영역 (환론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 가환 영역 (정역)
3. 성질
4. 예시
5. 군환과 영인자 문제
6. 환의 스펙트럼
참조

1. 개요

영역(domain)은 환(ring)의 일종으로, 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 아닌 환을 의미한다. 영역은 자명환이 아니며, 두 원소의 곱이 0이면 그 중 적어도 하나는 0이어야 한다. 체(field)는 정역(integral domain)이며, 단순환, 소환, 반소환, 축소환 등과 밀접한 관련이 있다. 유한환인 영역은 유한체이며, 유한 정역은 자동으로 유한체가 된다. 군환과 영역의 관계는 영인자 문제로 연구되며, 가해군인 경우 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 가환환의 경우, 환의 스펙트럼이 기약 공간인 것과 정역인 것은 동치 관계를 이룬다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

영역 (환론)
정의
정의	0이 아닌 영인자가 없는 단위환
성질
零積性質 (영곱 성질)	만약 ab = 0이면 a = 0 또는 b = 0이다.
1 ≠ 0	1은 0과 같지 않다.
예시
예시	정수환 (정수) 체 skew field (사체)
참고
참고	可換環論 (가환환론) 整域 (정역)

2. 정의

환 $R$ 이 다음 조건을 만족하면 '''영역'''이라고 한다.

$R$ 는 자명환이 아니며, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rs=0$ 이라면 $r=0$ 이거나 $s=0$ 이다.
영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
왼쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
오른쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

사원수는 비가환 영역의 한 예이다. 모든 0이 아닌 원소가 가역원인 나눗셈 환은 모두 영역이다. 립시츠 사원수와 Hurwitz 사원수 집합 또한 비가환 영역의 예시이다.

''n'' ≥ 2인 행렬환 M_''n''(''R'')은 영역이 아니다. ''R''이 0이 아니면, 이러한 행렬환은 0이 아닌 영인자와 0이 아닌 멱영원을 갖는다. 예를 들어, 행렬 단위 ''E''₁₂의 제곱은 0이다.

벡터 공간의 텐서 대수, 또는 체 위의 비가환 변수에서의 다항식 대수

\mathbb{K}\langle x_1,\ldots,x_n\rangle

는 영역이다. 바일 대수는 비가환 영역이다. 체 위의 임의의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이다.

환이 영역임을 보이는 방법 중 하나는 특별한 성질을 가진 필터링(filtreation)을 제시하는 것이다. 필터 여과된 환

R

의 딸림 등급환

gr R

이 영역이면,

R

자신도 영역이다.

2. 1. 가환 영역 (정역)

가환환인 영역은 정역(integral domain)이라고 한다. 가환 영역에서는 다음이 성립한다.

양의 정수 $n$ 에 대해, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 환은 $n$ 이 소수일 때에만 정역이다.
Wedderburn의 작은 정리에 따르면, ''유한'' 정역은 자동으로 유한체이다.

3. 성질

다음 함의 관계가 성립한다.^[5]

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
단순환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
좌·우 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
단순환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
좌·우 원시환		소환		반소환

즉, 가환 영역은 정역이다.

웨더번 정리에 따라서, 유한환인 영역은 유한체밖에 없다.

환이 영역임을 보이는 방법 중 하나는 특별한 성질을 가진 필터링을 제시하는 것이다.

'''정리''': R이 필터 여과된 환이고, 딸림 등급환 gr R이 영역이면, R 자신도 영역을 이룬다.

이 정리를 이용하려면, 등급환 gr R을 조사할 필요가 있다.

4. 예시

다음은 영역의 예시이다.

모든 나눗셈환(유한체, 유리수체, 실수체, 복소수체, 사원수환)은 영역이다.
'''후르비츠 사원수'''(Hurwitz quaternion^영어)의 환

:

\{a+bi+cj+dk\in\mathbb H\colon a\in\mathbb Z+\{0,1/2\},\;a-b,a-c,a-d\in\mathbb Z\}

및 '''립시츠 사원수'''(Lipschitz quaternion^영어)의 환

:

\{a+bi+cj+dk\in\mathbb H\colon a,b,c,d\in\mathbb Z\}

역시 비가환 영역을 이룬다.

체 $K$ 위의 텐서 대수(자유 단위 결합 대수) $K\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ 는 영역이며, $n\ge2$ 일 경우 비가환 영역이다.
표수가 0인 체 $K$ 위의 바일 대수 $K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)$ 역시 비가환 영역이다.
리 대수 위의 보편 포락 대수는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

다음은 영역이 아닌 예시이다.

임의의 환 $R$ 및 양의 정수 $n\ge2$ 에 대하여, 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;R)$ 는 영역이 아니다. (만약 $R$ 가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖고, 만약 $R$ 가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)
환 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 는 정역이 아닌데, 그 이유는 이 환에서 2와 3의 상이 곱하면 0이 되는 0이 아닌 원소이기 때문이다. 더 일반적으로, 양의 정수 $n$ 에 대해, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 환은 $n$ 이 소수일 때에만 정역이다.

5. 군환과 영인자 문제

군 $G$ 와 체 $K$ 에 대하여, 군환 $K[G]$ 의 영역성에 대한 논의는 다음과 같다. $G$ 의 꼬임 부분군이 자명하지 않으면 $K[G]$ 는 영인자를 가지므로 영역이 아니다. 예를 들어, $g\in G$ 에 대하여 $g^n=1$ 이면, 다음이 성립한다.

: $(1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n=0$

꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. (영인자 문제) $G$ 가 꼬임 부분군이 자명한 가해군이면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

이 문제는, 체 ''K''와 비틀림이 없는 군 ''G''가 주어졌을 때, ''K''[''G'']가 영인자를 포함하지 않는가? 라는 질문과 같다.

반례는 알려져 있지 않지만, 이 문제는 일반적으로 (2017년 기준) 미해결 상태로 남아 있다.

많은 특수한 종류의 군에 대해 답은 긍정적이다. 1976년에 Farkas와 Snider는 ''G''가 비틀림이 없는 유한 다항군이면 군환 ''K''[''G'']는 정역임을 증명했다. 1980년에 Cliff는 체의 표수에 대한 제약을 제거했다. 1988년, Kropholler, Linnell 및 Moody는 이러한 결과를 비틀림이 없는 가해가능군 및 유한 가해가능군으로 일반화했다. 1965년에 미셸 라자르는 ''K''가 p-진 정수의 환이고 ''G''가 ''p''번째 합동 부분군인 경우를 다루었으나, 약 20년 동안 이 분야의 전문가들에게 중요성이 인식되지 않았다.

군 $G$ 과 체 $K$ 에 대해, 군환 $K[G]$ 이 정역이 되는지를 생각한다. 항등식

: $(1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n=0$

으로부터 유한한 위수 $n$ 을 갖는 원소 $g$ 로부터 $K[G]$ 의 영인자 $1-g$ 가 얻어진다. '''영인자 문제'''(카플란스키의 영인자 추측)는 이 외의 방법으로 영인자가 얻어지지 않는지를 묻는 것이다.

다양한 특정 군의 클래스에 대해서는 긍정적으로 해결되었다. Farkas와 Snider는 $G$ 가 꼬임이 없는 다중 순환×유한 군이고 $K$ 가 표수 0인 체라면 군환 $K[G]$ 는 정역을 이룬다는 것을 증명했다. 이후 Cliff가 체의 표수에 관한 제한을 제거했다. Kropholler, Linnell, Moody는 이러한 결과를 꼬임이 없는 가해군 및 가해×유한 군의 경우까지 일반화했다. 그보다 앞서 Lazard가 수행한 연구는(그 중요성은 20년 동안 이 분야의 전문가들에게 주목받지 못했지만), $K$ 가 p-진 정수환이고 $G$ 가 p-차 합동 부분군인 경우를 다루었다.

6. 환의 스펙트럼

환 ''R''이 기약환이고, 그 스펙트럼 Spec ''R''이 기약 위상 공간인 것과 환 ''R''이 정역인 것은 동치이다.^[1] 첫 번째 성질은 종종 미세한 정보를 나타내는 것으로 간주되며, 두 번째 성질은 좀 더 기하학적이다.^[1]

예를 들어, 환 ''k''[''x'', ''y'']/(''xy'')는 ''k''가 체일 때 정역이 아니다.^[1] 이 환에서 ''x''와 ''y''의 상은 영인자이기 때문이다.^[1] 기하학적으로, 이것은 이 환의 스펙트럼, 즉 x|x^영어 = 0과 y|y^영어 = 0의 두 직선의 합집합이 기약적이지 않다는 사실에 해당한다.^[1] 실제로 이 두 직선은 그 기약 성분이다.^[1]

참조

_[1] 서적 2001
_[2] 서적 1994
_[3] 문서 2002
_[4] MathWorld Domain
_[5] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001

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