해 열역학적 상태량을 계산할 수 있다. 분배 함수를 통해 에너지, 자유 에너지, 엔트로피, 열용량, 압력, 화학 퍼텐셜 등 다양한 열역학적 양을 계산할 수 있다. 이는 통계역학이 열역학을 재현하는 한 예이다.

13. 엔트로피

엔트로피는 다음 식과 같다.

: $S(\beta) = k\beta \{ E(\beta) -F(\beta) \} = k\langle \beta E(\omega) +\ln Z(\beta) \rangle = -k \left\langle \ln \left\{ \frac{1}{Z(\beta)}\exp[-\beta E(\omega)] \right\} \right\rangle$

이는 깁스 엔트로피 공식

: $S = -k\langle \ln p_\beta(\omega) \rangle$

를 만족한다.

14. 최대 엔트로피 원리

확률 분포 에 대해, 이 분포에서의 기댓값을 로 표기한다. 에너지의 평균값 가 정해진 상태에서, 가 샤논 엔트로피 를 최대로 할 때, 분포 는 정준 앙상블이 된다^[17]^[18]。

실제로, 확률 분포로서의 정규화 조건

: $\langle 1 \rangle _{p} =\sum_{\omega \isin \Omega}p(\omega)=1$

과 에너지의 평균값에 대한 지정 조건

: $\langle E(\omega) \rangle _{p} =\sum_{\omega \isin \Omega}E(\omega)p(\omega)=E$

의 제약 하에서, 샤논 엔트로피

: $S=-k \langle \ln{p(\omega)} \rangle _{p} =-k \sum_{\omega \isin \Omega}\ln{p(\omega)}\cdot p(\omega)$

를 최대화하는 분포는, 와 를 미정 승수(未定乘數)로 하는 라그랑주 승수법에 의해,

: $\frac{\delta}{\delta p(\omega)} \biggl (\sum_{\omega \isin \Omega}\ln{p(\omega)}\cdot p(\omega) +\alpha \sum_{\omega \isin \Omega} p(\omega) +\beta \sum_{\omega \isin \Omega}E(\omega)p(\omega) \biggr )=0,\quad \omega \isin \Omega$

으로부터

: $p(\omega)=\frac{e^{-\beta E(\omega)}}{Z}, \quad Z=\sum_{\omega \isin \Omega }e^{-\beta E(\omega)}$

로 정해진다。

참조

_[1] 서적 Elementary Principles in Statistical Mechanics Charles Scribner's Sons
_[2] 서적 Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[3] 논문 Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints? 2018-08
_[4] 논문 Ensemble nonequivalence in random graphs with modular structure 2016-11-25
_[5] 논문 Covariance Structure Behind Breaking of Ensemble Equivalence in Random Graphs 2018-07-13
_[6] 논문 Ensemble equivalence for dense graphs 2018
_[7] 논문 Nonequivalent statistical equilibrium ensembles and refined stability theorems for most probable flows 2002
_[8] 논문 Ensemble inequivalence in random graphs 2007-12
_[9] 논문 The Mathematics of the Ensemble Theory 2022-03
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 서적 The Collected Works, Vol. 2 Longmans
_[13] 서적 Exactly solved models in statistical mechanics Academic Press Inc.
_[14] 논문 Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com