스토크스의 법칙

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1. 개요
2. 스토크스 법칙
- 2.1. 스토크스 법칙의 가정
- 2.2. 스토크스 법칙의 유도
3. 종단 속도
4. 스토크스 흐름
- 4.1. 정상 스토크스 흐름
5. 응용
6. 한계 및 추가 고려 사항
참조

1. 개요

스토크스의 법칙은 점성 유체 내에서 구형 물체에 작용하는 점성력을 계산하는 데 사용되는 물리학 법칙이다. 이 법칙은 유체 내 입자의 거동에 대한 특정 가정을 기반으로 하며, 낮은 레이놀즈 수, 층류, 구형 입자, 균질 물질, 매끄러운 표면, 입자 간섭 없음 등이 포함된다. 스토크스의 법칙은 종단 속도, 스토크스 흐름, 그리고 낙구 점도계와 같은 다양한 응용 분야에 적용된다. 그러나 이 법칙은 특정 조건에서만 정확하며, 입자의 크기, 형태, 유체의 특성 등에 따라 오차가 발생할 수 있다.

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스토크스의 법칙
개요
이름	스토크스의 법칙
분야	유체역학
설명	유체 내에서 움직이는 구형 물체가 받는 저항력을 설명하는 법칙
수식
저항력 (F)	6πrηv
r	구의 반지름
η (에타)	유체의 점성 계수
v	구의 속도
적용 조건
유체의 종류	뉴턴 유체
흐름의 종류	층류 (낮은 레이놀즈 수)
물체의 모양	구형
입자 크기	거시적 입자
활용
침강 속도 계산	콜로이드 입자, 혈액 침강 속도 등
점성도 측정	유체의 점성도 측정
입자 크기 측정	액체 속에서 침강하는 작은 구형 입자의 크기 측정
종단 속도 계산	작은 구체가 액체 속에서 가속될 때 도달하는 최대 속도 예측
제한 사항
난류	레이놀즈 수가 높을 경우 적용 불가
비구형 물체	구형이 아닌 물체에는 적용하기 어려움
입자 간 상호작용	입자 농도가 높은 경우 스토크스 법칙에서 벗어날 수 있음
역사
제안자	조지 가브리엘 스토크스
발표 년도	1851년

2. 스토크스 법칙

점성 유체 속을 움직이는 작은 구에 작용하는 점성력은 다음과 같다.^[3]^[4]

: ${\vec F}_{\rm d} = - 6 \pi \mu R {\vec v}$

여기서 (SI 단위):

${\vec F}_{\rm d}$ 는 마찰력으로, '''스토크스 항력'''이라고 하며, 유체와 입자 사이의 경계면에 작용한다(뉴턴, kg m s⁻²).
μ (일부 저자는 η 기호를 사용)는 동점성 계수 (파스칼-초, kg m⁻¹ s⁻¹)이다.
R은 구형 물체의 반지름 (미터)이다.
${\vec v}$ 는 물체에 대한 유속 (초당 미터)이다. 방정식의 마이너스 부호는 항력이 상대 속도의 반대 방향, 즉 운동을 방해하는 방향으로 작용함을 나타낸다.

유체 속에서 낙하하는 구(예: 공기 중을 낙하하는 안개 방울)를 통과하는 크리핑 흐름: 유선, 항력 및 중력 에 의한 힘.

종단(또는 침강) 속도에서 구의 무게와 부력의 차이(둘 다 중력에 의해 발생)로 인한 잉여 힘 F_e는 다음과 같다.^[7]

:

F_e = ( \rho_p - \rho_f)\, g\, \frac{4}{3}\pi\, R^3,

여기서(SI 단위):

ρ_p는 구의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
ρ_f는 유체의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
g는 중력 가속도 [m/s²]이다.

힘의 평형 F_d = F_e을 요구하고 속도 v에 대해 풀면 종단 속도 v_s가 얻어진다. 잉여 힘은 R³으로 증가하고 스토크스 항력은 R로 증가하므로, 종단 속도는 R²으로 증가하며 입자 크기에 따라 크게 달라진다. 입자가 점성 유체에서 낙하하는 동안 자체 무게만 경험하는 경우, 유체에 의한 입자에 작용하는 마찰력과 부력의 합이 정확히 중력과 균형을 이룰 때 종단 속도에 도달한다. 이 속도 v [m/s]는 다음과 같다.^[7]

:

v = \frac{2}{9}\frac{ \rho_p - \rho_f} \mu g\, R^2 \quad\begin{cases}\rho_p > \rho_f & \implies \vec{v} \text{ 수직 하향} \\\rho_p < \rho_f & \implies \vec{v} \text{ 수직 상향}\end{cases}

여기서 (SI 단위):

g는 중력장 세기 [m/s²]이다.
R은 구형 입자의 반지름 [m]이다.
ρ_p는 입자의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
ρ_f는 유체의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
μ는 동점성률 [kg/(m•s)]이다.

액체가 정지해 있고 구가 특정 속도로 움직이는 경우, 구의 프레임과 관련하여 구는 정지해 있고 액체는 구의 운동과 반대 방향으로 흐른다.

2. 1. 스토크스 법칙의 가정

스토크스 법칙은 다음 가정 하에 성립한다.

층류
낮은 레이놀즈 수 조건 (관성 효과 무시)
균일한 구형 입자
균질한(조성이 균일한) 물질
매끄러운 표면
입자 간 상호작용 없음^[15]

이러한 가정이 충족되지 않으면 더 복잡한 모델을 사용해야 할 수 있다. 예를 들어 10% 오차의 경우, 속도는 Re < 1을 만족하는 속도로 제한되어야 한다.^[3]^[4]

분자의 경우, 스토크스 법칙은 스토크스 반지름 및 직경을 정의하는 데 사용된다.

CGS 동점성 계수의 단위는 그의 연구를 기리기 위해 "스토크스"라고 명명되었다.

스토크스 공식을 적용하기 위해서는 입자가 구형이고, 레이놀즈 수 ''Re''가 2보다 작아야 한다. 큰 입자나 불규칙한 형상의 입자에서는 이러한 가정이 성립하지 않아 유체로부터 받는 저항력에 오차가 발생할 수 있다. 따라서 비교적 큰 입자에 대해서는 알렌의 식이나 뉴턴의 식을 적용하는 것이 더 나을 수 있다 (종단 속도 참조).

2. 2. 스토크스 법칙의 유도

점성 유체 속을 움직이는 작은 구에 작용하는 점성력(스토크스 항력)은 다음과 같다.^[3]^[4]

'''

{\vec F}_{\rm d} = - 6 \pi \mu R {\vec v}

'''

${\vec F}_{\rm d}$ 는 마찰력으로, '''스토크스 항력'''이라고 하며, 유체와 입자 사이의 경계면에 작용한다 (뉴턴, kg m s⁻²).
μ (일부 저자는 η 기호를 사용)는 동점성 계수 (파스칼-초, kg m⁻¹ s⁻¹)이다.
R은 구형 물체의 반지름 (미터)이다.
${\vec v}$ 는 물체에 대한 유속 (초당 미터)이다. 방정식의 마이너스 부호는 항력이 상대 속도의 반대 방향을 가리킨다는 것을 의미한다. 즉, 항력은 운동을 반대한다.

스토크스의 법칙은 유체 내에서 입자의 거동에 대해 다음과 같은 가정을 한다.

층류
관성 효과 없음 (0 레이놀즈 수)
구형 입자
균질(조성 균일) 물질
매끄러운 표면
입자가 서로 간섭하지 않음

분자의 경우 스토크스 법칙은 스토크스 반지름 및 직경을 정의하는 데 사용된다.

CGS 동점성 계수의 단위는 그의 연구를 기리기 위해 "스토크스"라고 명명되었다.

다음은 유체 속의 구형 입자의 낙하에 관한 스토크스 식을 유도한다. 먼저, 유체 속을 낙하하는 구체에 작용하는 저항력 ''F''는 그 속도에 비례하며,

'''

F=6 \pi \eta rv

'''

로 가정된다.

한편, 입자에 작용하는 부력 ''F''_b 및 중력 ''F''_g는,

'''

\begin{align}F_\mathrm{b} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f} g \\F_\mathrm{g} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g \end{align}

'''

이다. 여기서 (4π''r''³)/3는 반지름 ''r''의 구의 체적을 나타낸다.

입자가 종단 속도 ''v''_s로 유체 속을 낙하할 때, 이러한 힘은 균형을 이룬다. 즉, 저항력 + 부력 = 중력이므로,

'''

6 \pi \eta rv_\mathrm{s} + \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f}g = \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g

'''

따라서 종단 속도 ''v''_s는,

'''

v_\mathrm{s} = \frac{2}{9}\frac{r^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{\eta}

'''

로 표시된다 (ρ_p > ρ_f의 경우에는 수직으로 아래 방향, ρ_p < ρ_f의 경우에는 수직으로 위 방향). 입자 지름을 ''D''_p라고 하면, ''D''_p=2''r''이므로, 위의 식은

'''

v_\mathrm{s} = \frac^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{18\eta}

'''

가 되어, 스토크스 식이 유도된다.

3. 종단 속도

부력과 마찰력의 합이 중력과 같아질 때 종단 속도에 도달하며, 종단 속도는 다음 식과 같이 구할 수 있다.^[16]

: $V_s = {2 \over 9} {r^2 g (\rho_p - \rho_f) \over \eta}$

여기서,

$V_s$ 는 입자의 종단 속도 (m/s)
$r$ 는 입자의 스토크스 반경 (m)
$g$ 는 중력가속도 (m/s²)
$\rho_p$ 는 입자의 밀도 (kg/m³)
$\rho_f$ 는 유체의 밀도 (kg/m³)
$\eta$ 는 유체의 점성 계수 (Pa-s)이다.

종단(또는 침강) 속도에서 구의 무게와 부력의 차이(둘 다 중력에 의해 발생)^[7])로 인한 잉여 힘은 다음과 같다.

:

F_e = ( \rho_p - \rho_f)\, g\, \frac{4}{3}\pi\, R^3,

여기서(SI 단위):

$\rho_p$ 는 구의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
$\rho_f$ 는 유체의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
$g$ 는 중력 가속도 [m/s²]이다.

힘의 평형을 요구하고 속도에 대해 풀면 종단 속도가 얻어진다. 잉여 힘은

R^3

으로 증가하고 스토크스 항력은

R

로 증가하므로, 종단 속도는

R^2

으로 증가하며 아래에 표시된 것처럼 입자 크기에 따라 크게 달라진다. 입자가 점성 유체에서 낙하하는 동안 자체 무게만 경험하는 경우, 유체에 의한 입자에 작용하는 마찰력과 부력의 합이 정확히 중력과 균형을 이룰 때 종단 속도에 도달한다. 이 속도

v

[m/s]는 다음과 같다.^[7]

:

v = \frac{2}{9}\frac{ \rho_p - \rho_f} \mu g\, R^2 \quad\begin{cases}\rho_p > \rho_f & \implies \vec{v} \text{ 수직 하향} \\\rho_p < \rho_f & \implies \vec{v} \text{ 수직 상향}\end{cases}

여기서 (SI 단위):

$g$ 는 중력장 세기 [m/s²]이다.
$R$ 은 구형 입자의 반지름 [m]이다.
$\rho_p$ 는 입자의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
$\rho_f$ 는 유체의 질량 밀도 [kg/m³]이다.
$\mu$ 는 동점성률 [kg/(m•s)]이다.

스토크스 공식을 적용하려면 다음과 같은 조건이 필요하다.

입자는 구형일 것.
다음 식으로 정의되는 레이놀즈 수 ''Re''가 2보다 작을 것.

:

Re=\frac{D_\mathrm{p} v_s \rho_\mathrm{f}}{\eta}

큰 입자나 불규칙한 형상의 입자에서는 이상의 가정이 성립하지 않아 유체로부터 받는 저항력도 약간의 오차가 발생한다. 따라서 비교적 큰 입자에 대해서는 알렌의 식이나 뉴턴의 식을 적용하는 것이 더 나은 경우도 있다 (자세한 내용은 종단 속도 참조).

다음은 유체 속의 구형 입자의 낙하에 관한 스토크스 식을 유도한다. 먼저, 유체 속을 낙하하는 구체에 작용하는 저항력 ''F''는 그 속도에 비례하며,

:

F=6 \pi \eta rv

로 가정된다.

한편, 입자에 작용하는 부력 ''F''_b 및 중력 ''F''_g는,

:

\begin{align}F_\mathrm{b} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f} g \\F_\mathrm{g} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g \end{align}

이다.

덧붙여,

(4\pi r^3)/3

는 반지름 ''r''의 구의 체적을 나타낸다.

입자가 종단 속도

v_s

로 유체 속을 낙하할 때, 이러한 힘은 균형을 이룬다. 즉, 저항력 + 부력 = 중력이므로,

:

6 \pi \eta rv_\mathrm{s} + \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f}g = \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g

따라서 종단 속도

v_s

는,

:

v_\mathrm{s} = \frac{2}{9}\frac{r^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{\eta}

로 표시된다 (

\rho_p > \rho_f

의 경우에는 수직으로 아래 방향,

\rho_p < \rho_f

의 경우에는 수직으로 위 방향). 입자 지름을

D_p

라고 하면,

D_p=2r

이므로, 위의 식은

:

v_\mathrm{s} = \frac{D_\mathrm{p}^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{18\eta}

가 되어, 스토크스 식이 유도된다.

4. 스토크스 흐름

스토크스 흐름은 레이놀즈 수가 매우 낮은 유체 흐름을 의미한다. 이 경우 나비에-스토크스 방정식에서 대류 가속도 항을 무시할 수 있다.^[8] 이러한 가정 하에, 비압축성 정상 유동 상태의 유동 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

: $\begin{align}&\nabla p = \mu\, \nabla^2 \mathbf{u} = - \mu\, \nabla \times \mathbf{ \boldsymbol{\omega} }, \\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf{u} = 0,\end{align}$

여기서,

는 유체 압력 (Pa)
는 유동 속도 (m/s)
는 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}$ 로 정의되는 와도 (s⁻¹)

위 방정식에 벡터 미적분학 항등식을 적용하면 압력 및 와도 벡터의 각 성분에 대한 라플라스 방정식을 얻을 수 있다.^[8]

:

\nabla^2 \boldsymbol{\omega}=0

및

\nabla^2 p = 0.

유체 속에서 구를 지나는 점성 흐름의 유선. ''ψ'' 함수의 등위선 (등고선 레이블 값).

위의 방정식은 선형이므로, 중력이나 부력과 같은 추가적인 힘이 존재할 경우 해의 선형 중첩을 통해 쉽게 해결할 수 있다.

액체가 정지해 있고 구가 특정 속도로 움직이는 경우, 구의 좌표계에서는 구가 정지해 있고 액체가 구의 운동과 반대 방향으로 흐르는 것으로 간주할 수 있다.

4. 1. 정상 스토크스 흐름

스토크스 흐름에서 레이놀즈 수가 매우 낮을 때는 나비에-스토크스 방정식의 대류 가속도 항을 무시할 수 있다. 이에 따라 비압축성 정상 유동의 경우 유동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[8]

:

\begin{align}&\nabla p = \mu\, \nabla^2 \mathbf{u} = - \mu\, \nabla \times \mathbf{ \boldsymbol{\omega} }, \\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf{u} = 0,\end{align}

여기서,

는 유체 압력 (Pa)
는 유동 속도 (m/s)
는 $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}$ 로 정의되는 와도 (s⁻¹)

벡터 미적분학 항등식을 이용하면, 이 방정식들은 압력 및 와도 벡터의 각 성분에 대한 라플라스 방정식을 유도한다:^[8]

:

\nabla^2 \boldsymbol{\omega}=0

및

\nabla^2 p = 0.

중력이나 부력과 같은 추가적인 힘은 고려되지 않았지만, 위 방정식들이 선형이기 때문에 해의 선형 중첩 및 관련 힘을 쉽게 적용할 수 있다.

균일한 원거리장 흐름 내에 있는 구의 경우, 원통 좌표계를 사용하는 것이 편리하다. 축은 구의 중심을 지나며 평균 흐름 방향과 정렬되고, 은 축에 수직인 반경이다. 원점은 구의 중심에 있다. 흐름은 축을 중심으로 축대칭이므로 방위각 에 독립적이다.

이 원통 좌표계에서 비압축성 흐름은 및 에 의존하는 스토크스 유선 함수 로 설명할 수 있다.^[9]^[10]

:

u_z = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r},\qquadu_r = -\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z},

여기서 및 는 각각 및 방향의 흐름 속도 성분이다. 축대칭으로 인해 방향의 방위각 속도 성분은 0이다. 상수 값 의 표면으로 둘러싸인 튜브를 통과하는 부피 유량은 로 일정하다.^[9]

축대칭 흐름의 경우, 소용돌이 벡터 의 유일한 비영 성분은 방위각 성분 이다.^[11]^[12]

:

\omega_\varphi = \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial r}= - \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r} \right) - \frac{1}{r}\, \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}.

라플라스 연산자를 소용돌이 에 적용하면, 축대칭을 갖는 원통 좌표계에서 다음과 같다.^[12]

:

\nabla^2 \omega_\varphi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r\, \frac{\partial\omega_\varphi}{\partial r} \right) + \frac{\partial^2 \omega_\varphi}{\partial z^2} - \frac{\omega_\varphi}{r^{2}} = 0.

이전 두 방정식과 적절한 경계 조건을 통해, 방향으로 균일한 원거리 흐름 속도 와 반경 인 구에 대한 해를 구할 수 있다.^[13]

:

\psi(r,z) = - \frac{1}{2}\, u\, r^2\, \left[1

\frac{3}{2} \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}

+ \frac{1}{2} \left( \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}} \right)^3\;\right].

원통 좌표계에서 속도 성분은 다음과 같다.

:

\begin{align}u_r(r, z) &= \frac{3R r z u}{4 \sqrt{r^2 + z^2}} \left( \left( \frac{R}{r^2+z^2} \right)^2 - \frac{1}{r^2+z^2} \right) \\[4pt]u_z(r, z) &= u + \frac{3Ru}{4 \sqrt{r^2 + z^2}} \left(\frac{2 R^2 + 3 r^2}{3 (r^2 + z^2)}

\left(\frac{r R}{r^2 + z^2}\right)^2
2

\right)\end{align}

원통 좌표계에서 소용돌이는 다음과 같다.

:

\omega_\varphi(r, z) = - \frac{3 Ru}{2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}^3}

원통 좌표계에서 압력은 다음과 같다.

:

p(r, z) = - \frac{3 \mu R u}{2} \cdot \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}^3}

구면 좌표계에서 압력은 다음과 같다.

:

p(r, \theta) = - \frac{3\mu R u}{2} \cdot \frac{\cos\theta}{r^2}

압력 공식은 정전기학의 ''쌍극자 포텐셜''과 유사하다.

데카르트 좌표계

\mathbf{x}= (x, y, z)^T

에서 임의의 원거리 속도 벡터

\mathbf{u}_{\infty}

를 갖는 일반적인 공식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathbf{u}(\mathbf{x})&= \underbrace{\underbrace{\frac{R^3}{4} \cdot \left(\frac{3 \left(\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}\right)\cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^5} - \frac{\mathbf{u}_{\infty}}{\|\mathbf{x}\|^3} \right)}_{\text{보존적: 컬=0,}\ \nabla^2\mathbf{u}=0} + \underbrace{\mathbf{u}_{\infty}}_{\text{원거리장}}}_{\text{경계 조건 항}} \; \underbrace{- \frac{3R}{4}\cdot\left( \frac{\mathbf{u}_{\infty}}{\|\mathbf{x}\|} + \frac{\left(\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}\right)\cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}  \right)}_{\text{비보존적: 컬}=\boldsymbol{\omega}(\mathbf{x}),\ \mu\nabla^2\mathbf{u}=\nabla p} \\[8pt]&=\left[\frac{3R^3}{4} \frac{\mathbf{x\otimes\mathbf{x}}}{\|\mathbf{x}\|^5}

\frac{R^3}{4} \frac{\mathbf{I}}{\|\mathbf{x}\|^3}
\frac{3R}{4} \frac{\mathbf{x}\otimes\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}
\frac{3R}{4} \frac{\mathbf{I}}{\|\mathbf{x}\|}

+ \mathbf{I}\right]\cdot \mathbf{u}_{\infty}\end{align}

:

\boldsymbol{\omega}(\mathbf{x}) = -  \frac{3R}{2} \cdot \frac{\mathbf{u}_{\infty}\times \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}

:

p\left(\mathbf{x}\right)= - \frac{3\mu R}{2} \cdot \frac{\mathbf{u}_{\infty} \cdot \mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|^3}

여기서 비보존적 항은 스토크스렛이라 불리는 특수한 형태를 나타낸다. 스토크스렛은 스토크스 흐름 방정식의 그린 함수이다. 보존적 항은 다중극 전개와 유사하다. 소용돌이 공식은 전자기학의 비오-사바르 법칙과 유사하다.

더 간결하게 속도장을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{u}(\mathbf{x})= \left[\mathbf{I}+  \mathrm{H} \left(\frac{R^3}{4}\frac{1}{\|\mathbf{x}\|}\right)

\mathrm{S}\left(\frac{3R}{4} \|\mathbf{x}\|\right)

\right] \cdot \mathbf{u}_{\infty}, \quad \|\mathbf{x}\| \ge R

여기서

\mathrm{H} = \nabla\otimes\nabla

는 헤세 행렬 미분 연산자이고,

\mathrm{S} = \mathbf{I} \nabla^2 - \mathrm{H}

는 라플라시안과 헤세의 차이로 구성된 미분 연산자이다. 이 표현은 해가 쿨롱 유형 포텐셜(

1/\|\mathbf{x}\|

)과 이중 조화 함수 유형 포텐셜(

\|\mathbf{x}\|

)의 미분으로 구성됨을 명확히 보여준다. 벡터 노름

\|\mathbf{x}\|

에 적용된 미분 연산자

\mathrm{S}

는 스토크스렛을 생성한다.

다음은 스토크스 흐름의 특수한 경우에 대한 점성 응력 텐서 공식이다. 이는 입자에 작용하는 힘을 계산하는 데 사용된다. 데카르트 좌표에서 벡터 기울기

\nabla \mathbf{u}

는 야코비 행렬과 같다. 행렬 는 항등 행렬이다.

:

\boldsymbol{\sigma} = - p \cdot \mathbf{I} + \mu \cdot \left((\nabla \mathbf{u}) + (\nabla \mathbf{u})^T \right)

구에 작용하는 힘은 응력 텐서를 구 표면에 대해 적분하여 계산할 수 있다. 여기서 은 구면 좌표계의 반경 방향 단위 벡터이다.

:

\begin{align}\mathbf{F} &= \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \;\boldsymbol{\sigma}\cdot \text{d}\mathbf{S} \\[4pt]&=  \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} \boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{e_r}\cdot R^2 \sin\theta \text{d}\varphi\text{d}\theta \\[4pt]&=  \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}  \frac{3\mu \cdot \mathbf{u}_{\infty}}{2 R}\cdot R^2 \sin\theta \text{d}\varphi\text{d}\theta \\[4pt]&= 6\pi\mu R \cdot \mathbf{u}_{\infty}\end{align}

5. 응용

스토크스 법칙은 수직 유리관 내 유체가 정지해 있는 점도계인 낙구 점도계의 기반이 된다. 알려진 크기와 밀도의 구체가 액체를 통과하여 하강하도록 한다. 적절하게 선택되면, 종단 속도에 도달하며, 이는 관의 두 지점을 통과하는 데 걸리는 시간을 측정하여 계산할 수 있다. 불투명한 유체의 경우 전자 감지 기술을 사용할 수 있다. 종단 속도, 구체의 크기 및 밀도, 그리고 액체의 밀도를 알고 있으면 스토크스의 법칙을 사용하여 유체의 점성을 계산할 수 있다. 계산의 정확도를 높이기 위해 고전적인 실험에서는 일반적으로 다양한 직경의 강철 볼 베어링을 사용한다. 학교 실험에서는 유체로 글리세린 또는 골든 시럽을 사용하며, 이 기술은 공정에서 사용되는 유체의 점도를 확인하기 위해 산업적으로 사용된다. 여러 학교 실험에서는 점성에 미치는 영향을 입증하기 위해 사용되는 물질의 온도 및/또는 농도를 변화시키는 경우가 많다. 산업적 방법에는 다양한 오일과 고분자 액체 (예: 용액)가 포함된다.^[5]

스토크스 법칙은 적어도 세 개의 노벨상을 받는 데 결정적인 역할을 했다는 사실로 그 중요성이 입증된다.^[5]

스토크스 법칙은 미생물 및 정자의 운동을 이해하는 데 중요하며, 중력의 작용 하에 물 속의 작은 입자 및 유기체의 침강에도 중요하다.^[5]

공기 중에서, 동일한 이론을 사용하여 작은 물방울 (또는 얼음 결정)이 임계 크기로 성장하여 비 (또는 눈과 우박)으로 떨어지기 시작할 때까지 공중에 매달려 있을 수 있는 이유를 설명할 수 있다.^[6] 유사한 방정식은 물 또는 다른 유체에서 미세 입자의 침강에도 적용될 수 있다.

6. 한계 및 추가 고려 사항

스토크스 법칙을 적용하려면 다음과 같은 조건이 필요하다.

입자는 구형이어야 한다.
다음 식으로 정의되는 레이놀즈 수 ''Re''가 2보다 작아야 한다.

:

Re=\frac{D_\mathrm{p} v_s \rho_\mathrm{f}}{\eta}

큰 입자나 불규칙한 형상의 입자에서는 이러한 가정이 성립하지 않아 유체로부터 받는 저항력에도 약간의 오차가 발생한다. 따라서 비교적 큰 입자에 대해서는 알렌의 식이나 뉴턴의 식을 적용하는 것이 더 나은 경우도 있다 (자세한 내용은 종단 속도 참조).

참조

_[1] 논문 On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums https://babel.hathit[...] 1856
_[2] 서적 1967
_[3] 서적 Physical Chemistry Benjamin/Cummings
_[4] 서적 Transport Phenomena John Wiley & Sons, Inc. 2001-08-07
_[5] 서적 Living at micro scale : the unexpected physics of being small Harvard University Press
_[6] 웹사이트 Why don't clouds fall? http://lamp.tu-graz.[...] 2015-05-30
_[7] 서적 1994
_[8] 서적 1967
_[9] 서적 1967
_[10] 서적 1994
_[11] 서적 1967
_[12] 서적 1967
_[13] 서적 1994
_[14] 논문 Terminal fall velocity: the legacy of Stokes from the perspective of fluvial hydraulics
_[15] 서적
_[16] 서적

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