쌍곡선 궤도

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1. 개요
2. 쌍곡선 궤도의 변수
3. 운동 방정식
4. 상대론적 이체 문제
참조

1. 개요

쌍곡선 궤도는 이심률이 1보다 큰 궤도로, 타원 궤도와 유사하게 긴반지름과 이심률로 정의할 수 있지만, 다른 변수들이 물체의 운동을 설명하는 데 더 적합할 수 있다. 쌍곡선 궤도는 궤도 변수, 주요 변수, 운동 방정식으로 설명되며, 이심률, 충돌 변수, 비행 경로각, 속도 등을 포함한다. 쌍곡선 궤도에서 물체는 중심체를 지나쳐 영원히 탈출하며, 총 에너지는 양수이다. 일반 상대성이론에서는 궤도가 정확한 쌍곡선 모양이 아니더라도 "쌍곡선 궤도"라는 용어를 사용한다.

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쌍곡선 궤도
일반 정보
유형	궤도
궤도 요소	준주장축 궤도 이심률 궤도 경사 승교점 경도 근일점 인수 평균 근점 이각
특성
이심률 (e)	e > 1
에너지 (ε)	ε > 0
특징	물체가 중심체를 탈출함
궤도 방정식
방정식	r = p / (1 + e ⋅ cos θ)
변수 설명	r: 중심체로부터의 거리 p: 반통경 e: 이심률 θ: 진근점 이각
속도
공식	v = sqrt[ μ (2/r + 1/a) ]
변수 설명	v: 궤도 속도 μ: 표준 중력 변수 r: 중심체로부터의 궤도 거리 a: (음수) 궤도 장반축
관련 항목
관련 궤도	케플러 궤도 타원 궤도 포물선 궤도

2. 쌍곡선 궤도의 변수

타원 궤도처럼, 쌍곡선 궤도는 궤도의 긴반지름과 이심률로 정의할 수 있다. 하지만 쌍곡선 궤도에서는 다른 변수들이 물체의 운동을 설명하기 더 적합한 경우도 있다.

다음 표는 쌍곡선 궤도를 따르는 물체를 서술하는 주요 변수들을 공식과 함께 나타낸 것이다.^[1]^[6]

쌍곡선 궤도 변수
변수	기호	공식	$v_\infty$ (또는 $a$ ) 및 $b$ 사용
표준 중력 변수		$\frac{v^2}{(2/r-1/a)}$	$b v_\infty^2 \cot \theta_\infty$
이심률 (>1)	$e$	$\frac{\ell}{r_p} -1$	$\sqrt{1+b^2/a^2}$
긴반지름 (<0)	$a\,\!$	$1/(2/r-v^2/\mu)$	$-\mu/v_\infty^2$
쌍곡선 초과 속도	$v_\infty$	$\sqrt{-\mu/a}$
점근선 간의 (외부) 각도	$2\theta_\infty$	$2 \cos^{-1}(-1/e)$	$\pi + 2 \tan^{-1}(b/a)$ ^[2]
점근선과 접근 쌍곡선 경로의 켤레축 사이의 각도	$2\nu$	$2\theta_\infty - \pi$	$2\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{(1 + r_pv_\infty^2/\mu)}\bigg)$
충돌 변수 (단반지름)	$b$	$-a \sqrt{e^2-1$
반통경	$\ell$	$a (e^2 - 1)$	$b^2/a = h^2/\mu$
근점 거리	$r_p$	$-a(e-1)$	$\sqrt{a^2+b^2}+a$
고유 궤도 에너지	$\varepsilon$	$-\mu/2a$	$v_\infty^2/2$
비각운동량	$h$	$\sqrt{\mu \ell}$	$b v_\infty$
시간당 쓸어넘는 면적	$\frac{\Delta A}{\Delta t}$	$\frac{h}{2}$

2. 1. 주요 변수

타원 궤도와 마찬가지로, 주어진 시스템의 쌍곡선 궤도는 (방향을 무시하고) 긴반지름과 이심률로 정의할 수 있다. 그러나 쌍곡선 궤도의 경우 다른 변수들이 물체의 움직임을 이해하는 데 더 유용할 수 있다. 다음 표는 쌍곡선 궤도를 따르는 물체를 설명하는 주요 변수들과 공식을 나타낸다.

쌍곡선 궤도 변수^[1]
변수	기호	공식	$v_\infty$ (또는 $a$ )와 $b$ 를 사용
표준 중력 변수	$\mu\,$	$\frac{v^2}{(2/r-1/a)}$	$b v_\infty^2 \cot \theta_\infty$
이심률 (>1)	$e$	$\frac{\ell}{r_p} -1$	$\sqrt{1+b^2/a^2}$
긴반지름 (<0)	$a\,\!$	$1/(2/r-v^2/\mu)$	$-\mu/v_\infty^2$
쌍곡선 초과 속도	$v_\infty$	$\sqrt{-\mu/a}$
점근선 간의 (외부) 각도	$2\theta_\infty$	$2 \cos^{-1}(-1/e)$	$\pi + 2 \tan^{-1}(b/a)$ ^[2]
충돌 변수 (장반경)	$b$	$-a \sqrt{e^2-1}$
반통경^[6]	$\ell$	$a (e^2 - 1)$	$b^2/a = h^2/\mu$
근지점 거리	$r_p$	$a(e-1)$	$\sqrt{a^2+b^2}+a$
고유 궤도 에너지	$\varepsilon$	$-\mu/2a$	$v_\infty^2/2$
특정 각운동량	$h$	$\sqrt{\mu \ell}$	$b v_\infty$

쌍곡선 궤도에서 긴반지름( $a\,\!$ )은 두 점근선이 교차하는 지점으로부터 근점까지의 거리로, 음수로 간주된다.

긴반지름은 궤도의 특정 궤도 에너지( $\epsilon\,$ ) 또는 특성 에너지 $C_3$ 와, 거리가 무한대에 접근할 때 물체가 얻는 속도인 쌍곡선 초과 속도( $v_\infty\,\!$ )와 관련이 있다.

: $v_{\infty}^2=2\epsilon=C_3=-\mu/a$ 또는 $a=-{\mu/{v_\infty^2}}$

여기서 $\mu=Gm\,\!$ 는 표준 중력 변수이고, $C_3$ 는 행성 간 임무 계획에 사용되는 특성 에너지이다.

쌍곡선 궤도의 경우 총 에너지는 양수이며 (타원 궤도의 경우 음수) 쌍곡선 궤도에서는 궤도 이심률( $e\,$ )이 1보다 크다. 이심률은 점근선 사이의 각도와 관련이 있다. $e=\sqrt 2$ 일 때 점근선은 직각을 이룬다.

중심 천체에서 근점 방향과 점근선 사이의 각도는 거리가 무한대로 갈 때의 진근점 이각( $\theta_\infty\,$ )이며, $2\theta_\infty\,$ 는 접근 방향과 이탈 방향(점근선 사이) 사이의 외부 각도이다.

: $\theta{_\infty}=\cos^{-1}(-1/e)\,$ 또는 $e=-1/\cos\theta{_\infty}\,$

충돌 변수는 물체가 방해받지 않는 경로를 계속 따라간다면 최단 접근점에서 중앙 물체를 얼마나 빗겨갈지를 나타내는 거리이며, 쌍곡선의 단반경과 같다.

우주선이나 혜성이 행성에 접근하는 상황에서, 충돌 변수와 과잉 속도를 통해 궤적을 찾을 수 있다. 최단 접근 거리 또는 근점 거리는 다음과 같다.

: $r_p = -a(e-1)= \frac{\mu}{v_\infty^2} \left(\sqrt{1 + \left(b \frac {v_\infty^2}{\mu}\right)^2} - 1\right)$

중앙 물체의 질량을 모르는 경우, 작은 물체의 편향과 충격 매개변수 및 접근 속도를 통해 표준 중력 변수를 결정할 수 있다.

: $\mu=b v_\infty^2 \tan \delta/2$ 여기서 $\delta = 2\theta_\infty - \pi$ 는 작은 물체가 경로에서 직선에서 벗어나는 각도이다.

2. 2. 긴반지름, 에너지 및 쌍곡선 초과 속도

궤도 긴반지름(

a\,\!

)은 쌍곡선 궤도에서 눈에 잘 띄지 않지만, 궤도 근점으로부터 두 점근선이 만나는 곳까지의 거리로 정의할 수 있다. 보통 이 값은 여러 타원 궤도 방정식과 일관성을 유지하기 위해 음수로 나타낸다.

궤도 긴반지름은 고유 궤도 에너지(

\epsilon\,

)나 궤도의 특성 에너지(

C_3

)와 직접적인 관련이 있으며, 천체가 궤도 원점에서 무한히 멀어질 때의 속도를 쌍곡선 초과 속도(

v_\infty\,\!

)라고 한다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

:

v_{\infty}^2=2\epsilon=C_3=-\mu/a

또는

a=-{\mu/{v_\infty^2}}

여기서

\mu

는 표준 중력 변수이다.

쌍곡선 궤도에서 총 에너지량은 양수이다. (타원 궤도에서는 음수이다.)

주어진 시스템의 쌍곡선 궤도는 (방향을 무시하고) 긴반지름과 이심률로 정의할 수 있다. 그러나 쌍곡선 궤도에서는 다른 변수들이 물체의 움직임을 이해하는 데 더 유용할 수 있다. 다음 표는 표준 가정 하에서 다른 물체 주위를 쌍곡선 궤도로 움직이는 물체의 경로를 설명하는 주요 변수와 그 공식을 나타낸다.^[1]

쌍곡선 궤도 방정식
요소	기호	공식	$v_\infty$ (또는 $a$ ) 및 $b$ 사용
표준 중력 상수		$\frac{v^2}{(2/r-1/a)}$	$b v_\infty^2 \cot \theta_\infty$
이심률 (>1)	$e$	$\frac{\ell}{r_p} -1$	$\sqrt{1+b^2/a^2}$
긴반지름 (<0)	$a\,\!$	$1/(2/r-v^2/\mu)$	$-\mu/v_\infty^2$
쌍곡선 초과 속도	$v_\infty$	$\sqrt{-\mu/a}$
(외부) 점근선 사이의 각도	$2\theta_\infty$	$2 \cos^{-1}(-1/e)$	$\pi + 2 \tan^{-1}(b/a)$ ^[2]
점근선과 접근 쌍곡선 경로의 켤레축 사이의 각도	$2\nu$	$2\theta_\infty - \pi$	$2\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{(1 + r_pv_\infty^2/\mu)}\bigg)$
충돌 매개변수 (단반지름)	$b$	$-a \sqrt{e^2-1}$
반통경	$\ell$	$a (1-e^2)$	$-b^2/a = h^2/\mu$
근점 거리	$r_p$	$-a(e-1)$	$\sqrt{a^2+b^2}+a$
비궤도 에너지	$\varepsilon$	$-\mu/2a$	$v_\infty^2/2$
비각운동량	$h$	$\sqrt{\mu \ell}$	$b v_\infty$
시간당 쓸어넘는 면적	$\frac{\Delta A}{\Delta t}$	$\frac{h}{2}$

쌍곡선 궤도에서 중심 천체로부터 무한히 떨어진 지점에서의 속도( $v_\infty\,\!$ )는 에너지 보존 법칙에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $v_\infty=\sqrt{\mu\over{-a}}\,\!$

여기서

$\mu\,\!$ 는 중심 천체의 중력 상수
$a\,\!$ 는 쌍곡선의 궤도 긴반지름에 -1을 곱한 값

v_\infty\,\!

는 (단위 질량당) 궤도 에너지와 다음 식으로 유일하게 관련된다.

:

2\epsilon=C_3=v_{\infty}^2\,\!

여기서,

$\epsilon\,\!$ 는 (단위 질량당) 궤도 에너지
$C_3\,$ 는 특성 에너지

2. 3. 이심률과 접근 및 탈출 때의 각도

쌍곡선 궤도에서 궤도 이심률

e\,

는 1보다 크며, 점근선 사이의 각도와 직접적인 관련이 있다. 이심률이 1을 조금 넘으면 궤도는 각진 "V"자 모양이 된다.

e=\sqrt 2

일 때 점근선은 직각을 이루고,

e>2

일 때 점근선 사이 각도는 120° 이상이며, 궤도 근점 거리가 궤도 긴반지름보다 커진다. 이심률이 커질수록 궤도는 직선에 가까워진다.

궤도 중심체의 점근선과 근점 방향 사이 각도는 거리가 무한대가 될 때의 진근점 이각(

\theta_\infty\,

)으로,

2\theta_\infty\,

는 접근 방향과 탈출 방향 간의 외부 각도이다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:

\theta{_\infty}=\cos^{-1}(-1/e)\,

또는

e=-1/\cos\theta{_\infty}\,

다음 표에는 표준 가정 하에서 다른 물체 주위를 쌍곡선 궤도를 따라 움직이는 물체의 경로를 설명하는 주요 매개변수와 이를 연결하는 공식이 나와있다.

쌍곡선 궤도 방정식 ^[1]
요소	기호	공식	$v_\infty$ (또는 $a$ ) 및 $b$ 사용
이심률 (>1)	$e$	$\frac{\ell}{r_p} -1$	$\sqrt{1+b^2/a^2}$
(외부) 점근선 사이의 각도	$2\theta_\infty$	$2 \cos^{-1}(-1/e)$	$\pi + 2 \tan^{-1}(b/a)$ ^[2]
점근선과 접근 쌍곡선 경로의 켤레축 사이의 각도	$2\nu$	$2\theta_\infty - \pi$	$2\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{(1 + r_pv_\infty^2/\mu)}\bigg)$
충돌 매개변수 (단반지름)	$b$	$-a \sqrt{e^2-1}$
근점 거리	$r_p$	$-a(e-1)$	$\sqrt{a^2+b^2}+a$

2. 4. 충돌 변수와 최단 접근 거리

충돌 매개변수는 물체가 방해받지 않는 경로를 계속 따라간다면 최단 접근점에서 중앙 물체를 얼마나 빗겨갈지를 나타내는 거리이다. 중력을 경험하고 쌍곡선 궤적을 따르는 물체의 경우, 쌍곡선의 단반경과 같다.^[1]

우주선이나 혜성이 행성에 접근하는 상황에서 충격 매개변수와 과잉 속도는 정확하게 알려질 것이다. 중앙 물체를 알고 있다면 궤적을 찾을 수 있으며, 여기에는 접근하는 물체가 근점(periapsis)에서 얼마나 가까이 있을지도 포함된다. 이것이 행성 반지름보다 작으면 충돌을 예상해야 한다. 최단 접근 거리 또는 근점 거리는 다음과 같이 주어진다.

:

r_p = -a(e-1)= \frac{\mu}{v_\infty^2} \left(\sqrt{1 + \left(b \frac {v_\infty^2}{\mu}\right)^2} - 1\right)

따라서 12.5km 속도(외부 태양계에서 오는 물체의 대략적인 최소 접근 속도)로 지구 (유효 반경 ~6400km)에 접근하는 혜성이 지구와의 충돌을 피하려면 충격 매개변수는 최소 8600km, 즉 지구 반지름보다 34% 더 커야 한다. 5.5km의 속도로 외부 태양계에서 목성 (반경 70000km)에 접근하는 물체는 충돌을 피하려면 충격 매개변수가 최소 770000km, 즉 목성 반지름의 11배가 되어야 한다.

중앙 물체의 질량을 모르는 경우, 그 표준 중력 상수, 따라서 질량은 작은 물체의 편향과 충격 매개변수 및 접근 속도를 통해 결정할 수 있다. 일반적으로 이 모든 변수를 정확하게 결정할 수 있기 때문에 우주선의 근접 비행은 물체의 질량을 잘 추정할 수 있게 해준다.

:

\mu=b v_\infty^2 \tan \delta/2

여기서

\delta = 2\theta_\infty - \pi

는 작은 물체가 경로에서 직선에서 벗어나는 각도이다.

3. 운동 방정식

쌍곡선 궤도에서의 운동은 여러 방정식을 통해 기술된다.

진근점 이각( $\theta$ )과 이심률 이상 ''E''(또는 쌍곡선 이상 ''H'') 사이의 관계는 다음과 같다.^[3]

: $\tanh \frac{E}{2} = \sqrt{\frac{e-1}{e+1}} \cdot \tan \frac{\theta}{2}$

표준적인 가정 하에서, 쌍곡선 궤도를 따라 이동하는 물체의 궤도 속도( $v\,$ )는 비바 방정식을 사용하여 계산할 수 있다.

: $v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}+{1\over{a}}\right)}$ ^[4]

여기서:

$\mu\,$ 는 표준 중력 변수이고,
$r\,$ 는 중심체로부터 궤도를 도는 물체의 반경 거리이며,
$a\,\!$ 는 (음수) 긴반지름이다.

표준적인 가정 하에서, 궤도의 임의의 위치에서 운동 에너지에 대한 다음 관계가 성립한다. 궤도 속도 (

v\,

), 국부적인 탈출 속도 (

{v_{esc}}\,

), 쌍곡선 초과 속도(

v_\infty\,\!

)

:

v^2={v_{esc}}^2+{v_\infty}^2

이는 탈출 속도로 가속하는 데 필요한 속도보다 상대적으로 작은 추가 델타-''v''가 무한대에서의 상대적으로 큰 속도를 초래한다는 것을 의미한다. 그 반대도 마찬가지이다. 쌍곡선 초과 속도에 비해 (예: 근지점에서 대기 항력에 의해) 속도를 많이 늦출 필요가 없으면 속도가 탈출 속도 아래로 떨어져 물체가 포획될 수 있다.

3. 1. 위치

쌍곡선 궤도에서 진근점 이각

\theta

는 궤도 방정식을 통해 두 물체 사이의 거리

r\,

과 관련지어진다.

:

r = \frac{\ell}{1 + e\cdot\cos\theta}

진근점 이각

\theta

와 편심 이각

E

사이의 관계는 다음과 같다.

:

\cosh{E} = }

또는

\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \cdot \tanh \frac{E}{2}

편심 이각

E

는 케플러 방정식에 따라 평균 근점 이각

M

과 다음과 같은 관계가 있다.

:

M = e \sinh E - E

평균 근점 이각은 시간에 비례한다.

:

M=\sqrt{\frac{\mu}{-a^3}}.(t-\tau),

여기서

\mu

는 표준 중력 변수이고

a

는 궤도의 긴반지름이다.

3. 2. 비행 경로각

비행 경로각 ''φ''는 속도의 방향과 반경 방향에 수직한 방향 사이의 각도이다. 근점에서는 0이 되고 90도는 무한대를 가리킨다.^[1]

:

\tan(\phi) = \frac{e\cdot\sin\theta}{1 + e\cdot \cos\theta}

^[1]

3. 3. 속도

쌍곡선 궤도에서의 궤도 속도(

v\,

)는 활력방정식을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.^[4]

:

v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}

$\mu\,$ 는 표준 중력 변수이다.
$r\,$ 은 중심체에서 궤도를 도는 물체가 떨어진 거리이다.
$a\,\!$ 는 긴반지름으로, 음수이다.

일반적인 추정에 따라, 궤도의 어느 지점에서나 궤도 속도(

v\,

), 탈출 속도(

{v_{esc}}\,

), 쌍곡선 초과 속도(

v_\infty\,\!

) 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:

v^2={v_{esc}}^2+{v_\infty}^2

이는 탈출 속도로 가속하는 데 필요한 속도보다 상대적으로 작은 추가 델타-''v''가 무한대에서의 상대적으로 큰 속도를 초래한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 탈출 속도가 11.2km/s인 곳에서 0.4km/s를 더하면 쌍곡선 초과 속도는 3.02km/s가 된다.

:

\sqrt{11.6^2-11.2^2}=3.02

이것은 오베르트 효과의 한 예이다.

4. 상대론적 이체 문제

일반 상대성 이론의 이체 문제에서는, 탈출에 충분한 에너지를 가지고 탈출하는 물체의 궤도는 더 이상 쌍곡선 모양이 아니다. 그럼에도 불구하고, 이러한 유형의 궤도를 설명하기 위해 "쌍곡선 궤도"라는 용어가 여전히 사용된다.^[1]

참조

_[1] 서적 Astronomia e Astrofísica Department of Astronomy - Institute of Physics of Federal University of Rio Grande do Sul
_[2] 웹사이트 Basics of Space Flight: Orbital Mechanics http://www.braeunig.[...] 2012-02-28
_[3] 웹사이트 Spacecraft Dynamics and Control http://control.asu.e[...] 2019-06-13
_[4] 웹사이트 Orbital Mechanics & Astrodynamics https://orbital-mech[...]
_[5] 문서 궤도의 정의(다른 물체 주위를 '''도는''' 현상)에 따라, 엄밀히는 쌍곡선 궤적이 올바른 표현이나, 이 문서에서는 통용되는 표기를 따랐다.
_[6] 문서 타원의 초점에서 주축(major axis)에 수직이 되게 곡선까지 잰 거리

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