십이각별

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1. 개요
2. 기하학적 특징
3. 다면체에서의 십이각별
4. 상징적 의미
참조

1. 개요

십이각별은 기하학적 특징과 상징적 의미를 갖는 도형이다. 정십이각별은 슐레플리 기호 {12/5}로 표현되며 정십이각형과 꼭짓점 배치를 공유한다. 조합 십이각별은 여러 정다각형의 조합으로 만들어지며, 동위각 및 등각 십이각별은 다양한 변형이 가능하다. 십이각별은 완전 그래프와 관련이 있으며, 일부 균일 다면체의 면으로 나타나고, 유클리드 평면의 별 테셀레이션에도 포함될 수 있다. 십이각별은 유대교, 기독교, 헬레니즘 다신교 등 다양한 문화권에서 상징으로 사용되었으며, 동아시아에서는 십이지와 연관되어 시간과 방위를 나타내는 데 활용되었다.

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십이각별
기본 정보
일반적인 도데카그램
종류	별 다각형
슈플리 기호	{12/5}
꼭짓점	12
변	12
면	0
대칭군	D12, 차수 24
회전군	C12, 차수 12
특징	비볼록
밀도	5
관련 도형
쌍대 다각형	자기 쌍대
별 다각형	{12/5}, {12/7}
다각형	십이각형
다른 도데카그램
"{12/2} (6/1)"
"{12/3} (4/1)"
"{12/4} (3/1)"
"{12/6} (2/1)"

2. 기하학적 특징

십이각별은 꼭짓점을 어떻게 연결하는지에 따라 다양한 기하학적 형태를 가질 수 있다. 가장 기본적인 형태는 슐레플리 기호 {12/5}로 표현되는 정십이각별이다. 이 외에도 여러 개의 단순한 정다각형을 조합하여 만드는 조합 십이각별들이 존재하며, 예를 들어 두 개의 육각형을 겹친 형태({12/2})나 세 개의 정사각형을 겹친 형태({12/3}) 등이 있다.

또한, 변이나 꼭짓점의 동일성 여부에 따라 동위각 또는 등각 십이각별로 분류하기도 한다. 이러한 다양한 십이각별들은 십이각형과 함께 완전 그래프 ''K''₁₂의 변들을 구성하는 데 사용될 수 있다.

2. 1. 정십이각별

정규 형태는 하나로, 꼭지점 12개를 가지며 회전수는 5인 {12/5}가 있다. 정규 십이각별은 정규 십이각형과 동일한 꼭짓점 배치를 가지며, 이는 {12/1}로 간주될 수 있다.

2. 2. 조합 십이각별

조합으로 만들어지는 정규 십이각별은 다음 4가지가 있다. 각각의 슐레플리 기호와 구성 요소는 다음과 같다.

{12/2} = 2{6}: 두 개의 육각형을 조합한 것이다.
{12/3} = 3{4}: 세 개의 정사각형을 조합한 것이다.
{12/4} = 4{3}: 네 개의 삼각형을 조합한 것이다. 이는 두 개의 육각별을 조합한 것으로 볼 수도 있다.
{12/6} = 6{2}: 여섯 개의 이각형(선분)을 조합한 것이다. 이는 세 개의 사각별을 조합한 것으로 볼 수도 있다.

2. 3. 동위각 및 등각 십이각별

동위각 다각형은 대칭 분류상 두 종류의 꼭짓점과 한 종류의 변을 가진다. 각도의 자유도를 가지는 5가지 동위각 십이각별이 있으며, 이는 두 개의 반지름 위에 꼭짓점들이 번갈아 위치하는 특징을 가진다. 5가지 유형은 단순형 1개, 복합형 3개, 단일 곡선 별 모양 1개로 나뉜다.

동위각 십이각별
유형	단순	복합			별
밀도	1	2	3	4	5
그림	동위각 육각별 {(6)_α} {(6)_α}	오목한 동위각 육각형 복합체 2{3_α} 2{3_α}	동위각 마름모 복합체 3{2_α} 3{2_α}	교차하는 동위각 육각형 복합체 2{(3/2)_α} 2{(3/2)_α}	교차하는 동위각 십이각형 {(6/5)_α} {(6/5)_α}

정규 십이각별 {12/5}는 준절단(quasitruncated) 육각형, 즉 t{6/5}로 볼 수 있다. 꼭짓점 간 간격이 동일한 다른 등각(꼭짓점-추이) 변형들도 존재하며, 이들은 두 가지 다른 길이의 변을 사용하여 구성할 수 있다.

t{6}

t{6/5}={12/5}

2. 4. 완전 그래프와의 관계

십이각형과 십이각별을 서로 겹쳐놓으면, 퇴화된 '6개의 이각형'({12/6})의 조합을 포함하여, 완전 그래프 ''K''₁₂가 생성된다.

K₁₂
완전 그래프 K12

3. 다면체에서의 십이각별

십이각별은 균일 다면체의 면으로 나타날 수 있다. 정십이각별 면을 가지는 각기둥 균일 다면체는 다음 세 가지가 있으며, 이 외에 정십이각별 면을 포함하는 균일 다면체는 없다.

4. 상징적 의미

십이각별 또는 12개의 꼭짓점을 가진 별은 다음과 같은 것을 상징하는 데 사용되어 왔다.

유대교의 이스라엘의 열두 지파
기독교의 열두 제자
헬레니즘 다신교의 올림포스 12신
황도 12궁
아프리카계 미국인 친목 단체인 인터내셔널 오브 더 트웰브 나이츠 앤드 도터스 오브 타보르
브린 도노반(Bryn Donovan)의 ''Knights of Manus Sancti'' 시리즈에 등장하는 가상의 비밀 결사 마누스 상티(Manus Sancti)
나우루의 국기에 표현된 나우루의 열두 부족

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