분홍색 잡음

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1. 개요
2. 정의
3. 설명
4. 생성
5. 성질
- 5.1. 분포
- 5.2. 자기 상관
6. 발생
7. 기원
8. 오디오 테스트
9. 제조 분야
참조

1. 개요

분홍색 잡음은 주파수 옥타브당 동일한 에너지를 가지는 잡음으로, 전력 스펙트럼 밀도가 주파수에 반비례하는 특징을 보인다. 자연계에서 광범위하게 발생하며, 전자 장치의 플리커 노이즈를 포함한 다양한 소스에서 나타난다. 오디오 엔지니어는 음향 시스템 테스트와 이퀄라이징에 활용하며, 제조 분야에서는 오디오 증폭기 및 기타 구성 요소의 성능 검사를 위한 번인 신호로 사용된다. 분홍색 잡음은 백색 잡음 신호를 푸리에 변환하여 생성할 수 있으며, 뇌파, 심박수, 전자 장치 등 다양한 시스템에서 관찰된다.

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분홍색 잡음
지도 정보
개요
유형	신호
다른 이름	1/f 노이즈 깜빡임 노이즈
기술 정보
정의	주파수에 반비례하는 전력 스펙트럼 밀도를 가진 신호 또는 프로세스
전력 스펙트럼 밀도	S(f) ∝ 1/f
옥타브당 에너지	동일
색상 비교
시각적 유사성	분홍색 (가시광선 스펙트럼 내)
다른 노이즈 색상	흰색 빨간색 (브라운) 자주색 회색
활용
사용 분야	오디오 테스트 및 측정 자연 현상 모델링 생물학적 시스템 연구
예시	전자 회로의 깜빡임 노이즈 뇌의 뇌파 심장의 심전도 DNA 서열 주식 시장 변동 기후 기록

2. 정의

과학 문헌에서 1/f 잡음이라는 용어는 다음과 같은 형태의 전력 스펙트럼 밀도를 가진 모든 잡음을 느슨하게 지칭하는 데 사용된다.^[5]

: $S(f) \propto \frac{1}{f^\alpha},$

여기서 ''f''는 주파수이고, 0 < α < 2이며, 지수 α는 일반적으로 1에 가깝다. α = 1인 1차원 신호는 일반적으로 분홍색 잡음이라고 한다.^[5]

다음 함수는 주파수가 다른 사인파의 합으로, 진폭이 주파수 $u$ 의 제곱근에 반비례하여 감소하고 (따라서 진폭의 제곱인 전력이 주파수에 반비례하여 감소) 위상이 무작위인 길이 $N$ 의 1차원 분홍색 잡음 신호 (즉, 평균이 0이고 표준 편차가 $\sigma$ 인 가우시안 백색 잡음 신호가 적절하게 필터링된 것)를 설명한다.^[10]

: $h(x)=\sigma \sqrt{\frac{N}{2}} \sum_u \frac{\chi_u}{\sqrt{u}} \sin ( \frac{2 \pi u x}{N} +\phi_u), \quad \chi_u \sim \chi(2), \quad \phi_u \sim U(0,2\pi).$

$\chi_u$ 는 iid 카이 분포를 따르는 변수이고, $\phi_u$ 는 균등 확률 변수이다.

2차원 분홍색 잡음 신호에서 모든 방향의 진폭은 주파수에 반비례하여 감소한다. 길이 $N$ 인 분홍색 잡음 사각형은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[10]

: $h(x,y)= \frac{\sigma N}{\sqrt{2}} \sum_{u,v} \frac{\chi_{uv}}{\sqrt{u^2+v^2}} \sin \left(\frac{2 \pi}{N}(ux+vy) +\phi_{uv} \right), \quad \chi_{uv} \sim \chi(2), \quad \phi_{uv} \sim U(0,2\pi).$

3. 설명

로그-로그 플롯에서 핑크 노이즈 근사 스펙트럼; 전력 밀도는 주파수 10 dB/데케이드 감소

핑크 노이즈(왼쪽)와 백색 잡음(오른쪽)의 상대적 강도, 수직축은 선형 주파수이며 FFT 스펙트럼에서 나타남

핑크 노이즈는 주파수 옥타브당 동일한 에너지를 갖는다. 그러나 각 주파수 레벨에서 핑크 노이즈의 에너지는 옥타브당 대략 3 dB 감소한다. 이는 모든 주파수 레벨에서 동일한 에너지를 갖는 백색 잡음과는 대조적이다.^[9]

인간 청각 시스템은 바크 척도에 의해 근사되는 대략 로그 방식으로 주파수를 처리하며, 주어진 강도에 대해 1–4 kHz 주변의 신호가 가장 크게 들린다. 그러나 인간은 여전히 백색 잡음과 핑크 노이즈를 쉽게 구별한다.

그래픽 이퀄라이저도 신호를 로그 방식으로 대역으로 나누고 옥타브 단위로 전력을 보고한다. 오디오 엔지니어는 핑크 노이즈를 시스템에 통과시켜 관심 스펙트럼에서 평탄한 주파수 응답을 갖는지 테스트한다. 평탄한 응답을 갖지 않는 시스템은 그래픽 이퀄라이저를 사용하여 역 필터를 생성하여 이퀄라이징할 수 있다. 핑크 노이즈는 자연적인 물리적 시스템에서 발생하는 경향이 있으므로 오디오 제작에 유용하다. 핑크 노이즈는 원하는 소리를 생성하기 위해 처리, 필터링 및/또는 효과를 추가할 수 있다. 핑크 노이즈 발생기는 상업적으로 판매된다.

노이즈의 한 매개변수인 피크 대 평균 에너지 내용 또는 크레스트 팩터는 오디오 파워 앰프 및 스피커 기능과 같은 테스트 목적으로 중요하다. 신호 전력은 크레스트 팩터의 직접적인 함수이기 때문이다. 핑크 노이즈의 다양한 크레스트 팩터는 음악 신호의 다양한 수준의 다이내믹 레인지 압축 시뮬레이션에 사용될 수 있다. 일부 디지털 핑크 노이즈 발생기에서는 크레스트 팩터를 지정할 수 있다.

4. 생성

분홍색 잡음은 먼저 백색 잡음 신호를 생성하고, 푸리에 변환을 수행한 다음, 다른 주파수 성분의 진폭을 주파수의 제곱근(1차원) 또는 주파수(2차원) 등으로 나누어 컴퓨터로 생성할 수 있다.^[10] 이는 백색 잡음 신호를 백색-분홍색 필터로 공간적으로 필터링(컨벌루션)하는 것과 동일하다. 길이 $N$ 인 1차원 신호의 경우, 필터는 다음과 같은 형식을 갖는다.^[10]

$a(x)=\frac{1}{N} \left[ 1+ \frac{1}{\sqrt{N/2}} \cos \pi (x-1) + 2 \sum_{k=1}^{N/2-1} \frac{1}{\sqrt{k}} \cos {\frac{2\pi k}{N}(x-1)} \right].$

분홍색 및 기타 전력 법칙 색상 잡음을 1개 또는 임의의 개수의 차원으로 생성하는 Matlab 프로그램이 제공된다.

5. 성질

과학 문헌에서 1/f 잡음이라는 용어는 때때로 다음과 같은 형태의 전력 스펙트럼 밀도를 가진 모든 잡음을 느슨하게 지칭하는 데 사용된다.

: $S(f) \propto \frac{1}{f^\alpha},$

여기서 ''f''는 주파수이고, 0 < α < 2이며, 지수 α는 일반적으로 1에 가깝다. α = 1인 1차원 신호는 일반적으로 분홍색 잡음이라고 한다.^[5]

분홍색 잡음의 전력 스펙트럼은 1차원 신호에 대해서만 $\frac{1}{f}$ 이다. 2차원 신호(예: 이미지)의 경우, 임의의 방향에서의 평균 전력 스펙트럼은 $\frac{1}{f^2}$ 로 감소하며, $d$ 차원에서는 $\frac{1}{f^d}$ 로 감소한다. 모든 경우에서 각 옥타브는 동일한 양의 잡음 전력을 전달한다.

임의의 방향 $\theta$ 에서 분홍색 잡음 신호의 평균 진폭 $a_\theta$ 및 전력 $p_\theta$ , 그리고 모든 방향에 대한 총 전력은 주파수의 어떤 거듭제곱으로 떨어진다. 다음 표는 여러 차원에서 분홍색 잡음 신호에 대한 이러한 전력 법칙 주파수 의존성을, 전력 $\alpha$ 를 갖는 일반적인 전력 법칙 색상 잡음(예: 브라운 잡음은 $\alpha=2$ 를 가짐)에 대해서도 나열한다.

분홍색 잡음의 전력 법칙 스펙트럼
차원	평균 진폭 $a_\theta(f)$	평균 전력 $p_\theta(f)$	총 전력 $p(f)$
1	$1/\sqrt{f}$	$1/f$	$1/f$
2	$1/f$	$1/f^2$	$1/f$
3	$1/f^{3/2}$	$1/f^3$	$1/f$
$d$	$1/f^{d/2}$	$1/f^d$	$1/f$
$d$ , 전력 $\alpha$	$1/f^{\alpha d /2}$	$1/f^{\alpha d}$	$1/f^{1+(\alpha-1)d}$

5. 1. 분포

분홍색 잡음 신호의 점 값은 정규 분포를 따른다.^[10] 분포 차원을 고려하여 평균

\mu

및 표준 편차

\sigma

를 갖는 가우시안 백색 잡음 신호를 생성한 다음, 스펙트럼에 필터(

\boldsymbol{a}

필터를 사용한 공간 필터링과 동일)를 곱하여 분홍색 잡음을 생성한다. 그러면 분홍색 잡음 신호의 점 값도 평균

\mu

및 표준 편차

\lVert \boldsymbol{a} \rVert \sigma

를 갖는 정규 분포를 따르게 된다.^[10]

1차원(위) 및 2차원(아래) 분홍색 잡음 신호의 자기 상관(피어슨 상관 계수). 거리 d(신호를 구성하는 가장 긴 파장의 단위)에 걸쳐 나타나 있다. 회색 곡선은 분홍색 잡음 신호 샘플의 자기 상관(이산 주파수 구성), 검정색은 평균, 빨간색은 신호가 동일한 이산 주파수를 포함할 때 이론적으로 계산된 자기 상관, 파란색은 주파수의 연속성을 가정한 것이다.

5. 2. 자기 상관

백색 잡음과 달리, 분홍색 잡음 신호는 신호 전체에서 상관 관계를 갖는다.^[10]

1차원 분홍색 잡음 신호(이산 주파수

k

로 구성됨)의 피어슨 상관 계수는 구성(공간 또는 시간) 도메인에서 거리

d

에 대해 다음과 같이 주어진다:^[10]

r(d)=\frac{\sum_k \frac{\cos \frac{2 \pi k d}{N} }{k}}{\sum_k \frac{1}{k}}.

이산 주파수 대신 분홍색 잡음이

k_\textrm{min}

에서

k_\textrm{max}

까지의 연속 주파수의 중첩으로 구성되는 경우, 자기상관 계수는 다음과 같다:^[10]

r(d)=\frac{\textrm{Ci}(\frac{2 \pi k_\textrm{max}d}{N} )-\textrm{Ci}(\frac{2 \pi k_\textrm{min}d}{N} )}{\log \frac{k_\textrm{max}}{k_\textrm{min}}},

여기서

\textrm{Ci}(x)

는 코사인 적분 함수이다.

이산 주파수로 구성된 2차원 분홍색 잡음 신호의 피어슨 자기 상관 계수는 이론적으로 다음과 같이 근사된다:^[10]

r(d)=\frac{\sum_k \frac{J_0 (\frac{2 \pi k d}{N})}{k}}{\sum_k \frac{1}{k}},

여기서

J_0

는 제1종 베셀 함수이다.

6. 발생

분홍색 잡음은 옥타브당 동일한 에너지를 가지며, 각 주파수 레벨에서 에너지가 옥타브당 대략 3dB씩 감소한다. 이는 모든 주파수 레벨에서 동일한 에너지를 갖는 백색 잡음과 대조적이다.^[9] 인간 청각 시스템은 바크 척도에 의해 근사되는 대략 로그 방식으로 주파수를 처리하지만, 여전히 백색 잡음과 핑크 노이즈를 쉽게 구별한다.

그래픽 이퀄라이저는 신호를 로그 방식으로 대역을 나누고 옥타브 단위로 전력을 보고한다. 오디오 엔지니어는 핑크 노이즈를 사용하여 시스템의 주파수 응답을 테스트하고, 이퀄라이징한다. 핑크 노이즈는 자연적인 물리적 시스템에서 발생하기 때문에 오디오 제작에도 유용하며, 핑크 노이즈 발생기는 상업적으로 판매된다. 핑크 노이즈의 크레스트 팩터는 오디오 파워 앰프 및 스피커 기능과 같은 테스트 목적으로 중요하며, 음악 신호의 다이내믹 레인지 압축 시뮬레이션에도 사용될 수 있다.

분홍색 잡음은 조수와 강 수위 변동, 퀘이사 빛 방출, 심장 박동, 단일 뉴런 발화, 고체 전자 공학의 저항, 플리커 노이즈를 유발하는 단일 분자 전도 신호 등 다양한 물리적 및 생물학적 시스템의 통계적 변동에서 발견된다.^[11]^[12]^[13] 또한, 많은 자연 이미지의 통계적 구조를 설명한다.^[14]

일반적인 1/''f''^α 잡음은 많은 물리적, 생물학적 및 경제 시스템에서 발생하며, 일부 연구자들은 이를 어디에나 있는 현상으로 묘사한다.^[15] 물리적 시스템에서는 일부 기상학 데이터 계열, 일부 천체의 전자기 방사선 출력에 나타나며, 생물학적 시스템에서는 심장 박동 리듬, 신경 활동, DNA 염기 서열 통계에 일반화된 패턴으로 나타난다.^[16]

마틴 가드너는 그의 ''Scientific American'' 칼럼 "Mathematical Games"에서 음악이 자연을 모방하는 의미에 대해 질문하며 핑크 노이즈의 중요성을 소개했다.^[17] Voss와 Clarke는 말과 음악의 음높이와 음량 변동이 분홍색 잡음임을 보여주었다.^[18]^[19]

6. 1. 인간

뇌에서 핑크 노이즈는 인간의 이온 채널 게이트에서 뇌파도, 뇌자도, 국소 전위 기록에 이르기까지 다양한 시간적 및 물리적 규모에서 널리 관찰되어 왔다.^[24] 임상 뇌파도에서, 이 1/f 핑크 노이즈에서 벗어나는 것은 발작이 없거나 간헐기 상태에서도 간질을 식별하는 데 사용될 수 있다.^[25] 고전적인 뇌파도 생성 모델은 회백질의 수상돌기 입력이 뇌파도/뇌자도 신호에서 관찰되는 1/f 전력 스펙트럼을 생성하는 데 주로 책임이 있다고 제안했다. 그러나, 최근의 전선 이론을 사용한 계산 모델은 뇌의 백질 tract를 따라 활동 전위 전달 또한 1/f 스펙트럼 밀도를 생성한다는 것을 보여주었다. 따라서, 백질 신호 전달 또한 두피 뇌파도 기록에서 측정된 핑크 노이즈에 기여할 수 있으며,^[26] 특히 시냅스 연결의 효과를 고려한다면 더욱 그렇다.^[27]

또한 심리학에서 정신적 표상 모델링에 성공적으로 적용되었으며,^[28] 서로 다른 문화 및 역사적 시대의 음악 스타일 변화를 설명하는 데 사용되었다.^[29] 리처드 F. 보스(Richard F. Voss)와 J. 클라크(J. Clarke)는 연속적인 음표를 음높이(음악) 척도에 표시할 때 거의 모든 멜로디가 핑크 노이즈 스펙트럼을 향하는 경향이 있다고 주장한다.^[30] 마찬가지로, 1935년부터 2005년까지 개봉된 150편의 인기 영화 연구에서, 코넬 대학교의 연구원 제임스 E. 커팅에 의해 영화 숏 길이에 일반적으로 핑크 분포 패턴이 관찰되었다.^[31]

핑크 노이즈는 또한 인간의 반응에도 고유하게 존재한다는 것이 밝혀졌다. 길든 등(1995)은 시간적 및 공간적 간격을 반복적으로 생성한 시계열에서 이 노이즈의 매우 순수한 예를 발견했다.^[32] 이후, 길든(1997)과 길든(2001)은 반응 시간 측정과 반복적인 두 가지 선택 강제 선택으로 형성된 시계열 또한 핑크 노이즈를 생성한다는 것을 발견했다.^[33]^[34]

6. 2. 전자 장치

전자 장치에서 분홍색 잡음이 발생하는 주된 원인은 대부분 장치를 구성하는 응축 물질 특성이 느리게 변동하기 때문이다. 이러한 변동의 구체적인 원인으로는 금속 내 결함 구성의 변화, 반도체 트랩 점유율의 변화, 자기 물질 내 도메인 구조의 변화 등이 알려져 있다.^[6]^[35]

분홍색 스펙트럼 형태는 일반적으로 변동 과정에서 나타나는 운동 활성화 에너지 분포에서 비롯된다.^[36] 일반적인 잡음 실험 주파수 범위(예: 1Hz – 1kHz)는 미시적 "시도 주파수"(예: 10¹⁴Hz)에 비해 낮기 때문에, 아레니우스 방정식의 지수 인자가 커진다. 활성화 에너지의 작은 분포 차이는 속도의 큰 분포 차이를 유발한다. 가장 간단한 경우, 활성화 에너지의 평평한 분포는 정확히 분홍색 스펙트럼을 제공한다.^[36]

전자 장치에서 배경 분홍색 잡음의 하한은 아직 알려지지 않았다. 10^-6Hz까지 측정한 결과에서도 분홍색 잡음 현상이 멈추지 않았다.^[37]

알데르트 판 데어 질은 이 분야의 선구적인 연구자였다.^[39]

플리커 노이즈는 전자 장치의 신뢰성을 평가하는 데 널리 사용된다.^[40] 또한, 화학 저항 센서를 이용한 가스 감지에도 활용된다.^[41]^[42]

6. 3. 중력파 천문학

1/''f''^α 잡음(α가 1에 가까운 잡음)은 중력파 천문학의 한 요소이다. 매우 낮은 주파수에서의 잡음 곡선은 펄서 타이밍 배열, 유럽 펄서 타이밍 배열(EPTA) 및 미래의 국제 펄서 타이밍 배열(IPTA)에 영향을 미친다. 낮은 주파수에서는 레이저 간섭계 우주 안테나(LISA) 및 진화된 레이저 간섭계 우주 안테나(eLISA)와 같은 우주 기반 검출기가, 높은 주파수에서는 레이저 간섭 중력파 관측소(LIGO) 및 그 고급 구성(aLIGO)과 같은 지상 기반 검출기가 영향을 받는다. 잠재적인 천체 물리학적 소스의 특성 변형도 표시되어 있다. 감지 가능하려면 신호의 특성 변형이 잡음 곡선 위에 있어야 한다.^[43]

6. 4. 기후 역학

수십 년 규모의 분홍색 잡음이 기후 대리 데이터에서 발견되었으며, 이는 기후 시스템 내 과정의 증폭 및 결합을 나타낼 수 있다.^[44]^[45]

6. 5. 확산 과정

많은 시간 의존적 확률 과정은 1/''f''^α 노이즈를 나타내는 것으로 알려져 있다. 특히, 브라운 운동은 4''D''/''f''²와 같은 전력 스펙트럼 밀도를 가지며, 여기서 ''D''는 확산 계수이다.^[46] 이러한 유형의 스펙트럼은 때때로 브라운 노이즈라고도 한다. 개별 브라운 운동 궤적의 분석 또한 무작위 진폭을 갖지만 1/''f''² 스펙트럼을 보여준다.^[47] 프랙셔널 브라운 운동은 허스트 지수 ''H''를 가지며, 아(sub)확산 과정의 경우 α=2''H''+1 (''H''<0.5), 초(super)확산 과정의 경우 α=2 (0.5<''H''<1)인 1/''f''^α 전력 스펙트럼 밀도를 나타낸다.^[48]

7. 기원

분홍색 잡음의 기원에 대해서는 여러 가지 이론이 있다. 일부는 보편적인 설명을 시도하지만, 다른 일부는 반도체와 같은 특정 유형의 물질에만 적용된다. 분홍색 잡음에 대한 보편적인 이론은 현재도 활발하게 연구되고 있는 주제이다.

중심 극한 정리와 관련된 수학적 수렴 정리를 기반으로 분홍색 잡음 발생을 설명하는 가설이 제안되었는데, 이를 Tweedie 가설이라고 한다.^[49] Tweedie 수렴 정리^[50]는 특정 통계적 과정이 Tweedie 분포라고 하는 통계적 모델 군으로 수렴하는 현상을 설명한다. 이러한 분포는 분산 대 평균 멱법칙으로 특징지어지며, 생태학 문헌에서는 테일러의 법칙^[51], 물리학 문헌에서는 '변동 스케일링'^[52]으로 알려져 있다. 이 분산 대 평균 멱법칙이 특정 방식으로 입증되면 분홍색 잡음이 존재함을 의미하며, 그 반대도 마찬가지이다.^[49] 이 두 가지 효과는 특정 종류의 데이터가 중심 극한 정리에 따라 정규 분포로 수렴하는 것처럼 수학적 수렴의 결과로 나타난다. 이 가설은 또한 자기 조직 임계성에 기인하는 멱법칙 현상을 설명하는 대안적인 패러다임을 제공한다.^[53]

분홍색 잡음을 생성하는 다양한 수학적 모델이 존재한다. 예를 들어, 지수적으로 감소하는 펄스의 중첩은 중간 주파수에서 1/f 스펙트럼을 가진 신호를 생성할 수 있다. 이 신호는 낮은 주파수에서는 상수로, 높은 주파수에서는 1/f²로 전환된다.^[54] 반대로, 빠른 드문 스트레스 방출 사이의 점진적인 스트레스 축적의 준주기를 나타내는 자기 조직 임계성의 모래더미 모델은 주파수 내 역학에 해당하는 플리커 잡음을 재현한다.^[55] 자기 조직화의 통계적 특성은 ^[56]에서 확인할 수 있다. 컴퓨터에서 백색 잡음을 필터링하거나,^[57]^[58]^[59] 역 푸리에 변환,^[60] 또는 표준 백색 잡음 생성에 대한 다중 속도 변형을 통해 분홍색 잡음을 생성할 수도 있다.^[19]^[17]

확률적 동역학의 초대칭 이론^[61]에서는 1/''f'' 잡음을 위상적 초대칭의 자발적 붕괴 현상 중 하나로 설명한다. 이 초대칭은 모든 확률 미분 방정식의 고유한 특성이며, 연속적인 시간 역학에 의한 위상 공간의 연속성 보존을 의미한다. 이 초대칭의 자발적 붕괴는 결정론적 혼돈의 확률적 일반화이며,^[62] 이와 관련된 장기적 동적 기억 또는 질서, 즉 1/''f'' 및 파열 잡음, 나비 효과 등은 자발적으로 파괴된 위상적 초대칭에 적용된 골드스톤 정리의 결과로 나타난다.

8. 오디오 테스트

분홍색 잡음은 음향 강화 시스템의 스피커를 테스트하는 데 일반적으로 사용되며, 그 결과로 생성된 소리는 청취 공간에 있는 테스트 마이크를 스펙트럼 분석기^[2] 또는 Smaart와 같은 실시간 고속 푸리에 변환(FFT) 분석 프로그램이 실행되는 컴퓨터에 연결하여 측정한다. 음향 엔지니어는 분홍색 잡음을 재생하는 동안 오디오 이퀄라이저를 조정하여 원하는 결과를 얻는다. 분홍색 잡음은 예측 가능하고 반복 가능하지만, 콘서트 관객이 듣기에는 거슬린다. 1990년대 후반부터 FFT 기반 분석을 통해 엔지니어는 사전 녹음된 음악을 테스트 신호로 사용하거나, 심지어 공연자로부터 실시간으로 들어오는 음악을 사용하여 조정할 수 있게 되었다.^[63] 분홍색 잡음은 여전히 오디오 시스템 계약자^[64]와 자동 이퀄라이제이션 기능을 통합한 컴퓨터 기반 음향 시스템에서 사용된다.^[65]

9. 제조 분야

분홍색 잡음은 번인 신호로 자주 사용되어 오디오 증폭기 및 기타 구성 요소가 지속적으로 사용되는 환경에서도 성능이 유지되는지 확인하는 데 쓰인다.^[66] 일부 오디오 애호가들 사이에서는 최종 사용자가 분홍색 잡음으로 헤드폰을 번인하여 더 높은 음질을 얻을 수 있다는 주장이 있지만, 이는 "미신"으로 여겨진다.^[67]

참조

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