에어리 함수

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1. 개요

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 해로, 제1종 에어리 함수 Ai(x)와 제2종 에어리 함수 Bi(x)가 있다. 이 함수들은 이상 적분으로 정의되며, x가 양수일 때 Ai(x)는 양수이며 볼록하게 감소하고 Bi(x)는 지수적으로 증가한다. 음수일 때는 진동한다. 에어리 함수는 변형된 베셀 함수, 베셀 함수, 스코러 함수와 관련이 있으며, 푸리에 변환을 통해 표현될 수 있다. 양자역학, 광학, 확률론 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 삼각 퍼텐셜 우물, 무지개, 랜덤 행렬 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 이 함수는 조지 비델 에어리에 의해 처음 연구되었으며, Ai(x) 표기법은 해럴드 제프리스에 의해 도입되었다.

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에어리 함수
개요
에어리 함수 Ai(x)의 그래프
종류	특수 함수
변수	실수 또는 복소수
기호	Ai(x), Bi(x)
정의	에어리 방정식의 해
관련 함수	베셀 함수, 스토크스 현상
정의
에어리 방정식	에어리 함수는 다음 미분 방정식의 해이다.
미분 방정식	d²y/dx² - xy = 0
성질
선형 독립 해	에어리 방정식의 선형 독립 해는 Ai(x)와 Bi(x) 두 가지이다.
Ai(x)	x가 양의 무한대로 갈 때 0으로 수렴하는 해
Bi(x)	x가 양의 무한대로 갈 때 발산하는 해
점근적 형태
x가 양의 무한대로 갈 때	Ai(x) ≈ exp(- (2/3)x^(3/2)) / (2π^(1/2) x^(1/4))
x가 음의 무한대로 갈 때	Ai(x) ≈ cos((2/3)(-x)^(3/2) - π/4) / (π^(1/2) (-x)^(1/4))
응용
광학	광학에서 회절 패턴, 특히 집광의 강도 분포를 설명하는 데 사용된다.
양자역학	양자역학에서 퍼텐셜 에너지가 선형적으로 변하는 경우의 슈뢰딩거 방정식의 해로 나타난다.

2. 정의

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로 정의된다. 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

2. 1. 에어리 미분 방정식

다음과 같은

f(x)

에 대한 이차 선형 상미분 방정식을 '''에어리 미분 방정식'''(Airy differential equation^영어)이라고 한다.

:

f''(x)=xf(x)

'''에어리 함수'''는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해이다. 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

:

\operatorname{Ai}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty \cos(t^3/3+xt)\,dt

:

\operatorname{Bi}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty\left[\exp\left(-\tfrac13t^3 + xt\right) + \sin\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\right]\,dt

y'' - xy = 0

는 에어리 방정식이다.

이 방정식은 두 개의 선형 독립 해를 갖는다. 는

x \to \infty

일 때

y \to 0

조건을 만족하는 유일한 해이다(스칼라 곱은 제외). 제2종 에어리 함수 는

x \to -\infty

일 때 와 진동 진폭이 같고 위상이

\pi/2

만큼 다른 해로 정의된다.

:

\operatorname{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]dt

2. 2. 제1종 에어리 함수 (Ai(x))

실수 x에 대해, 제1종 에어리 함수는 다음의 이상 리만 적분으로 정의할 수 있다.

:

\operatorname{Ai}(x) = \dfrac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos\left(\dfrac{t^3}{3} + xt\right)\, dt\equiv \dfrac{1}{\pi} \lim_{b\to\infty} \int_0^b \cos\left(\dfrac{t^3}{3} + xt\right)\, dt,

이것은 디리클레 판정법에 의해 수렴한다. 모든 실수 x에 대해, 함수

\tfrac{t^3}3 + xt

가 구간

[M,\infty)

에서 연속적이고 무한하며 단조 증가하고 볼록한 도함수를 갖는 양의 실수 M이 존재한다. 이 구간에서 적분의 수렴은

u=\tfrac{t^3}3 + xt

로 치환한 후 디리클레 판정법에 의해 증명할 수 있다.

2. 3. 제2종 에어리 함수 (Bi(x))

제2종 에어리 함수(

\operatorname{Bi}(x)

)는

x \to -\infty

일 때 제1종 에어리 함수(

\operatorname{Ai}(x)

)와 진동 진폭이 같고 위상이

\pi/2

만큼 다른 해로 정의된다. 제2종 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

:

\operatorname{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]dt.

3. 성질

에어리 함수 Ai|에이아이^영어(x)와 Bi|비아이^영어(x) 및 그 도함수의 x = 0에서의 값은 다음과 같다.^[10]

: $\begin{align}\operatorname{Ai}(0) &{}= \frac{1}{3^{2/3} \, \Gamma\!\left(\frac{2}{3}\right)}, & \quad \operatorname{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{3^{1/3} \, \Gamma\!\left(\frac{1}{3}\right)}, \\\operatorname{Bi}(0) &{}= \frac{1}{3^{1/6} \, \Gamma\!\left(\frac{2}{3}\right)}, & \quad \operatorname{Bi}'(0) &{}= \frac{3^{1/6}}{\Gamma\!\left(\frac{1}{3}\right)}.\end{align}$

여기서 는 감마 함수를 나타낸다. 이에 따라 Ai|에이아이^영어(x)와 Bi|비아이^영어(x)의 론스키 행렬식은 이다.

가 양수일 때, Ai|에이아이^영어(x)는 양의 값을 가지는 볼록 함수이며 지수 함수적으로 0으로 감소하고, Bi|비아이^영어(x)는 양의 값을 가지는 볼록 함수이며 지수 함수적으로 증가한다. 가 음수일 때, Ai|에이아이^영어(x)와 Bi|비아이^영어(x)는 모두 0 근처에서 진폭이 작아지며 진동한다.

에어리 함수 Ai(x)와 에어리 함수 Bi(x)는 다음 식과 같은 의미에서 직교한다.^[1]

: $\int_{-\infty}^\infty \operatorname{Ai}(t+x) \operatorname{Ai}(t+y) dt = \delta(x-y)$

이는 넓은 의미의 리만 적분을 사용한 것이다.

에어리 함수 Ai|에이아이^영어(x)와 그 도함수 Ai|에이아이^영어'(x)는 양의 실수 영점을 갖지 않는다. x=0에 가장 가까운 실수 영점은 다음과 같다.^[2]

Ai|에이아이^영어(x)의 영점: x ≈ −2.33811, −4.08795, −5.52056, −6.78671, ...
Ai|에이아이^영어'(x)의 영점: x ≈ −1.01879, −3.24820, −4.82010, −6.16331, ...

3. 1. x → ∞ 에서의 점근적 거동

x \gg 1

일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

:

\operatorname{Ai}(x) \approx \frac{\exp(-\frac{2}{3}x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}

(분모에 2가 있는 것에 주의)

:

\operatorname{Bi}(x) \approx \frac{\exp(\frac{2}{3}x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

|z|

가

\arg(z)

의 일정한 값으로 무한대로 갈 때 에어리 함수의 점근적 거동은

\arg(z)

에 따라 달라진다. 이를 스토크스 현상이라고 한다.

|\arg(z)| < \pi

에 대해

\operatorname{Ai}(z)

에 대한 다음의 점근 공식이 있다.^[3]

:

\operatorname{Ai}(z)\sim\dfrac{1}{2\sqrt\pi\,z^{1/4}}\exp\left(-\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(n+\frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right]

여기서

\zeta = \tfrac 23 z^{3/2}

이다.

\operatorname{Bi}(z)

에 대해서도 유사한 공식이 있지만, 이는

|\arg(z)| < \pi/3

일 때만 적용된다.

:

\operatorname{Bi}(z)\sim\frac{1}{\sqrt\pi\,z^{1/4}}\exp\left(\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ \Gamma\!\left(n+\frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right]

3. 2. x → -∞ 에서의 점근적 거동

x \gg 1

일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

:

Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

:

Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}

^[3]^[5]

Ai(-z)

에 대한 더 정확한 공식과

Bi(-z)

에 대한 공식은

\frac{\pi}{3} < \left| \arg(z) \right| < \pi

이지만 0이 아닌 경우 다음과 같다.^[3]^[5]

\begin{align}\operatorname{Ai}(-z) \sim&{} \\frac{1}{\sqrt\pi\,z^{1/4}}\sin\left( \frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6} \right) \, \Gamma\!\left(2n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4} \right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{1}{\sqrt\pi \, z^{1/4}}\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2}+\frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right] \\[6pt]\operatorname{Bi}(-z) \sim&{}\frac{1}{\sqrt\pi \, z^{1/4}}\cos \left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}+ \frac{1}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right].\end{align}

마찬가지로,

\left| \arg(z) \right| < \frac{2\pi}{3}

이지만 0이 아닌 경우

Ai'(-z)

및

Bi'(-z)

에 대한 표현은 다음과 같다^[5]

\begin{align}\operatorname{Ai}'(-z) \sim&{}

\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}

\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+12n}{1-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7+12n}{-5-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right] \\[6pt]\operatorname{Bi}'(-z) \sim&{} \\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+12n}{1-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7+12n}{-5-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right].\end{align}

3. 3. 초기값

Ai|x^영어와 Bi|x^영어 및 그 도함수의 x = 0에서의 값은 다음과 같다.

:

\begin{align}\operatorname{Ai}(0) &{}= \frac{1}{3^{2/3} \, \Gamma\!\left(\frac{2}{3}\right)}, & \quad \operatorname{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{3^{1/3} \, \Gamma\!\left(\frac{1}{3}\right)}, \\\operatorname{Bi}(0) &{}= \frac{1}{3^{1/6} \, \Gamma\!\left(\frac{2}{3}\right)}, & \quad \operatorname{Bi}'(0) &{}= \frac{3^{1/6}}{\Gamma\!\left(\frac{1}{3}\right)}.\end{align}

여기서 는 감마 함수를 나타낸다. 이에 따라 Ai|x^영어와 Bi|x^영어의 론스키 행렬식은 이다.^[10]

3. 4. 영점

에어리 함수 Ai|에이아이^영어(x)와 그 도함수 Ai|에이아이^영어'(x)는 양의 실수 영점을 갖지 않는다. x=0에 가장 가까운 실수 영점은 다음과 같다.^[2]

Ai|에이아이^영어(x)의 영점: x ≈ −2.33811, −4.08795, −5.52056, −6.78671, ...
Ai|에이아이^영어'(x)의 영점: x ≈ −1.01879, −3.24820, −4.82010, −6.16331, ...

3. 5. 직교성

에어리 함수 Ai( ''x'' )와 에어리 함수 Bi( ''x'' )는 다음 식과 같은 의미에서 직교한다.^[1]

:

\int_{-\infty}^\infty \operatorname{Ai}(t+x) \operatorname{Ai}(t+y) dt = \delta(x-y)

이는 넓은 의미의 리만 적분을 사용한 것이다.

4. 점근 공식

에어리 함수는 복소 평면으로 확장될 수 있으며, 이 때 에어리 함수의 점근적 거동은 값에 따라 달라진다. 이를 스토크스 현상이라고 한다.

이러한 극한에 대한 점근 전개는 (Abramowitz and Stegun, 1983) 및 (Olver, 1974)에 나열되어 있다.

4. 1. Ai(z)의 점근 공식

arg(z)^영어|arg^영어|z}} < π 일 때, Ai^영어(z)에 대한 점근 공식은 다음과 같다:^[3]

:

\operatorname{Ai}(z)\sim\dfrac{1}{2\sqrt\pi\,z^{1/4}}\exp\left(-\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(n+\frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right].

위 식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

\operatorname{Ai}(z)\sim\dfrac{e^{-\zeta}}{4\pi^{3/2}\,z^{1/4}}\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\Gamma\!\left(n+\frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n+\frac{1}{6}\right)}{n! (-2\zeta)^n} \right].

여기서

\zeta = \tfrac 23 z^{3/2}.

이다. 특히 처음 몇 개의 항은 다음과 같다:^[4]

:

\operatorname{Ai}(z) = \frac{e^{-\zeta}}{2\pi^{1/2}z^{1/4}}\left(1 - \frac{5}{72 \zeta} + \frac{385}{10368 \zeta^2} + O(\zeta^{-3})\right)

4. 2. Bi(z)의 점근 공식

Bi^영어(z)에 대한 점근 공식은 다음과 같다.^[3]

:

\operatorname{Bi}(z)\sim\frac{1}{\sqrt\pi\,z^{1/4}}\exp\left(\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ \Gamma\!\left(n+\frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right].

이 공식은

\left| \arg z \right| < \frac{\pi}{3}

일 때만 적용된다.^[3]

4. 3. Ai(-z)와 Bi(-z)의 점근 공식

arg|z|z^영어의 절댓값이 2π/3보다 작고 0이 아닐 때, Ai(-z)와 Bi(-z)의 점근 공식은 다음과 같다:^[3]^[5]

:

\begin{align}\operatorname{Ai}(-z) \sim&{} \\frac{1}{\sqrt\pi\,z^{1/4}}\sin\left( \frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6} \right) \, \Gamma\!\left(2n+\frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4} \right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{1}{\sqrt\pi \, z^{1/4}}\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2}+\frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right] \\[6pt]\operatorname{Bi}(-z) \sim&{}\frac{1}{\sqrt\pi \, z^{1/4}}\cos \left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}+ \frac{1}{\sqrt\pi\,z^{1/4}}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right].\end{align}

arg|z|z^영어의 절댓값이 2π/3보다 작고 0이 아닐 때는, 위 공식들은 좋은 근사값을 제공하지만, 사인 함수나 코사인 함수가 0이 되는 지점에서 Ai(-z) 또는 Bi(-z)와 위 근사식의 비율이 무한대로 발산하기 때문에 점근적이라고 할 수는 없다.

4. 4. Ai'(z), Bi'(z), Ai'(-z), Bi'(-z)의 점근 공식

Ai'^영어(z)와 Bi'^영어(z)의 점근적 표현은 다음과 같다.^[5]

:

\operatorname{Ai}'(z)\sim

\dfrac{z^{1/4}}{2\sqrt\pi\,}

\exp\left(-\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+6n}{1-6n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right].

일 때, ^[5]

:

\operatorname{Bi}'(z)\sim\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\exp\left(\frac{2}{3}z^{3/2}\right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+6n}{1-6n} \dfrac{ \Gamma\!\left(n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi \, n! \, z^{3n/2}} \right].

마찬가지로, 이지만 0이 아닌 경우 Ai'^영어(−z) 및 Bi'^영어(−z)에 대한 표현은 다음과 같다.^[5]

:

\begin{align}\operatorname{Ai}'(-z) \sim&{}

\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}

\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+12n}{1-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7+12n}{-5-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right] \\[6pt]\operatorname{Bi}'(-z) \sim&{} \\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\sin\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+12n}{1-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{5}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{1}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi \, (2n)! \, z^{3n}} \right] \\[6pt]&{}-\frac{z^{1/4}}{\sqrt\pi\,}\cos\left(\frac{2}{3}z^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right)\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7+12n}{-5-12n} \dfrac{(-1)^n \, \Gamma\!\left(2n + \frac{11}{6}\right) \, \Gamma\!\left(2n + \frac{7}{6}\right) \left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi \, (2n+1)! \, z^{3n\,+\,3/2}} \right] \\\end{align}

5. 복소 에어리 함수

에어리 함수는 복소수 값을 가질 수 있으며, 실수부와 허수부, 절댓값, 편각 등으로 나타낼 수 있다. 복소 에어리 함수의 다양한 모습을 그래프로 표현할 수 있다.

$\Re [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$	$\Im [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$	>\operatorname{Ai} ( x + iy)\|	$\operatorname{arg} [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$
Ai(x + iy)의 실수부	Ai(x + iy)의 허수부	Ai(x + iy)의 절댓값	Ai(x + iy)의 편각
Ai(x + iy)의 실수부 등고선	Ai(x + iy)의 허수부 등고선	Ai(x + iy)의 절댓값 등고선	Ai(x + iy)의 편각 등고선

$\Re [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$	$\Im [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$	>\operatorname{Bi} ( x + iy)\|	$\operatorname{arg} [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$
Bi(x + iy)의 실수부	Bi(x + iy)의 허수부	Bi(x + iy)의 절댓값	Bi(x + iy)의 편각
Bi(x + iy)의 실수부 등고선	Bi(x + iy)의 허수부 등고선	Bi(x + iy)의 절댓값 등고선	Bi(x + iy)의 편각 등고선

에어리 함수는 복소 평면으로 확장될 수 있으며, 그 정의와 점근적 성질, 영점 등은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5. 1. 복소 평면으로의 확장

에어리 함수의 정의는 다음과 같이 복소 평면으로 확장할 수 있다.

:

\operatorname{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\tfrac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,

여기서 적분 경로는 인수 -π/3^영어를 갖는 무한대 점에서 시작하여 인수 π/3^영어를 갖는 무한대 점에서 끝나는 경로 ''C''를 따라 수행된다. 또는 미분 방정식 y′′ − xy = 0^영어을 사용하여 Ai(x)^영어와 Bi(x)^영어를 복소 평면상의 전해석 함수로 확장할 수 있다.

Ai(x)^영어에 대한 점근 공식은 x^2/3^영어의 주값을 취하고 x^영어가 음의 실수 축에서 벗어난 경우에도 복소 평면에서 유효하다. Bi(x)^영어에 대한 공식은 x^영어가

x\in\C : \left|\arg(x)\right| < \tfrac{\pi}{3} - \delta

인 영역에 있는 경우 유효하다(여기서 δ는 양수). 마지막으로 Ai(−x)^영어와 Bi(−x)^영어에 대한 공식은 x^영어가

x\in\C : \left|\arg(x)\right| < \tfrac{2\pi}{3} - \delta.

인 영역에 있는 경우 유효하다.

에어리 함수의 점근적 거동으로부터 Ai(x)^영어와 Bi(x)^영어 모두 음의 실수 축에 무한히 많은 영점을 갖는다는 것을 알 수 있다. 함수 Ai(x)^영어는 복소 평면에서 다른 영점을 갖지 않지만, 함수 Bi(x)^영어는 또한

z\in\C : \tfrac{\pi}{3} < \left|\arg(z)\right| < \tfrac{\pi}{2}.

인 영역에 무한히 많은 영점을 갖는다.

5. 2. 복소 평면에서의 영점

에어리 함수 Ai(z)와 Bi(z)는 복소 평면으로 확장할 수 있다. Ai(x)와 Bi(x)는 미분 방정식 ''y''′′ − ''xy'' = 0을 사용하여 복소 평면상의 전해석 함수로 확장할 수 있다.

Ai(''x'')에 대한 점근 공식은 ''x''^2/3의 주값을 취하고 ''x''가 음의 실수 축에서 벗어난 경우 복소 평면에서 유효하다. Bi(''x'')에 대한 공식은 ''x''가 |arg(''x'')| < π/3 - δ 인 영역에 있는 경우 유효하다(δ는 양수). Ai(−''x'')와 Bi(−''x'')에 대한 공식은 ''x''가 |arg(''x'')| < 2π/3 - δ 인 영역에 있는 경우 유효하다.

에어리 함수의 점근적 거동을 통해 Ai(''x'')와 Bi(''x'') 모두 음의 실수 축에 무한히 많은 영점을 갖는다는 것을 알 수 있다. Ai(''x'')는 복소 평면에서 다른 영점을 갖지 않지만, Bi(''x'')는 π/3 < |arg(''z'')| < π/2 인 영역에 무한히 많은 영점을 갖는다.

5. 3. 그래프

$\Re [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$	$\Im [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$	>\operatorname{Ai} ( x + iy)\|	$\operatorname{arg} [\operatorname{Ai} ( x + iy)]$

$\Re [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$	$\Im [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$	>\operatorname{Bi} ( x + iy)\|	$\operatorname{arg} [\operatorname{Bi} ( x + iy)]$

6. 다른 특수 함수와의 관계

에어리 함수는 인수의 부호에 따라 베셀 함수, 변형 베셀 함수와 관련되며, 스코러 함수로도 표현할 수 있다.^[6]

6. 1. 베셀 함수와의 관계

음의 실수 인수에 대한 에어리 함수는 베셀 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\begin{align}\operatorname{Ai}(-x) &{}= \sqrt{\frac{x}{9}} \left[J_{1/3}\!\left(\frac{2}{3} x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\!\left(\frac{2}{3} x^{3/2}\right)\right], \\\operatorname{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac{x}{3}} \left[J_{-1/3}\!\left(\frac{2}{3 }x^{3/2}\right) - J_{1/3}\!\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right].\end{align}

여기서

J_{\pm 1/3}

는 다음 미분방정식의 해이다.

:

x^2y'' + xy' + \left (x^2 - \frac{1}{9} \right )y = 0.

^[6]

6. 2. 변형 베셀 함수와의 관계

양의 실수 인수에 대해, 에어리 함수는 변형 베셀 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다.^[6]

:Ai|Ai^영어(''x'') = \, K_{1/3}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)}}

:Bi|Bi^영어(''x'') = \left[I_{1/3}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\right]}}

여기서 ''I''_±1/3, ''K''_1/3는 다음 미분방정식의 해이다.

:

에어리 함수의 1차 미분은 다음과 같다.^[6]

:Ai|Ai^영어′(''x'') = K_{2/3}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)}}

함수 ''K''_1/3 및 ''K''_2/3는 빠르게 수렴하는 적분으로 나타낼 수 있다.^[6]

6. 3. 스코러 함수와의 관계

스코러 함수는

y'' - xy = \frac{1}{\pi}

방정식을 만족한다. 스코러 함수는 에어리 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[6]

:

\begin{align}\operatorname{Gi}(x) &{}= \operatorname{Bi}(x) \int_x^\infty \operatorname{Ai}(t) \, dt + \operatorname{Ai}(x) \int_0^x \operatorname{Bi}(t) \, dt, \\\operatorname{Hi}(x) &{}= \operatorname{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \operatorname{Ai}(t) \, dt - \operatorname{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \operatorname{Bi}(t) \, dt.\end{align}

7. 푸리에 변환

에어리 함수 Ai(''x'')의 정의를 사용하면, 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.^[1]

: $\mathcal{F}(\operatorname{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(x)\ e^{- 2\pi i k x}\,dx = e^{i(2\pi k)^3/3}$

8. 응용

에어리 함수는 여러 과학 분야에 응용된다.

양자역학: 에어리 함수는 삼각 퍼텐셜 우물이나 1차원 일정한 힘이 작용하는 공간에 있는 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해이다. WKB 근사에서 반고전적 근삿값을 구하는 데 사용되기도 한다. 삼각 퍼텐셜 우물 해는 반도체 이종 접합에 갇힌 전자를 이해하는 데 중요하다.^[7]
광학: 에어리 함수는 무지개와 같은 광학적 커스틱 근처의 빛의 세기 분포를 설명하는 데 사용된다. 이는 조지 비델 에어리가 이 함수를 개발하게 된 배경이기도 하다. 횡방향 비대칭 광선은 전기장 프로파일이 에어리 함수로 주어지는데, 이 광선은 최대 강도가 한쪽으로 쏠리는 특징을 보인다.^[7]
확률론: 1980년대 중반, 에어리 함수는 체르노프 분포와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀졌다.^[8] 에어리 함수는 랜덤 행렬에서 가장 큰 고윳값의 분포를 나타내는 트레이시-위덤 분포를 정의하는 데 사용된다. 에어리 과정은 랜덤 행렬 이론과 카다르-파라시-장 방정식(KPZ 방정식)의 관련성 때문에 KPZ 방정식에서 구성된 중심 과정 중 하나이다.^[9]

8. 1. 양자역학

에어리 함수는 삼각 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자와 1차원 일정 힘장 내의 입자에 대한 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해이다. 같은 이유로, 퍼텐셜을 위치의 선형 함수로 국소적으로 근사할 수 있을 때, WKB 근사에서 반전점 근처의 균일한 반고전적 근사값을 제공하는 데에도 사용된다. 삼각 퍼텐셜 우물 해는 반도체 이종 접합에 갇힌 전자를 이해하는 데 직접적으로 관련이 있다.

8. 2. 광학

횡방향 비대칭 광선은 전기장 프로파일이 에어리 함수로 주어지며, 대칭 빔과 달리 직선으로 전파되지 않고 최대 강도가 한쪽 방향으로 "가속"되는 흥미로운 특징을 보인다. 이때 저강도 꼬리가 반대 방향으로 퍼지면서 빔의 전체 운동량은 보존된다.

에어리 함수는 무지개 (과잉 무지개라고 불림)와 같은 광학적 커스틱 근처의 강도 형태를 설명하는 기초가 된다.^[7] 이는 에어리가 이 특수 함수를 개발하게 된 역사적 배경이기도 하다. 1841년, 윌리엄 할로스 밀러는 얇은 원통형 물통에 빛을 비추고 망원경으로 관찰하여 과잉 무지개 현상을 실험적으로 측정했으며, 최대 30개의 띠를 관찰했다.^[7]

8. 3. 확률론

1980년대 중반에 에어리 함수는 체르노프 분포와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀졌다.^[8]

에어리 함수는 또한 랜덤 행렬에서 가장 큰 고유값의 법칙을 설명하는 트레이시-위덤 분포의 정의에도 나타난다. 랜덤 행렬 이론과 카다르-파라시-장 방정식(KPZ 방정식)의 밀접한 관련성으로 인해, KPZ에서 구성된 중심 과정들 가운데 에어리 과정과 같은 것이 있다.^[9]

9. 역사

에어리 함수는 영국의 천문학자이자 물리학자인 조지 비델 에어리(1801–1892)의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 광학에 대한 초기 연구에서 이 함수를 접했다.^[1] 해럴드 제프리스가 Ai(''x'')라는 표기법을 도입했다.^[1] 에어리는 1835년에 영국 왕립 천문대장이 되었으며, 1881년 퇴임할 때까지 그 자리에 있었다.^[1]

참조

_[1] 논문 Physical Review 1966
_[2] 웹사이트 Airy and Related Function https://dlmf.nist.go[...] 2022-10-09
_[3] 간행물 1983
_[4] 웹사이트 DLMF: §9.7 Asymptotic Expansions ‣ Airy Functions ‣ Chapter 9 Airy and Related Functions https://dlmf.nist.go[...] 2023-05-11
_[5] 간행물 1983
_[6] 논문 Cascade Processes of Energy Loss by Emission of Hard Photons 2004
_[7] 간행물 On spurious rainbows. https://archive.org/[...] 1848
_[8] 논문 Chernoff's distribution and differential equations of parabolic and Airy type 2015
_[9] 서적 Topics in Percolative and Disordered Systems 2014
_[10] 논문 Physical Review 1966
_[11] 간행물 http://people.math.s[...] 1970
_[12] 간행물 http://people.math.s[...] 1970
_[13] 논문 Cascade Processes of Energy Loss by Emission of Hard Photons 2004
_[14] 저널 On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic 1838

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