이상수 (수학)

3. 정의

이상수(수학) 그 자체는 직접 정의되지 않고, 원분 정수에 "이상 인자가 포함되는지 여부"만 정의된다.^[1]

λ를 홀수 소수, α를 1의 λ 제곱근이라고 하자. q를 λ와는 다른 소수로 두고, f를 q^f ≡ 1 mod λ 가 되는 최소의 양의 정수라고 정의한다. f는 λ-1을 나누므로, e := (λ − 1)/f라고 두면 이것은 양의 정수가 된다. 정수 γ를 λ를 법으로 한 원시근이라 하고, η_i = Σ_j=0^f-1 α^γi+ej를 가우스 주기(Gaussian period)라고 정의한다. 이때, 0번째는 η = η₀으로 쓴다. 쿠머는 가우스 주기의 정수에 의한 일차 결합 전체 Zη+Zη₁+...+Zη_e-1가 환이 됨을 보였고, Z[η, η₁, ..., η_e-1]로 나타내기로 한다.

Z[η, η₁, ..., η_e-1]의 원소는 φ(η)로 나타낸다. η, η₁, ..., η_e-1을 근으로 가지는 정수 계수의 모닉 다항식이 존재하고, 그것은 mod q에서 e개의 근을 가진다. 정수 u = u₀, u₁, ..., u_e-1를 mod q하면 그 근이 되는 것으로 한다. u_r을 하나 취하면, 환 준동형 Z[η, η₁, ..., η_e-1] → F_q이면서 η의 상이 u_r의 잉여류가 되는 것이 유일하게 존재한다.

f(X)를 일변수의 정수 계수 다항식으로 하여 f(α)를 생각한다. 쿠머는 f(α) ≡ 0 mod q for η = u_r를 만족할 때 "f(α)는 치환 η = u_r에 속하는 q의 이상 소인자를 포함한다"고 정의했다.^[1] 이 합동식의 정의는 다음과 같다. 먼저 f(α)를 Z[η, η₁, ..., η_e-1]의 원소 φ_j(η) (j=0, 1, ..., f-1)을 사용하여 f(α) = Σ_j=0^f-1 α^jφ_j(η)로 나타낸다. 그리고 모든 j에 대해 φ_j(u_r) ≡ 0 mod q가 성립하는 것, 즉 φ_j(η)를 앞서의 환 준동형으로 보내면 0이 됨을 앞선 합동식의 정의로 한다.

3. 1. 쿠머의 정의

3. 2. 이데알론을 사용한 해석

• 대수적 체 '''Q'''(α)/'''Q'''(''α'')^de는 원분체이며, 유리수체 '''Q'''/'''Q'''^de의 λ-1/''λ'' − 1^de차 순환 확대이다. '''Q'''(η)/'''Q'''(''η'')^de는 '''Q'''(α)/'''Q'''(''α'')^de의 부분체이며, '''Q'''/'''Q'''^de 위에서의 확대 차수는 e/''e''^de이다.
• '''Q'''(α)/'''Q'''(''α'')^de의 정수환은 '''Z'''[α]/'''Z'''[''α'']^de이다. 또한, '''Q'''(η)/'''Q'''(''η'')^de의 정수환은 1/'''Z'''[''η'', ''η'']}}이다.
• 소수 q/''q''^de는 λ/''λ''^de와 다른 소수이므로, 확대 에서 q/''q''^de의 분기 지수는 1이고, 잉여 차수는 f/''f''^de이다. 따라서 갈루아 확대에서의 소 아이디얼 분해 이론에 따르면, q/''q''^de는 확대 '''Q'''(α)/'''Q'''/'''Q'''(''α'')/'''Q'''^de에서 e/1=(''λ'' − 1)/''f'' = ''e''^de개의 소 아이디얼로 분해된다.
• q/''q''^de의 분해체는 '''Q'''(η)/'''Q'''(''η'')^de이다. 따라서 '''Q'''(η)/'''Q'''/'''Q'''(''η'')/'''Q'''^de에서도 q/''q''^de는 e/''e''^de개의 소 아이디얼로 분해된다.
• 𝖖/𝖖^de는 잉여체의 표수가 q/''q''^de이므로, 이 e/''e''^de개의 소 아이디얼 중 하나이다.
• '''Q'''(η)/'''Q'''(''η'')^de가 q/''q''^de의 분해체이므로, 𝖖/𝖖^de는 확대 '''Q'''(α)/'''Q'''(η)/'''Q'''(''α'')/'''Q'''(''η'')^de에서 분해되지 않고 잉여체의 확대만 일어난다. 따라서 𝖖'''Z'''[α]/𝖖'''Z'''[''α'']^de는 '''Z'''[α]/'''Z'''[''α'']^de의 소 아이디얼이다.
• 유한체 '''Z'''[α]/𝖖'''Z'''[α]/'''Z'''[''α'']/𝖖'''Z'''[''α'']^de는 유한체 1/'''Z'''[''η'', ''η'']/𝖖 ≅ '''F'''|'''Z'''[η, η₁, ..., η_e-1]/𝖖 ≅ '''F'''_q}}의 f/''f''^de차 확대이다. 또한 0/''α'', ... , ''α''|α⁰, α¹, ... , α^f-1}}의 잉여류가 그 기저이다.
• 0| ''f'' − 1}} ''α''''φ''(''η'')|f(α) = Σ_j=0^f-1 α^jφ_j(η)}}가 mod 𝖖'''Z'''[α]/mod 𝖖'''Z'''[''α'']^de에서 0이 되는 것과, 모든 j/''φ가 mod 𝖖/mod 𝖖^de에서 0이 되는 것은 동치이다. 또한, j/''φ의 mod 𝖖/mod 𝖖^de에서의 잉여류는 j/''φ)|φ_j(u_r)}}의 mod q/mod ''q''^de에서의 잉여류와 동일하다.
• 원분 정수 f(α)/1=''f'' (''α'')^de가 소 아이디얼 𝖖'''Z'''[α]/𝖖'''Z'''[''α'']^de에 포함되는 것과 「치환 r/1=''η'' = ''u에 속하는 q/''q''^de의 이상 소인자를 포함한다」는 것은 동치이다.

4. 예시

y^영어가 y² + y + 6 = 0^영어의 근일 때, 체 ℚ(y)^한국어의 정수환은 ℤ[y]^영어이다. 이는 정수 a^영어와 b^영어에 대해 모든 a + b · y^영어가 정수환을 형성한다는 것을 의미한다. 이 환에서 주 이상이 아닌 이상(ideal)의 예시는 정수 a^영어와 b^영어에 대해 모든 2a + y · b^영어의 집합이다. 이 이상의 세제곱은 주 이상이며, 실제로 유수군은 차수가 3인 순환군이다.

주 이상이 아닌 이상 2a + y · b^영어에 대한 이상수는 ι = (-8-16y-18w+12w²+10yw+yw²)/23^영어이다. 이는 다음 방정식을 만족하므로 대수적 정수이다.

:ι⁶-2ι⁵+13ι⁴-15ι³+16ι²+28ι+8 = 0^영어

ι^영어를 곱했을 때 ℤ[y]^영어에 있는 결과를 제공하는 유수체의 정수환의 모든 원소는 a · α + y · β^영어의 형태이다. 여기서

:α = (-7+9y-33w-24w²+3yw-2yw²)/23^영어

그리고

:β = (-27-8y-9w+6w²-18yw-11yw²)/23.^영어

계수 α^영어와 β^영어는 또한 대수적 정수이며, 다음을 만족한다.

:α⁶+7α⁵+8α⁴-15α³+26α²-8α+8=0^영어

그리고

:β⁶+4β⁵+35β⁴+112β³+162β²+108β+27=0^영어

a · α + b · β^영어에 이상수 ι^영어를 곱하면 2a + b · y^영어가 나오는데, 이는 주 이상이 아닌 이상이다.

5. 현대적 의의

6. 한국과의 관련성