방정식론
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1. 개요
방정식론은 19세기 말까지 대수학과 거의 동의어로 사용되었으며, 단일 미지수에 대한 비선형 다항식 방정식의 해를 구하는 것이 주요 문제였다. 16세기에 4차 방정식까지 해가 구해졌으며, 5차 이상의 방정식은 19세기에 아벨-루피니 정리에 의해 근으로 풀 수 없음이 증명되었다. 또한 일차 방정식, 연립 일차 방정식, 디오판토스 방정식, 다항 방정식 계 등 다양한 방정식 관련 문제들이 연구되었다.
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2. 역사
19세기 말까지 "방정식론"은 "대수학"과 거의 동의어였다. 오랫동안 주요 문제는 단일 방정식의 단일 미지수에 대한 비선형 다항식 방정식의 해를 찾는 것이었다. 복소수 해가 항상 존재한다는 사실은 19세기 초에 증명되었지만, 순수한 대수적 증명이 없는 대수학의 기본 정리이다. 그럼에도 불구하고 대수학자들의 주요 관심사는 근을 사용하여 해를 구하는 것이었는데, 이는 산술의 네 가지 연산과 n제곱근으로 구성된 공식으로 해를 표현하는 것이었다.
1799년 파올로 루피니는 일부 5차 방정식은 근으로 풀 수 없다는 불완전한 증명을 제시했고, 닐스 헨리크 아벨은 1824년 완전한 증명(현재 아벨-루피니 정리로 알려짐)을 내놓았다. 에바리스트 갈루아는 나중에 근으로 풀 수 있는 방정식을 결정하기 위한 이론(현재 갈루아 이론이라고 함)을 도입했다.
2. 1. 고대 ~ 16세기
19세기 말까지 "방정식론"은 거의 "대수학"과 동의어였다. 오랫동안 주요 문제는 단일 방정식의 단일 미지수에 대한 비선형 다항식 방정식의 해를 찾는 것이었다. 복소수 해가 항상 존재한다는 사실은 19세기 초에 증명되었지만 순수한 대수적 증명이 없는 대수학의 기본 정리이다. 그럼에도 불구하고 대수학자들의 주요 관심사는 근을 사용하여 해를 구하는 것이었는데, 이는 산술의 네 가지 연산과 n제곱근으로 구성된 공식으로 해를 표현하는 것이었다. 이는 16세기에 4차까지 이루어졌다. 시피오네 델 페로와 니콜로 폰타나 타르탈리아는 3차 방정식의 해를 발견했다. 제로라모 카르다노는 1545년 그의 저서 ''아르스 마그나''에 그의 제자 로도비코 페라리가 발견한 4차 방정식의 해와 함께 이들을 출판했다. 1572년 라파엘 봄벨리는 그의 저서 ''L'Algebra''를 출판했는데, 여기에는 3차 방정식을 풀기 위한 카르다노 공식에서 나타날 수 있는 허수를 처리하는 방법이 나와 있다.2. 2. 19세기 이후
19세기 말까지 "방정식론"은 거의 "대수학"과 동의어였다. 오랫동안 주요 문제는 단일 방정식의 단일 미지수에 대한 비선형 다항식 방정식의 해를 찾는 것이었다. 복소수 해가 항상 존재한다는 사실은 19세기 초에 증명되었지만, 순수한 대수적 증명이 없는 대수학의 기본 정리이다. 그럼에도 불구하고 대수학자들의 주요 관심사는 근을 사용하여 해를 구하는 것이었는데, 이는 산술의 네 가지 연산과 n제곱근으로 구성된 공식으로 해를 표현하는 것이었다. 이는 16세기에 4차 방정식까지 이루어졌다. 시피오네 델 페로와 니콜로 폰타나 타르탈리아는 3차 방정식의 해를 발견했다. 제로라모 카르다노는 1545년 그의 저서 ''아르스 마그나''에 그의 제자 로도비코 페라리가 발견한 4차 방정식의 해와 함께 이들을 출판했다. 1572년 라파엘 봄벨리는 그의 저서 ''L'Algebra''를 출판했는데, 여기에는 3차 방정식을 풀기 위한 카르다노 공식에서 나타날 수 있는 허수를 처리하는 방법이 나와 있다.5차 이상의 방정식의 경우, 1799년 파올로 루피니가 일부 5차 방정식은 근으로 풀 수 없다는 불완전한 증명을 제시했고, 닐스 헨리크 아벨이 1824년 완전한 증명(현재 아벨-루피니 정리로 알려짐)을 내놓으면서 19세기까지 해결되지 않았다. 에바리스트 갈루아는 나중에 근으로 풀 수 있는 방정식을 결정하기 위한 이론(현재 갈루아 이론이라고 함)을 도입했다.
3. 추가 문제
- 디오판토스 방정식: 방정식 또는 연립 방정식의 정수 해를 찾는 문제이다. 수론의 일부로 간주된다.
- 다항 방정식 계: 이 시스템은 몇 가지 예외를 제외하고 19세기 후반부터 연구되었으며, 대수기하학의 발달로 이어졌다.
3. 1. 일차 방정식
일차 방정식 문제는 고대 시대에 해결되었다.3. 2. 연립 일차 방정식
일차 방정식 문제는 고대 시대에 해결되었다. 일반적인 연립 일차 방정식의 이론적 해법은 1750년에 가브리엘 크라메르에 의해 제공되었다. 그러나 이러한 시스템을 해결하기 위한 효율적인 방법(알고리즘)을 고안하는 것은 현재 선형대수학이라고 불리는 연구의 활발한 주제로 남아있다.3. 3. 디오판토스 방정식
방정식 또는 연립 방정식의 정수 해를 찾는 문제는 현재 디오판토스 방정식이라고 불리며, 수론의 일부로 간주된다 (정수 계획법도 참조).3. 4. 다항 방정식 계
- 일차 방정식: 이 문제는 고대 시대에 해결되었다.
- 연립 일차 방정식: 일반적인 이론적 해법은 1750년에 가브리엘 크라메르에 의해 제공되었다. 그러나 이러한 시스템을 해결하기 위한 효율적인 방법(알고리즘)을 고안하는 것은 현재 선형대수학이라고 불리는 연구의 활발한 주제로 남아 있다.
- 방정식 또는 연립 방정식의 정수 해를 찾는 것. 이러한 문제는 현재 디오판토스 방정식이라고 불리며, 수론의 일부로 간주된다 (정수 계획법도 참조).
- 다항 방정식 계: 이들의 어려움 때문에, 이러한 시스템은 몇 가지 예외를 제외하고는 19세기 후반부터 연구되었다. 그들은 대수기하학의 발달로 이어졌다.
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