붙임 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 범주론적 기술
5. 예시
참조

1. 개요

붙임 공간은 주어진 연속 함수에 따라 구성되는 위상 공간으로, 호모토피 이론에서 중요한 개념이다. 두 연속 함수 f와 g가 주어졌을 때, 분리합집합 위에 정의된 이항 관계를 통해 붙임 공간을 정의하며, 호모토피 붙임 공간과 호모토피 당김 공간과 같은 변형된 형태도 존재한다. 붙임 공간은 CW 복합체, 다양체의 연결합, 쐐기합 등 다양한 예시를 가지며, 범주론적으로는 푸시 아웃의 예시로 설명된다.

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붙임 공간
붙임 공간
정의	위상 공간 $X$와 $Y$가 주어지고, $Y$의 부분 공간 $A$와 연속 함수 $f:A\rightarrow X$가 주어졌을 때, $X$와 $Y$의 분리합집합에서 동치 관계 $a\sim f(a)$ ($a\in A$)를 통해 정의되는 동치류들의 공간이다.
기호	$X \cup_{f} Y$ 또는 $X +_{f} Y$
관련 개념
일반화	호모토피 붙임 공간
쌍대 개념	당김 공간
호모토피 쌍대 개념	호모토피 당김 공간

2. 정의

두 위상 공간 $X$ 와 $Y$ , 그리고 또 다른 공간 $Z$ 에서 각각 $X$ 와 $Y$ 로 가는 연속 함수 $f: Z \to X$ 와 $g: Z \to Y$ 가 주어졌다고 하자. 이때, $X$ 와 $Y$ 의 분리합집합 $X \sqcup Y$ 위에서, 모든 $z \in Z$ 에 대해 $f(z)$ 와 $g(z)$ 를 '같은 점'으로 취급하는 동치 관계 $\sim$ 를 정의할 수 있다.
붙임 공간 $X \cup_{f,g} Y$ 는 이 동치 관계 $\sim$ 에 대한 $X \sqcup Y$ 의 몫공간으로 정의된다. 즉, $X$ 안의 점 $f(z)$ 와 $Y$ 안의 점 $g(z)$ 를 '붙여서' 만든 새로운 위상 공간이다.

: $X \cup_{f,g} Y = \frac{X \sqcup Y}{\sim}$

이 정의는 공간 $Z$ 에 어떤 위상을 부여하는지에 의존하지 않는다. 붙임 공간은 위상 공간의 범주에서 밂을 구성한다.

2. 1. 붙임 공간

같은 정의역

Z

를 가진 두 연속 함수

:

Y \xleftarrow g Z \xrightarrow f X

가 주어졌다고 하자. 이때, 두 위상 공간

X

와

Y

의 분리합집합

X \sqcup Y

위에 다음과 같은 이항 관계

\succ

를 정의할 수 있다.

:

f(z) \succ g(z) \qquad \forall z \in Z

이 관계

\succ

는 일반적으로 대칭 관계나 추이적 관계가 아닐 수 있다. 이 관계를 포함하는 가장 작은 동치 관계를

\sim

라고 하자. 즉,

x, y \in X \sqcup Y

에 대하여

x \sim y

라는 것은,

x

와

y

사이에

\succ

또는

\prec

관계 (즉,

g(z) \prec f(z)

)를 번갈아 갖는 유한한 열(지그재그)이 존재함을 의미한다. 구체적으로는 다음과 같다.

$x \in X, y \in Y$ 일 때, $x \sim y$ 는 어떤 $x_0, \dots, x_k \in X$ 와 $y_0, \dots, y_k \in Y$ 가 존재하여 다음을 만족함을 뜻한다.

:

x = x_0 \succ y_0 \prec x_1 \succ y_1 \prec x_2 \succ \cdots \succ y_k = y

$x, x' \in X$ 일 때, $x \sim x'$ 는 어떤 $x_0, \dots, x_k \in X$ 와 $y_1, \dots, y_k \in Y$ 가 존재하여 다음을 만족함을 뜻한다.

:

x = x_0 \succ y_1 \prec x_1 \succ y_2 \prec x_2 \succ \cdots \prec x_k = x'

$y, y' \in Y$ 일 때, $y \sim y'$ 는 어떤 $x_1, \dots, x_k \in X$ 와 $y_0, \dots, y_k \in Y$ 가 존재하여 다음을 만족함을 뜻한다.

:

y = y_0 \prec x_1 \succ y_1 \prec x_2 \succ \cdots \succ y_k = y'

위에서 정의한 동치 관계

\sim

를 이용하여,

X

와

Y

를 함수

f

와

g

를 통해 붙인 붙임 공간

X \cup_{f,g} Y

는 분리합집합

X \sqcup Y

의 몫공간으로 정의된다.

:

X \cup_{f,g} Y = \frac{X \sqcup Y}{\sim}

이 붙임 공간은 위상 공간의 범주에서 밂을 구성한다.

붙임 공간의 구성 방식에 따라, 결과적으로 얻어지는 위상 공간은 공간

Z

에 어떤 위상을 부여하는지에 의존하지 않는다. 따라서

Z

에는

f

와

g

에 대한 시작 위상을 부여하거나, 모든 부분집합이 열린집합인 이산 위상을 부여하는 등 어떤 위상을 사용해도 동일한 붙임 공간을 얻게 된다.

2. 2. 호모토피 붙임 공간

일반적인 붙임 공간은 연속 함수

f

나

g

가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 '''호모토피 붙임 공간'''을 사용하여야 한다.

연속 함수

:

Y\xleftarrow gZ\xrightarrow fX

가 주어졌을 때, '''호모토피 붙임''' 또는 '''이중 사상 기둥'''(double mapping cylinder^영어)은 다음과 같다.

:

X\cup_f (Z\times[0,1])\cup_gY

이 경우, 표준적인 함수

:

X\hookrightarrow X\cup_f (Z\times[0,1])\cup_gY

:

Y\hookrightarrow X\cup_f (Z\times[0,1])\cup_gY

는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

2. 3. 당김 공간

같은 공역을 가진 두 연속 함수

:

Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 '''당김 공간'''(pullback space^영어)은 다음과 같은, 곱공간

X\times Y

의 부분 공간이다.

:

X\times_{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수

:

X\times_ZY\to X

:

X\times_ZY\to Y

가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

2. 4. 호모토피 당김 공간

당김 공간은 함수

f

나

g

가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 '''호모토피 당김 공간'''을 사용하여야 한다.

같은 공역

Z

를 가진 두 연속 함수

:

Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 '''호모토피 당김 공간'''(homotopy pullback space^영어)은 곱공간

X\times\operatorname{path}(Z)\times Y

의 다음과 같은 부분 공간이다.

:

X \times_Z^h Y = \{(x,\gamma,y)\in X\times\operatorname{path}(Z)\times Y\colon \gamma(0)=f(x),\;\gamma(1)=g(y)\}

여기서

\operatorname{path}(Z)

는

Z

의 경로 공간이며, 콤팩트-열린집합 위상이 부여된다.

3. 성질

붙임 공간 ''X'' ∪_''f'' ''Y''에서 위상 공간 ''Z''로 가는 연속 함수 ''h'' : ''X'' ∪_''f'' ''Y'' → ''Z''는, 모든 ''a'' ∈ ''A''에 대해 ''h''_''X''(''f''(''a'')) = ''h''_''Y''(''a'')라는 조건을 만족하는 연속 함수 쌍 ''h''_''X'' : ''X'' → ''Z'' 와 ''h''_''Y'' : ''Y'' → ''Z'' 사이에 일대일 대응 관계가 성립한다.

만약 ''A''가 ''Y''의 닫힌 집합이라면, 표준적인 사상 ''X'' → ''X'' ∪_''f'' ''Y''는 닫힌 매장이 되고, (''Y'' − ''A'') → ''X'' ∪_''f'' ''Y''는 열린 매장이 된다.

4. 범주론적 기술

붙임 구조는 위상 공간 범주에서 푸시 아웃의 예시이다. 즉, 붙임 공간은 다음 가환도표와 관련하여 보편적이다.

여기서 ''i''는 포함 사상이고, ''Φ''_''X''와 ''Φ''_''Y''는 각각 몫 사상과 ''X'', ''Y''의 분리합집합으로의 표준 사상을 합성하여 얻은 사상이다. 포함 사상 ''i'' 대신 임의의 연속 사상 ''g''를 사용하여 더 일반적인 푸시 아웃을 구성할 수도 있으며, 그 구조는 유사하다. 반대로, 만약 ''f'' 또한 포함 사상이라면, 붙임 구조는 단순히 ''X''와 ''Y''를 공통 부분 공간을 따라 함께 붙이는 것에 해당한다.

5. 예시

붙임 공간의 개념을 이해하는 데 도움이 되는 몇 가지 구체적인 예시는 다음과 같다.

닫힌 ''n''-공(셀) ''Y''와 그 경계인 (''n''−1)-구 ''A''를 이용하여, 구형 경계를 따라 셀을 붙여나가면 CW 복합체를 구성할 수 있다.
두 다양체 ''X''와 ''Y''에서 각각 열린 공을 제거한 뒤, 제거된 공들의 경계를 붙임 사상을 이용해 이어 붙여 연결 합을 정의할 수 있다.
만약 붙이는 부분 공간 ''A''가 하나의 점으로 이루어진 공간이라면, 결과적으로 얻어지는 붙임 공간은 두 공간 ''X''와 ''Y''의 쐐기 합이다.
만약 붙여지는 공간 ''X''가 하나의 점으로 이루어진 공간이라면, 결과는 공간 ''Y''의 부분 공간 ''A''를 하나의 점으로 간주하여 얻는 몫 공간 ''Y''/''A''와 같다.

5. 1. CW 복합체

붙임 공간의 일반적인 예시는 닫힌 n-공(셀이라고도 함)과 그 경계인 (n−1)-구를 이용하여 만들어진다. 이 구형 경계를 따라 기존 공간에 셀을 붙이는 과정을 반복적으로 적용하면 CW 복합체의 예시가 된다.

5. 2. 다양체의 연결합

접착 공간 개념은 다양체의 연결 합을 정의하는 데에도 사용된다. 연결 합은 두 다양체 ''X''와 ''Y''가 있을 때, 각각에서 열린 공을 하나씩 제거하고, 제거된 공의 경계 부분을 서로 붙여서 새로운 다양체를 만드는 과정을 말한다.

5. 3. 쐐기합

점을 가진 공간

(X,x)

와

(Y,y)

가 주어졌을 때, 두 공간을 각각의 점

x

와

y

에서 붙여 만든 공간을 쐐기합(wedge sum)이라고 하며,

X\vee Y

로 표기한다. 수학적으로는 분리합집합

X\sqcup Y

에서

x

와

y

를 동일시한 몫 공간

(X\sqcup Y)/\{x,y\}

으로 정의된다.

이는 점

\{\bullet\}

에서

X

와

Y

로 가는 사상

\{\bullet\}\xrightarrow x X

와

\{\bullet\}\xrightarrow y Y

를 이용한 붙임 공간으로 생각할 수 있다. 즉, 다음과 같은 다이어그램의 (호모토피) 붙임 공간이다.

:

X\xleftarrow x\{\bullet\}\xrightarrow yY

이 다이어그램에 대한 호모토피 붙임 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

\frac{X\sqcup Y\sqcup[0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}

이는 선분

[0,1]

의 양 끝점 0과 1에 각각 점

x \in X

와

y \in Y

를 붙인 공간으로 이해할 수 있다. 이 호모토피 붙임 공간은 쐐기합

X\vee Y

와 호모토피 동치이다.

붙임 공간을 만드는 일반적인 과정에서, 만약 부분 공간

A

가 하나의 점으로만 이루어진 공간이라면, 그 결과로 얻어지는 붙임 공간은

X

와

Y

의 쐐기합

X \vee Y

가 된다.

5. 4. 몫공간

붙임 공간을 구성할 때, 만약 공간 X가 점 하나로만 이루어진 공간이라면, 그 결과로 만들어지는 붙임 공간은 공간 Y의 부분 공간 A를 하나의 점으로 간주하여 얻는 몫공간 Y/A와 같다.

5. 5. 사상뿔

연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 가정하자. 이때,

\{\bullet\}\leftarrow X\xrightarrow fY

에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. 여기서

\{\bullet\}

은 한원소 공간을 의미한다.

이에 대한 붙임 공간은

Y

의 몫공간

Y/f(X)

이다. 하지만 이 몫공간은 일반적으로 위상 공간이 만족해야 하는 좋은 성질들, 예를 들어 분리 공리 등을 만족하지 않을 수 있다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 뿔 구조를 이용하여 다음과 같이 구성된다.

:

\operatorname{cone}(X)\cup_fY=\frac{(X\times[0,1])/(X\times\{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}

이를 사상뿔(寫像-, mapping cone^영어)이라고 부른다. 만약

X

와

Y

가 하우스도르프 공간과 같은 좋은 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 이러한 좋은 성질들을 유지한다. 사상뿔은 호모토피 범주에서 일종의 "몫공간" 역할을 하는 것으로 이해할 수 있다.

사상뿔은 일반적인 몫공간보다 더 유용한 성질들을 가지기 때문에, 대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다. 예를 들어, 상대 호몰로지

\operatorname H_\bullet(X,A)

는 보통 부분 공간

A

를 전체 공간

X

로 포함시키는 함수

A\hookrightarrow X

의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.

특히,

X=Y

이고 함수

f

가 항등 함수

\operatorname{id}_X

인 경우, 사상뿔은

X

위의 뿔(cone^영어)

\operatorname{cone}(X)=X\times[0,1]/(X\times\{0\})

과 같아진다.

5. 6. 사상기둥

연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 이때,

X\xleftarrow{\operatorname{id}}X\xrightarrow fY

에 대한 호모토피 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서

\operatorname{id}

는 항등 함수이다.) 이 호모토피 붙임 공간은

X

위의 기둥(

X \times [0,1]

)을

f

를 통해

Y

에 붙인 것으로, 다음과 같이 정의된다.

:

M_f = X\times[0,1]\cup_{f\times\{1\}}Y = \frac{X\times[0,1]\sqcup Y}{(x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}

이를 '''사상기둥'''(寫像-, mapping cylinder^영어)

M_f

라고 한다. 도식적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{matrix}X&\xrightarrow f&Y\\\downarrow {\tilde f}&&\downarrow\\M_f&\to&Y\end{matrix}

사상기둥

M_f

는 중요한 성질을 가진다.

$M_f$ 에서 $Y$ 로 가는 변형 수축이 존재한다. 따라서 $M_f$ 와 $Y$ 는 서로 호모토피 동치이다.
표준적인 포함 사상 $\tilde f\colon X\to M_f$ 는 쌍대올뭉치를 이룬다.

이러한 성질 덕분에, 모든 연속 함수

f\colon X \to Y

는 쌍대올뭉치인

\tilde f\colon X \to M_f

와 호모토피 동치인 사상

M_f \to Y

의 합성으로 분해될 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서 중요한 개념인 쌍대올분해(cofibrant resolution^영어)에 해당한다.

특히,

X=Y

이고

f=\operatorname{id}_X

(항등 함수)인 경우, 사상기둥

M_{\operatorname{id}_X}

는 단순히

X

위의 '''기둥'''

X\times[0,1]

과 같다.

5. 7. 이음

곱공간의 사영 사상에 대한 호모토피 붙임 공간을 생각해 볼 수 있다. 다음과 같은 사상이 주어졌다고 하자.

:

X\leftarrow X\times Y\to Y

이 사상들에 대한 일반적인 붙임 공간은 한원소 공간이 된다. 이는 곱공간의 사영 사상이 쌍대올뭉치와는 매우 다른 성질을 가지기 때문이다.

반면, 이 사상들에 대한 호모토피 붙임 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

X*Y=\frac{X\times Y\times[0,1]}{(x,y,0)\sim(x,y',0),\;(x,y,1)\sim(x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}

이 공간

X*Y

를

X

와

Y

의 '''이음'''이라고 부른다. 일반적인 붙임 공간과 달리, 이음은 보통 축약 가능 공간이 아니다.

특히, 위상 공간

X

와 0차원 초구

\mathbb S^0=\{0,1\}

의 이음

\mathbb S^0*X

는

X

의 '''현수'''

\operatorname SX

와 같다. 또한,

X

와 한원소 공간

\{\bullet\}

의 이음

\{\bullet\}*X

는

X

위의 '''뿔'''

\operatorname{cone}(X)

을 형성한다.

5. 8. 사상 경로 공간

연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

X\xrightarrow fY\xleftarrow{\operatorname{id}}Y

에 대한 호모토피 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서

\operatorname{id}

는 항등 함수이다.)

이 호모토피 당김 공간은

X \times \operatorname{path}(Y)

의 부분 공간으로 정의되며, 구체적인 형태는 다음과 같다.

:

\operatorname{cocyl}f=\{(x,\gamma)\in X\times \operatorname{path}(Y)\colon f(x)=\gamma(0)\}

이를 '''사상 경로 공간'''(寫像經路空間, mapping path space^영어) 또는 '''사상 쌍대기둥'''(mapping cocylinder^영어)이라고 한다. 여기서

\operatorname{path}(Y)

는

Y

의 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

사상 경로 공간

\operatorname{cocyl}f

와 관련된 자연스러운 사상들이 존재한다. 하나는 사영 사상

p \colon \operatorname{cocyl}f \to X

,

(x, \gamma) \mapsto x

이고, 다른 하나는

\tilde f \colon \operatorname{cocyl}f \to Y

,

(x, \gamma) \mapsto \gamma(1)

이다. 또한,

X

에서

\operatorname{cocyl}f

로 가는 포함 사상

i \colon X \to \operatorname{cocyl}f

,

x \mapsto (x, c_{f(x)})

를 정의할 수 있다. 여기서

c_{f(x)}

는

f(x)

에서의 상수 경로이다.

이 사상들은 다음 가환 그림을 만족시킨다.

:

\begin{matrix}X & \xrightarrow{i} & \operatorname{cocyl}f \\& \searrow{f} & \downarrow{\tilde f} \\& & Y\end{matrix}

여기서 사상

i

는 약한 호모토피 동치이며, 사상

\tilde f

는 올뭉치이다. 즉, 모든 연속 함수

f

는 약한 호모토피 동치

i

와 올뭉치

\tilde f

의 합성

f = \tilde f \circ i

으로 분해될 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(fibrant resolution^영어)에 해당한다.

5. 9. 경로 공간

위상 공간

X

의 두 점

x, x' \in X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

\{\bullet\}\xrightarrow xX\xleftarrow{x'}\{\bullet\}

의 호모토피 당김 공간을 생각할 수 있다.

이 호모토피 당김 공간은 구체적으로

X

위의,

x

에서

x'

으로 가는 경로들의 공간이다. 만약

x=x'

이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군

\pi_1(X,x)

을 이룬다.

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