원시환

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1. 개요

원시환은 환의 일종으로, 왼쪽 원시환과 오른쪽 원시환으로 구분된다. 왼쪽 원시환은 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖거나 소환이며 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는 환으로 정의된다. 가환환의 경우, 왼쪽 원시환, 오른쪽 원시환, 체는 서로 동치이며, 왼쪽 아르틴 환에서는 이 조건들이 소환, 단순환, 나눗셈환 위의 행렬환과 동치이다. 원시환은 반원시환이자 소환이며, 단순환은 원시환이다. 야코브슨 조밀성 정리는 원시환의 분류에 중요한 역할을 한다.

원시환

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예
6. 한국 수학계의 연구 동향

2. 정의

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 원시환(left primitive ring^영어)이라고 한다.
* 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖는다.
* 소환이며, 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는다.
* 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 극대 왼쪽 아이디얼이 존재한다.
* 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼 $\mathfrak a\subsetneq R$ 이 존재한다.
** 임의의 아이디얼 $\mathfrak b\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak b\ne\{0\}$ 이라면 $\mathfrak a+\mathfrak b=R$ 이다.
* (제이컵슨 조밀성 정리 Jacobson density theorem^영어) 나눗셈환 $D$ 위의 왼쪽 가군 $V$ 에 이산 위상을 주고, 자기 함수 집합 $V^V$ 에 곱위상을 주고, 자기준동형환 $\operatorname{End}_DV\subseteq V^V$ 에 부분 공간 위상을 주면, $\operatorname{End}_DV$ 의 조밀 부분환과 동형이다.
오른쪽 원시환(right primitive ring^영어)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.

한쪽에서는 원시환이지만 다른 쪽에서는 원시환이 아닌 환이 존재한다. 최초의 예는 조지 M. 버그만(George M. Bergman)에 의해 구성되었다.

3. 성질

가환환에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.
* 왼쪽 원시환이다.
* 오른쪽 원시환이다.
* 체이다.

왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.
* 왼쪽 원시환이다.
* 오른쪽 원시환이다.
* 소환이다.
* 단순환이다.
* 나눗셈환 $D$ 위의 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;D)$ 과 동형이다 ( $n\in\mathbb N$ ).

왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(semiprimitive ring^영어)이며 소환(prime ring^영어)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

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좌우로 밀어서 보기

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

원시환은 반원시환이자 소환이다. 둘 이상의 영환이 아닌 환의 곱환은 소환이 아니므로, 원시환의 곱은 절대 원시환이 될 수 없다.

아르틴 환의 경우, "좌원시", "우원시", "소", "단순환" 조건이 모두 동치이며, 이 경우 나눗셈환 위의 정사각 행렬환과 동형인 반단순환이다. 더 일반적으로, 최소인 일측 아이디얼을 가진 임의의 환에서 "좌원시" = "우원시" = "소"이다.

가환환은 그 자체가 체일 때에만 좌원시환이다.

좌원시환인 것은 모리타 동치 불변 성질이다.

4. 분류

슈어 보조정리에 따라 $\operatorname{End}_RM$ 은 나눗셈환이다. $M$ 은 자연스럽게 $\operatorname{End}_RM$ 의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
: $R\to\operatorname{End}_RM$
: $r\mapsto(m\mapsto rm)$
$M$ 이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 단사 함수이다. 즉, $R$ 를 $\operatorname{End}_RM$ 의 부분환으로 여길 수 있으며, $\operatorname{End}_RM$ 의 작용을 $R$ 로 제약시키면, $R$ 의 원래 작용과 같다.

$M$ 에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합
: $M^M=\prod_{m\in M}M$
에 곱위상을 부여하고,
: $\operatorname{End}_RM\subseteq M^M$
에 부분 공간 위상을 부여한다.

제이콥슨 조밀성 정리(Jacobson density theorem^영어)에 따르면, $R$ 는 $\operatorname{End}_RM$ 의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.
* 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 및 $\vec m\in M^n$ 에 대하여, $R\vec m=M^n$ 이다.

5. 예

자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다. 표수가 0인 체 $K$ 에 대한 바일 대수 $K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)$ 는 원시환이다. 왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.

단위원을 가진 모든 단순환 R은 왼쪽 및 오른쪽 원시환이다. 이는 R이 극대 왼쪽 아이디얼 M을 가지고, 몫 모듈 R/M이 단순 왼쪽 R-가군이며, 그 소멸자가 R의 고유한 양쪽 아이디얼이라는 사실에서 비롯된다. R은 단순환이므로, 이 소멸자는 {0}이고 따라서 R/M은 충실한 왼쪽 R-가군이다.

바일 대수는 표수가 0인 체 위에서 원시환이며, 영역이므로, 최소 일방 아이디얼이 없는 예시이다.

원시환의 특별한 경우로, 전체 선형환이 있다. 좌 전체 선형환은 가환환 위 무한 차원 좌 벡터 공간의 모든 선형 변환들의 환이다. R이 폰 노이만 정칙환, 좌 자기 주입이며 근 soc(_RR) ≠ {0}일 때, R이 좌 전체 선형환임이 알려져 있다. 선형대수학적 논증을 통해 $\mathrm{End}(_D V)\,$ 는 행 유한 행렬 $\mathbb{RFM}_I(D)\,$ 의 환과 동형임을 보일 수 있으며, 여기서 I는 D 위의 V의 차원 크기인 인덱스 집합이다.

야코브슨 밀도 성질에 의해, 좌 전체 선형환 R은 항상 좌 원시환이다. dim_DV가 유한할 때 R은 D 위의 정사각 행렬환이지만, dim_DV가 무한할 때 유한 계수 선형 변환의 집합은 R의 고유한 양쪽 아이디얼이므로 R은 단순환이 아니다.

원시환

1. 개요

2. 정의

3. 성질

4. 분류

5. 예

6. 한국 수학계의 연구 동향

6.1. 비가환 대수기하학

6.2. 표현론

6.3. K-이론