반원시환

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1. 개요

반원시환은 야콥슨 반단순환이라고도 불리며, 제이컵슨 근기가 영 아이디얼이고 충실한 왼쪽 및 오른쪽 반단순 가군을 갖는 환이다. 또한, 왼쪽 및 오른쪽 원시환들의 부분직접곱으로 표현될 수 있으며, 반원시성은 좌우 대칭적이다. 가환환의 경우, 체의 부분 직접곱일 필요충분조건이 반원시환인 것이다. 왼쪽 아르틴 환이 반원시환일 필요충분조건은 반단순환일 때이며, 이러한 환은 반단순 아르틴 환이라고도 불린다. 반원시환은 반단순환, 반소환과의 관계를 가지며, 폰 노이만 정칙환은 반원시환이다. 정수환은 반단순환은 아니지만 반원시환의 예시이며, 모든 원시환, 체의 곱, 폰 노이만 정규환 또한 반원시환이다.

반원시환

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예

2. 정의

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반원시환(semiprimitive ring) 또는 야코브슨 반단순환(Jacobson semisimple ring)이라고 한다.

* 제이컵슨 근기가 영 아이디얼이다.
* 충실한 왼쪽 반단순 가군을 갖는다.
* 충실한 오른쪽 반단순 가군을 갖는다.
* 왼쪽 원시환들의 부분직접곱이다. 즉, 왼쪽 원시환 $R_i$ 들의 직접곱 $\textstyle\prod_iR_i$ 의 부분환과 동형이며, 이에 따른 사영 준동형 $R\to R_i$ 는 모두 전사 함수이다.
* 오른쪽 원시환들의 부분직접곱이다.

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

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좌우로 밀어서 보기

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	좌·우 원시환	⇒	소환

또한, 모든 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring)은 반원시환이다.

왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환의 경우, 반단순환 · 반원시환 · 반소환의 개념이 일치하며, 단순환 · 왼쪽 원시환 · 오른쪽 원시환 · 소환의 개념이 일치한다.

반원시환들의 직접곱은 반원시환이다. 환의 야코브슨 근기가 영 아이디얼이면, 그 환을 반원시환 또는 야코브슨 반단순환이라고 부른다.

환이 반원시환일 필요충분조건은 충실 가군인 반단순 가군 왼쪽 가군을 갖는 것이다. 반원시성은 좌우 대칭적이므로, 환이 반원시환일 필요충분조건은 충실한 반단순 오른쪽 가군을 갖는 것이다.

환이 반원시환일 필요충분조건은 좌원시환의 부분 직접곱이다.

가환환은 그것이 체의 부분 직접곱일 필요충분조건이며 반원시환이다.

왼쪽 아르틴 환이 반원시환일 필요충분조건은 반단순환일 때이다. 이러한 환은 때때로 반단순 아르틴 환이라고 불린다.

4. 예

정수환 $\mathbb Z$ 는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니며, 따라서 반단순환이 아니다. 정수환은 다음과 같이 소수 크기의 유한체들의 직접곱의 부분환으로 나타내어지므로 반원시환이다.
: $\mathbb Z\hookrightarrow\prod_p\mathbb F_p$
: $n\mapsto(n\mod p)_{p=2,3,5,\dots}$
정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 정수환 위의 단순 가군은 아벨 단순군이므로 소수 크기의 순환군이며, 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다. 다음과 같은 아벨 군은 정수환 위의 충실한 반단순 가군을 이루므로, 정수환이 반원시환임을 다른 방법으로 알 수 있다.
: $\bigoplus_{p=2,3,5,\dots}\operatorname{Cyc}(p)$

* 정수환, 유리 정수환은 반원시적이지만 반단순적이지 않다.
* 모든 원시환, 임의의 원시환은 반원시적이다.
* 두 체의 곱, 두 체의 직적환은 반원시적이지만 원시적이지 않다.
* 모든 폰 노이만 정규환, 임의의 폰 노이만 정칙환은 반원시적이다.