절단점

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 절단점 차수
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 칼림스키 직선
- 4.2. 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간
참조

1. 개요

절단점은 연결 공간 X에서 점 x를 제거한 공간 X\{x}가 비연결 공간이 되게 하는 점 x를 의미한다. 절단점 공간은 모든 점이 절단점인 연결 공간을, 연결 순서 위상 공간은 임의의 세 원소 부분집합에서 특정 원소를 제거했을 때 나머지 두 원소가 서로 다른 연결 성분에 속하는 공간을, 끝점 공간은 특정 두 점을 제외한 임의의 점에 대해, 그 점을 제거한 공간에서 한 점을 포함하고 다른 점을 포함하지 않는 열린닫힌집합이 존재하는 공간을 의미한다. 연결 공간의 절단점은 고립점이거나 닫힌 점이며, 크기 2 이상의 절단점 공간은 무한 집합이고 콤팩트 공간이 아니다. 절단점은 위상동형사상 아래에서는 보존되지만, 연속 함수 아래에서는 보존되지 않을 수 있다. 절단점의 예시로는 실수선, 닫힌 구간, 열린 구간, 칼림스키 직선 등이 있다.

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절단점
절단점
정의	연결 공간에서 해당 점을 제거했을 때 연결 공간이 분리되는 점
관련 항목	극점

2. 정의

연결 공간 X의 점 x를 제거한 공간 X＼{x}가 비연결 공간이라면, x를 X의 절단점이라고 한다. X의 모든 점이 절단점인 연결 공간을 절단점 공간이라고 한다.

연결 순서 위상 공간(COTS)은 임의의 세 원소 부분집합에서 특정 원소를 제거했을 때 나머지 두 원소가 서로 다른 연결 성분에 속하는 공간이다. 끝점 공간은 특정 두 점을 제외한 임의의 점에 대해, 그 점을 제거한 공간에서 한 점을 포함하고 다른 점을 포함하지 않는 열린닫힌집합이 존재하는 공간이다.

선(폐구간)은 두 끝점 사이에 무한히 많은 절단점을 갖는다. 원은 절단점이 없다. 절단점의 수가 다르므로 선은 원과 위상동형이 아니다.

연결 공간 X의 점 p가 있을때, X＼{p}가 연결되어 있다면, X의 비절단점이고 X＼{p}가 연결되어 있지 않다면 X의 절단점이다. 공간이 절단점을 가지려면 공간에 최소 세 개의 점이 있어야 한다. 한두 개의 원소를 가진 공간에서 점을 제거하면 항상 연결 공간이 남기 때문이다.

2. 1. 절단점 차수

3. 성질

연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.^[2]

연결 공간 $X$ 의 절단점 $x\in X$ 가 주어졌을 때, $X\setminus\{x\}$ 의 열린닫힌집합 $\varnothing\subsetneq A\subsetneq X\setminus\{x\}$ 가 존재하며, $A=U\setminus\{x\}=F\setminus\{x\}$ 인 $X$ 의 열린집합 $U$ 및 닫힌집합 $F$ 가 존재한다. $X$ 가 연결 공간이므로 $U\ne F$ 이며, $\{x\}=U\setminus F$ 이거나 $\{x\}=F\setminus U$ 이다. $\{x\}=U\setminus F$ 가 참이라면 $\{x\}$ 는 열린집합이고, $\{x\}=F\setminus U$ 가 참이라면 $\{x\}$ 는 닫힌집합이다.

크기 2 이상의 절단점 공간은 무한 집합이며,^[2] 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.^[2] 또한, 크기 2 이상의 절단점 공간은 콤팩트 공간이 아니다.^[2]

절단점은 연속 함수 아래에서는 보존되지 않을 수 있다. 예를 들어, 함수 ''f'': [0, 2] → '''R'''²가 ''f''(''x'') = (cos ''x'', sin ''x'')로 주어지는 경우, 구간의 모든 점(두 끝점을 제외)은 절단점이지만, f(x)는 절단점이 없는 원을 형성한다. 그러나 절단점은 위상동형사상 아래에서는 보존되므로, 위상 불변량이다.

둘 이상의 점을 가진 모든 연결 하우스도르프 공간인 연결체는 최소 두 개의 비절단점을 갖는다. 정확히 두 개의 비절단점을 갖는 모든 연결체는 단위 구간과 위상동형이다.

4. 예시

실수선 $\mathbb R$ 는 모든 점이 절단점 차수가 2인 절단점 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ ( $n\ge 2$ )은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다. 유클리드 평면 $\mathbb R^2$ 에서 n개의 직선이 절단점 공간이 될 필요충분조건은, 공점선이거나, $n-1$ 개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

닫힌 구간 [a,b]는 무한히 많은 절단점을 갖는다. 양 끝점을 제외한 모든 점은 절단점이며, 양 끝점 {a,b}는 비절단점이다.
열린 구간 (a,b)는 닫힌 구간과 마찬가지로 무한히 많은 절단점을 갖는다. 열린 구간은 끝점을 갖지 않으므로 비절단점은 없다.
원은 절단점이 없다. 원의 모든 점은 비절단점이다.

4. 1. 칼림스키 직선

칼림스키 직선은 정수 집합

\mathbb Z

위에 특정 위상을 부여한 위상 공간이다. 모든 홀수는 고립점이며, 모든 짝수

n

은 최소 열린 근방

\{n-1,n,n+1\}

을 갖는다. 즉, 칼림스키 직선의 위상은 기저

\mathcal B=\{\{2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}\cup\{\{2i-1,2i,2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}

로 생성된다.

칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이다. 기약 절단점 공간은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간을 의미한다. 모든 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다. 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.

4. 2. 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다.^[1] 그러나 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다.^[1]

구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간

X

는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합

M\subseteq\mathbb R^2

을 만든다.

수평 개구간 $(0,1)\times\{0\}$ 에서 시작한다.
각 이진 유리점 $((2m-1)/2^n,0)\in(0,1)\times\{0\}$ 위에 수직 개구간 $\{(2m-1)/2^n\}\times(0,1/2^n)$ 을 덧붙인다.
덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 $((2m-1)/2^n,(2i-1)/2^j)$ 의 오른쪽에 수평 개구간 $((2m-1)/2^n,(2m-1)/2^n+1/2^j)\times\{(2i-1)/2^j\}$ 를 덧붙인다.
위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.

그렇다면,

M

의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각

\operatorname{ct}_3(M)

과

\operatorname{ct}_2(M)=M\setminus\operatorname{ct}_3(M)

이라고 하자. 이제,

:

X=\operatorname{ct}_2(M)^*\times M=M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\dotsb

라고 하자 (

(-)^*

는 클레이니 스타). 또한,

x=(x_1,\dotsc,x_n)\in X

및

\epsilon>0

에 대하여, 다음 집합을 정의하자.

:

R(x,\epsilon)=\begin{cases}\{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_3(M) \\\{x\}\cup\{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M))\cup\{x\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(0,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_2(M)\end{cases}

그렇다면,

:

\{R(x,\epsilon)\colon x\in X\land\epsilon>0\}

은

X

위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간

X

는 다음 성질들을 만족시킨다.^[1]

하우스도르프 공간이다.
연결 공간이다.
모든 점의 절단점 차수는 3이다.

참조

_[1] 논문 Concerning cut point spaces of order three https://eudml.org/do[...] 2022-02-03
_[2] 논문 Cut-point spaces

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