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반정다면체

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목차

1. 개요

반정다면체는 정다각형 면을 가지며 꼭짓점에 대해 추이적인 대칭군을 갖는 다면체를 의미하며, 오늘날에는 균일 다면체로 더 일반적으로 불린다. 여기에는 13개의 아르키메데스 다면체, 무한한 일련의 볼록 기둥, 그리고 무한한 일련의 볼록 각기둥이 포함된다. 준정다면체는 꼭짓점 배치로 완전히 지정할 수 있으며, 고셋 이후 다양한 정의가 제시되어 용어 사용에 혼란이 있다. 볼록 반정다면체에는 정다각형의 각기둥, 엇각기둥, 아르키메데스의 다면체가 해당되며, 오목 반정다면체는 아직 내용이 추가되지 않았다.

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반정다면체
정의
정의볼록한 면을 가진 두 종류 이상의 정다각형 면으로 이루어져 있고, 각 꼭짓점이 합동인 다면체
종류
종류아르키메데스의 다면체 (Archimedean solid)
각기둥 (Prism)
반각기둥 (Antiprism)
조건
면의 조건두 종류 이상의 정다각형으로 이루어짐
볼록성볼록
꼭짓점 조건모든 꼭짓점이 합동
정다면체 여부정다면체는 아님
참고
관련 용어깎은 정다면체

2. 정의

반정다면체는 면이 정다각형이고 꼭짓점에서 대칭군이 추이적인 다면체이다. 초기에는 이렇게 정의했지만, 현대에는 토럴드 고셋의 정의를 따라 균일 다면체를 반정다면체라고 부른다.[1][2]

하지만 '준정다면체'라는 용어는 여러 학자들에 의해 다르게 사용되었다. 고셋 이후, 일부 학자들은 별 다면체나 쌍대 다면체를 포함하여 더 많은 다면체를 준정규로 분류했다. 요하네스 케플러는 ''우주의 조화(1619)''에서 아르키메데스 다면체, 각기둥, 각뿔대, 카탈란 다면체 등을 포함하는 준정다면체 범주를 만들었고, 마름모를 준정다각형으로 간주하기도 했다.

케플러의 롬빅 준정다면체

삼각 사다리꼴 면체
(V(3.3)2)

마름모 십이 면체
V(3.4)2

마름모 삼십 면체
V(3.5)2



많은 경우 '준정다면체'는 아르키메데스 다면체와 동의어로 사용되지만,[7] 일부 학자들은 정다면체를 제외한 볼록 균일 다면체를 준정다면체로 정의하기도 한다.[8][9] 이처럼 '준정다면체'라는 용어는 학자마다 다르게 정의하고 사용하여 혼란을 야기하기도 한다.

2. 1. 초기 정의

원래 정의에 따르면, 반정다면체는 정다각형 면을 가진 다면체이며, 꼭짓점에 대해 추이적인 대칭군을 갖는다. 오늘날에는 이를 더 일반적으로 균일 다면체라고 부른다(이는 더 일반적인 준정규 다포체에 대한 토럴드 고셋의 1900년 정의를 따른다).[1][2] 이러한 다면체에는 다음이 포함된다.

  • 13개의 아르키메데스 다면체.
  • * 늘린 정사각 기둥 돔(의사 정육면체 팔면체라고도 함)은 존슨의 다면체이며 동일한 꼭짓점 도형 (3.4.4.4)을 갖지만 꼬임 때문에 꼭짓점-추이가 아니다. 브랑코 그룬바움은 이를 14번째 아르키메데스 다면체로 포함해야 한다고 주장했다.
  • 무한한 일련의 볼록 기둥.
  • 무한한 일련의 볼록 각기둥 (그들의 준정규성은 케플러에 의해 처음 관찰되었다).


이러한 '''준정규 다면체'''는 꼭짓점 배치로 완전히 지정할 수 있다. 꼭짓점 주위에 나타나는 순서대로 면의 변의 수를 나열한다. 예를 들어, 3.5.3.5는 각 꼭짓점 주위에 두 개의 삼각형과 두 개의 오각형이 번갈아 가며 나타나는 이십이포체를 나타낸다. 반대로, 3.3.3.5는 오각 기둥이다. 이러한 다면체는 때때로 꼭짓점-추이라고 설명된다.

고셋 이후, 다른 저자들은 더 높은 차원의 다포체와 관련하여 다른 방식으로 '''준정규'''라는 용어를 사용했다. E. L. Elte[3]는 콕세터가 너무 인위적이라고 생각한 정의를 제공했다. 콕세터 자신은 고셋의 도형을 '균일'이라고 명명했으며, 단지 매우 제한된 하위 집합만 준정규로 분류했다.[4]

그러나 다른 사람들은 반대 방향으로 나아가 더 많은 다면체를 준정규로 분류했다. 여기에는 다음이 포함된다.

  • 위에 나열된 세 개의 볼록 집합과 유사한, 고셋의 정의를 충족하는 세 개의 별 다면체 집합.
  • 위의 준정규 다면체의 쌍대 다면체. 쌍대 다면체가 원본과 동일한 대칭을 공유하므로 이들도 준정규로 간주해야 한다고 주장한다. 이러한 쌍대 다면체에는 카탈랑의 다면체, 볼록 이중 피라미드 및 볼록 이중 각뿔 또는 사다리꼴 다면체와 비볼록 유사체가 포함된다.


또 다른 혼란의 원인은 아르키메데스 다면체가 정의되는 방식에 있으며, 여기에도 서로 다른 해석이 나타난다.

고셋의 준정규 정의에는 더 높은 대칭의 도형이 포함된다. 정규 및 준정규 다면체. 일부 후기 저자는 이러한 도형이 준정규가 아니라고 말하는 것을 선호한다. 왜냐하면 그들은 그보다 더 규칙적이기 때문이다. 그러면 균일 다면체는 정규, 준정규 및 준정규 다면체를 포함한다고 한다. 이 명명 시스템은 잘 작동하며 많은 (그러나 결코 모든 것은 아님) 혼란을 해결한다.

실제로 가장 저명한 권위자조차도 혼란을 겪을 수 있으며, 주어진 다면체 집합을 준정규 및/또는 아르키메데스 다면체로 정의한 다음, 후속 논의에서 다른 집합을 가정하거나 심지어 명시한다. 자신의 정의가 볼록 다면체에만 적용된다고 가정하는 것이 아마도 가장 일반적인 실수일 것이다. 콕세터, 크롬웰,[5] 및 캔디와 롤렛[6] 모두 그러한 실수를 저질렀다.

2. 2. 현대적 정의

원래 정의에 따르면, 반정다면체는 정다각형 면을 가진 다면체이며, 꼭짓점에 대해 추이적인 대칭군을 갖는다. 오늘날에는 이를 더 일반적으로 균일 다면체라고 부르며, 이는 더 일반적인 준정규 다포체에 대한 토럴드 고셋의 1900년 정의를 따른다.[1][2] 이러한 다면체에는 다음이 포함된다.

  • 13개의 아르키메데스 다면체.
  • 무한한 일련의 볼록 기둥.
  • 무한한 일련의 볼록 각기둥 (그들의 준정규성은 케플러에 의해 처음 관찰되었다).


이러한 '''준정규 다면체'''는 꼭짓점 배치로 완전히 지정할 수 있다. 꼭짓점 주위에 나타나는 순서대로 면의 변의 수를 나열한다. 예를 들어, 3.5.3.5는 각 꼭짓점 주위에 두 개의 삼각형과 두 개의 오각형이 번갈아 가며 나타나는 이십이포체를 나타낸다. 반대로, 3.3.3.5는 오각 기둥이다. 이러한 다면체는 때때로 꼭짓점-추이라고 설명된다.

고셋 이후, 다른 저자들은 더 높은 차원의 다포체와 관련하여 다른 방식으로 '''준정규'''라는 용어를 사용했다. E. L. Elte[3]는 콕세터가 너무 인위적이라고 생각한 정의를 제공했다. 콕세터 자신은 고셋의 도형을 '균일'이라고 명명했으며, 단지 매우 제한된 하위 집합만 준정규로 분류했다.[4]

그러나 다른 사람들은 반대 방향으로 나아가 더 많은 다면체를 준정규로 분류했다. 여기에는 다음이 포함된다.

  • 위에 나열된 세 개의 볼록 집합과 유사한, 고셋의 정의를 충족하는 세 개의 별 다면체 집합.
  • 위의 준정규 다면체의 쌍대 다면체. 쌍대 다면체가 원본과 동일한 대칭을 공유하므로 이들도 준정규로 간주해야 한다고 주장한다. 이러한 쌍대 다면체에는 카탈랑의 다면체, 볼록 이중 피라미드 및 볼록 이중 각뿔 또는 사다리꼴 다면체와 비볼록 유사체가 포함된다.


또 다른 혼란의 원인은 아르키메데스 다면체가 정의되는 방식에 있으며, 여기에도 서로 다른 해석이 나타난다.

고셋의 준정규 정의에는 더 높은 대칭의 도형이 포함된다. 정규 및 준정규 다면체. 일부 후기 저자는 이러한 도형이 준정규가 아니라고 말하는 것을 선호하는데, 왜냐하면 그들은 그보다 더 규칙적이기 때문이다. 그러면 균일 다면체는 정규, 준정규 및 준정규 다면체를 포함한다고 한다. 이 명명 시스템은 잘 작동하며 많은 (그러나 결코 모든 것은 아님) 혼란을 해결한다.

실제로 가장 저명한 권위자조차도 혼란을 겪을 수 있으며, 주어진 다면체 집합을 준정규 및/또는 아르키메데스 다면체로 정의한 다음, 후속 논의에서 다른 집합을 가정하거나 심지어 명시한다. 자신의 정의가 볼록 다면체에만 적용된다고 가정하는 것이 아마도 가장 일반적인 실수일 것이다. 콕세터, 크롬웰,[5] 및 캔디와 롤렛[6] 모두 그러한 실수를 저질렀다.

2. 3. 용어 사용의 혼란

원래 정의에 따르면, 준정다면체는 정다각형 면을 가진 다면체이며, 꼭짓점에 대해 추이적인 대칭군을 갖는다. 오늘날에는 이를 더 일반적으로 균일 다면체라고 부른다.[1][2] 이러한 다면체에는 다음이 포함된다.

  • 13개의 아르키메데스 다면체.
  • 늘린 정사각 기둥 돔(의사 정육면체 팔면체라고도 함)은 존슨의 다면체이며 동일한 꼭짓점 도형(3.4.4.4)을 갖지만 꼬임 때문에 꼭짓점-추이가 아니다. 브랑코 그룬바움은 이를 14번째 아르키메데스 다면체로 포함해야 한다고 주장했다.
  • 무한한 일련의 볼록 기둥.
  • 무한한 일련의 볼록 각기둥(그들의 준정규성은 케플러에 의해 처음 관찰되었다).


이러한 준정규 다면체는 꼭짓점 배치로 완전히 지정할 수 있다. 예를 들어, 3.5.3.5는 각 꼭짓점 주위에 두 개의 삼각형과 두 개의 오각형이 번갈아 가며 나타나는 이십이십면체를 나타낸다. 반대로, 3.3.3.5는 오각기둥이다. 이러한 다면체는 때때로 꼭짓점-추이라고 설명된다.

고셋 이후, 다른 저자들은 더 높은 차원의 다포체와 관련하여 다른 방식으로 '준정규'라는 용어를 사용했다. E. L. Elte는[3] 콕세터가 너무 인위적이라고 생각한 정의를 제공했다. 콕세터 자신은 고셋의 도형을 '균일'이라고 명명했으며, 단지 매우 제한된 하위 집합만 준정규로 분류했다.[4]

그러나 다른 사람들은 반대 방향으로 나아가 더 많은 다면체를 준정규로 분류했다. 여기에는 다음이 포함된다.

  • 위에 나열된 세 개의 볼록 집합과 유사한, 고셋의 정의를 충족하는 세 개의 별 다면체 집합.
  • 위의 준정규 다면체의 쌍대 다면체. 쌍대 다면체가 원본과 동일한 대칭을 공유하므로 이들도 준정규로 간주해야 한다고 주장한다. 이러한 쌍대 다면체에는 카탈랑 다면체, 볼록 이중 피라미드 및 볼록 이중 각뿔 또는 사다리꼴 다면체와 비볼록 유사체가 포함된다.


또 다른 혼란의 원인은 아르키메데스 다면체가 정의되는 방식에 있으며, 여기에도 서로 다른 해석이 나타난다.

고셋의 준정규 정의에는 더 높은 대칭의 도형이 포함된다. 정규 및 준정규 다면체. 일부 후기 저자는 이러한 도형이 준정규가 아니라고 말하는 것을 선호한다. 왜냐하면 그들은 그보다 더 규칙적이기 때문이다. 그러면 균일 다면체는 정규, 준정규 및 준정규 다면체를 포함한다고 한다. 이 명명 시스템은 잘 작동하며 많은 (그러나 결코 모든 것은 아님) 혼란을 해결한다.

실제로 가장 저명한 권위자조차도 혼란을 겪을 수 있으며, 주어진 다면체 집합을 준정규 및/또는 아르키메데스 다면체로 정의한 다음, 후속 논의에서 다른 집합을 가정하거나 심지어 명시한다. 자신의 정의가 볼록 다면체에만 적용된다고 가정하는 것이 아마도 가장 일반적인 실수일 것이다. 콕세터, 크롬웰,[5] 및 캔디와 롤렛[6] 모두 그러한 실수를 저질렀다.

롬빅 준정다면체 (케플러)

삼각 사다리꼴 면체
(V(3.3)2)
마름모 십이 면체
V(3.4)2
마름모 삼십 면체
V(3.5)2



요하네스 케플러는 그의 저서 ''우주의 조화(Harmonices Mundi)'' (1619)에서 준정다면체 범주를 만들었으며, 여기에는 13개의 아르키메데스 다면체, 두 개의 무한 계열 (각기둥과 정다각형을 밑면으로 하는 각뿔대), 그리고 두 개의 모서리 추이 카탈란 다면체인 마름모 십이 면체와 마름모 삼십 면체가 포함되었다. 그는 또한 마름모를 준정다각형(정변이며 두 각을 번갈아 갖는)으로 간주했으며, 현재 등각 도형이라고 불리는 별 다각형을 평면 타일링에 사용했다. 삼각 사다리꼴 면체는 합동하는 마름모 면을 가진 위상적 정육면체인데, 케플러가 특별히 언급하지는 않았지만 준정다면체로 간주될 수 있다.

많은 작품에서 '준정다면체'는 아르키메데스 다면체의 동의어로 사용된다.[7] 예를 들어, Cundy & Rollett (1961)이 있다.

우리는 고셋에 기반하여 면이 정규적인 도형과 꼭짓점 추이 도형, 그리고 수직 정규적(또는 면 추이적)인 이중 도형을 구별할 수 있다.

Coxeter et al. (1954)은 용어 '준정다면체'를 사용하여 형태가 ''p q | r''인 와이소프 기호를 가진 균일 다면체를 분류했는데, 이 정의는 아르키메데스 다면체 중 6개뿐만 아니라 정각기둥 (하지만 정각뿔대는 아님)과 수많은 비볼록 다면체를 포함한다. 이후, Coxeter (1973)는 고셋의 정의를 아무런 언급 없이 인용함으로써 암묵적으로 이를 수용했다.

에릭 와이스타인, 로버트 윌리엄스 등은 이 용어를 5개의 정다면체를 제외한 볼록 균일 다면체를 의미하는 데 사용하며, 여기에는 아르키메데스 다면체, 균일 각기둥, 그리고 균일 각뿔대 (각기둥으로서의 정육면체 및 각뿔대로서의 정팔면체와 중첩됨)가 포함된다.[8][9]

피터 크롬웰 (1997)은 149 페이지의 각주에서 "현재 용어에서 '준정다면체'는 아르키메데스 다면체와 카탈란 다면체(아르키메데스 다면체의 이중 다면체)를 의미한다"고 썼다. 80페이지에서는 13개의 아르키메데스 다면체를 준정다면체로 묘사하고, 367페이지 이후에서는 카탈란 다면체와 '준정' 아르키메데스 다면체와의 관계에 대해 논의한다. 이것은 암묵적으로 카탈란 다면체를 준정다면체가 아닌 것으로 취급하여, 앞서 각주에서 제공한 정의와 효과적으로 모순되거나 혼란을 준다. 그는 비볼록 다면체를 무시한다.

3. 종류

반정다면체는 여러 종류로 나눌 수 있으며, 크게 볼록 반정다면체와 오목 반정다면체로 나뉜다.

'준정다면체'라는 용어는 아르키메데스의 다면체와 같은 의미로 사용되기도 한다.[7] (Cundy & Rollett, 1961).

꼭짓점 추이 도형, 면이 정규적인 도형, 수직 정규적(또는 면 추이적)인 이중 도형을 구분할 수 있다.

Coxeter et al. (1954)은 ''p q | r'' 와이소프 기호를 가진 균일 다면체를 '준정다면체'로 분류했는데, 여기에는 아르키메데스 다면체 6개, 정각기둥(정각뿔대 제외), 비볼록 다면체가 포함된다. Coxeter (1973)은 고셋의 정의를 암묵적으로 수용했다.

에릭 와이슈타인, 로버트 윌리엄스 등은 5개의 정다면체를 제외한 볼록 균일 다면체를 '준정다면체'로 칭하며, 여기에는 아르키메데스 다면체, 균일 각기둥, 균일 각뿔대(정육면체, 정팔면체와 중첩)가 포함된다.[8][9]

피터 크롬웰 (1997)은 '준정다면체'를 아르키메데스 다면체와 카탈란 다면체(아르키메데스 다면체의 이중 다면체)로 정의했지만, 카탈란 다면체를 준정다면체가 아닌 것으로 취급하여 혼란을 주기도 했다. 비볼록 다면체는 고려하지 않았다.

롬빅 준정다면체 (케플러)

삼각 사다리꼴 면체
(V(3.3)2)
마름모 십이 면체
V(3.4)2
마름모 삼십 면체
V(3.5)2



요하네스 케플러는 마름모를 준정다각형(정변, 두 각을 번갈아 갖는)으로, 등각 도형인 별 다각형을 평면 타일링에 사용했다. 삼각 사다리꼴 면체는 합동하는 마름모 면을 가진 위상적 정육면체로, 케플러가 특별히 언급하지 않았지만 준정다면체로 간주될 수 있다.

3. 1. 볼록 반정다면체

정다각형의 각기둥, 엇각기둥, 아르키메데스의 다면체가 해당된다. 이 중 육팔면체와 십이이십면체는 변추이여서 준정다면체에도 해당된다. 요하네스 케플러는 그의 저서 ''우주의 조화''(1619)에서 준정다면체 범주를 만들었으며, 여기에는 13개의 아르키메데스의 다면체, 두 개의 무한 계열 (각기둥과 정다각형을 밑면으로 하는 각뿔대), 그리고 두 개의 모서리 추이 카탈란 다면체인 마름모 십이 면체와 마름모 삼십 면체가 포함되었다.

3. 2. 오목 반정다면체

4. 추가 정보

요하네스 케플러는 그의 저서 ''우주의 조화''(1619)에서 준정다면체 범주를 만들었다. 여기에는 13개의 아르키메데스 다면체, 두 개의 무한 계열 (각기둥과 정다각형을 밑면으로 하는 각뿔대), 그리고 두 개의 모서리 추이 카탈란 다면체인 마름모 십이 면체와 마름모 삼십 면체가 포함되었다.[7] 케플러는 마름모를 준정다각형(정변이며 두 각을 번갈아 갖는)으로 간주했으며, 현재 등각 도형이라고 불리는 별 다각형을 평면 타일링에 사용했다. 삼각 사다리꼴 면체는 합동하는 마름모 면을 가진 위상적 정육면체인데, 케플러가 특별히 언급하지는 않았지만 준정다면체로 간주될 수 있다.

롬빅 준정다면체 (케플러)
삼각 사다리꼴 면체 (V(3.3)2) 마름모 십이 면체 (V(3.4)2) 마름모 삼십 면체 (V(3.5)2)



많은 작품에서 ''준정다면체''는 아르키메데스 다면체의 동의어로 사용된다.[7] Cundy & Rollett (1961)가 그 예이다.

고셋의 정의에 따르면, 면이 정규적인 도형과 꼭짓점 추이 도형, 그리고 수직 정규적(또는 면 추이적)인 이중 도형을 구별할 수 있다.

Coxeter et al. (1954)은 ''준정다면체''라는 용어를 사용하여 형태가 ''p q | r''인 와이소프 기호를 가진 균일 다면체를 분류했다. 이 정의는 아르키메데스 다면체 중 6개뿐만 아니라 정각기둥 (하지만 정각뿔대는 아님)과 수많은 비볼록 다면체를 포함한다. 이후, Coxeter (1973)는 고셋의 정의를 아무런 언급 없이 인용함으로써 암묵적으로 이를 수용했다.

에릭 와이슈타인, 로버트 윌리엄스 등은 이 용어를 5개의 정다면체를 제외한 볼록 균일 다면체를 의미하는 데 사용한다. 여기에는 아르키메데스 다면체, 균일 각기둥, 그리고 균일 각뿔대 (각기둥으로서의 정육면체 및 각뿔대로서의 정팔면체와 중첩됨)가 포함된다.[8][9]

피터 크롬웰 (1997)은 149 페이지의 각주에서 "현재 용어에서 '준정다면체'는 아르키메데스 다면체와 카탈란 다면체 (아르키메데스 다면체의 이중 다면체)를 의미한다"고 썼다. 80페이지에서는 13개의 아르키메데스 다면체를 준정다면체로 묘사하고, 367페이지 이후에서는 카탈란 다면체와 '준정' 아르키메데스 다면체와의 관계에 대해 논의한다. 이는 카탈란 다면체를 준정다면체가 아닌 것으로 암묵적으로 취급하여, 앞서 각주에서 제공한 정의와 모순되거나 혼란을 준다. 그는 비볼록 다면체를 무시한다.

참조

[1] 간행물 On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions Macmillan
[2] 서적 Regular polytopes Dover
[3] 서적 The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces University of Groningen
[4] 논문 Uniform Polyhedra https://www.jstor.or[...]
[5] 서적 Polyhedra Cambridge University Press
[6] 서적 Mathematical models Oxford University Press
[7] 백과사전 Archimedes http://www.search.eb[...] Encyclopædia Britannica 2006-12-19
[8] 웹사이트 Semiregular polyhedron SemiregularPolyhedro[...]
[9] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design Dover Publications, Inc


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