유한환

1. 개요

유한환은 유한 집합인 환, 유사환, 가환환, 가환 유사환을 통칭하는 용어이다. 모든 유한환은 뇌터 환이자 아르틴 환이며, 가환 유한환의 크룰 차원은 0이다. 유한환의 모든 원소는 영인자이거나 가역원이며, 모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. Wedderburn의 작은 정리는 모든 유한 나눗셈환이 가환환임을 보여준다. 유한 유사환은 소인수 분해를 통해 직합으로 나타낼 수 있으며, 크기가 소수 거듭제곱인 경우로 분류할 수 있다. 유한환의 분류는 덧셈 아벨 군의 구조에 따라 진행되며, 순환군, Cyc(p)⊕Cyc(p), Cyc(p²) ⊕ Cyc(p), Cyc(p)⊕Cyc(p)⊕Cyc(p) 등의 구조에 대한 구체적인 분류가 이루어져 있다. 유한체 이론은 유한환 이론의 중요한 측면이며, 유한체의 차수는 pⁿ 꼴로 표현되고, 같은 차수의 유한체는 동형이다. 유한 링의 열거와 관련된 연구가 진행되었으며, 차수에 따른 유한 링의 개수가 알려져 있다.

2. 정의

환, 유사환, 가환환, 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 유한환, 유한 유사환, 유한 가환환, 유한 가환 유사환이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

3. 성질

모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 $R$에서 모든 원소 $r\backslash in\; R$는 영인자이거나 가역원이다. 만약 $r\backslash cdot\backslash colon\; R\backslash to\; R$가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:$\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; F\_\{p^k\})$

Wedderburn의 작은 정리에 따르면, 모든 유한 나눗셈환은 가환환이다. 즉, 유한환 R의 모든 0이 아닌 원소 r이 곱셈의 역원을 가지면, R은 가환환(따라서 유한체)이다.

네이선 제이콥슨은 환의 가환성을 보장하는 또 다른 조건을 발견했다. R의 모든 원소 r에 대해 n > 1인 정수가 존재하여 rⁿ = r이면 R은 가환환이다. 환의 가환성을 나타내는 더 일반적인 조건들도 알려져 있다.

웨더번의 또 다른 정리는 유한 단순환 이론이 비교적 단순하다는 것을 보여준다. 모든 유한 단순환은 크기가 q인 유한체 위의 n × n 행렬 $\backslash mathrm\{M\}\_n(\backslash mathbb\{F\}\_q)$와 동형이다. 이는 1905년과 1907년에 조지프 웨더번이 정립한 두 개의 정리(그 중 하나가 Wedderburn의 작은 정리)에서 비롯된다.

4. 분류

유한 유사환은 그 크기에 따라 분류할 수 있다. 유한 유사환 $(R,\; +,\; 0,\; \backslash cdot)$의 크기가 다음과 같이 소인수 분해된다고 하자.

:$|R|\; =\; \backslash prod\_i\; p\_i^\{n\_i\}$

이 경우, $R$은 다음과 같은 유사환 직합으로 표현할 수 있다.

:$R\; =\; \backslash bigoplus\_i\; R\_i$
:$|R\_i|\; =\; p\_i^\{n\_i\}$

즉, 유한 유사환을 분류하기 위해서는 크기가 소수의 거듭제곱인 경우만 고려하면 충분하다.

크기가 $p^n$인 유한 유사환 $(R,\; +,\; 0,\; \backslash cdot)$은 아벨 군 $(R,\; +,\; 0)$에 따라 일차적으로 분류할 수 있다. 유한 아벨 군은 완전히 분류되어 있으며, 이 아벨 군이 순환군인 경우 해당되는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만 분류하면 된다.

만약 $R$이 가환환인 경우, $R$은 크기가 소수의 거듭제곱인 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

4.1. 순환군 위의 유사환

덧셈 아벨 군이 순환군 Cyc(n)인 유사환 R는 다음과 같이 간단히 분류된다. 덧셈 아벨 군의 생성원을 a라고 할 때, 유사환 R는 다음 꼴이다.

:{0, a, 2a, 3a, …, (n-1)a}

이러한 유사환의 곱셈 구조는 다음 식에 의해 완전히 결정된다.

:a² = ka (단, k∈Z/n)

이러한 유사환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:⟨a | na, a²-ka⟩

두 유사환 ⟨a | na, a²-ka⟩와 ⟨a | na, a²-k'a⟩가 서로 동형일 필요충분조건은 다음과 같다.

:gcd{k, n} = gcd{k', n}

따라서, 순환군 Cyc(n) 위의 유사환들은 n의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데 k≡n≡0 (mod n)인 경우는 영유사환이며, k≡1 (mod n)인 경우는 정수환의 몫환 Z/(n)이다. k≢1 (mod n)인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다.

4.2. Cyc(''p'')^⊕2 위의 유사환

아벨 군이 $Cyc(p)^\{\backslash oplus\; 2\}$인 유사환은 총 8가지가 있으며, 다음과 같다.

4.3. Cyc(''p''²) ⊕ Cyc(''p'') 위의 유사환

아벨 군이 Cyc(p²) ⊕ Cyc(p)인 유사환은 p=2일 경우 총 20개, p≠2일 경우 총 2p+19개가 있다.
* 가환환 3개 (p=2일 경우 4개)
ℤ/(p²) ⊕ 𝔽_p]:
(ℤ/(p²))[x]/(px,x²)
(ℤ/(p²))[x]/(px,x²-p)
(ℤ/(p²))[x]/(px,x²-mp), m∈ℤ/(p)은 제곱잉여가 아닌 정수. (p=2일 경우 이는 불가능하다.)
* 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

4.4. Cyc(''p'')^⊕3 위의 유사환

아벨 군 Cyc(p)^⊕3 위의 유사환은 p=2인 경우 28개, p≠2인 경우 p+27개이다.

이 가운데 곱셈 단위원을 갖춘 환은 7개이다. 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나뿐이며, 유한체 위의 삼각행렬 환
:
이다. (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다.)

아벨 군 Cyc(p)^⊕3 위의 가환환 6개는 다음과 같다.
* $\backslash mathbb\; F\_p^\{\backslash oplus3\}$
* $\backslash mathbb\; F\_\{p^2\}\backslash oplus\backslash mathbb\; Z/(p)$
* $\backslash mathbb\; F\_p[x]/(x^2)\backslash oplus\backslash mathbb\; Z/(p)$
* 유한체 $\backslash mathbb\; F\_\{p^3\}$
* $\backslash mathbb\; F\_p[x]/(x^3)$
* $\backslash mathbb\; F\_p[x,y]/(x^2,xy,y^2)$

4.5. 주어진 크기의 유사환의 수

5. 유한체

유한체 이론은 대수기하학, 갈루아 이론, 정수론과의 밀접한 관련성 때문에 유한환 이론의 가장 중요한 측면일 것이다. 이 이론의 중요하지만 꽤 오래된 측면은 유한체의 분류이다.

* 유한체의 차수 또는 원소의 개수는 pⁿ과 같으며, 여기서 p는 체의 표수라고 불리는 소수이고, n은 양의 정수이다.
* 모든 소수 p와 양의 정수 n에 대해, pⁿ개의 원소를 가진 유한체가 존재한다.
* 차수가 같은 임의의 두 유한체는 동형이다.

이러한 분류에도 불구하고, 유한체는 Kakeya 추측에 대한 최근의 결과와 (정수론에서) 가장 작은 원시 근의 크기에 관한 미해결 문제들을 포함하여 여전히 활발한 연구 분야이다.

유한체 F는 F 위에서 n-차원 벡터 공간을 구성하는 데 사용될 수 있다. F의 원소를 갖는 n × n 행렬의 행렬환 A는 갈루아 기하학에서 사용되며, 사영 선형군은 A의 곱셈군 역할을 한다.

6. 웨더번 정리

Wedderburn의 작은 정리는 모든 유한 나눗셈환은 가환환이라는 것을 주장한다.
: 유한환 R의 모든 0이 아닌 원소 r이 곱셈의 역원을 가지면, R은 가환환(따라서 유한체)이다.

네이선 제이콥슨은 나중에 환의 가환성을 보장하는 또 다른 조건을 발견했다. 즉, R의 모든 원소 r에 대해 인 정수가 존재하여 이면 R은 가환환이다. 환의 가환성을 함의하는 더 일반적인 조건들도 알려져 있다.

웨더번의 또 다른 정리는 유한 단순환 이론이 비교적 단순하다는 것을 보여주는 결과를 갖는다. 더 구체적으로, 모든 유한 단순환은 크기가 q인 유한체 위의 n × n 행렬 와 동형이다. 이는 1905년과 1907년에 조지프 웨더번이 정립한 두 개의 정리(그 중 하나가 Wedderburn의 작은 정리)에서 비롯된다.

7. 열거

(경고: 이 섹션의 열거에는 곱셈 항등원을 갖지 않는 링이 포함되어 있으며, 때로는 rng이라고도 한다.) 1964년 데이비드 싱마스터는 미국 수학 월간지에 다음과 같은 문제를 제기했다. "(1) 장이 아닌 가장 작은 비자명 링(1을 갖는)의 차수는 무엇인가? 이러한 최소 차수를 갖는 링을 두 개 찾으시오. 더 있는가? (2) 차수가 4인 링은 몇 개인가?"

D.M. Bloom은 두 페이지 분량의 증명을 통해 차수가 4인 링이 11개이며, 그 중 4개는 곱셈 항등원을 갖는다는 해답을 제시했다. 실제로 4개의 원소를 갖는 링은 이 주제의 복잡성을 보여준다. 순환군 C₄에 대한 링은 3개, 클라인 네 그룹에 대한 링은 8개이다. Gregory Dresden의 강의 노트에는 차별적 도구(멱영원, 영인자, 아이뎀포턴트, 좌 및 우 항등원)의 흥미로운 전시가 있다.

유한 링에서 비가환성의 발생은 Eldridge (1968)에서 두 개의 정리에 의해 설명되었다. 1을 갖는 유한 링의 차수 m이 세제곱 무첨가 인수 분해를 갖는 경우, 이는 가환환이다. 그리고 1을 갖는 비가환환 유한 링이 소수의 세제곱 차수를 갖는 경우, 링은 소수의 갈루아 체에 대한 상 삼각 2 × 2 행렬 링과 동형이다.

소수의 세제곱 차수를 갖는 링에 대한 연구는 Raghavendran (1969)와 Gilmer & Mott (1973)에서 더욱 발전되었다. 다음으로 Flor와 Wessenbauer (1975)는 소수의 세제곱 경우에 대한 개선을 이루었다. 동형 클래스에 대한 결정적인 연구는 Antipkin & Elizarov (1982)에서 이루어졌으며, p > 2에 대해 클래스 수는 3p + 50임을 증명했다.

유한 링 주제에는 Robert Ballieu 및 Scorza와 같은 이전 참고 문헌이 있다.

다음은 주어진 차수(p와 q가 서로 다른 소수를 나타낸다고 가정)의 유한 링(단위를 반드시 갖는 것은 아님) 수에 대해 알려진 사실 중 일부이다.

n개의 원소를 갖는 링의 수는 다음과 같다:
: 1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ...