이징 모형

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1. 개요

이징 모형은 유한 그래프와 그 위에 정의된 함수를 통해 정의되는 통계 역학 모형이다. 이 모형은 각 꼭짓점에 자기장을, 각 변에 상호작용 세기를 부여하여 스핀 값(+1 또는 -1)을 부여하는 함수로 분배 함수를 정의한다. 이징 모형은 강자성체, 반강자성체, 기체 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용되며, 뇌 속 뉴런의 활동 모델링, 스핀 유리 기술, 호프필드 네트워크 개발 등 다양한 분야에 응용된다. 1차원 이징 모형에는 상전이가 없지만, 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며 해석적인 해를 구할 수 있다.

2. 정의

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌다고 하자. 그 꼭짓점 집합을 $\mathsf V(\Gamma)$, 변 집합을 $\mathsf E(\Gamma)$라고 표기한다. 여기에 다음 함수들이 정의된다.

$h\colon\mathsf V(\Gamma) \to \mathbb R$, $i \mapsto h_i$
$\beta \colon \mathsf E(\Gamma) \to \mathbb R$, $ij \mapsto \beta_{ij}$

이때, 그래프 $\Gamma$ 위에서 자기장 $h$에 대한 이징 모형의 분배 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma \in \{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}} \exp\left(\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j + \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i\right)$

여기서 합은 모든 함수 $\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}$, $\sigma\colon i \mapsto \sigma_i$에 대한 것이다. 보통 $\beta$와 $h$는 상수 함수로 놓는다.

$\Lambda$ 집합을 격자 위치 집합으로 고려하며, 각 위치는 인접한 위치 집합(예: 그래프)을 가지며 $d$차원 격자를 형성한다. 각 격자 위치 $k\in\Lambda$에 대해 $\sigma_k\in\{-1, +1\}$인 이산 변수 $\sigma_k$가 있으며, 이는 위치의 스핀을 나타낸다. ''스핀 구성'' ${\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}$은 각 격자 위치에 스핀 값을 할당하는 것이다.

인접한 두 위치 $i, j\in\Lambda$에 대해 ''상호 작용'' $J_{ij}$가 있다. 또한 위치 $j\in\Lambda$는 이와 상호 작용하는 ''외부 자기장'' $h_j$를 갖는다. 구성 ${\sigma}$의 ''에너지''는 해밀토니안으로 주어진다.

:$H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,$

여기서 첫 번째 합은 인접 스핀 쌍에 대한 것이며 (모든 쌍은 한 번 계산된다), $\langle ij\rangle$는 위치 $i$와 $j$가 가장 가까운 이웃임을 나타낸다. 자기 모멘트는 $\mu$로 주어진다. 위 해밀토니안의 두 번째 항의 부호는 전자의 자기 모멘트가 스핀과 반평행하기 때문에 양수여야 하지만, 음의 항이 관례적으로 사용된다.^[3]

''구성 확률''은 역온도 $\beta\geq0$를 갖는 볼츠만 분포로 주어진다.

:$P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},$

여기서 $\beta = 1 / (k_\text{B} T)$이고 정규화 상수 $Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}$는 분배 함수이다.

스핀의 함수 $f$ (관측 가능량)에 대해, $f$의 기댓값(평균)은 $\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)$를 사용하여 나타낸다. 구성 확률 $P_{\beta}(\sigma)$는 (평형 상태에서) 시스템이 구성 $\sigma$의 상태에 있을 확률을 나타낸다.

$d$차원 공간의 격자점에 위아래 두 상태를 가지는 스핀이 배치된 격자 모형에서, $\sigma_i$를 $i$ 번째 격자점에서의 스핀 상태를 나타내는 변수로 사용한다. +1은 위쪽 스핀, -1은 아래쪽 스핀에 대응한다. 격자점의 총 개수는 $N$ 개이고, 하나의 격자점에 가장 인접한 격자점의 수는 $z$ 개이다. 예를 들어, 1차원 격자에서는 $z=2$, 2차원 정방 격자에서는 $z=4$, 3차원 입방 격자에서는 $z=6$이다.

$J_{ij}$를 두 격자점 $i, j$ 간의 교환 상호작용, $h_i$는 격자점 $i$에서의 외부 자기장으로 정의하면, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.^[54]

:$\mathcal{H} = - \sum_{\left\langle i,j \right\rangle}J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i} h_{i} \, \sigma_i$

첫째 항은 가장 인접한 격자점에서의 스핀 간 상호작용 에너지를 나타낸다. $\langle i, j \rangle$는 가장 인접한 격자점 쌍에 대한 합을 의미하며, 총 $zN/2$개의 항이 있다. $J_{ij} > 0$인 경우를 강자성 상호작용, $J_{ij} < 0$인 경우를 반강자성 상호작용이라고 한다. 강자성 상호작용에서는 가장 인접한 격자점 $i, j$의 스핀 쌍이 같은 방향으로 정렬($\sigma_i \cdot \sigma_j = +1$)되면 에너지가 $J_{ij}$만큼 낮아진다. 따라서 에너지 바닥 상태는 모든 스핀이 정렬된 상태이다. 반면, 반강자성 상호작용에서는 가장 인접한 격자점의 스핀 쌍이 반대 방향($\sigma_i \cdot \sigma_j = -1$)이 되면 에너지가 $|J_{ij}|$만큼 낮아진다. 둘째 항은 외부 자기장에 대한 에너지를 나타낸다. 격자점 $i$에서 스핀 방향(부호)이 외부 자기장 방향(부호)과 일치하면 에너지는 $|h_i|$만큼 낮아진다.

특히 격자점에서 교환 상호작용과 외부 자기장을 일정 값으로 하는 균일한 경우에는, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$\mathcal{H} = - J \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j - h \sum_{i} \sigma_i$

통계역학에서, 온도 $T$의 평형 상태에서 계의 열역학적 성질은 분배 함수 $Z$로부터 구해진다. 분배 함수는 계가 취할 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자$e^{-\beta H}$의 합으로 주어진다. $N$ 개의 격자점을 가지는 이징 모형에서는, 격자점의 스핀 변수가 $\sigma = \pm 1$의 값을 취하는 $2^N$개의 상태가 존재하고, 분배 함수는 다음과 같다.

:$

\begin{align}

Z ( \beta ,N ) &=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm 1}e^{-\beta \mathcal{H}} \\

& =\sum_{\sigma_1=\pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm 1}

\exp \biggl ( \beta \sum_{\left\langle i,j \right\rangle}

J_{ij} \sigma_i \sigma_j +\beta \sum_{i}h_{i} \sigma_i \biggr)

\end{align}

$

분배 함수로부터 자유 에너지, 자화, 대자율이 구해진다.

3. 성질

이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.

: $Z_\Gamma(\beta;h_i,h_{j\ne i}) = Z_\Gamma(\beta;-h_i,h_{j\ne i})$ (자기장의 한 성분을 뒤집음)

: $Z_{\Gamma\sqcup\Gamma'}(\beta;h) = Z_{\Gamma}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma);h \restriction \mathsf E(\Gamma)) Z_{\Gamma'}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma');h \restriction \mathsf V(\Gamma'))$

: $Z_{\varnothing}(\beta;h) = 1$

여기서 $\sqcup$ 은 그래프의 분리합집합이다.

해밀토니안 함수 $H(\sigma)$ 의 각 항에 있는 마이너스 부호는 관례이다. 이 부호 관례를 사용하면, 이징 모형은 상호작용의 부호에 따라 분류될 수 있다. 만약 쌍 ''i'', ''j''에 대해

$J_{ij} > 0$ 이면, 상호작용은 강자성이라고 한다.
$J_{ij} < 0$ 이면, 상호작용은 반강자성이라고 한다.
$J_{ij} = 0$ 이면, 스핀은 ''비상호작용''한다.

모든 상호작용이 강자성이거나 모두 반강자성이면, 이 시스템을 강자성 또는 반강자성이라고 부른다. 원래의 이징 모형은 강자성이었으며, "이징 모형"이 강자성 이징 모형을 의미한다고 가정하는 경우가 많다.

강자성 이징 모형에서 스핀은 정렬되기를 원한다. 즉, 인접한 스핀이 같은 부호를 갖는 구성이 더 높은 확률을 갖는다. 반강자성 모형에서는 인접한 스핀이 반대 부호를 갖는 경향이 있다.

''H''(σ)의 부호 관례는 또한 스핀 사이트 ''j''가 외부 필드와 어떻게 상호작용하는지 설명한다. 즉, 스핀 사이트는 외부 필드와 정렬되기를 원한다. 만약

$h_j > 0$ 이면, 스핀 사이트 ''j''는 양의 방향으로 정렬되기를 원한다.
$h_j < 0$ 이면, 스핀 사이트 ''j''는 음의 방향으로 정렬되기를 원한다.
$h_j = 0$ 이면, 스핀 사이트에 대한 외부 영향이 없다.

이징 모형은 스핀 반전 대칭성 및 부격자 대칭성이라고 불리는 대칭성을 갖는다. 각 격자점 위의 스핀 변수 의 집합을 묶어 로 나타낸다. 모든 격자점의 스핀 변수의 방향을 반전시키는 변환 를 수행하면, 해밀토니안은

:

\mathcal{H} (h,\{-\sigma_i\})=- J\sum_{(i,j)}  \, \sigma_i \cdot \sigma_j - (-h)\sum_{i}\sigma_i=\mathcal{H} (-h,\{\sigma_i\})

이 되어, 이는 외부 자기장의 방향 반전 과 등가이다. 분배 함수에 관해서는, 가 가질 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자 의 합과 가 가질 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자 의 합은 등가이며,

:

Z(h)=Z(-h)

가 성립한다. 그 결과, 단위 스핀 당 자유 에너지에 대해서도

:

f(h)=f(-h)

도 성립한다. 이러한 대칭성을 스핀 반전 대칭 또는 대칭이라고 한다.

3. 1. 평면 그래프 쌍대성

평면 그래프 Γ 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 Γ' 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, Γ의 고온 이징 모형은 Γ'의 저온 이징 모형에 대응한다.^[4]

특히, 평면 정사각형 격자 그래프는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.

4. 특별한 경우

특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.

상호작용의 감쇠가 $ J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} $ ($ \alpha > 1 $) 이면 열역학적 극한이 존재한다^[60]。

$ 1 < \alpha < 2 $에서 강자성 상호작용 $ J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} $의 경우, 다이슨(Dyson)은 계층을 비교하여 충분히 낮은 온도에서 상전이가 있음을 증명했다^[61]。
강자성 상호작용 $ J_{ij} \sim |i-j|^{-2} $의 경우, 프뢰리히(Fröhlich)와 스펜서(Spencer)는 (계층의 경우와 대조적으로) 충분히 낮은 온도에서 상전이가 있음을 보였다^[62]。
$ \alpha > 2 $의 상호작용 $ J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} $의 경우 (이는 유한한 범위의 상호작용을 의미한다)에는 자유 에너지가 열역학적 매개변수에 대해 해석적이므로, 양의 온도(유한한 $ \beta $)에 대해 상전이가 없다^[60]。
근접 상호작용의 경우에는 이징(E. Ising)이 모델의 완전 해를 보였다. 임의의 양의 온도(유한한 $ \beta $)에서 자유 에너지는 열역학적 매개변수 내에서 해석적이며, 생략된 2점 상관 함수는 지수적으로 급격히 감소한다. 온도 0 ( $ \beta $가 무한대)에서는 제2종 상전이가 있다. 자유 에너지는 무한대가 되며, 생략된 2점 스핀의 상관 함수는 감소하지 않는다(상수로 유지된다). 따라서, $ T = 0 $은 이 경우의 임계 온도이며, 스케일링 공식을 만족한다^[63]。

1차원 이징 모형에서 주기 경계 조건 또는 자유 경계 조건의 근접 상호 작용의 경우, 완전 해가 존재한다. 주기 경계 조건을 갖는 격자 $ L $ 위의 1차원 이징 모델의 에너지는 다음과 같다.

:$\mathcal{H}(\sigma) = -J\sum_{i=1,\ldots,L} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_i \sigma_i$

여기서 $ J $는 상수이며 인접한 스핀 간의 상호 작용의 강도를 나타내고, $ h $는 격자에 가해진 상수 외부 자기장이다. 따라서 자유 에너지는 다음과 같다.

:$f(\beta, h) = -\lim_{L\to \infty} \frac{1}{\beta L} \ln (Z(\beta)) = -\frac{1}{\beta} \ln\left(e^{\beta J} \cosh \beta h+\sqrt{e^{2\beta J}(\sinh\beta h)^2+e^{-2\beta J}}\right)$

스핀-스핀 상관 함수는 다음과 같다.

:$\langle \sigma_i \sigma_j\rangle-\langle \sigma_i \rangle\langle\sigma_j\rangle = C(\beta)e^{-c(\beta)|i-j|}$

여기서 $ C(\beta) $와 $ c(\beta) $는 $ T > 0 $인 양의 값의 함수이다. $ T \to 0 $이면, 역 상관 길이 $ c(\beta) $는 0이 된다.

4. 1. 무변 그래프 (고온 극한)

무변 그래프에서는 스핀 간 상호작용이 없어 해석적으로 해를 구할 수 있다. 무변 그래프 $\Gamma = \bar{\mathsf K}_N$가 $N$개의 꼭짓점을 갖는 경우, 헬름홀츠 자유 에너지는 다음과 같다.

:$F_\Gamma = - \frac1\beta\ln Z_\Gamma = -\frac1\beta \left(N \ln 2 + \sum_{i=1}^N \ln \cosh h_i \right)$

이 경우,

:$\langle \sigma_i \rangle = - \frac\partial{\partial h_i} \ln Z = \tanh h_i$

이다.

임의의 그래프 위의 이징 모형에서, $\beta \to 0$일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다. 상호작용의 감쇠가 ''α'' > 1에서 $ J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} $이면 열역학적 극한이 존재한다^[60]。

4. 2. 완전 그래프 (평균장 근사)

완전 그래프에서는 모든 스핀이 서로 상호작용한다. 이 경우를 다른 그래프의 근사로 여길 때 '''평균장 근사'''라고 한다. 평균장 근사를 통해 해석적으로 해를 구할 수 있다.^[66]

편의상,

\beta

와

h

가 상수 함수라고 가정하면, +값의 스핀의 수는 다음과 같다.

:

n = \sum_i\frac{\sigma_i+1}2

그러면 다음이 성립한다.

:

\sum_i\sigma_i = 2n-N

:

\exp(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j) = \exp\left(\beta(2n-N)^2/2 - N\beta/2\right)

:

\exp\left(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i\right) = \exp(\beta(2n-N)^2/2 - \beta N/2 + h(2n-N))

즉, 분배 함수는 다음과 같다.

:

Z_{\mathsf K_N}(\beta,h) = \exp\left(-\frac12\beta N \right) \sum_{n=0}^N \binom nN \exp\left(\frac12\beta(2n-N)^2 +h(2n-N)\right)

열역학적 극한은

:

N\to\infty

:

\beta \propto 1/N

이다. 이 경우, 변수

:

x = 2n/N - 1

:

b = N\beta

를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.

:

Z_{\mathsf K_N} \approx \frac12N\exp(-\beta N/2) \int_1^1 \mathrm dx \exp(NS(x;\beta,h))

:

S(x;\beta,h) = - \frac12(1+x) \ln (1+x) - \frac12 (1-x) \ln (1-x) + ln 2 + \frac12 bx^2 + hx

만약

S

가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다.

S

의 최댓값의 위치는

:

0 = \left|\frac{\partial S}{\partial x}\right|_{x=x_0} = - \operatorname{artanh}(x_0) + bx_0 + h

이므로

:

h = \operatorname{artanh}(x_0) - bx_0

이다.

S

의 최댓값 근처의 폭은

:

-S''(X_0;\beta,h) = \frac12\left(\frac1{1+x_0} + \frac1{1-x_0}\right) - b

에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는 다음과 같다.

:

\ln Z_{\mathsf K_N}(b/N, h) = \frac12\ln (2\pi N) - \frac12b - \frac12 \ln (-S''(x_0(b,h);b,h)) + NS(x_0(b,h);b,h) + o(1)

이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.

:

\langle\sigma\rangle = \frac1N \frac{\partial \ln N}{\partial h}= x_0(b,h) - \frac1{2N} \frac\partial{\partial h}\ln (-S''(x_0(b,h);b,h)) + o(1/N)

첫째 항만을 남기고,

h

에 대하여 풀면 상태 방정식

:

b\langle\sigma\rangle+\operatorname{artanh}\langle\sigma\rangle = h

을 얻는다.

이 근사가 잘 성립하려면 (즉,

S

가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수

:

(-1,+1)\to \mathbb R

:

x \mapsto \operatorname{artanh} x - bx

가 치역의 값

h

근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요충분조건은

:

b \le 1

이다. 만약

b>1

일 경우,

|h|

가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우,

S

의 세 개의 임계점 가운데

S

의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는

b = 1

에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도

T = \epsilon /k_{\mathrm B}

에 해당한다.^[66]

4. 3. 순환 그래프 (1차원 이징 모형)

1차원 이징 모형은 순환 그래프로 표현되며, 전이 행렬 방법을 사용하여 해석적으로 해를 구할 수 있다. 1924년 이징은 각 사이트가 왼쪽 및 오른쪽 이웃과만 상호 작용하는 선형 수평 격자(d=1)에 대한 모형을 풀었다. 1차원에서는 상전이가 없다.^[5] 즉, 임의의 양의 β에 대해 상관 관계 ⟨σ_''i''σ_''j''⟩는 |''i'' − ''j''|에서 지수적으로 감소한다.

:

\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \leq C \exp\left(-c(\beta) |i - j|\right),

그리고 시스템은 무질서하다. 이 결과를 바탕으로, 그는 이 모형이 어떤 차원에서도 상 거동을 보이지 않는다고 잘못 결론을 내렸다.

열역학적 극한은 상호작용의 감쇠가

J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}

이며 α > 1일 때 존재한다.^[32]

''강자성'' 상호작용 $J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$ 의 경우, 1 < α < 2일 때, 다이슨(Dyson)은 계층적인 경우와의 비교를 통해 충분히 낮은 온도에서 상 전이가 존재함을 증명했다.^[33]
''강자성'' 상호작용 $J_{ij} \sim |i - j|^{-2}$ 의 경우, 프뢸리히(Fröhlich)와 스펜서(Spencer)는 충분히 낮은 온도에서 상 전이가 존재함을 증명했다(이는 계층적인 경우와 대조적이다).^[34]
α > 2인 상호작용 $J_{ij} \sim |i - j|^{-\alpha}$ 의 경우(유한 범위 상호작용의 경우를 포함), 자유 에너지가 열역학적 매개변수에서 해석적이므로, 임의의 양의 온도(즉, 유한 β)에서 상 전이는 존재하지 않는다.^[32]
''가장 가까운 이웃'' 상호작용의 경우, 이징(E. Ising)은 모형의 정확한 해를 제시했다. 임의의 양의 온도(즉, 유한 β)에서 자유 에너지는 열역학적 매개변수에서 해석적이며, 잘린 2점 스핀 상관 관계는 지수적으로 빠르게 감소한다. 절대 영도(즉, 무한 β)에서는 2차 상 전이가 존재한다. 즉, 자유 에너지는 무한대이고, 잘린 2점 스핀 상관 관계는 감소하지 않는다(상수로 유지된다). 따라서, 이 경우 ''T'' = 0이 임계 온도이다. 스케일링 공식이 만족된다.^[35]

가장 가까운 이웃의 경우(주기적 또는 자유 경계 조건에서) 정확한 해를 구할 수 있다. 자유 경계 조건을 가진 격자 ''L''개의 사이트에서 1차원 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H(\sigma) = -J \sum_{i=1,\ldots,L-1} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_i \sigma_i,

여기서 ''J''와 ''h''는 임의의 숫자일 수 있다. 왜냐하면 이 단순화된 경우 ''J''는 가장 가까운 이웃 간의 상호 작용 강도를 나타내는 상수이고 ''h''는 격자 사이트에 적용되는 일정한 외부 자기장이다. 그러면 자유 에너지는 다음과 같다.

:

f(\beta, h) = -\lim_{L \to \infty} \frac{1}{\beta L} \ln Z(\beta) = -\frac{1}{\beta} \ln\left(e^{\beta J} \cosh \beta h + \sqrt{e^{2\beta J}(\sinh\beta h)^2 + e^{-2\beta J}}\right),

그리고 스핀-스핀 상관 관계(즉, 공분산)는 다음과 같다.

:

\langle\sigma_i \sigma_j\rangle - \langle\sigma_i\rangle \langle\sigma_j\rangle = C(\beta) e^{-c(\beta)|i - j|},

여기서 ''C''(β)와 ''c''(β)는 ''T'' > 0일 때 양의 함수이다. 그러나 ''T'' → 0의 경우 역 상관 길이 ''c''(β)가 사라진다.

4. 4. 나무 그래프

유한 나무 그래프

T

가 주어졌을 때, 임의의 꼭짓점

i_0 \in \mathsf V(T)

를 고르면, 모든 꼭짓점

i

에 대해

i_0

까지의 최단 경로의 길이

\ell(i,i_0)

를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점

i\in\mathsf V(T)

에 대하여, 만약

i \ne i_0

라면, 다음 조건을 만족하는

\operatorname{prec}(i)\in \mathsf V(T)

가 유일하게 존재한다.

:

\ell(\operatorname{prec}(i),i_0) +1 = \ell(i,i_0)

:

\operatorname{prec}(i)i \in \mathsf E(T)

이때, 스핀

\sigma_i

대신 다음과 같은 새로운 변수들을 정의할 수 있다.

:

\tilde\tau_{i_0} = \sigma_{i_0}

:

\tilde\tau_i = \sigma_v\sigma_{\operatorname{prec}(i)}

또한, 임의의

:

\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R

:

h\colon \mathsf V(T) \to \mathbb R

에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

:

\tilde\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R

:

\tilde h \colon \mathsf V(T) \to \mathbb R

:

\tilde \beta_{\operatorname{prec}(i)i} = h_i

:

\tilde h_i = \begin{cases}\beta_{\operatorname{prec}(i)i} & i \ne i_0  \\h_{i_0} & i=i_0\end{cases}

그러면,

\sigma \leftrightarrow \tilde\sigma

변환 아래 다음 식이 성립한다.

:

Z_T(\beta,h) = Z_T(\tilde\beta,\tilde h)

특히, 만약

:

h_i=\begin{cases}0 & i \ne i_0 \\h_i & i = i_0\end{cases}

인 경우

\tilde\beta = 0

이므로 다음이 성립한다.

:

Z_T(\beta,h) = Z_T(0,\tilde h) = (2\cosh \exp h_{i_0}) \prod_{ij\in\mathsf E(T)} (2\cosh \beta_{ij})

4. 5. 베테 그래프

베테 그래프는 무한히 뻗어나가는 나무 그래프의 일종으로, 재귀적인 관계를 통해 해를 구할 수 있다.

베테 그래프의 경우

N \to \infty

이며

d_N -1 = d_{N-1} = d_{N-2} = \dotsb = d_1

의 꼴이다.

만약

d_i

,

h_i

,

\beta_i

가 상수 함수라면, 이는

(C_N,S_N) \in \mathbb R^2

에 대한 이산 시간 동역학계

:

\binom cs\mapsto \binom{(2\cosh\beta)((c+s)^d+(c-s)^d)}{(2\sinh\beta)((c+s)^d-(c-s)^d)}

로 여길 수 있다.

N\to \infty

극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.

특히, 만약

d = 1

일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한

N

의 경우에도 풀 수 있다.

4. 6. 연산자 표현

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌을 때, 그래프 데카르트 곱 $\Gamma \square \mathsf C_L$ 위의 이징 모형을 생각해 보자. (

\mathsf C_L

은 크기

L

의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간 $V = \mathbb R^{\{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}}$를 정의할 수 있다. 이는

2^

차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수 $\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}$에 대하여, 기저 벡터 $|\sigma\rangle \in V$를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은

V

의 정규 직교 기저를 이룬다.

각 두 꼭짓점 $i,j\in\mathsf V(\Gamma)$에 대하여, 연산자 $S_i(\beta,h) \colon V \to V$ 와 $T_{ij}(\beta) \colon V \to V$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\langle\sigma|S_i(\beta,h)|\sigma'\rangle = \exp(h(\sigma_i+\sigma'_i)/2+\beta\sigma_i\sigma'_i) \prod_{k\ne i}\delta(\sigma_k,\sigma'_k) $

$\langle\sigma|T_{ij}(\beta)|\sigma'\rangle = \exp(\beta\sigma_i\sigma_j) \prod_{k\in\mathsf V(\Gamma)}\delta(\sigma_k,\sigma'_k)$

즉, $S_i$는 $\mathsf C_L$ 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, $T_{ij}$는 $\Gamma$ 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.

그래프 $\Gamma$ 위에서, $\beta$와 $h$가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.

$Z_\Gamma(\beta;h=0)= \sum_{\sigma^1,\sigma^2,\dotsc,\sigma^L} \langle \sigma^1 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^1\rangle \langle \sigma^1 | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^2 \rangle \langle\sigma^2 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^2\rangle \dotsm \langle \sigma^L | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^L\rangle \langle \sigma^L | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^1\rangle$

여기서

$\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta)$

이다. 즉,

$Z_\Gamma(\beta;h=0) = \operatorname{tr}\left(\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)\right)^L$

이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자 $\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)$의 고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.

4. 7. 2차원 격자 그래프

2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 해석적인 해를 구할 수 있다.^[69] 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.

다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.

⋮

╲

╱

╲

╱

╲

╱

●

╱

╲

╱

╲

╱

╲

⋯

○

⋯

╲

╱

╲

╱

╲

╱

⋯

●

⋯

╱

╲

╱

╲

╱

╲

○

╲

╱

╲

╱

╲

╱

⋮

편의상 꼭짓점을 두 색(●,○)으로 칠하고, 총 $2L$ 개의 행 (○행 $L$ 개, ●행 $L$ 개)이 있다고 가정한다. 각 행의 길이는 $N$ 이고, ○행의 꼭짓점은 $\{0,1,\dotsc,N-1\}\pmod N$ , ●행의 꼭짓점은 $\{\tfrac12,\tfrac12+1,\dotsc,N-\tfrac12\} \pmod N$ 으로 표현한다.

두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간은 다음과 같다.

: $\mathcal H_\bullet \cong \mathbb R^{\{\pm1\}^N}$

: $\mathcal H_\circ \cong \mathbb R^{\{\pm1\}^N}$

이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.

: $V_{\bullet\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\bullet$

: $V_{\circ\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\circ$

: $\langle\sigma^\bullet|V_{\bullet\circ}|\sigma^\circ\rangle =\exp\sum_{i=1}^N (\beta_\nearrow\sigma^\bullet_{i+1/2}\sigma^\circ_i + \beta_\nwarrow\sigma^\bullet_{i-1/2}\sigma^\circ_i)$

: $\langle\sigma^\circ|V_{\circ\bullet}|\sigma^\bullet\rangle =\exp \sum_{i=1}^N(\beta_\nearrow\sigma^\circ_i\sigma^\bullet_{i-1/2}+\beta_\nwarrow\sigma^\circ_i\sigma_{i+1/2}^\bullet)$

이들을 '''전이 행렬'''(transition matrix^영어)이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

: $Z_{N,L}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = \operatorname{tr}_{\mathcal H_\circ} (V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ})^L = \sum_{i=1}^{2^N}\lambda_i^L$

여기서 $\lambda_i$ 는 $V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}\colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ$ 의 고윳값들이다. 분배 함수의 계산은 $VW$ 의 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다.

두 힐베르트 공간 사이에는 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.

: $P_{\bullet\circ}^\pm \colon \mathcal H_\circ\to\mathcal H_\bullet$

: $\langle\sigma^\bullet|P_{\bullet\circ}^\pm |\sigma^\circ\rangle = \prod_{i=1}^N \delta(\sigma^\bullet_{i\pm1/2},\sigma^\circ_i)$

: $P_{\circ\bullet}^\pm = (P_{\bullet\circ}^\mp)^{-1}$

물론 다음이 성립한다.

: $(P_{\circ\bullet}^\pm P_{\bullet\circ}^\pm)^N = 1$

: $(P_{\bullet\circ}^\pm P_{\circ\bullet}^\pm)^N = 1$

또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.

: $R_{\bullet\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\bullet$

: $R_{\circ\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ$

: $\langle{\sigma'}^\circ|R_{\circ\circ}|\sigma^\circ\rangle=\prod_{i=1}^N \delta({\sigma'}^\circ_i,-{\sigma'}^\circ_i)$

: $R_{\bullet\bullet} = P_{\bullet\circ}^\pm R_{\circ\circ} P_{\circ\bullet}^\mp$

이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이며, 다음이 성립한다.

: $R_{\bullet\bullet}^2 = 1$

: $R_{\circ\circ}^2 = 1$

이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.

: $V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V_{\bullet\circ}(\beta_\nwarrow,\beta_\nearrow)^\top$ ^[66]

만약

: $\sinh (2\beta_\nearrow)\sinh(2\beta_\nwarrow) =\sinh (2\beta'_\nearrow)\sinh(2\beta'_\nwarrow)$

라면,

: $V(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)$

이다. 또한, 다음이 성립한다.

: $[V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\bullet\circ}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0$

: $[V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\circ\bullet}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0$

: $V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\circ\circ} = R_{\bullet\bullet}V_{\bullet\circ}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow)$ ^[66]

: $V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\bullet\bullet} = R_{\circ\circ}V_{\circ\bullet}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow)$

: $V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)P_{\bullet\circ}^\pm = P_{\circ\bullet}^\pm V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)$

: $V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)V_{\circ\bullet}(\beta_\nwarrow+\mathrm i\pi/2,-\beta_\nearrow)= (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nwarrow))^N+ (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nearrow))^N R_{\bullet\bullet}$

$N$ 이 짝수일 때, 행렬 $V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}$ 의 $2^N$ 개의 고윳값들은 다음과 같다.

: $\lambda(r,\gamma;\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow,N) =(-4\alpha^{2s-1})^{N/2}\left(\sinh^N 2\beta_\nwarrow - (-)^{2s} \sinh^N 2\beta_\nearrow\right) \prod_{i\in\mathbb Z/(N)+s}\mu_i^{\gamma_i}$ ^[66]

: $\mu_i = \frac{\cosh(2\beta_\nearrow) \cosh (2\beta_\nwarrow) + \sqrt{1+\sinh^2\beta_\nearrow\sinh^2\beta_\nwarrow -(\alpha^{2i} + \alpha^{-2i})\sinh\beta_\nearrow\sinh\beta_\nwarrow}}{\alpha^i \sinh(2\beta_\nearrow) + \alpha^{-i} \sinh (2\beta_\nwarrow)} \qquad (i\in \mathbb Z/(N)+s)$ ^[66]

여기서

: $s \in\{1/2,0\}$

: $\gamma \in \{\pm1\}^{\mathbb Z/(N)+s},\qquad\sum_{i\in \mathbb Z/(N) + s}^N\gamma_i \equiv N \pmod 4$

: $\alpha(N) = \exp \frac{\mathrm i\pi}N$

이다. $(-1)^{2s+1}\in\{\pm1\}$ 는 $R_{\circ\circ}$ 의 고윳값에 해당한다.

이징 모형은 2차원 이상에서 상전이를 거쳐 정렬상과 비정렬상 사이를 오간다. 즉, 작은 β에서는 시스템이 비정렬 상태를 보이지만, 큰 β에서는 강자성 정렬을 나타낸다.

: $\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \geq c(\beta) > 0.$

이는 1936년 루돌프 파이얼스에 의해 처음 증명되었으며,^[6] 현재 '파이얼스 논증'이라고 불리는 방법을 사용했다.

자기장이 없는 2차원 정방 격자에서의 이징 모형은 라르스 온사거에 의해 분석적으로 풀렸다. 온사거는 이징 모형의 상관 함수와 자유 에너지가 비상호작용 격자 페르미온에 의해 결정된다는 것을 보였다. 온사거는 1949년에 2차원 모형에 대한 자발적 자화 공식을 발표했지만 유도를 제시하지는 않았다. 양전닝은 온사거의 연구에 직접적으로 대응하여 세괴가 1951년에 증명한 프레드홀름 행렬식에 대한 극한 공식을 사용하여 이 공식의 첫 번째 출판된 증명을 제시했다.^[7]

강자성체의 경우 상 전이가 존재한다. 낮은 온도에서는 페이얼스 논증에 의해 가장 가까운 이웃 간의 경우에 양의 자화가 증명되고, 그리피스 부등식에 의해 더 먼 거리 상호 작용이 추가될 때도 성립한다. 한편, 높은 온도에서는 클러스터 전개를 통해 열역학적 함수들의 해석성을 얻을 수 있다.
가장 가까운 이웃 간의 경우, 모형이 격자 위의 자유 페르미온과 등가임을 통해 온사거가 자유 에너지를 정확하게 계산했다. 스핀-스핀 상관 함수는 매코이와 우에 의해 계산되었다.

온사거는 열역학적 극한에서 자기장

h=0

일 때, 온도와 수평 및 수직 상호 작용 에너지

J_1

및

J_2

의 함수로서 이방성 정방 격자 상의 이징 모형에 대한 자유 에너지에 대한 다음의 해석적 표현을 얻었다.

:

-\beta f = \ln 2 + \frac{1}{8\pi^2}\int_0^{2\pi}d\theta_1\int_0^{2\pi}d\theta_2 \ln[\cosh(2\beta J_1)\cosh(2\beta J_2) -\sinh(2\beta J_1)\cos(\theta_1)-\sinh(2\beta J_2)\cos(\theta_2)].

자유 에너지에 대한 이 표현으로부터 적절한 미분을 사용하여 모형의 모든 열역학적 함수를 계산할 수 있다. 2차원 이징 모형은 양의 온도에서 연속적인 상 전이를 보이는 최초의 모형이었다. 이 전이는 다음 방정식을 푸는 온도

T_c

에서 발생한다.

:

\sinh\left(\frac{2J_1}{kT_c}\right)\sinh\left(\frac{2J_2}{kT_c}\right) = 1.

수평 및 수직 상호 작용 에너지가 동일한 등방성 경우

J_1=J_2=J

에서 임계 온도

T_c

는 다음 점에서 발생한다.

:

T_c = \frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})} = (2.269185\cdots)\frac{J}{k}

상호 작용 에너지

J_1

,

J_2

가 모두 음수이면 이징 모형은 반강자성이 된다. 정방 격자는 이분 그래프이므로 자기장

h=0

일 때 이 변화에 대해 불변이므로, 자유 에너지와 임계 온도는 반강자성 경우와 동일하다. 삼각 격자의 경우, 이는 이분 그래프가 아니므로 강자성 및 반강자성 이징 모형은 현저히 다르게 동작한다. 구체적으로, 삼각형 주위에서는 3개의 스핀 쌍을 모두 반평행하게 만들 수 없으므로, 반강자성 이징 모형은 최소 에너지 상태에 도달할 수 없다. 이는 기하학적 좌절의 한 예이다.

임계점에서의 2차원 이징 모형은 2차원 등각 장론이다. 스핀 및 에너지 상관 함수는 정확하게 해결된 최소 모형으로 설명된다.

5. 해석

이징 모형은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다.

자석 (강자성체): 이징 모형은 자석의 간단한 모형으로, 퀴리 온도에서의 상전이와 같은 현상을 설명한다.
반강자성체: 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로도 사용될 수 있다.
기체: 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로, 기체와 액체 사이의 상전이를 설명하는 데 사용된다.

이징 모형은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 해석될 수 있다.

우선 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정한다.

유한 그래프 $\Gamma$ . 그 꼭짓점 집합을 $\mathsf V(\Gamma)$ , 변 집합을 $\mathsf E(\Gamma)$ 라고 표기한다.
함수 $h\colon\mathsf V(\Gamma) \to \mathbb R$ , $i \mapsto h_i$
함수 $\beta \colon \mathsf E(\Gamma) \to \mathbb R$ , $ij \mapsto \beta_{ij}$

이 경우, 그래프

\Gamma

위의, 자기장

h

에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.

:

Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma \in \{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}}  \exp\left(\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j + \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i\right)

여기서 합은 모든 함수

:

\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}

:

\sigma\colon i \mapsto \sigma_i

에 대한 것이다.

보통,

\beta

및

h

는 상수 함수로 사용한다.

\Lambda

집합을 격자 위치 집합으로 하고, 각 위치는 인접한 위치 집합(예: 그래프)을 가지며

d

차원 격자를 형성한다고 가정한다. 각 격자 위치

k\in\Lambda

에 대해

\sigma_k\in\{-1, +1\}

인 이산 변수

\sigma_k

가 존재하며, 이는 해당 위치의 스핀을 의미한다. 스핀 구성

{\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}

은 각 격자 위치에 스핀 값을 할당하는 것을 의미한다.

인접한 두 위치

i, j\in\Lambda

는 상호 작용

J_{ij}

을 갖는다. 또한, 위치

j\in\Lambda

는 외부 자기장

h_j

와 상호 작용한다. 구성

{\sigma}

의 에너지는 해밀턴 함수로 주어진다.

:

H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,

여기서 첫 번째 합은 인접 스핀 쌍에 대한 것이며 (모든 쌍은 한 번씩 계산된다).

\langle ij\rangle

는 위치

i

와

j

가 가장 가까운 이웃임을 나타낸다. 자기 모멘트는

\mu

로 주어진다. 구성 확률은 역온도

\beta\geq0

를 갖는 볼츠만 분포로 주어진다.

:

P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},

여기서

\beta = 1 / (k_\text{B} T)

이고, 정규화 상수

:

Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}

는 분배 함수이다. 스핀의 함수

f

(관측 가능량)에 대해 다음을 사용하여

:

\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)

f

의 기댓값 (평균)을 나타낸다.

구성 확률

P_{\beta}(\sigma)

는 (평형 상태에서) 시스템이 구성

\sigma

의 상태에 있을 확률을 나타낸다.

이징 모형은 강자성체나 반강자성체의 모델뿐만 아니라, 2원 합금이나 격자 기체의 모델과도 같다. 또한, 불규칙 자성체의 질서상인 스핀 글래스의 모델에도 사용된다.^[64] 스핀 글라스에서는 강자성과 반강자성의 상호 작용이 공간적으로 무작위하게 섞여 있는 이징 모형이 사용된다. 스핀 글라스 이론은 뉴럴 네트워크(신경 회로망)의 연상 기억 이론이나 조합 최적화 문제에도 적용되며, 이러한 분야에서도 이징 모형이 응용되고 있다.

5. 1. 강자성체

N

개의 자기 쌍극자

\mu

를 포함하는 강자성체에 외부 자기장

H

가 걸려 있다고 가정한다. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향

+\mu

또는 반평행한 방향

-\mu

둘 중 하나를 가리킨다. 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지

-\epsilon

을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지

\epsilon

을 가진다.

이러한 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.^[3]

:

E=-\epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j-\mu\sum_iH_i\sigma_i

여기서

\sigma_i=\pm1

은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 변수이고,

\langle ij\rangle

은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치

i

와

j

를 나타낸다.

이 경우 볼츠만 분포는 다음과 같다.

:

\exp(-E/\mathrm k_{\mathrm B}T) = \exp\left(\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j+\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}H_i\sigma_i\right)

따라서, 이는

:

\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}

:

h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i

인 이징 모형에 해당한다.

강자성 이징 모형에서 스핀은 정렬되기를 원한다. 즉, 인접한 스핀이 같은 부호를 갖는 구성이 더 높은 확률을 갖는다.^[3]

5. 2. 반강자성체

N

개의 자기 쌍극자

\mu

를 포함하는 반강자성체가 주어졌을 때, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리키면 에너지가

+\epsilon

이고, 반대 방향을 가리키면 에너지가

-\epsilon

이다. 외부 자기장이

H

인 경우, 에너지는 다음과 같이 표현된다.

:

E = \epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} H_i \sigma_i

이는 이징 모형으로 설명할 수 있는데, 여기서

\beta = -\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}

,

h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i

이다.

반강자성 모형에서는 인접한 스핀이 반대 부호를 갖는 경향이 있다.^[3] 즉,

J_{ij} < 0

이면, 상호작용은 반강자성이다.

5. 3. 기체

기체 분자 간의 상호작용은 이징 모형으로 설명할 수 있다. 기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜은 다음과 같은 특징을 갖는다.

두 입자가 매우 가까울 때 강한 척력이 작용한다.
두 입자가 매우 가깝지 않을 때는 인력이 작용하여 퍼텐셜 우물이 생긴다.
두 입자가 매우 멀면 서로 상호작용하지 않는다.

이러한 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다.

그래프

\Gamma

위에 기체 분자들이 놓여 있다고 가정하면, 이징 모형을 다음과 같이 적용할 수 있다.

$\sigma_i = +1$ : 꼭짓점 $i$ 에 기체 분자가 존재한다.
$\sigma_i = -1$ : 꼭짓점 $i$ 에 기체 분자가 없다.
같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없다.
변 $ij$ 에 대응하는 해밀토니언 항 $\sigma_i\sigma_j$ 은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다.
서로 변으로 연결되지 않은 꼭짓점은 상호작용하지 않는다. (원거리 입자는 상호작용하지 않음)

총 분자 수는 다음과 같이 계산된다.

:

N = \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}\frac{\sigma_i + 1}2

두 분자 사이의 퍼텐셜 우물 깊이가

-\epsilon_0

일 때, 총 에너지는 다음과 같다.

:

E = -\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\frac{(\sigma_i + 1)(\sigma_j + 1)}4=-\frac14\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} \sigma_i \sigma_j

\frac14\epsilon | \mathsf E(\Gamma)|
\frac14 \epsilon \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} \sigma_i\deg_\Gamma(i)

이는 다음과 같은 이징 모형에 해당한다.

:

\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}

:

h_i = \frac\mu{2k_{\mathrm B}T} + \frac\epsilon{4k_{\mathrm B}T} \deg_\Gamma(i)

여기서

\mu

는 화학 퍼텐셜이고,

\deg_\Gamma(i)

는 꼭짓점

i

에 연결된 변의 수이다.

\Gamma

가 정규 그래프이면

h

는 상수 함수가 된다.

한 꼭짓점이 나타내는 부피가

v_0

일 때, 기체의 압력은 다음과 같다.

:

P = \frac{k_{\mathrm B}T}{v_0} \left(\frac{\partial\ln Z}{\partial|\mathsf V(\Gamma)|}\right)_T

열역학적 극한

|\mathsf V(\Gamma)| \to \infty

에서 자유 에너지

-T\ln Z

는 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\ln Z \propto |\mathsf V(\Gamma)|\qquad(|\mathsf V(\Gamma)|\gg1)

따라서 압력은 다음과 같이 표현된다.

:

P =  \frac{k_{\mathrm B}T\ln Z}{v_0|\mathsf V(\Gamma)|}

이징 모형은 원자 운동에 대한 통계 모형으로도 해석 가능하다. 격자 기체 모형에서 각 위치는 원자를 포함하거나 포함하지 않을 수 있으며, 매력적인 상호작용은 가까운 원자들의 에너지를 감소시킨다. 원자의 밀도는 화학 퍼텐셜로 제어 가능하다. 격자 기체의 에너지는 다음과 같이 표현된다.

:

E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} 4 J B_i B_j + \sum_i \mu B_i

여기서 B는 0과 1의 값을 가지는 비트이다. 이를 스핀으로 다시 쓰면 (

B_i = (S_i + 1)/2

) 다음과 같이 표현 가능하다.

:

E = - \frac{1}{2} \sum_{\langle i,j \rangle} J S_i S_j - \frac{1}{2} \sum_i (4 J - \mu) S_i

이는 자기장 ''h'' = (''zJ'' − ''μ'')/2를 갖는 이징 모형과 동일하며, 여기서 ''z''는 이웃의 수이다.

생물학적 시스템에서 격자 기체 모형은 세포 표면에서 리간드의 수용체 결합,^[11] 주화성 단백질과 편모 모터의 결합,^[12] DNA 응축^[13] 등 다양한 결합 행동을 이해하는 데 사용된다.

5. 4. 이합체 모형

2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형은 이합체 모형으로 해석될 수 있다.

6. 일반화

이징 모형은 최근접 격자점뿐만 아니라 임의의 격자점 간의 상호작용을 고려하는 형태로 확장될 수 있다^[58]^[59]. 이때, 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}\mathcal{H}&= - \sum_{(i,j)} J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i} h_i \sigma_i \\&= - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i=1}^{N} h_i \sigma_i\end{align}$

더욱 일반화하면, 무향 그래프 위에서도 이징 모형을 정의할 수 있다. 정점을 $V = \{1, \dots, N\}$ , 정점끼리 연결하는 변을 $E$ 로 하는 무향 그래프 $G=(V, E)$ 에서, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

: $\mathcal{H} = - \sum_{(i,j) \in E} J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i \in V}h_i \sigma_i$

7. 응용

이징 모형은 다양한 분야에 응용될 수 있다.

뇌 속 뉴런의 활동은 통계적으로 모델링될 수 있는데, 각 뉴런은 활동적이거나 비활동적인 상태를 가진다. 이징 모형은 신경 활동의 통계적 모델 선택에 사용될 수 있으며, 최대 엔트로피 원리를 따른다.^[14]^[15]^[16] 뉴런 간의 상호작용을 고려하기 위해 쌍별 라그랑주 승수가 도입된 일반화된 이징 모형은 통계학에서 2차 지수 이진 분포라고도 불린다. 이 모형은 쌍별 상관관계와 평균 활동에 대한 제약 조건 하에서 가장 무작위적인 시스템을 설명하는 데 사용될 수 있다.

이징 모형을 사용하면 스핀 유리를 기술할 수 있다.^[17] 스핀 유리는 일반적인 해밀토니안 : $H=-\frac{1}{2}\,\sum J_{i,k}\,S_i\,S_k,$ 를 통해 가능한데, ''S'' 변수는 이징 스핀을 나타내고, ''J_i,k''는 임의 분포에서 가져온다. 스핀 유리의 경우, 전형적인 분포는 확률 ''p''로 반강자성 결합을 선택하고, 확률 1 − ''p''로 강자성 결합을 선택한다(이는 무작위 결합 이징 모형으로도 알려져 있다). 이 시스템은 자체적으로도 흥미로운데, 특히 "비-에르고딕" 특성을 가지며 이상한 완화 현상을 보인다.

이징 모형은 호프필드 네트워크 개발에 중요한 역할을 했다.^[18]^[19]^[20]^[21]^[22] 로이 J. 글라우버는 시간에 따라 진화하는 이징 모형을 연구했으며, 아마리 순이치는 헤브 학습 규칙에 따라 이징 모형의 가중치를 수정하는 것을 제안했다.

융빙 연못은 이징 모형으로 모델링할 수 있으며, 해빙 지형 데이터는 결과에 큰 영향을 미친다.^[28] 상태 변수는 2차원 근사를 위해 물 또는 얼음 중 하나가 된다.

1979년 Krizan의 제안에 따라, 큰 신경망과 관련이 있을 수 있는 이징 모형을 조사하기 위해 닫힌 케일리 트리(임의로 큰 분기 비율)의 이징 모형에 대한 자유 에너지에 대한 정확한 분석적 표현식을 얻었다. 이 모형의 임계 온도는 분기 비율과 사이트 간 상호 작용 에너지에 의해서만 결정된다. 이는 신경 구조와 그 기능과 직접적인 관련이 있을 수 있다.

이징 모형은 강자성체나 반강자성체의 모델이지만, 2원 합금이나 격자 기체의 모델과도 등가이다. 또한, 이징 모형은 불규칙 자성체의 질서상인 스핀 글래스의 모델에도 사용된다.^[64] 스핀 글래스에서는 강자성과 반강자성의 상호 작용이 공간적으로 무작위하게 혼합된 이징 모형이 사용된다. 스핀 글래스 이론의 해석 기법은 뉴럴 네트워크(신경 회로망)의 연상 기억 이론이나 조합 최적화 문제에도 적용되며, 이러한 분야에서도 이징 모형이 응용되고 있다.

상자성체 금속에 미량의 자성 원소를 첨가한 자성 희석 합금에는 스핀 글라스라고 불리는 자기적 질서상이 존재한다. 에드워즈-앤더슨 모형에서는 정/부의 값을 취할 수 있는 자기적 상호작용이 공간적으로 무작위하게 분포된 불규칙 자성체로서 스핀 글라스를 다룬다.

한편, 스핀 글라스의 셰링턴-커크패트릭 모형은 공간적으로 무작위한 상호작용이 모든 격자점 쌍에 대해 미치는 무한 범위라고 하는 모델이다.

8. 역사

빌헬름 렌츠(Wilhelm Lenz|빌헬름 렌츠^de, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징(Ernst Ising|에른스트 이징^de, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다.^[70] 이징은 1925년 박사 학위 논문^[71]에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.^[72]^[73]

이징은 1924년 박사 학위 논문에서 각 사이트가 왼쪽 및 오른쪽 이웃과만 상호 작용하는 선형 수평 격자로 생각할 수 있는 1차원 이징 모형(''d'' = 1)을 풀었다. 1차원에서는 상전이가 없다.^[5] 즉, 임의의 양의 β에 대해 상관 관계는 지수적으로 감소한다. 이 결과를 바탕으로 이징은 이 모형이 어떤 차원에서도 상전이를 보이지 않는다고 잘못 결론 내렸다.

이징 모형은 2차원 이상에서 상전이를 거쳐 정렬상과 비정렬상 사이를 오간다. 즉, 작은 β에서는 시스템이 비정렬 상태를 보이지만, 큰 β에서는 강자성 정렬을 나타낸다. 이는 1936년 루돌프 파이얼스가 '파이얼스 논증'이라는 방법을 사용하여 처음 증명하였다.^[6]

자기장이 없는 2차원 정방 격자에서의 이징 모형은 라르스 온사거(Lars Onsager|라르스 온사게르^영어)에 의해 분석적으로 풀렸다. 온사거는 이징 모형의 상관 함수와 자유 에너지가 비상호작용 격자 페르미온에 의해 결정된다는 것을 보였다. 온사거는 1949년에 2차원 모형에 대한 자발적 자화 공식을 발표했지만 유도를 제시하지는 않았다.

참조

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