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원 채우기

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목차

1. 개요

원 채우기는 주어진 공간에 원을 가장 효율적으로 배치하는 문제로, 고대 수학부터 연구되었다. 2차원 평면에서 동일한 원을 가장 조밀하게 채우는 방법은 육각형 배열이며, 이는 원의 중심이 육각형 격자를 이루는 형태이다. 이 채우기 방식은 1773년 라그랑주에 의해 증명되었고, 1890년 투에에 의해 모든 배열 중 최적임이 제시되었으나, 후에 페예스 토트에 의해 엄밀한 증명이 이루어졌다. 원은 중심 대칭 볼록 도형 중 가장 낮은 최대 채움 밀도를 갖지는 않으며, 매끄러운 팔각형이 더 낮은 값을 가진다. 원 채우기는 균등 채우기, 비균등 채우기, 구면에서의 채우기, 제한된 영역에서의 채우기 등 다양한 형태로 연구되며, 통신 기술(직교 진폭 변조) 및 종이접기 디자인 등 다양한 분야에 응용된다.

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원 채우기
정의
분야기하학
설명평면 위에 원들을 겹치지 않게 배열하는 방법
밀도평면에서 원들이 차지하는 비율
연구 내용가장 효율적인 원 채우기 방법
다양한 모양의 영역에 대한 원 채우기
원 외 다른 모양의 채우기
역사
초기 연구요하네스 케플러의 추측 (1611년)
힐베르트의 18번째 문제공간에서 가장 조밀한 구 채우기의 존재 증명
토머스 캘리스터 해일즈케플러의 추측 증명 (1998년), 2017년 공식 증명 완료
유형
정규 채우기모든 원이 동일한 크기를 가지고, 격자 형태로 배열됨
비정규 채우기원의 크기가 다르거나, 배열이 불규칙함
조밀 채우기가능한 한 가장 높은 밀도로 원을 채움
희소 채우기낮은 밀도로 원을 채움
밀도
최대 밀도 (정규)π/√12 ≈ 0.9069
최대 밀도 (비정규)1에 가까워질 수 있음
응용
분야암호학
정보 이론
재료 과학
같이 보기
관련 항목아폴로니안 원
원 채우기 정리
케플러의 추측
타원 채우기
구 채우기

2. 역사

크기가 동일한 원을 가장 조밀하게 채우는 육각형 채우기 배열.


2차원 유클리드 평면에서 원을 가장 조밀하게 배열하는 문제에 대한 연구는 오래전부터 이어져 왔다. 1773년, 조제프루이 라그랑주는 원의 중심이 육각형 격자(벌집 모양처럼 배열된 격자) 위에 놓이는 육각형 채우기 배열이 격자 배열 중 가장 밀도가 높다는 것을 증명했다.[1] 이 배열에서 각 원은 주변의 6개 원과 접하게 된다. 육각형 채우기 배열의 밀도는 다음과 같다.

:\eta_h = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069.

이후 1890년에 악셀 투에는 육각형 채우기 배열이 단순히 격자 배열 중에서 뿐만 아니라, 가능한 모든 배열 중에서 가장 밀도가 높다는 것을 증명하고자 했다. 그는 크기가 동일한 원의 경우 육각형 배열이 최적의 밀도를 가진다는 증명을 발표했으나, 그의 증명은 일부 수학자들에게 불완전한 것으로 여겨졌다.[1][2]

악셀 투에의 증명이 남긴 불완전성은 이후 다른 수학자들의 연구를 통해 보완되었다. 1940년, 라슬로 페예시 토트는 투에의 아이디어를 발전시켜 육각형 채우기가 실제로 2차원 평면에서 동일한 원을 채우는 가장 조밀한 방법임을 엄밀하게 증명하는 데 성공했다.[14][1][2]

3. 평면에서의 원 채우기



같은 크기의 원들이 자연스럽게 육각형 채우기 형태를 이루다가, 크기가 다른 원들이 섞이면서 불규칙한 배열로 전환되는 모습.


2차원 유클리드 평면에서 원을 겹치지 않게 배열하는 문제를 다룬다. 특히 원들로 평면을 얼마나 조밀하게 채울 수 있는지가 주요 관심사이다.

1773년, 조제프루이 라그랑주는 원의 중심이 육각형 격자(벌집 모양처럼 엇갈린 배열)를 이루는 육각형 채우기가 가장 밀도가 높은 격자 배열임을 증명했다.[1] 이 배열에서는 각 원이 주변의 다른 여섯 개 원과 접하게 되며, 밀도(전체 면적에서 원이 차지하는 비율)는 다음과 같이 계산된다.

:\eta_h = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069.

즉, 육각형 채우기는 평면의 약 90.69%를 덮을 수 있다.

이후 1890년 악셀 투에는 이러한 육각형 채우기가 단순히 격자 배열 중에서 뿐만 아니라 가능한 모든 원 채우기 방식 중에서 가장 밀도가 높다는 것을 처음으로 증명하려 시도했으나, 그의 증명은 불완전하다는 평가를 받았다. 이 문제에 대한 엄밀하고 완전한 증명은 1940년(또는 1942년[2]) 라슬로 페예스 토스에 의해 제시되었다.[14][1][2]

반대로, 원 채우기의 밀도가 반드시 높아야 하는 것은 아니다. Böröczky는 서로 단단히 고정된(rigidly packed) 원 배열이라도 얼마든지 낮은 밀도를 가질 수 있음을 증명했다.[15][16][4][5]

평면에서의 원 채우기는 다양한 형태로 나타날 수 있다. 특히, 평면의 11가지 균등 타일링을 기반으로 하는 11가지 종류의 '균등 원 채우기'가 존재한다.[17][6] (자세한 내용은 #균등 채우기 참조)

정사각형 안에 원 15개를 채운 모습. 인접한 원들 사이에 정삼각형 형태가 나타나는 것을 볼 수 있다.


또한, 원의 크기가 모두 같지 않은 경우의 채우기 문제, 예를 들어 두 가지 다른 크기의 원(이진 시스템)을 사용하는 경우 등도 활발히 연구된다.[19] (자세한 내용은 #비균등 채우기 참조)

정사각형이나 원과 같이 간단한 경계를 가진 도형 안에 원을 최대한 많이 채우는 문제는 유희 수학의 고전적인 주제 중 하나이다. 이러한 경우, 용기의 벽(경계)이 채우기 방식에 영향을 미치기 때문에, 원의 개수가 적을 때는 육각형 채우기가 반드시 최적의 방식은 아니다.

3. 1. 균등 채우기

균등 채우기(Uniform packing)는 모든 원이 동일한 크기를 가지며, 대칭과 회전을 통해 다른 모든 원들과 동일한 위치로 옮겨질 수 있는 배열을 의미한다. 평면에는 11가지 균등 타일링(정규 타일링)을 기반으로 하는 11개의 균등 원 채우기가 존재한다.[6] 이 채우기들에서 모든 원은 기하학적 변환(반사 또는 회전)을 통해 다른 모든 원과 정확히 같은 위치와 방향으로 매핑될 수 있다.

이러한 균등 채우기 과정에서 생기는 틈새(gap)에 대한 추가적인 채우기도 고려될 수 있다. 예를 들어, 어떤 타일링에서 나타나는 육각형 모양의 틈새는 하나의 원으로 채울 수 있으며, 십이각형 모양의 틈새는 7개의 원으로 채워 3-균등 채우기(3-uniform packing, 즉 3가지의 서로 다른 국소 환경을 가진 원들이 존재하는 채우기)를 만들 수 있다. 두 가지 종류의 틈새가 동시에 나타나는 깎은 삼육각형 타일링의 경우, 이 틈새들을 적절히 채워 4-균등 채우기를 만드는 것이 가능하다. 또한, 다듬은 삼육각형 타일링(Snub hexagonal tiling)은 서로 거울상 관계에 있는 두 가지 형태의 균등 채우기를 가진다.

아래는 11가지 균등 타일링 각각에 해당하는 1-균등 원 채우기(1-uniform packing, 모든 원의 국소 환경이 동일한 채우기)를 보여주는 표이다.

균등 타일링을 기반으로 한 1-균등 원 채우기[6]
삼각형 타일링사각형 타일링육각형 타일링길쭉한 삼각형 타일링
삼각형 타일링 기반 원 채우기
사각형 타일링 기반 원 채우기
육각형 타일링 기반 원 채우기
길쭉한 삼각형 타일링 기반 원 채우기
삼육각형 타일링다듬은 사각형 타일링깎은 사각형 타일링깎은 육각형 타일링
삼육각형 타일링 기반 원 채우기
다듬은 사각형 타일링 기반 원 채우기
깎은 사각형 타일링 기반 원 채우기
깎은 육각형 타일링 기반 원 채우기
마름모 삼육각형 타일링다듬은 삼육각형 타일링다듬은 삼육각형 (거울상)깎은 삼육각형 타일링
마름모 삼육각형 타일링 기반 원 채우기
다듬은 삼육각형 타일링 기반 원 채우기
다듬은 삼육각형 타일링 (거울상) 기반 원 채우기
깎은 삼육각형 타일링 기반 원 채우기


3. 2. 비균등 채우기

왼쪽


원의 크기가 동일하지 않은, 즉 비균등 채우기 문제도 존재한다. 이러한 문제 중 하나는 두 가지 특정 크기의 원을 사용하는 시스템('이진 시스템')에서 최대 가능한 밀도를 찾는 것이다.[19]

단 아홉 가지의 특정 반지름 비율만이 '콤팩트 채우기'를 가능하게 한다. 콤팩트 채우기는 모든 원의 쌍이 다른 두 원과 접촉하는 채우기를 의미하며, 이때 접촉하는 원의 중심들을 선분으로 이으면 표면이 삼각형으로 가득 차게(삼각화) 된다.[19][8]

알려진 아홉 가지 반지름 비율 각각에 대해, 해당 비율을 가진 원판 혼합물에서 최대 가능한 채우기 비율을 달성하는 콤팩트 채우기가 존재한다. 이들 중 일부는 균일한 크기의 원판 채우기보다 더 높은 밀도를 가진다.[9][10] 알려진 가장 높은 채우기 밀도는 0.911627478이며, 이때의 반지름 비율은 0.545151042이다.[20]

반면, 반지름 비율이 0.742 이상일 경우, 이진 혼합물은 균일한 크기의 원 채우기보다 더 조밀하게 채울 수 없다는 것이 알려져 있다.[21][7] 이보다 작은 비율에서의 이진 채우기 밀도에 대한 상한값도 연구되었다.[21][11]

4. 구면에서의 원 채우기

구면에서의 원 채우기는 3차원 공간에서의 배열 문제로 확장될 수 있으며, 주어진 표면 위에서 동일하게 상호작용하는 개체들의 최적 배열을 찾는 문제와 관련이 깊다. 예를 들어, 구 표면 위에 점이나 원을 특정 조건(최소 에너지, 최대 최소 거리 등)에 맞게 배치하는 톰슨 문제나 타메스 문제 등이 이러한 맥락에서 연구된다.

4. 1. 톰슨 문제

관련된 문제는 주어진 표면 위에 놓이도록 제한된, 동일하게 상호작용하는 점들의 최저 에너지 배열을 결정하는 것이다. 톰슨 문제는 구 표면에 동일한 전하들의 가장 에너지가 낮은 분포를 다루는 문제이다.[1] 타메스 문제는 이를 일반화한 것으로, 구 위의 원들 사이의 최소 거리를 최대화하는 문제를 다룬다. 이는 구 위에 점전하가 아닌 것을 배열하는 것과 유사하다.[1]

4. 2. 타메스 문제

톰슨 문제는 구 표면에 동일한 전하의 최저 에너지 분포를 다루는 문제이다. 타메스 문제는 이를 일반화한 것으로, 구 위의 원들 사이의 최소 거리를 최대화하는 문제를 다룬다. 이는 구 위에 점이 아닌 전하(비점전하)를 분포시키는 것과 유사하다.

5. 제한된 영역에서의 원 채우기



단순한 경계가 있는 도형 안에 원을 채워 넣는 문제는 유희 수학 또는 수학 오락에서 흔히 다루는 유형의 문제이다. 이러한 문제에서는 용기(컨테이너) 벽의 영향이 중요하게 작용하며, 이 때문에 육각형 배열이 원의 개수가 적을 때는 반드시 최적의 해법이 아닐 수 있다.

연구된 구체적인 문제 유형들은 다음과 같다.

6. 응용 분야

원 채우기 이론은 통신 기술이나 종이접기 디자인 등 다양한 분야에서 중요한 원리로 활용된다.

6. 1. 통신 기술

직교 진폭 변조는 위상-진폭 공간에서 원 채우기 원리를 기반으로 하는 통신 기술이다. 모뎀은 데이터를 2차원 위상-진폭 공간 상의 여러 점으로 표현하여 전송한다. 이 점들 사이의 거리는 전송 중 발생하는 잡음에 대한 내성을 결정하며, 모든 점을 포함하는 가장 작은 원(외접원)의 지름은 송신기가 필요로 하는 전력량을 결정한다. 데이터 점들의 성상도 배치가 효율적인 원 채우기의 중심에 가까울수록 통신 성능은 최대화된다. 그러나 실제 시스템에서는 복호화 과정을 단순화하기 위해, 최적의 효율은 아니지만 직사각형 형태의 채우기 방식이 자주 사용된다.

6. 2. 종이접기

원 채우기는 종이접기 디자인에서도 중요한 역할을 한다. 종이접기로 만드는 모양의 각 부분에는 그 부분에 해당하는 원 모양의 종이 영역이 필요하기 때문이다.[22][12] 로버트 J. 랭은 이러한 원 채우기의 수학적 원리를 이용하여 복잡한 종이접기 디자인을 돕는 컴퓨터 프로그램을 개발하였다.

참조

[1] 논문 A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing 2010
[2] 논문 Über die dichteste Kugellagerung 1942
[3] 웹사이트 Smoothed Octagon
[4] 논문 Über stabile Kreis- und Kugelsysteme 1964
[5] 논문 Sparse locally-jammed disk packings 2012
[6] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)
[7] 논문 Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane 2003-08-01
[8] 논문 Compact packings of the plane with two sizes of discs
[9] 논문 Density of binary disc packings: the nine compact packings 2022
[10] 웹사이트 Circle Packings http://math.arizona.[...] 2004-07-21
[11] 논문 Upper bounds for packings of spheres of several radii 2012-06-12
[12] 웹사이트 Robert Lang on TED http://www.ted.com/i[...]
[13] 웹사이트 Smoothed Octagon
[14] 논문 A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing 2010
[15] 논문 Über stabile Kreis- und Kugelsysteme 1964
[16] 논문 Sparse locally-jammed disk packings 2012
[17] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)
[18] 논문 Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane 2003-08-01
[19] 논문 Compact packings of the plane with two sizes of discs
[20] 웹인용 A densest compact planar packing with two sizes of discs http://arxiv.org/abs[...] 2004-12-21
[21] 논문 Upper bounds for packings of spheres of several radii 2012-06-12
[22] 웹사이트 Robert Lang on TED http://www.ted.com/i[...]


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