파투 보조정리

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1. 개요

파투 보조정리는 측도 공간에서 정의된 음이 아닌 가측 함수열에 대한 부등식으로, 함수의 하극한의 적분은 적분의 하극한보다 작거나 같다는 것을 나타낸다. 이 정리는 단조 수렴 정리와 같은 다른 적분 관련 정리의 증명에 사용되며, 확률론에서 조건부 기댓값에 대한 형태로도 확장된다. 파투 보조정리는 프랑스 수학자 피에르 파투에 의해 증명되었다.

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파투 보조정리
개요
분야	측도론
이름	파투 보조정리
로마자 표기	Patu Bojojungni
영어 이름	Fatou's lemma
발견자	피에르 파투
내용
설명	음이 아닌 가측 함수의 열 {fₙ}에 대해, fₙ의 하극한의 르베그 적분은 fₙ의 르베그 적분의 하극한보다 작거나 같다. 즉, ∫lim inf fₙ ≤ lim inf ∫fₙ이다.

2. 정의

측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 $f_n\colon X\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^[1]

: $\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu$

여기서 $\liminf$ 는 하극한이다.

파투 보조정리는 그 가정이 $\mu$ -거의 어디서나 성립하면 유지된다. 즉, 값 $\{f_n(x)\}$ 가 모든 $x\in X\setminus N$ 에 대해 비음수가 되도록 하는 영집합 $N$ 이 존재하는 것으로 충분하다.

3. 증명

파투 보조정리는 단조 수렴 정리를 이용하거나, 적분의 정의에서 직접 유도하는 방식으로 증명할 수 있다.

3. 1. 단조 수렴 정리를 이용한 증명

다음과 같이 가측 함수의 열을 정의한다.

:

g_n(x) = \inf_{k \ge n} f_k(x)

그러면 각

n\in\mathbb N

및

x\in X

에 대하여

g_n(x)\le f_n(x)

이므로

:

\int_Xg_n\mathrm d\mu\le\int_Xf_n\mathrm d\mu

이다.

이제 단조 수렴 정리에 따르면,

:

\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\mathrm d\mu=\int_X\lim_{n\to\infty}g_n\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X g_n\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu

을 얻어, 증명이 끝난다.^[1]

3. 2. "First principles"를 이용한 증명

First principles|기본 원리^영어를 이용한 증명은 르베그 적분의 정의와 기본적인 성질만을 이용하여 파투 보조정리를 증명한다. 이 증명은 단순 함수와 관련된 여러 단계를 거친다.

증명에 사용되는 주요 개념은 다음과 같다.

$\operatorname{SF}(f)$ : $X$ 에서 $0\leq s\leq f$ 를 만족하는 단순 함수 $s$ 의 집합.
단조성:
$f \leq g$ 이면, $\int_X f\,d\mu \leq \int_X g\,d\mu$ .
$X_1,X_2 \in \mathcal{F}$ 이고 $X_1 \subseteq X_2$ 이면, $\int_{X_1} f\,d\mu \leq \int_{X_2} f\,d\mu$ .
$f$ 가 음수가 아니고 $S=\cup^\infty_{i=1}S_i$ 이며, $S_1\subseteq\ldots\subseteq S_i\subseteq\ldots\subseteq S$ 가 $\mu$ -가측 집합의 감소하지 않는 체인이라면, $\int_S{f\,d\mu}=\lim_{n\to\infty}{\int_{S_n}{f\,d\mu}}$ .

증명은 다음과 같은 단계로 진행된다.
단계 1:

g_n=g_n(x)

은 모든

n\geq 1

에 대해 가측 함수이며,

f

도 마찬가지임을 보인다. 이는 닫힌 구간이 보렐 시그마 대수를 생성한다는 사실과 가산 교집합의 성질을 이용하여 증명한다.
단계 2: 주어진 단순 함수

s\in\operatorname{SF}(f)

와 실수

t\in (0,1)

에 대해, 집합

B^{s,t}_k=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_k(x)\}\subseteq X

를 정의한다. 이 집합이 가측이고, 포함 관계

B^{s,t}_k\subseteq B^{s,t}_{k+1}

를 만족하며,

\textstyle X=\bigcup_k B^{s,t}_k

임을 보인다.
단계 3: 단계 2의 결과와 단조성을 이용하여,

\lim_n\int_{B^{s,t}_n}s\,d\mu=\int_Xs\,d\mu

임을 보인다.
단계 4: 모든

s\in\operatorname{SF}(f)

에 대해,

\int_X s\,d\mu\leq \lim_k\int_X g_k\,d\mu

임을 보인다. 이는

B^{s,t}_k

의 정의,

g_k

의 비음수성, 르베그 적분의 단조성을 이용하여 증명한다.
단계 5: 르베그 적분의 정의를 단계 4에서 확립된 부등식에 적용하고

g_n\leq f_n

임을 고려하여 증명을 완료한다.

:

\begin{align}\int_X f \,d\mu&=\sup_{s\in\operatorname{SF}(f)}\int_X s\,d\mu\\&\leq\lim_k\int_X g_k\,d\mu\\&=\liminf_k\int_X g_k\,d\mu\\&\leq\liminf_k\int_X f_k\,d\mu\end{align}

4. 예

보렐 대수와 르베그 측도가 부여된 공간 $S$ 에 대한 예시는 다음과 같다.

확률 공간의 예시: $S=[0,1]$ 를 단위 구간으로 정의하고, 모든 자연수 $n$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

::

f_n(x)=\begin{cases}n&\text{for }x\in (0,1/n),\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

균등 수렴의 예시: $S$ 를 모든 실수의 집합으로 정의하고, 다음과 같이 정의한다.

::

f_n(x)=\begin{cases}\frac1n&\text{for }x\in [0,n],\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

위 수열

(f_n)_{n\in\N}

은

S

에서 점별로(각각 균등하게) 영함수로 수렴하지만 (적분은 0), 모든

f_n

은 적분 값이 1이다.

4. 1. 등식

만약

f_n=c

가 같은 상수 함수열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

4. 2. 부등식

실수선 위의 르베그 측도를 사용한 예시에서, 등식이 성립하지 않는 경우가 있다.

가측 함수열

:

f_n=(1/n)1_{[n,\infty)}

의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 등식이 성립하지 않는다.

가측 함수열

:

f_n=n1_{(0,1/n)}

의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

확률 공간과 균등 수렴의 예시를 통해 엄격한 부등식이 성립하는 경우를 설명한다.

확률 공간의 예시: 구간 $S=[0,1]$ 에서 모든 자연수 $n$ 에 대해 다음을 정의한다.

::

f_n(x)=\begin{cases}n&\text{for }x\in (0,1/n),\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

균등 수렴의 예시: $S$ 를 모든 실수의 집합으로 정의한다.

::

f_n(x)=\begin{cases}\frac1n&\text{for }x\in [0,n],\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

이 수열

(f_n)_{n\in\N}

은

S

에서 점별로(각각 균등하게) 영함수로 수렴하지만 (적분은 0), 모든

f_n

은 적분 값이 1이다.

5. 성립 조건 및 관련 정리

파투 보조정리가 성립하려면 함수열 ''f''₁, ''f''₂, . . .^영어의 음이 아닌 부분에 대한 적절한 가정이 필요하다. 함수열이 음의 값을 가질 경우, 보조정리가 성립하지 않는 반례가 존재한다. 예를 들어, 보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖는 반직선 [0,∞)에서 정의된 함수열

: $f_n(x)=\begin{cases}-\frac1n&\text{for }x\in [n,2n],\\0&\text{otherwise.}\end{cases}$

을 생각해보자. 이 함수열은 0 함수로 균등하게 수렴하지만, 각 함수의 적분값은 -1로, 극한값 0의 적분값보다 작다. 이는 함수열에 대한 균등 적분 가능한 하한이 존재하지 않기 때문이다.

만약 ''f''₁, ''f''₂, ...^영어 가 측도 공간 (''S'',''Σ'',''μ'')에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수열이고, 모든 ''n''에 대해 ''f''_''n''^영어 ≤ ''g''를 만족하는 음이 아닌 적분 가능 함수 ''g''가 ''S''에 존재한다면, 다음의 역 파투 보조정리가 성립한다.

: $\limsup_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu\leq\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu.$

파투 보조정리는 다음과 같이 확장되거나 변형될 수 있다.

적분 가능한 하한: 유계 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열 $f_1, f_2, \ldots$에 대해, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$를 만족하는 적분 가능한 함수 $g$가 $S$에 존재하면 다음이 성립한다.

:$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

점별 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 $S$ 상에서 $\mu$-거의 모든 곳에서 함수 $f$로 점별 수렴하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

측도 수렴: 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 함수 $f$로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

변화하는 측도에 대한 파투 보조정리: 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$ 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열 $f_1, f_2, \ldots$ 와 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$가 성립하는 $S$ 위의 음이 아닌 가적분 함수 $g$가 존재한다고 하자. $\mu_n$을 가측 공간 $(S, \Sigma)$ 상의 측도의 열로, $\mu_n(E) \to \mu(E), \forall E \in \Sigma$ (측도의 수렴 참조)를 만족한다고 할 때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 $f_n$의 열 및 그 각 점별 하한 $f$에 대해 다음이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n$

5. 1. 음이 아닌 함수의 중요성

파투 보조정리가 성립하려면 함수열 ''f''₁, ''f''₂, . . .^영어의 음의 부분에 대한 적절한 가정이 필요하다. 다음은 이에 대한 반례이다. ''S''를 보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖는 반직선 [0,∞)로 정의하고, 모든 자연수 ''n''에 대해 다음과 같이 정의한다.

:

f_n(x)=\begin{cases}-\frac1n&\text{for }x\in [n,2n],\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

이 수열은 ''S''에서 0 함수로 균등하게 수렴하며, 극한 0은 유한한 단계에서 도달한다. 즉, 모든 ''x'' ≥ 0에 대해 ''n'' > ''x''^영어이면 ''f_n''(''x'')^영어 = 0이다. 하지만 모든 함수 ''f_n''^영어은 적분값 −1을 갖는다. 파투 보조정리와는 달리, 이 값은 극한값 (0)의 적분값보다 작다.

문제는 수열에 대한 균등 적분 가능한 하한이 존재하지 않는다는 것이다. 반면, 0은 균등한 상한이다.

5. 2. 역 파투 보조정리 (Reverse Fatou lemma)

''f''₁, ''f''₂, ...^영어 가 측도 공간 (''S'',''Σ'',''μ'')에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수열이라고 하자. 만약 모든 ''n''에 대해 ''f''_''n''^영어 ≤ ''g''를 만족하는 음이 아닌 적분 가능 함수 ''g''가 ''S''에 존재한다면, 다음이 성립한다.

:

\limsup_{n\to\infty}\int_S f_n\,d\mu\leq\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu.

여기서 ''g 적분 가능''은 ''g''가 가측이고

\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty

임을 의미한다.

(위 문단은 원문에 중복되어 한번 더 나오므로 삭제)

5. 3. 확장과 변형

파투 보조정리는 다음과 같이 여러 형태로 확장되거나 변형될 수 있다.

'''적분 가능한 하한''': 유계 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열 $f_1, f_2, \ldots$가 주어지고, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$를 만족하는 적분 가능한 함수 $g$가 $S$에 존재하면 다음이 성립한다.

:$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

'''점별 수렴''': 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 $S$ 상에서 $\mu$-거의 모든 곳에서 함수 $f$로 점별 수렴하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.$

'''측도 수렴''': 함수열 $f_1, f_2, \ldots$가 함수 $f$로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

'''변화하는 측도에 대한 파투 보조정리''': $f_1, f_2, \ldots$ 를 측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$ 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열이라고 하고, 모든 $n$에 대해 $f_n \ge -g$가 성립하는 $S$ 위의 음이 아닌 가적분 함수 $g$가 존재한다고 하자. $\mu_n$을 가측 공간 $(S, \Sigma)$ 상의 측도의 열로, $\mu_n(E) \to \mu(E), \forall E \in \Sigma$ (측도의 수렴 참조)를 만족한다고 할 때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 $f_n$의 열 및 그 각 점별 하한 $f$에 대해 다음이 성립한다.

:$\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n$

5. 3. 1. 적분 가능한 하한

유계 측도 공간

(S, \Sigma, \mu)

에서 정의된 확장된 실수 값을 갖는 가측 함수 열

f_1, f_2, \ldots

가 주어졌다고 하자. 만약 모든

n

에 대해

f_n \ge -g

를 만족하는 적분 가능한 함수

g

가

S

에 존재한다면, 다음이 성립한다.

:

\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu.

이것은 비음수 함수열

f_n + g

에 파투 보조정리를 적용하면 된다.

5. 3. 2. 점별 수렴

함수열 ''f''₁, ''f''₂, ... 가 ''S'' 상에서 ''μ''-거의 모든 곳에서 함수 ''f''로 점별 수렴하면, 다음 부등식이 성립한다.

:

\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

이는 ''f''가 거의 모든 곳에서 ''f''_''n''의 하극한과 일치해야 하고, 측도 0인 집합에서 피적분 함수의 값은 적분 값에 영향을 미치지 않기 때문이다.

5. 3. 3. 측도 수렴

함수열 ''f''₁, ''f''₂, ... 가 함수 ''f''로 측도 수렴하는 경우에도 파투 보조정리의 부등식이 성립한다.

다음과 같은 부분 수열이 존재한다.

:

\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\

이 부분 수열 역시 ''f''로 측도 수렴하므로, 여기서 다시 ''f''로 거의 모든 곳에서 각 점 수렴하는 부분 수열을 얻을 수 있다. 이 부분 수열에 대해 파투 보조정리의 변형을 적용할 수 있다.

5. 3. 4. 변화하는 측도에 대한 파투 보조정리

''f''₁^영어, ''f''₂^영어, ... 를 측도 공간 (''S'',''Σ'',''μ'') 위에 정의된 확장된 실수 값 가측 함수의 열이라고 하자. 모든 ''n''에 대해 ''f''_''n'' ≥ −''g''가 성립하는 ''S'' 위의 음이 아닌 가적분 함수 ''g''가 존재한다면, 다음이 성립한다.

:

\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\

파투 보조정리에 대한 위의 논의에서는 모든 적분은 단일 고정된 측도 μ에 대해 수행되었다. 여기서는 μ_n을 가측 공간 (''S'',''Σ'') 상의 측도의 열로, 다음을 만족하는 것으로 한다.

:

\mu_n(E)\to \mu(E),~\forall E\in \Sigma.

(측도의 수렴 참조)

이때, 음이 아닌 적분 가능한 함수 ''f''_''n''의 열 및 그 각 점별 하한 ''f''에 대해, 다음이 성립한다.

:

\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\to \infty} \int_S f_n\, d\mu_n

6. 조건부 기댓값에 대한 파투 보조정리

확률론에서 파투 보조정리는 확률 공간 $\scriptstyle(\Omega,\,\mathcal F,\,\mathbb P)$ 에서 정의된 확률 변수 수열 ''X''₁, ''X''₂, . . .에 적용될 수 있으며, 이 때 적분은 기댓값으로 바뀐다. 또한, 조건부 기댓값에 대한 버전도 존재한다.

6. 1. 표준적인 경우

''X''₁, ''X''₂, ...을 확률 공간

\scriptstyle(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)

에서 비음의 확률 변수의 수열이라고 하고,

\scriptstyle \mathcal G\,\subset\,\mathcal F

를 부분 시그마 대수라고 하자. 그러면,

:

\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

거의 확실하게.

'''참고:''' 비음의 확률 변수에 대한 조건부 기댓값은 항상 잘 정의되며, 유한한 기댓값은 필요하지 않다.

6. 2. 균등 적분 가능한 음의 부분으로의 확장

확률 공간

\scriptstyle(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)

상의 확률 변수 수열 ''X''₁, ''X''₂, . . .가 주어지고,

\scriptstyle \mathcal G\,\subset\,\mathcal F

가 부분 σ-대수라고 하자. 음의 부분

:

X_n^-:=\max\{-X_n,0\},\qquad n\in{\mathbb N},

이 조건부 기댓값에 대해 균등 적분 가능하면, 즉 ''ε'' > 0에 대해

:

\mathbb{E}\bigl[X_n^-1_{\{X_n^->c\}}\,|\,\mathcal G\bigr]<\varepsilon,\qquad\text{for all }n\in\mathbb{N},\,\text{almost surely}

,

를 만족하는 ''c'' > 0가 존재하면,

:

\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

almost surely.

'''참고:'''

:

X:=\liminf_{n\to\infty}X_n

이 다음을 만족하는 집합에서

:

\mathbb{E}[\max\{X,0\}\,|\,\mathcal G]=\infty,

부등식의 좌변은 무한대로 간주한다. 극한 하한의 조건부 기댓값은 이 집합에서 잘 정의되지 않을 수 있는데, 음의 부분의 조건부 기댓값 또한 무한대가 될 수 있기 때문이다.

7. 역사

프랑스의 수학자 피에르 파투(Pierre Fatou|피에르 파투^프랑스어)가 증명하였다.

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