원시환

3. 성질

가환환에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.^[1]

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 체이다.

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 소환이다.
• 단순환이다.
• 나눗셈환 $D$ 위의 행렬환 $\backslash operatorname\{Mat\}(n;D)$과 동형이다 ($n\backslash in\backslash mathbb\; N$).

원시환은 반원시환이자 소환이다. 둘 이상의 영환이 아닌 환의 곱환은 소환이 아니므로, 원시환의 곱은 절대 원시환이 될 수 없다.

아르틴 환의 경우, "좌원시", "우원시", "소", "단순환" 조건이 모두 동치이며, 이 경우 나눗셈환 위의 정사각 행렬환과 동형인 반단순환이다. 더 일반적으로, 최소인 일측 아이디얼을 가진 임의의 환에서 "좌원시" = "우원시" = "소"이다.

가환환은 그 자체가 체일 때에만 좌원시환이다.

좌원시환인 것은 모리타 동치 불변 성질이다.

4. 분류

슈어 보조정리에 따라 $\backslash operatorname\{End\}\_RM$은 나눗셈환이다. $M$은 자연스럽게 $\backslash operatorname\{End\}\_RM$의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

:$R\backslash to\backslash operatorname\{End\}\_RM$

:$r\backslash mapsto(m\backslash mapsto\; rm)$

$M$이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 단사 함수이다. 즉, $R$를 $\backslash operatorname\{End\}\_RM$의 부분환으로 여길 수 있으며, $\backslash operatorname\{End\}\_RM$의 작용을 $R$로 제약시키면, $R$의 원래 작용과 같다.

$M$에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합

:$M^M=\backslash prod\_\{m\backslash in\; M\}M$

에 곱위상을 부여하고,

:$\backslash operatorname\{End\}\_RM\backslash subseteq\; M^M$

에 부분 공간 위상을 부여한다.

제이콥슨 조밀성 정리(Jacobson density theorem^영어)에 따르면, $R$는 $\backslash operatorname\{End\}\_RM$의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.

• 임의의 자연수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$ 및 $\backslash vec\; m\backslash in\; M^n$에 대하여, $R\backslash vec\; m=M^n$이다.

5. 예

자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.^[1] 표수가 0인 체 $K$에 대한 바일 대수 $K\backslash langle\; x,p\backslash rangle/(xp-px-1)$는 원시환이다. 왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.^[2]

단위원을 가진 모든 단순환 ''R''은 왼쪽 및 오른쪽 원시환이다. 이는 ''R''이 극대 왼쪽 아이디얼 ''M''을 가지고, 몫 모듈 ''R''/''M''이 단순 왼쪽 ''R''-가군이며, 그 소멸자가 ''R''의 고유한 양쪽 아이디얼이라는 사실에서 비롯된다. ''R''은 단순환이므로, 이 소멸자는 {0}이고 따라서 ''R''/''M''은 충실한 왼쪽 ''R''-가군이다.

바일 대수는 표수가 0인 체 위에서 원시환이며, 영역이므로, 최소 일방 아이디얼이 없는 예시이다.

원시환의 특별한 경우로, ''전체 선형환''이 있다. '''좌 전체 선형환'''은 가환환 위 무한 차원 좌 벡터 공간의 ''모든'' 선형 변환들의 환이다. ''R''이 폰 노이만 정칙환, 좌 자기 주입이며 근 soc(_''R''''R'') ≠ {0}일 때, ''R''이 좌 전체 선형환임이 알려져 있다. 선형대수학적 논증을 통해 $\backslash mathrm\{End\}(\_D\; V)\backslash ,$는 행 유한 행렬 $\backslash mathbb\{RFM\}\_I(D)\backslash ,$의 환과 동형임을 보일 수 있으며, 여기서 ''I''는 ''D'' 위의 ''V''의 차원 크기인 인덱스 집합이다.

야코브슨 밀도 성질에 의해, 좌 전체 선형환 ''R''은 항상 좌 원시환이다. dim_''D''''V''가 유한할 때 ''R''은 ''D'' 위의 정사각 행렬환이지만, dim_''D''''V''가 무한할 때 유한 계수 선형 변환의 집합은 ''R''의 고유한 양쪽 아이디얼이므로 ''R''은 단순환이 아니다.

6. 한국 수학계의 연구 동향

6. 1. 비가환 대수기하학

6. 2. 표현론

6. 3. K-이론

참조

_[1] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001
_[2] 저널 A ring primitive on the right but not on the left 1964-06