수학적 구조
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1. 개요
수학적 구조는 수학의 근본 개념으로, 20세기 프랑스 수학자 그룹인 니콜라 부르바키에 의해 수학의 핵심으로 여겨졌다. 수학적 구조는 주 기저 집합, 부 기저 집합, 대표적 특성 기술, 공리계의 네 가지 요소로 정의되며, 대수 구조, 위상 구조, 순서 구조 등 다양한 종류가 있다. 이러한 구조는 실수의 예시와 같이 서로 연관되어 있으며, 수학적 문제 해결에 유용하게 활용된다. 부르바키의 구조 개념은 수학적 사고의 효율성을 높였지만, 범주론 무시, 추상성 과다 등의 비판도 존재한다.
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| 수학적 구조 | |
|---|---|
| 수학적 구조 | |
| 유형 | 추상적 구조 |
| 연구 분야 | 수학 |
| 관련 개념 | 집합, 관계, 함수, 연산, 공리, 정리 |
| 하위 유형 | 대수 구조, 순서론적 구조, 위상 구조, 기하 구조, 범주론적 구조 |
| 세부 정보 | |
| 정의 | 수학적 대상과 그 대상에 적용될 수 있는 연산, 관계, 함수, 공리 등을 포괄하는 개념 |
| 예시 | 군, 환, 체, 위상 공간, 미분 다양체, 그래프 |
| 특징 | 수학적 대상 간의 관계를 정의하고, 그 관계를 통해 대상을 분류하고 분석하는 데 사용됨 추상적인 개념으로, 다양한 구체적인 수학적 대상을 일반화하고 통합하는 데 기여함 수학적 구조의 보존은 수학적 대상 간의 동형 사상을 정의하는 데 중요한 역할 |
2. 역사
니콜라 부르바키라는 필명을 사용하는 프랑스 수학자 그룹은 1939년에 구조를 수학의 근본으로 보았다. 그들은 "집합론"의 "Fascicule"에서 처음 언급했으며, 1957년 판의 제4장에서 확장했다.[2] 이들은 대수 구조, 위상 구조, 순서 구조의 세 가지 '모체 구조'를 식별했다.[2][3]
2. 1. 부르바키 이전
수학사에서 현대적이고 혁신적인 개념들은 종종 고대에서 그 기원을 찾을 수 있다. 17세기 라이프니츠와 뉴턴이 고안한 미분법 및 적분법은 초기 형태로는 에우독소스나 아르키메데스가 이미 사용했던 방법이다. 수학적 구조의 개념도 마찬가지로, 명시적인 공식화 이전에 이미 사용되었다. 따라서 구조 개념에 대한 최초의 정의나 언급은 찾기 쉽지만, 그 개념이 처음 사용된 시점을 특정하기는 어렵다.합동 산술에서 구조의 개념은 가우스의 ''산술 연구''(Disquisitiones Arithmeticae, 1801)에 나타난다. 가우스는 유클리드 나눗셈의 잉여에 대해 구조적인 관점에서 연구를 수행했으며, 이는 군론의 기원 중 하나가 되었다.
갈루아 이론에서 갈루아는 대칭성을 사용하여 구조적인 방법을 제시했다. 조르당의 군론, 크로네커의 체론 등도 구조적인 방법을 사용했다. 특히, 갈루아의 업적은 대수학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.
선형대수학에서 구조 개념은 두 단계로 나타난다. 먼저, 유클리드 기하학의 공리적 방법이 엄밀한 형태로 확립되었다(Hilbert's axioms|힐베르트의 공리영어 참조). 이후, 벡터 공간의 공식화에는 그라스만과 페아노가 참여했으며, 바나흐와 부르바키에 의해 최종 형태를 갖추게 되었다.
다양체의 구조 개념은 리만의 방법론에서 나타났다.
2. 2. 니콜라 부르바키
니콜라 부르바키라는 필명을 사용하는 프랑스 수학자 그룹은 1939년에 구조를 수학의 근본으로 제시했다. 이들은 "집합론"의 "Fascicule"에서 처음 언급했으며, 1957년 판의 제4장에서 확장했다.[2] 니콜라 부르바키는 '''세 가지 ''모체 구조''': 대수 구조, 위상 구조, 순서 구조'''를 식별했다.[2][3]3. 정의
보편 대수학과 형 이론을 바탕으로 수학적 구조를 정의한다.
구조종(species of structure)은 다음 네 가지로 구성된다.
- '''주 기저 집합(principal base set)''' 또는 대집합(underlying set): (어떤 구조도 갖지 않는) 단순한 집합.
- '''부 기저 집합(auxiliary base set)''': (그 자체가 이미 구조를 가진) 보조적인 집합.
- '''대표적 특성 기술(predicate)''': "'''계단''' (주 기저 집합과 부 기저 집합으로부터, 데카르트 곱과 멱집합을 반복하여 얻어지는 집합)에 해당 '''구조'''가 포함된다"는 것을 나타내는 논리식.
- '''공리계''': 구조가 만족하는 논리식.
예를 들어, 순서 구조의 주 기저 집합은 그 원소의 쌍 사이에 순서 관계가 정의되는 (또는 정의하려는) 집합이다. 위상 구조라면, 위상을 넣으려고 하는 또는 들어있는 집합이다. 벡터 공간의 주 기저 집합은 벡터로 이루어진 집합이고, 부 기저 집합은 어떤 정해진 체이다.
3. 1. 구조의 종류
구조종(species of structure)은 다음 네 가지로 구성된다.- '''주 기저 집합(principal base set)''' 또는 대집합(underlying set): (어떤 구조도 갖지 않는) 단순한 "벌거벗은" 집합. 여러 개일 수 있지만 기본적으로는 하나이다.
- '''부 기저 집합(auxiliary base set)''': (그 자체가 이미 구조를 가진) 보조적인 집합. 여러 개일 수 있고, 없을 수도 있다.
- '''대표적 특성 기술(predicate)''': "'''계단''' (주 기저 집합과 부 기저 집합으로부터, 데카르트 곱과 멱집합을 반복하여 얻어지는 집합)에 해당 '''구조'''가 포함된다"는 것을 나타내는 논리식. 여러 개일 수 있다.
- '''공리계''': 구조가 만족하는 논리식. 단, ''이행 가능''이라는 조건이 붙는다. 이 조건은 준동형 등을 정의할 때 필요하게 된다.
주어진 기저(주 및 부 기저의 전부)로부터 만들어진, 어떤 계단 안의 하나의 집합 을 고려할 때, 의 원소에 관한 구체적인 성질에 의해 의 부분집합이 정해지지만, 몇 가지 정해진 성질에 대한 그러한 부분집합들의 교집합을 라고 한다. 이때, 하나의 원소 는 주어진 기저 집합에 '''종 의 구조를 결정한다'''고 하며, 로부터의 귀결로서 얻어지는 임의의 정리는 '''종 의 구조의 이론에 속한다'''고 한다.
예를 들어, 순서 구조의 주 기저 집합이란, 그 원소의 쌍 사이에 순서 관계가 정의되는 (또는 정의하려는) 집합을 말한다. 위상 구조라면, 위상을 넣으려고 하는 또는 들어있는 집합이다. 벡터 공간의 주 기저 집합은 벡터로 이루어진 집합이고, 부 기저 집합은 어떤 정해진 체이다. 복소 다양체는, 다양체의 점 집합을 주 기저 집합으로 하고, 복소수체를 부 기저 집합으로 한다.
3. 2. 구조의 비교
전순서 집합의 구조는 반순서 집합의 구조보다 풍부하다.[1]3. 3. 구조의 동일성
두 부분 집합이 있고, 각각에 속하는 종 , 가 공리에 의해 정의되며, 이들 사이에 전단사 가 표현되어 있다고 가정한다. 이때, 대응하는 구조 는 주어진 기저 위에 동일한 구조를 정하는 것으로 간주되며, 종 , 각각을 정의하는 공리계는 서로 '''동등'''하다고 한다.[1]예를 들어, 위상 공간의 위상 구조는 여러 동등한 공리계에 의해 주어질 수 있다.[1]
3. 4. 이론의 일의성과 다의성
어떤 구조를 정의하는 공리계가 있고, 이 공리계는 임의의 집합에 대해 언급될 수 있다고 하자. 이 공리들을 만족하는 두 구조가 각각 서로 다른 집합 E와 F 위에 정의되어 있다고 가정할 때, 만약 이 두 구조가 (존재한다면) 반드시 동형이 된다는 결론이 공리로부터 나온다면, 이러한 공리를 만족하는 구조의 이론은 일의적이라고 한다. 그렇지 않은 경우는 다의적이라고 한다.[1] 이로부터 E와 F가 대등하다는 것이 유도된다.4. 구조의 예시
실수는 순서 구조, 대수 구조, 위상 구조를 모두 가진다. 즉, 실수는 전순서 집합이며, 체이고, 거리 공간이다.
4. 1. 실수의 구조
실수 집합은 여러 표준적인 구조를 가진다.- 순서: 각 숫자는 다른 숫자보다 작거나 크다.
- 대수적 구조: 덧셈과 곱셈 연산이 있으며, 덧셈 연산은 군을 만들고, 두 연산의 쌍은 체를 만든다.
- 측도: 실수의 구간은 특정 길이를 가지며, 이는 많은 부분 집합에 대한 르베그 측도로 확장될 수 있다.
- 거리: 점들 사이의 거리에 대한 개념이 있다.
- 기하학: 거리가 갖춰져 있으며 평탄하다.
- 위상: 열린 집합에 대한 개념이 있다.
이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
예를 들어 실수는 위 세 가지 구조를 모두 가지고 있다. 즉, 실수는 전순서 집합이며, 체이며, 거리 공간이다.
5. 의의 및 유용성
해석기하학에서 좌표를 사용한 해법과 위치 벡터를 사용한 해법을 비교해 보면, 후자가 동일한 내용을 표현하더라도 중복된 서술을 생략할 수 있지만, 문제를 푸는 수단이라는 점에서는 둘 다 변함이 없다. 구조의 개념 또한 표현과 사고의 절약에 도움이 된다.
갈루아 이론에서는, 단순한 계산의 세련됨을 넘어선 구조의 개념을 통해 방정식론의 난제였던 5차 방정식의 해법뿐만 아니라 기하학의 난제였던 각의 3등분 문제와 원적 문제의 해결에도 연결되었다.
부르바키가 말하는 "수학자에게 풍부한 영감을 주는 지식"은 서로 다른 구조의 유사성에 있어서 한쪽에서 성립하는 이론이 다른 쪽에서도 성립하는 것이 아닐까 하는 예상을 구조에 대한 지식이 쉽게 할 수 있게 해준다는 것을 의미한다. 예를 들어, 정수환과 유한체 위의 1변수 다항식 환 사이의 구조적 유사성에서 앙드레 베유에 의해 리만 가설과 유사한 문제가 해결되었다. 리만 가설과 관련해 대략적으로 말하면, 현재에도 이 방향으로 연구가 진행되고 있다.
그러나, 어떤 구조의 개념 적용이 문제를 해결하는 데 있어서 엉뚱한 방향으로 흘러가는 경우도 있다. 푸앵카레 추측은 지금까지 많은 연구자들에게 유용하다고 여겨졌던 위상수학에서 다루는 위상 다양체의 개념이 아니라, 더 강력한 이론인—미분 가능 다양체를 다루는 미분 기하학의 범주 내의 문제로서 해결되었다.[1]
6. 구조와 부르바키주의에 대한 비판
- 범주론을 무시했다는 점이 지적된다.[4]
- 수학 기초론에 대해 편향된 시각으로 다루었다는 비판이 있다.[4]
- 지나치게 추상성에 치중하여 교육적인 면을 고려하지 않았다는 비판도 제기된다.[4]
참조
[1]
논문
Structure in Mathematics
http://www2.mat.ulav[...]
1996
[2]
논문
Nicolas Bourbaki and the concept of mathematical structure
1992-09
[3]
서적
Biological signal processing and computational neuroscience
http://www.mrc.uidah[...]
2016-04-07
[4]
서적
リヒャルト・デデキント（渕野昌/訳・解説）：数とは何かそして何であるべきか
筑摩書房
2013-07-10
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