파투 보조정리

1. 개요

파투 보조정리는 측도 공간에서 정의된 음이 아닌 가측 함수열에 대한 부등식으로, 함수의 하극한의 적분은 적분의 하극한보다 작거나 같다는 것을 나타낸다. 이 정리는 단조 수렴 정리와 같은 다른 적분 관련 정리의 증명에 사용되며, 확률론에서 조건부 기댓값에 대한 형태로도 확장된다. 파투 보조정리는 프랑스 수학자 피에르 파투에 의해 증명되었다.

2. 정의

측도 공간 $(X,\backslash Sigma,\backslash mu)$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 $f\_n\backslash colon\; X\backslash to([0,\backslash infty],\backslash mathcal\; B([0,\backslash infty]))$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
:$\backslash int\_X\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}f\_n\backslash mathrm\; d\backslash mu\backslash le\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_Xf\_n\backslash mathrm\; d\backslash mu$
여기서 $\backslash liminf$는 하극한이다.

파투 보조정리는 그 가정이 $\backslash mu$-거의 어디서나 성립하면 유지된다. 즉, 값 $\backslash \{f\_n(x)\backslash \}$가 모든 $x\backslash in\; X\backslash setminus\; N$에 대해 비음수가 되도록 하는 영집합 $N$이 존재하는 것으로 충분하다.

3. 증명

파투 보조정리는 단조 수렴 정리를 이용하거나, 적분의 정의에서 직접 유도하는 방식으로 증명할 수 있다.

3.1. 단조 수렴 정리를 이용한 증명

다음과 같이 가측 함수의 열을 정의한다.

:$g\_n(x)\; =\; \backslash inf\_\{k\; \backslash ge\; n\}\; f\_k(x)$

그러면 각 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$ 및 $x\backslash in\; X$에 대하여 $g\_n(x)\backslash le\; f\_n(x)$이므로

:$\backslash int\_Xg\_n\backslash mathrm\; d\backslash mu\backslash le\backslash int\_Xf\_n\backslash mathrm\; d\backslash mu$

이다.

이제 단조 수렴 정리에 따르면,

:$\backslash int\_X\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}f\_n\backslash mathrm\; d\backslash mu$
=\int_X\lim_{n\to\infty}g_n\mathrm d\mu
=\lim_{n\to\infty}\int_X g_n\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu

을 얻어, 증명이 끝난다.

3.2. "First principles"를 이용한 증명

First principles^영어를 이용한 증명은 르베그 적분의 정의와 기본적인 성질만을 이용하여 파투 보조정리를 증명한다. 이 증명은 단순 함수와 관련된 여러 단계를 거친다.

증명에 사용되는 주요 개념은 다음과 같다.

* $\backslash operatorname\{SF\}(f)$: $X$에서 $0\backslash leq\; s\backslash leq\; f$를 만족하는 단순 함수 $s$의 집합.
* 단조성:
* $f\; \backslash leq\; g$이면, $\backslash int\_X\; f\backslash ,d\backslash mu\; \backslash leq\; \backslash int\_X\; g\backslash ,d\backslash mu$.
* $X\_1,X\_2\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$이고 $X\_1\; \backslash subseteq\; X\_2$이면, $\backslash int\_\{X\_1\}\; f\backslash ,d\backslash mu\; \backslash leq\; \backslash int\_\{X\_2\}\; f\backslash ,d\backslash mu$.
* $f$가 음수가 아니고 $S=\backslash cup^\backslash infty\_\{i=1\}S\_i$이며, $S\_1\backslash subseteq\backslash ldots\backslash subseteq\; S\_i\backslash subseteq\backslash ldots\backslash subseteq\; S$가 $\backslash mu$-가측 집합의 감소하지 않는 체인이라면, $\backslash int\_S\{f\backslash ,d\backslash mu\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\{\backslash int\_\{S\_n\}\{f\backslash ,d\backslash mu\}\}$.

증명은 다음과 같은 단계로 진행된다.

단계 1: $g\_n=g\_n(x)$은 모든 $n\backslash geq\; 1$에 대해 가측 함수이며, $f$도 마찬가지임을 보인다. 이는 닫힌 구간이 보렐 시그마 대수를 생성한다는 사실과 가산 교집합의 성질을 이용하여 증명한다.

단계 2: 주어진 단순 함수 $s\backslash in\backslash operatorname\{SF\}(f)$와 실수 $t\backslash in\; (0,1)$에 대해, 집합 $B^\{s,t\}\_k=\backslash \{x\backslash in\; X\backslash mid\; t\backslash cdot\; s(x)\backslash leq\; g\_k(x)\backslash \}\backslash subseteq\; X$를 정의한다. 이 집합이 가측이고, 포함 관계 $B^\{s,t\}\_k\backslash subseteq\; B^\{s,t\}\_\{k+1\}$를 만족하며, $\backslash textstyle\; X=\backslash bigcup\_k\; B^\{s,t\}\_k$임을 보인다.

단계 3: 단계 2의 결과와 단조성을 이용하여, $\backslash lim\_n\backslash int\_\{B^\{s,t\}\_n\}s\backslash ,d\backslash mu=\backslash int\_Xs\backslash ,d\backslash mu$임을 보인다.

단계 4: 모든 $s\backslash in\backslash operatorname\{SF\}(f)$에 대해, $\backslash int\_X\; s\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\; \backslash lim\_k\backslash int\_X\; g\_k\backslash ,d\backslash mu$임을 보인다. 이는 $B^\{s,t\}\_k$의 정의, $g\_k$의 비음수성, 르베그 적분의 단조성을 이용하여 증명한다.

단계 5: 르베그 적분의 정의를 단계 4에서 확립된 부등식에 적용하고 $g\_n\backslash leq\; f\_n$임을 고려하여 증명을 완료한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\int_X f \,d\mu&=\sup_{s\in\operatorname{SF}(f)}\int_X s\,d\mu\\
&\leq\lim_k\int_X g_k\,d\mu\\
&=\liminf_k\int_X g_k\,d\mu\\
&\leq\liminf_k\int_X f_k\,d\mu
\end{align}

4. 예

보렐 대수와 르베그 측도가 부여된 공간 $S$에 대한 예시는 다음과 같다.

* 확률 공간의 예시: $S=[0,1]$를 단위 구간으로 정의하고, 모든 자연수 $n$에 대해 다음과 같이 정의한다.

::$$
f_n(x)=\begin{cases}n&\text{for }x\in (0,1/n),\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

* 균등 수렴의 예시: $S$를 모든 실수의 집합으로 정의하고, 다음과 같이 정의한다.

::$$
f_n(x)=\begin{cases}\frac1n&\text{for }x\in [0,n],\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

위 수열 $(f\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$은 $S$에서 점별로(각각 균등하게) 영함수로 수렴하지만 (적분은 0), 모든 $f\_n$은 적분 값이 1이다.

4.1. 등식

만약 $f\_n=c$가 같은 상수 함수열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

4.2. 부등식

실수선 위의 르베그 측도를 사용한 예시에서, 등식이 성립하지 않는 경우가 있다.

가측 함수열
:$f\_n=(1/n)1\_\{[n,\backslash infty)\}$
의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 등식이 성립하지 않는다.

가측 함수열
:$f\_n=n1\_\{(0,1/n)\}$
의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

확률 공간과 균등 수렴의 예시를 통해 엄격한 부등식이 성립하는 경우를 설명한다.

* 확률 공간의 예시: 구간 $S=[0,1]$에서 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 정의한다.

::$$
f_n(x)=\begin{cases}n&\text{for }x\in (0,1/n),\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

* 균등 수렴의 예시: $S$를 모든 실수의 집합으로 정의한다.

::$$
f_n(x)=\begin{cases}\frac1n&\text{for }x\in [0,n],\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

이 수열 $(f\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$은 $S$에서 점별로(각각 균등하게) 영함수로 수렴하지만 (적분은 0), 모든 $f\_n$은 적분 값이 1이다.

5. 성립 조건 및 관련 정리

파투 보조정리가 성립하려면 함수열 f₁, f₂, . . .^영어의 음이 아닌 부분에 대한 적절한 가정이 필요하다. 함수열이 음의 값을 가질 경우, 보조정리가 성립하지 않는 반례가 존재한다. 예를 들어, 보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖는 반직선 [0,∞)에서 정의된 함수열

:$$
f_n(x)=\begin{cases}-\frac1n&\text{for }x\in [n,2n],\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

을 생각해보자. 이 함수열은 0 함수로 균등하게 수렴하지만, 각 함수의 적분값은 -1로, 극한값 0의 적분값보다 작다. 이는 함수열에 대한 균등 적분 가능한 하한이 존재하지 않기 때문이다.

만약 f₁, f₂, ...^영어 가 측도 공간 (S,Σ,μ)에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수열이고, 모든 n에 대해 f_n^영어 ≤ g를 만족하는 음이 아닌 적분 가능 함수 g가 S에 존재한다면, 다음의 역 파투 보조정리가 성립한다.

:$\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\backslash int\_S\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}f\_n\backslash ,d\backslash mu.$

파투 보조정리는 다음과 같이 확장되거나 변형될 수 있다.

* 적분 가능한 하한: 유계 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열 $f_1, f_2, \ldots$에 대해, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$를 만족하는 적분 가능한 함수 $g$가 $S$에 존재하면 다음이 성립한다.

:$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

* 점별 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 $S$ 상에서 $\mu$-거의 모든 곳에서 함수 $f$로 점별 수렴하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

* 측도 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 함수 $f$로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

* 변화하는 측도에 대한 파투 보조정리: 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$ 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열 $f_1, f_2, \ldots$ 와 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$가 성립하는 $S$ 위의 음이 아닌 가적분 함수 $g$가 존재한다고 하자. $\mu_n$을 가측 공간 $(S, \Sigma)$ 상의 측도의 열로, $\mu_n(E) \to \mu(E), \forall E \in \Sigma$ (측도의 수렴 참조)를 만족한다고 할 때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 $f_n$의 열 및 그 각 점별 하한 $f$에 대해 다음이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n$

5.1. 음이 아닌 함수의 중요성

파투 보조정리가 성립하려면 함수열 f₁, f₂, . . .^영어의 음의 부분에 대한 적절한 가정이 필요하다. 다음은 이에 대한 반례이다. S를 보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖는 반직선 [0,∞)로 정의하고, 모든 자연수 n에 대해 다음과 같이 정의한다.

:$$
f_n(x)=\begin{cases}-\frac1n&\text{for }x\in [n,2n],\\
0&\text{otherwise.}
\end{cases}

이 수열은 S에서 0 함수로 균등하게 수렴하며, 극한 0은 유한한 단계에서 도달한다. 즉, 모든 x ≥ 0에 대해 n > x^영어이면 f_n(x)^영어 = 0이다. 하지만 모든 함수 f_n^영어은 적분값 −1을 갖는다. 파투 보조정리와는 달리, 이 값은 극한값 (0)의 적분값보다 작다.

문제는 수열에 대한 균등 적분 가능한 하한이 존재하지 않는다는 것이다. 반면, 0은 균등한 상한이다.

5.2. 역 파투 보조정리 (Reverse Fatou lemma)

f₁, f₂, ...^영어 가 측도 공간 (S,Σ,μ)에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수열이라고 하자. 만약 모든 n에 대해 f_n^영어 ≤ g를 만족하는 음이 아닌 적분 가능 함수 g가 S에 존재한다면, 다음이 성립한다.

:$\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\backslash int\_S\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}f\_n\backslash ,d\backslash mu.$

여기서 g 적분 가능은 g가 가측이고 임을 의미한다.

(위 문단은 원문에 중복되어 한번 더 나오므로 삭제)

5.3. 확장과 변형

파투 보조정리는 다음과 같이 여러 형태로 확장되거나 변형될 수 있다.

* 적분 가능한 하한: 유계 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열 $f_1, f_2, \ldots$가 주어지고, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$를 만족하는 적분 가능한 함수 $g$가 $S$에 존재하면 다음이 성립한다.

:$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

* 점별 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 $S$ 상에서 $\mu$-거의 모든 곳에서 함수 $f$로 점별 수렴하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

* 측도 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 함수 $f$로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

* 변화하는 측도에 대한 파투 보조정리: $f_1, f_2, \ldots$ 를 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$ 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열이라고 하고, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$가 성립하는 $S$ 위의 음이 아닌 가적분 함수 $g$가 존재한다고 하자. $\mu_n$을 가측 공간 $(S, \Sigma)$ 상의 측도의 열로, $\mu_n(E) \to \mu(E), \forall E \in \Sigma$ (측도의 수렴 참조)를 만족한다고 할 때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 $f_n$의 열 및 그 각 점별 하한 $f$에 대해 다음이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n$

5.3.1. 적분 가능한 하한

유계 측도 공간 $(S,\; \backslash Sigma,\; \backslash mu)$에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열 $f\_1,\; f\_2,\; \backslash ldots$가 주어졌다고 하자. 만약 모든 $n$에 대해 $f\_n\; \backslash ge\; -g$를 만족하는 적분 가능한 함수 $g$가 $S$에 존재한다면, 다음이 성립한다.

:$$
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.


이것은 비음수 함수열 $f\_n\; +\; g$에 파투 보조정리를 적용하면 된다.

5.3.2. 점별 수렴

함수열 f₁, f₂, ... 가 S 상에서 μ-거의 모든 곳에서 함수 f로 점별 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash int\_S\; f\backslash ,d\backslash mu\; \backslash le\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash ,.$

이는 f가 거의 모든 곳에서 f_n의 하극한과 일치해야 하고, 측도 0인 집합에서 피적분 함수의 값은 적분 값에 영향을 미치지 않기 때문이다.

5.3.3. 측도 수렴

함수열 f₁, f₂, ... 가 함수 f로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

다음과 같은 부분 수열이 존재한다.
:$\backslash lim\_\{k\backslash to\backslash infty\}\; \backslash int\_S\; f\_\{n\_k\}\backslash ,d\backslash mu=\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash$
이 부분 수열 역시 f로 측도 수렴하므로, 여기서 다시 f로 거의 모든 곳에서 각 점 수렴하는 부분 수열을 얻을 수 있다. 이 부분 수열에 대해 파투 보조정리의 변형을 적용할 수 있다.

5.3.4. 변화하는 측도에 대한 파투 보조정리

f₁^영어, f₂^영어, ... 를 측도 공간 (S,Σ,μ) 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열이라고 하자. 모든 n에 대해 f_n ≥ −g가 성립하는 S 위의 음이 아닌 가적분 함수 g가 존재한다면, 다음이 성립한다.

:$$
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\


파투 보조정리에 대한 위의 논의에서는 모든 적분은 단일 고정된 측도 μ에 대해 수행되었다. 여기서는 μ_n을 가측 공간 (S,Σ) 상의 측도의 열로, 다음을 만족하는 것으로 한다.

:$\backslash mu\_n(E)\backslash to\; \backslash mu(E),~\backslash forall\; E\backslash in\; \backslash Sigma.$ (측도의 수렴 참조)

이때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 f_n의 열 및 그 각 점별 하한 f에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_S\; f\backslash ,d\backslash mu\; \backslash leq\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\_S\; f\_n\backslash ,\; d\backslash mu\_n$

6. 조건부 기댓값에 대한 파투 보조정리

확률론에서 파투 보조정리는 확률 공간 $\backslash scriptstyle(\backslash Omega,\backslash ,\backslash mathcal\; F,\backslash ,\backslash mathbb\; P)$에서 정의된 확률 변수 수열 X₁, X₂, . . .에 적용될 수 있으며, 이 때 적분은 기댓값으로 바뀐다. 또한, 조건부 기댓값에 대한 버전도 존재한다.

6.1. 표준적인 경우

X₁, X₂, ...을 확률 공간 $\backslash scriptstyle(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F,\backslash mathbb\; P)$에서 비음의 확률 변수의 수열이라고 하고, $\backslash scriptstyle\; \backslash mathcal\; G\backslash ,\backslash subset\backslash ,\backslash mathcal\; F$를 부분 시그마 대수라고 하자. 그러면,

:$\backslash mathbb\{E\}\backslash Bigl[\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}X\_n\backslash ,\backslash Big|\backslash ,\backslash mathcal\; G\backslash Bigr]\backslash le\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash ,\backslash mathbb\{E\}[X\_n|\backslash mathcal\; G]$   거의 확실하게.

참고: 비음의 확률 변수에 대한 조건부 기댓값은 항상 잘 정의되며, 유한한 기댓값은 필요하지 않다.

6.2. 균등 적분 가능한 음의 부분으로의 확장

확률 공간 $\backslash scriptstyle(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F,\backslash mathbb\; P)$상의 확률 변수 수열 X₁, X₂, . . .가 주어지고, $\backslash scriptstyle\; \backslash mathcal\; G\backslash ,\backslash subset\backslash ,\backslash mathcal\; F$가 부분 σ-대수라고 하자. 음의 부분

:$X\_n^-:=\backslash max\backslash \{-X\_n,0\backslash \},\backslash qquad\; n\backslash in\{\backslash mathbb\; N\},$

이 조건부 기댓값에 대해 균등 적분 가능하면, 즉 ε > 0에 대해

:
\qquad\text{for all }n\in\mathbb{N},\,\text{almost surely},

를 만족하는 c > 0가 존재하면,

:$\backslash mathbb\{E\}\backslash Bigl[\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}X\_n\backslash ,\backslash Big|\backslash ,\backslash mathcal\; G\backslash Bigr]\backslash le\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash ,\backslash mathbb\{E\}[X\_n|\backslash mathcal\; G]$   almost surely.

참고:

:$X:=\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}X\_n$

이 다음을 만족하는 집합에서

:$\backslash mathbb\{E\}[\backslash max\backslash \{X,0\backslash \}\backslash ,|\backslash ,\backslash mathcal\; G]=\backslash infty,$

부등식의 좌변은 무한대로 간주한다. 극한 하한의 조건부 기댓값은 이 집합에서 잘 정의되지 않을 수 있는데, 음의 부분의 조건부 기댓값 또한 무한대가 될 수 있기 때문이다.

7. 역사

프랑스의 수학자 피에르 파투(Pierre Fatou^프랑스어)가 증명하였다.