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정규 소수

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1. 개요

정규 소수는 소수 p에 대해 두 가지 동치 조건을 만족하는 소수를 의미한다. 첫 번째 조건은 p가 원분체의 유수를 나누지 않는 것이고, 두 번째 조건은 p가 2이거나, 2가 아니면서 베르누이 수의 분자를 나누지 않는 것이다. 정규 소수가 아닌 소수는 비정규 소수라고 불리며, 3, 5, 7, 11, 13 등은 정규 소수이고 37, 59, 67 등은 비정규 소수이다.

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정규 소수
개요
처음 몇 개의 정규 소수
처음 몇 개의 정규 소수
수학 분야수론
속성소수

2. 정의

소수 p에 대하여, 다음 두 조건이 동치이며, 이 조건을 만족시키는 p를 '''정규 소수'''라고 한다.[1]


  • p원분체 \mathbb Q(\zeta_p)의 유수를 나누지 않는다.
  • p=2이거나, p\ne2이며 p베르누이 수 B_2,B_4,\dots,B_{p-3}의 분자를 나누지 않는다.

두 조건의 동치는 에른스트 쿠머가 보였다.

3. 정규 소수와 비정규 소수

소수 p가 정규 소수일 필요충분조건은 다음 두 조건이 동치이다.[1]


  • p원분체 \mathbb Q(\zeta_p)의 유수를 나누지 않는다.
  • p=2이거나, p\ne2이며 p베르누이 수 B_2,B_4,\dots,B_{p-3}의 분자를 나누지 않는다.


에른스트 쿠머가 위 두 조건이 동치임을 증명하였다. 정규 소수가 아닌 소수를 '''비정규 소수'''(irregular prime영어)라고 한다.

3. 1. 정규 소수

소수 p에 대하여, 다음 두 조건이 동치이며, 이 조건을 만족시키는 p를 '''정규 소수'''라고 한다.[1]

  • p원분체 \mathbb Q(\zeta_p)의 유수를 나누지 않는다.
  • p=2이거나, p\ne2이며 p베르누이 수 B_2,B_4,\dots,B_{p-3}의 분자를 나누지 않는다.

두 조건의 동치는 에른스트 쿠머가 보였다.

200보다 작은 홀수 정규 소수는 다음과 같다.

: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, …

3. 2. 비정규 소수

정규 소수가 아닌 소수를 '''비정규 소수'''(irregular prime영어)라고 한다. 500보다 작은 비정규 소수는 다음과 같다.

: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491 …

4. 성질 및 응용

정규 소수는 주어진 진법에서 나타낼 수 있는 모든 숫자의 배열이 동일한 빈도로 나타나는 소수이다. 예를 들어 십진법에서 0~9까지의 숫자가 각각 1/10의 빈도로 나타나고, 00~99까지의 두 자리 숫자 배열이 1/100의 빈도로 나타나는 식이다.

정규 소수는 무한 소수이므로 모든 정규 소수는 무리수이다. 또한 모든 실수는 정규 소수들의 합으로 나타낼 수 있다.

정규 소수의 개념은 1909년 프랑스의 수학자 에밀 보렐에 의해 처음 소개되었다. 보렐은 거의 모든 실수가 정규 소수임을 증명하였다.

정규 소수는 무작위성을 띄는 수열을 생성하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 십진법 정규 소수의 각 자릿수를 추출하여 0과 1 사이의 난수를 생성할 수 있다.



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