리치 평탄 다양체

3. 예시

모든 평탄 계량은 리치 평탄하다. 곡률이 0이 아닌 리치 평탄 다양체의 예시는 다음과 같다.

• 일반 상대성이론에서 리치 평탄 로런츠 다양체는 우주 상수가 0인 아인슈타인 장 방정식의 진공 해이다.
• 리 대수의 명시적인 구성과 계산을 통해 리치 평탄하지만 평평하지 않은 동차 (대칭) 로런츠 다양체가 존재함을 알 수 있다.
• 1970년대 야우싱퉁이 칼라비 추측을 해결한 이후, 닫힌 복소다양체에서 리치 평탄 켈러 계량(예: 칼라비-야우 다양체)의 존재성이 확립되었다.

4. 해석적 성질

조화 좌표와 관련하여 리만 계량에 대한 리치 평탄성 조건은 타원 편미분 방정식 계로 해석될 수 있다. 조화 좌표가 호환 가능한 해석 구조를 정의하고 계량의 국소 표현이 실 해석적이라는 의미에서 매끄러운 다양체의 리치 평탄 리만 계량이 해석적이라는 것은 표준 ''타원 정규성'' 결과의 직접적인 결과이다. 이는 또한 아인슈타인 리만 계량의 더 넓은 설정에도 적용된다.

마찬가지로, 조화 좌표와 관련하여 로런츠 계량의 리치 평탄성은 쌍곡선 편미분 방정식 계로 해석될 수 있다. 이러한 관점을 바탕으로 이브본 쇼케-브루앗은 잘 정의된 리치 평탄성 상태를 제안했다. 그녀는 1960년대 로버트 제로흐와 협력하여 특정 특성류의 극대 ''확장'' 리치-평탄 로런츠 계량이 특정 리만 데이터에 의해 규정되고 구성되는 방식을 확립함으로써 확실한 결과에 도달했다. 이는 ''대역적 극대 쌍곡 발달''로 알려져 있다. 일반 상대성 이론에서 이는 일반적으로 중력에 대한 아인슈타인의 장 방정식의 초기 값 공식으로 해석된다.

리만과 로런츠 사례에서 리치 평탄성에 대한 연구는 아주 뚜렷하다. 이는 리만 기하학의 전형적인 측지 완비 계량과 쇼케브뤼아 및 제로흐의 작업에서 발생하는 극대 전역 쌍곡 발달 사이의 근본적인 구별로 이미 나타난다. 더욱이, 리치 평탄 리만 계량의 해석성과 이에 상응하는 고유한 연속성은 한정된 전파 속도와 완전히 국소화 가능한 현상을 갖는 리치 평탄 로런츠 계량과 근본적으로 다른 특성을 갖는다. 이는 라플라스 방정식과 파동 방정식의 차이에 대한 비선형 기하학적 유사체로 볼 수 있다.

5. 리치 평탄 리만 다양체의 위상

야우 싱퉁의 연구는 닫힌 복소다양체에 대한 켈러 계량의 특수한 경우에 리치 평탄 계량에 대한 포괄적인 존재성 이론을 확립했다. 그의 해석학적 기법으로 인해 가장 단순한 경우에도 계량이 명확하지 않다. 이러한 리만 다양체는 종종 칼라비-야우 다양체라고 불린다. 야우의 리치 평탄 켈러 계량에 대한 존재 정리는 이러한 계량이 주어진 닫힌 복소 다양체에 존재하는 정확한 위상 수학적 조건을 확립했다. 즉, 정칙 접다발의 첫 번째 천 특성류는 0이어야 한다. 이 조건의 필요성은 이전에 천-베유 이론에 의해 알려졌다.

켈러 기하학을 넘어서는 상황은 잘 이해되지 않는다. 모든 아인슈타인 리만 계량을 지원하는 4차원 닫힌 유향 다양체는 위상 데이터에 대한 히친-소프 부등식을 충족해야 한다. 음이 아닌 리치 곡률의 리만 다양체에 대한 잘 알려진 정리의 특정 사례로서, 완전한 리치-평탄 리만 계량을 갖는 모든 다양체는 다음을 충족해야 한다.

• 다양체가 닫힌 다양체이면 첫 번째 베티 수는 차원보다 작거나 같다.
• 다항식 정도로 증가하는 기본 군을 갖는다.

6. 리치 평탄성과 홀로노미

단순 연결 켈러 다양체에서 켈러 계량이 리치 평탄일 필요충분조건은 홀로노미 군이 특수 유니터리 군의 부분군인 것이다. 일반 켈러 다양체에서는, 방향이 여전히 유지되면, 리치 평탄 켈러 계량의 ''제한된'' 홀로노미 군만 특수 단일 군에 반드시 포함된다.

초켈러 다양체는 홀로노미 군이 심플렉틱 군에 포함된 리만 다양체이다. 리만 다양체의 이 조건은 (대략적으로 말하면) 모두 평행 복소 구조의 2구체의 존재로 특징지어질 수도 있다. 이는 특히 모든 초켈러 계량이 켈러임을 나타낸다. 또한 암브로스-싱어 정리를 통해 이러한 모든 계량은 리치 평탄하다.

사원수 켈러 다양체는 홀로노미 군이 리 군 Sp(n)·Sp(1)|Sp(n)·Sp(1)^영어에 포함된 리만 다양체이다. 마르셀 베르제는 그러한 계량이 아인슈타인 계량임에 틀림없다는 것을 보여주었다. 또한 모든 리치 평탄 사원수 켈러 다양체는 ''국소적으로'' 초켈러여야 한다. 즉, ''제한된'' 홀로노미 군이 심플렉틱 군에 포함되어 있음을 의미한다.

G₂ 또는 Spin(7)는 홀로노미 군이 리 군 Spin(7) 또는 G₂에 포함된 리만 다양체이다. 암브로스-싱어 정리는 그러한 다양체가 리치 평탄임을 의미한다.

마르셀 베르제는 단순 연결 닫힌 다양체에서 기약 리치 평탄 리만 계량의 알려진 모든 예가 특수한 홀로노미 군을 가진다고 언급했다.